Уравнение равновесия балки

Для плоской системы нагружения, при определении опорных реакций и внутренних силовых факторов исходя из условия равновесия системы, можно составить только три уравнения статики.

Ранее были показаны примеры составления уравнений равновесия для пространственной и плоской систем сил.

При плоском поперечном изгибе можно записать только два уравнения. Это частный случай плоского нагружения. В этом случае все силы приложенные к балке расположены нормально к ее оси, т. е. не дают проекций на ось балки.

В результате имеем следующие уравнения статики:

  1. Сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю
  2. Сумма моментов относительно любой точки системы тоже равна нулю.

Эти уравнения являются уравнениями равновесия рассматриваемой балки находящейся под действием комплекса нагрузок.

Рассмотрим пример плоского поперечного изгиба, когда все внешние силы имеют исключительно вертикальное направление.

Уравнения статики

Сумма проекций всех сил на ось Y:

Здесь силы и нагрузки записаны в соответствии с правилом знаков для проекций сил.

Равнодействующая распределенной нагрузки определяется произведением ее интенсивности на длину.

Проекции сил на ось Z в данном случае равны нулю:

Сумма моментов всех нагрузок, например, относительно точки A:

Правило знаков для моментов.

Совместное решение системы полученных уравнений позволяет определить величину и направление двух неизвестных усилий.

Уравнения равновесия >
Примеры решения задач >
Краткая теория >

Вы здесь: Техническая механика > Сопротивление материалов > Ответы на вопросы по сопромату > Уравнения равновесия для балки

Условия и уравнения равновесия твердого тела: плоской и пространственной системы сил

Привет! Меня зовут Константин Вавилов и в этой статье я рассказу об условиях, при которых любая система сил, твердое тело, элемент конструкции или конструкция в целом находится в равновесии. А также напишу про уравнения равновесия, которые вытекают из этих условий. Рассмотрим три основные формы этих уравнений.

Условия равновесия произвольной системы сил

Еще Ньютон говорил, что если геометрическая сумма сил, действующая на тело, равна нулю, то тело:

  • либо находится в состоянии покоя;
  • либо движется равномерно прямолинейно.

Из теоретической механики известно, что действие нескольких сил, просуммировав, можно заменить равнодействующей силой:

\

Тогда обязательное условие равновесия можно записать так:

\

Однако для полного равновесия, часто, этого условия недостаточно, если тело имеет возможность вращаться относительно какой-то точки или оси, то для равновесия такой системы, необходимо, чтобы выполнялось условие:

\

где M — главные момент системы, который эквивалентен сумме моментов системы относительно некоторого центра.

Условия равновесия плоской системы сил

Выше описанные условия означают, что система будет находится в равновесии, когда все силы, действующие на систему, будут взаимно уравновешиваться и момент относительно любой произвольной точки будет равен нулю, отсюда вытекает первая и основная форма условий равновесия для плоской системы сил:

\

Вторая форма условий равновесия записывается следующим образом:

\

Из данного условия следует, что для равновесия системы достаточно равенство нулю суммы моментов относительно двух точек (A и B), а также суммы проекций всех сил относительно некоторой оси.

Важно! Ось не должна быть перпендикулярна прямой AB.

Данную форму условий равновесия выгодно использовать при расчете плоских статически определимых балок.

И, наконец, третья форма условий равновесия выглядит так:

\

Из данной системы уравнений следует, что для равновесия системы достаточно равенства нулю суммы моментов относительно трех точек.

Важно! Точки, относительно которых записываются уравнения не должны лежать на одной прямой.

Уравнения равновесия для плоской системы сил

Рассмотрим на примере плоской балки, как записываются уравнения равновесия. Использовать будет классическую (первую) форму условия равновесия:

\

Сумма моментов относительно точки A:

\

Сумма проекций всех сил на вертикальную ось (y):

\

Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось(x):

\

Рекомендую изучить статью про определение реакций опор, которые рассчитываются с помощью уравнений равновесия.

Условие равновесия пространственной системы сил

Для пространственной системы сил условие равновесие выглядит вот так:

\

Таким образом, пространственная система будет находиться в равновесии, если суммы проекций сил на координатные оси, а также суммы моментов относительно осей будут равны нулю.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил

В качестве примера рассмотрим пространственную раму, закруженную сосредоточенными силами. Составим для нее шесть уравнений равновесия:

Указания к решению задач на равновесие системы сил.

При решении задач на равновесие нескольких тел, соединенных между собой необходимо провести следующие действия:

1. Выделить систему сочлененных тел, равновесие которой необходимо рассмотреть.

2. Изобразить активные (заданные) силы, действующие на систему.

3. Отбросить внешние связи и заменить их реакциями.

4. Наметить общий план решения, т.е. установить, как целесообразнее расчленить данную систему: рассмотреть равновесие каждого из сочлененных тел отдельно, или же равновесие всей системы в целом и дополнительно равновесие любой ее части. Определить общее количество искомых сил. К ним могут относиться появившиеся в результате расчленения системы неизвестные силы, определение которых в условии не требуется. Затем необходимо установить общее количество независимых уравнений равновесия, которые можно составить при данном расчленении. В статически определенной задаче число неизвестных величин должно равняться числу уравнений равновесия.

5. Принять наиболее целесообразный порядок рассмотрения равновесия сочлененных тел. При этом, прежде всего надо рассматривать те тела, для которых из уравнений равновесия, составленных для них, можно сразу получить часть искомых величин, независимо от уравнений, составленных для других частей системы.

6. Выбрать систему координат и рассмотреть равновесие первого из намеченных тел в принятой последовательности. Составить необходимые уравнения равновесия. Затем перейти к рассмотрению равновесия второго тела и составить соответствующие уравнения и т.д.

7. Решить составленную систему алгебраических уравнений.

8. Провести проверку полученного решения. Составить уравнение, которое не содержит сил, определяемых в процессе решения задачи. Чаще всего это осуществляется путем составления уравнений моментов сил относительно точки, через которую не проходят линии действия искомых величин.

Задача 1.Однородная горизонтальная балка BД весом =10кН свободно опирается в точке С на одиночную балку АС весом =15кН. На балку ВД действует пара сил с моментом М и сила , приложенная в точке Д, а к балке АС на участке = действует равномерно распределенная нагрузка интенсивности q. Опорами системы служат жесткая заделка в точке А и неподвижный шарнир в точке В. Дано: F=20кН, , q=2кН/м; BД=8м, АС=10м. Найти реакции опор (рис. 30).

Рис. 30

Решение. 1. Рассмотрим равновесие конструкции, состоящей из двух балок АС и ВД.

2. На конструкцию действуют следующие внешние активные силы: и – вес каждой балки, сила приложенная в точке Д, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q на участке О2А балки АС и пара сил с моментом М.

3.Освободим эту систему тел от связей и заменим их действие силами реакций: и – составляющие реакции неподвижного шарнира В, , и МА – реакции жесткой заделки в точке А. Таким образом, на конструкцию действует система сил, лежащих в одной плоскости (рис. 31 а).

4. Так как число неизвестных сил больше трех ( , , МА, , ), то для решения задачи расчленим конструкцию на две части и рассмотрим равновесие каждой части в отдельности.

Согласно свойству внутренних сил . – приложена к балке BД, а — к балке АС и

Рис.31

5. Запишем уравнение равновесия для балки BД (рис. 31 б).

Затем составим уравнения равновесия для балки АС. Равнодействующая распределенной нагрузки . Приложена сила в середине отрезка (рис. 31 в).

6. Решая полученную систему из шести уравнений, находим:

7. Для проверки правильности решения составим уравнение равновесия для системы сил, приложенных ко всей конструкции, например (за центр моментов выбрана точка, через которую не проходят линии действия ни одной из определяемых реакций связей).

После подстановки численных значений получаем тождество 0=0. Решение верно.

Задача 2.Кронштейн состоит из горизонтального бруса AД весом , прикрепленного к стене шарниром А, и подкоса ВС весом Р2=12Н, который с брусом и стеной соединен шарнирами. К концу Д бруса подвешен груз весом Q=30Н. Определить реакции шарниров А и С, а также давление в шарнире В (рис. 32).

Рис. 32

Решение. 1. Рассмотрим равновесие всего кронштейна.

2. На кронштейн действуют две активные силы: — вес бруса, приложенный в точке О1 и вес подкоса — в точке О2.

3. Освободим кронштейн от внешних связей и заменим их действие силами реакций: , – составляющие реакции шарнира А, , – шарнира В. В точке Д отбросим нить, на которой подвешен груз, и заменим действие нити силой , числено равной весу груза, т.е. Т=Q (рис. 33 а).

Рис. 33

4. Проведем оси координат и составим уравнения равновесия для всей конструкции (рис. 33а):

, ,

, ,

, .

Полученные три уравнения, как видно, содержат четыре неизвестных и , следовательно, этих уравнений недостаточно, чтобы решить эту задачу. Тогда расчленим эту конструкцию и рассмотрим дополнительно равновесие какой-нибудь ее части, например, горизонтальный брус АД. Реакцию шарнира В представляем ее составляющими (рис.33 б).

5. Запишем уравнения равновесия для балки АД:

, ,

,

, .

6. Решим полученную систему шести уравнений:

, ,

, ,

, .

7. Для проверки правильности решения задачи составим для всей конструкции (рис. 33а) уравнение .

Сократив на «а» и подставив численные значения входящих величин, получим:

-278+278=0, 0=0. Таким образом, задача решена верно.

Задача 3. Две однородные балки АВ и ВС одинакового веса соединены шарниром В и удерживаются в горизонтальном положении при помощи шарнира А, опоры Д и нити, прикрепленной в точке С, переброшенной через неподвижный блок и несущей на конце груз Q. Участок КС находится под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q = 2 кН/м, а участок АЕ – под действием распределенной нагрузки, изменяющейся по линейному закону с максимальной интенсивностью qmax = 2 кН/м. Найти величину груза Q и реакции опор в точках А, В, Д, если АЕ=ВЕ=ВК=КС=3 м, ЕД=2 м,

α=60° (рис. 34).

Рис. 34

Решение.1.Для решения задачи систему балок делим на две части и рассматриваем равновесие каждой части в отдельности. Сначала рассмотрим равновесие балки ВС (рис. 35 а).

2. На балку ВС действует ее сила тяжести , приложенная посередине балки. Равномерно распределенную нагрузку на участке КС заменим равнодействующей силой , . Сила приложена в середине отрезка КС.

3. Освободим балку от связей и покажем на рисунке реакции этих связей. Реакцию шарнира В представим ее составляющими , направленными параллельно проведенным осям координат. Реакция нити направлена по нити, приложена в точке С и равна весу груза Q, т.е. Т=Q.

4. Запишем уравнения равновесия для этой балки:

5. Решая эти уравнения получим:

; ;

6.Затем рассмотрим равновесие балки АВ(рис. 35 б). Распределенную нагрузку на участке АЕ балки заменим силой , Модуль силы равен половине площади фигуры, которая изображает равномерно распределенную нагрузку на этом участке балки интенсивности . Приложена сила к балке АВ на расстоянии от точки А. На балку АВ действуют силы – ее вес, – реакция опоры Д, и же реакция шарнира В . По свойству внутренних сил составляющие и направлены противоположно .

1. Запишем уравнения равновесия для этой балки (рис. 35 б):

, ;

, ;

, .

2. Решим эту систему алгебраических уравнений.

,

,

3. Для проверки полученного решения для всей конструкции составим уравнение :

,

. Решение верно.

Задача 4. На невесомую трехшарнирную арку в точке Е действует сила F=10кН, составляющая угол α=60° с горизонтом. На части ДC арки приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивности q=2 кН/м и пара сил с моментом . Определить реакции шарниров А и В, если ДC=CE=4м, AД=6м (рис. 36).

Рис. 36

Решение. 1. Рассмотрим равновесие всей арки в целом.

2. К арке приложены следующие активные силы: , приложенная в точке Е и пара сил с моментом М. Равномерную нагрузку заменяем равнодействующей силой , приложенной в середине отрезка ДC.

3. Освободим арку от внешних связей – неподвижных шарниров А и В. Заменим их действие силами реакций , (рис. 37 а).

Рис. 37

4. Запишем уравнения равновесия для всей арки (рис. 37а):

, ;

,

, .

Полученные три уравнения, как видно, содержат четыре неизвестных Поэтому для решения задачи расчленим арку в точке С на две части, рассмотрим дополнительно равновесие любой ее части, например, левой части (рис. 37 б).

Замечание: при решении задач статики на равновесие системы тел не всегда надо составлять все уравнения равновесия. Если в условии задачи не требуется определение реакции какой-нибудь связи, то целесообразно составить такое уравнение, в которое эти неизвестные реакции не входили бы.

5. В данной задаче не требуется находить реакцию внутреннего шарнира С. Тогда для левой части арки АС составим, дополнительно к выше составленным, одно уравнение:

, .

6. Решим систему полученных алгебраических уравнений:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *