Теорема о биссектрисе внутреннего угла

Биссектриса треугольника

Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

Рис.1

Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.

На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.

Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Рис.2

Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD. Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD. Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

Рис.3

b = |AC|, a = |BC|, c = |AB|, p = |BD|, q = |DC|.

Тогда

Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

Рис.4

Тогда справедлива формула:

Доказательство. Поскольку

то

что и требовалось доказать.

Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Теорема 2. Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

Рис.5

Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:

Доказательство. Из рисунка 5 следует формула

|EB| = 2c cos α .

Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

Доказательство. Рассмотрим рисунок 6

Рис.6

и воспользуемся теоремой косинусов:

Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:

Следовательно,

откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

Задача. Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высотаCE.

Рис.7

Доказать, что выполнено равенство:

Решение. Поскольку CD – биссектриса угла ACB, то

Поскольку CE – высота, то

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Из решения этой задачи вытекает простое следствие.

Следствие. Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Как решать задачи, в которых биссектриса параллелограмма делит противолежащую сторону на отрезки? Решение основано на доказанном свойстве биссектрисы параллелограмма.

Это свойство (биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник) после доказательства можно использовать при решении задач. Я предпочитаю доказывать этот факт в каждой задаче (полезное упражнение для отработки навыков).

Задача 1.

Биссектриса острого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки 3 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Найти периметр параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

F ∈ BC, BF=3 см, FC=2 см.

Найти:

Решение:

1) ∠BAF=∠DAF (так как AF — биссектриса ∠BAD по условию).

2) ∠BFA=∠DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей AF).

3) Следовательно, ∠BAF=∠BFA.

4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).

5) Следовательно, AB=BF=3 см.

6) BC=BF+FC, BC=3+2=5 см.

Ответ: 16 см.

Задача 2.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла. Периметр параллелограмма равен 90 см. Найти его стороны.

Дано: ABCD — параллелограмм, BK- биссектриса ∠ABC,

K ∈ AD, AK:KD=1:3,

Найти: AB, AD, CD, BC.

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда AK=k см, KD=3k см, AD=AK+KD=k+3k=4k см.

2) ∠ABK=∠CBK (так как BK — биссектриса ∠ABC по условию).

3) ∠CBK=∠AKB (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD и секущей BK).

4) Следовательно, ∠ABK=∠AKB.

5) Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный с основанием BK (по признаку равнобедренного треугольника).

6) Следовательно, AB=AK=k см.

Составляем и решаем уравнение:

Исследовательская работа по теме : «Биссектриса параллелограмма»

IV Научно-практическая конференция городского научного общества учащихся

Биссектриса параллелограмма

Секция: математика

Авторы:

Тимшин Владислав Владиславович

МОУ СОШ № 35,8 Б класс

Домашний адрес:

Стасова д.8, кв. 18

Телефон: 63-10-03;

Инейкин Александр Сергеевич

МОУ СОШ № 35,8 Б класс

Домашний адрес:

Станкостроителей д.8, кв. 83

Телефон: 68-63-91

Научный руководитель:

Криушина Галина Михайловна,

МОУ СОШ № 35,

Учитель математики высшей квалификационной категории.

г.Ульяновск

2011год.

1.Мотивация.

В 8 классе мы начали изучать параллелограмм. Наиболее интересным в данной теме для меня показался не сам параллелограмм, а его свойства. На одном уроке у нас была тема «Применение свойств параллелограмма». Оказалось, что задачу на применение этих свойств можно решить двумя или трёмя способами.

И тут нам захотелось расширить свой кругозор по данной теме: какие ещё задачи можно решить с помощью биссектрисы параллелограмма и как?

Начали мы исследование с истории возникновения параллелограмма. Термин «ПАРАЛЛЕЛОГРАММ» греческого происхождения и был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны ещё пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается теорема о том, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида.

В свою научную работу мы включили:

1). Проблему расположения биссектрисы относительно сторон параллелограмма

2). Свойства биссектрис параллелограмма

3). Доказательство свойств параллелограмма

4). Мини-доклад про Софью Ковалевскую

Актуальность выбранной темы заключается в том, что биссектриса параллелограмма имеет широкое применение в теории, что и является прикладной значимостью. Исследовательский характер работы состоит в решении задач с применением свойств биссектрисы параллелограмма, выходящих за рамки школьной программы.

Исследовательский проект

«Биссектриса параллелограмма».

Мотивация. При решении задачи №425 («Геометрия 7-9» Л.С.Атанасян) появились разногласия по построению рисунка к задаче. Возникла проблема: какую сторону пересечет биссектриса соседнюю или противоположную? В теоретических знаниях, полученных нами на уроках геометрии, нигде не встретились свойства биссектрисы параллелограмма. И тогда мы решили исследовать эту проблему, а наряду с этим попытаться отыскать ещё какие-нибудь свойства биссектрисы параллелограмма.

Актуальность. При более подробном знакомстве с данной темой, появляется возможность расширить полученные в школе знания о параллелограмме и его биссектрисах, и надеемся, в дальнейшем сможем применять эти знания при решении геометрических задач.

Цель: изучить свойства биссектрисы параллелограмма.

Задачи

1.Изучить литературу по выбранной проблеме;

2.Научиться применять полученные знания при решении геометрических задач;

3.Подобрать различные задачи, связанные с использованием свойств биссектрисы параллелограмма;

Объект исследования: биссектриса параллелограмма.

Мы попытались подойти к этому вопросу практически. Изображая различные параллелограммы, при помощи транспортира проводили в них биссектрисы, анализировали рисунки и пытались сделать выводы. Так же использовали бумажные модели параллелограммов. Проведенная работа позволила нам сформулировать и свойства биссектрис параллелограмма, а затем и доказать их.

Свойства биссектрис параллелограмма.

1.Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2.Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны.

4.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны.

5.Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны.

6.Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение.

7.Биссектрисы соседних углов параллелограмма равны и параллельны.

8.Биссектрисы параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Доказательства этих свойств мы оформили в виде презентации, чтобы затем познакомить с ними других учащихся.

Заключение:

В процессе выполнения работы были:

1.Сформулированы и доказаны свойства биссектрисы параллелограмма.

2. Составлен ряд несложных заданий для устного решения, которые предложили своим одноклассникам.

3.Составлена тестовая работа по теме «Биссектрисы параллелограмма»;

4.Сделана подборка задач по данной теме из различных сборников для подготовки к экзаменам и сборников олимпиадных заданий.

Мы увидели необходимость применения этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе мы не только сами сформулировали, доказали свойства, но и попыталась применить их к решению задач. Я думаю, что на следующий год этот материал будет необходим нам при подготовке к экзамену по геометрии. Будем рады, если другие ребята воспользуются им.

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Определение. Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство. По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Теорема доказана.

Свойство 2. В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство.
Аналогично,

Теорема доказана.

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство.

Теорема доказана.

Свойство 4. Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. – вершину – два равнобедренных ?-ка).

Доказательство.

Теорема доказана.

Свойство 5. В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Доказательство.

Теорема доказана.

Свойство 6. Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Доказательство.

Теорема доказана.

Свойство 7. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Доказательство.

Теорема доказана.

Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G – точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H – точка пересечения окружности с построенным лучом

Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I – точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH – требуемый угол.
(
)

Свойство 1. Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Доказательство. Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.

Теорема доказана.

Свойство 2. Биссектриса – ГМТ равноудалённых от прилежащих сторон треугольника.

Свойство 3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной окружности треугольника. (Из предыдущего свойства)

Свойство 4. Биссектрисы делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне, считая от вершины.

Доказательство. Рассмотрим треугольник CBC1:

Теорема доказана.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *