Многочлен с целыми коэффициентами

Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами

Вопрос о нахождении рациональных корней многочлена f(x)Q (с рациональными коэффициентами) сводится к вопросу об отыскании рациональных корней многочленов k ∙ f(x)Z (с целыми коэффициентами). Здесь число k является наименьшим общим кратным знаменателей коэффициентов данного многочлена.

Необходимые, но не достаточные условия существования рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами дает следующая теорема.

Теорема 6.1 (о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами). Если –рациональный корень многочлена f(x) = an  xn+ + …+ a1  x + a0 с целыми коэффициентами, причем (p, q) = 1, то числитель дроби p является делителем свободного члена а0, а знаменатель q является делителем старшего коэффициента а0.

Теорема 6.2. Если Q (где (p, q) = 1) является рациональным корнем многочлена f(x) с целыми коэффициентами, то –целые числа.

Пример. Найти все рациональные корни многочлена

f(x) = 6 x4 + x3 + 2 x2 – 4 х+ 1.

1. По теореме 6.1: если –рациональный корень многочлена f(x), (где (p, q) = 1), то a0 = 1 p, an = 6 q. Поэтому p { 1}, q{1, 2, 3, 6}, значит,

2. Известно, что (следствие 5.3) число а является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) делится на (х – а).

Следовательно, для проверки того, являются ли числа 1 и –1 корнями многочлена f(x) можно воспользоваться схемой Горнера:

– 4

– 1

– 5

–11

f(1) = 60,f(–1) = 120, поэтому 1 и –1 не являются корнями многочленаf(x).

3. Чтобы отсеять часть оставшихся чисел , воспользуемся теоремой 6.2. Если выраженияилипринимает целые значения для соответствующих значений числителяp и знаменателя q, то в соответствующих клетках таблицы (см. ниже) будем писать букву “ц”, в противном случае – “др”.

=

ц

ц

ц

др

др

др

=

ц

ц

ц

ц

др

др

4. С помощью схемы Горнера проверяем, будут ли оставшиеся после отсеивания числа корнямиf(x). Вначале разделим f(x) на (х – ).

– 4

–2

В результате имеем: f(x) = (х – )(6 x3 + 4 x2 + 4 х – 2) и – кореньf(x). Частное q(x) = 6 x3 + 4 x2 + 4 х – 2 разделим на (х + ).

– 4

–2

–5

Так как q (–) = 30, то (–) не является корнем многочленаq(x), а значит и многочлена f(x).

Наконец, разделим многочлен q(x) = 6 x3 + 4 x2 + + 4 х – 2 на (х – ).

– 4

–3

Получили: q () = 0, т.е.– кореньq(x), а значит, – кореньf (x). Таким образом, многочлен f (x) имеет два рациональных корня: и.

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

В школьном курсе при решении некоторых типов задач на освобождение от иррациональности в знаменателе дроби достаточно домножить числитель и знаменатель дроби на число сопряженное знаменателю.

Примеры. 1. t = .

Здесь в знаменателе срабатывает формула сокращенного умножения (разность квадратов), что позволяет освободиться от иррациональности в знаменателе.

2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

t = . Выражение – неполный квадрат разности чисела = иb = 1. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения а3 – b3= (а + b) · (a2 – ab + b2), можно определить множитель m = (а + b) = + 1, на который следует домножать числитель и знаменатель дробиt, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби t. Таким образом,

t = .

В ситуациях, где формулы сокращенного умножения не работают, можно использовать другие приемы. Ниже будет сформулирована теорема, доказательство которой, в частности, позволяет найти алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби в более сложных ситуациях.

Определение 6.1. Число z называется алгебраическим над полем F, если существует многочлен f(x) F, корнем которого является z, в противном случае число z называется трансцендентным над полем F.

Определение 6.2. Степенью алгебраического над полем F числа z называется степень неприводимого над полем F многочлена p(x)F, корнем которого является число z.

Пример. Покажем, что число z = является алгебраическим над полемQ и найдем его степень.

единственным образом может быть представлено в виде:

t = сn-1 zn-1 + cn-2 zn-2 + … + c1 z + c0, ci F.

Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби продемонстрируем на конкретном примере.

Пример. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

t =

1. Знаменателем дроби является значение многочлена (х) = х2 – х +1 при х = . В предыдущем примере показано, что– алгебраическое число над полемQ степени 4, так как оно является корнем неприводимого над Q многочлена p(х) = х4 – 2.

2. Найдем линейное разложение НОД ((х), p(x)) с помощью алгоритма Евклида.

_ x4 – 2 | x2 – x + 1

x4– x3+ x2 x2 + x = q1(x)

_ x3– x2 – 2

x3– x2+ x

x2 – x + 1 | – x –2 = r1 (x)

x2 + 2x – x + 3 = q2(x)

_–3x + 1

–3x – 6

_ – x –2 |7 = r2

– x –2 -x — =q3(x)

Итак, НОД ((х), p(x)) = r2 = 7. Найдем его линейное разложение.

Запишем последовательность Евклида, пользуясь обозначениями многочленов.

p(x) = (x) · q1(x) + r1(x) r1(x) = p(x) – (x) · q1(x)

(x) = r1(x) · q2(x) + r2(x) r2(x) = (x) – r1(x) · q2(x)

r1(x) = r2(x) · q2(x).

(1 – +) · (–+ 2+ 3+ 1)] = 7 (1)

3. Из равенства (1) следует, что если знаменатель дроби t умножить на число m = , то получим 7. Таким образом,

t = =.

МЕТОДИКА 16. Тема урока: Стандартный вид многочлена

Класс: 7

Тип урока: урок проверки и контроля знаний и умений

Цели урока:

— проверить умения приводить многочлен к стандартному виду

— развивать у учащихся логическое мышление, внимание

— воспитывать самостоятельность

Структура урока:

  1. Организационный момент

  2. Инструктаж

  3. Самостоятельная работа.

Задания:

1. Дополните предложения:

а) Выражение, содержащее сумму одночленов называют …(многочленом).

б) Многочлен состоящий из стандартных одночленов и не содержащий подобных слагаемых называется … (стандартным многочленом).

в) Наибольшую из степеней одночленов входящих в многочлен стандартного вида называют … (степенью многочлена).

г) Прежде чем определить степень многочлена, нужно … (привести его к стандартному виду).

д) Для нахождения значения многочлена нужно сделать первое…(представить многочлен в стандартном виде), второе …(подставить значение переменной в данное выражение).

2. Найти значение многочлена:

а) 2a4-ab+2b2приa=-1, b=-0,5

Рациональные корни многочлена

Как мы уже отмечали, одной из важнейших задач в теории многочленов является задача отыскания их корней. Для решения этой задачи можно использовать метод подбора, т.е. брать наугад число и проверять, является ли оно корнем данного многочлена.

При этом можно довольно быстро «натолкнуться» на корень, а можно и никогда его не найти. Ведь проверить все числа невозможно, так как их бесконечно много.

Другое дело, если бы нам удалось сузить область поиска, например знать, что искомые корни находятся, скажем, среди тридцати указанных чисел. А для тридцати чисел можно и проверку сделать. В связи со всем сказанным выше важным и интересным представляется такое утверждение.

Если несократимая дробь l/m (l,m — целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого многочлена делится на m, а свободный член — на 1.

В самом деле, если f (x) =anxn+an-1xn-1+… +a1x+a0, an?0, где an, an-1,…,a1, a0 — целые числа, то f (l/m) =0, т.е.

аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+… +a1l/m+a0=0.

Умножим обе части этого равенства на mn. Получим

anln+an-1ln-1m+… +a1lmn-1+a0mn=0.

Отсюда следует

anln=m (-an-1ln-1-… — a1lmn-2-a0mn-1).

Видим, что целое число anln делится на m. Но l/m — несократимая дробь, т.е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа ln и m тоже взаимно просты. Итак, anln делится на m и m взаимно просты с ln, значит, an делится на m.

Доказанная тема позволяет значительно сузить область поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Продемонстрируем это на конкретном примере. Найдем рациональные корни многочлена f (x) =6×4+13×2-24×2-8x+8. Согласно теореме, рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида l/m, где l — делитель свободного члена a0=8, а m — делитель старшего коэффициента a4=6. при этом, если дробь l/m — отрицательная, то знак «-» будем относить к числителю. Например, — (1/3) = (-1) /3. Значит, мы можем сказать, что l — делитель числа 8, а m — положительный делитель числа 6.

Таким образом, мы имеем двадцать чисел — «кандидатов» в корни. Осталось только проверить каждое из них и отобрать те, которые действительно являются корнями. Но опять-таки придется сделать довольно много проверок. А вот следующая теорема упрощает эту работу.

Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то f (k) делится на l-km для любого целого числа k при условии, что l-km?0.

f (k) = ( (l/m) — k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0).

Умножим обе части последнего равенства на mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Итак рациональные корни нашего многочлена следует искать среди чисел ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Таким образом, довольно-таки простым приемом мы значительно сузили область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена. Ну, а для проверки оставшихся чисел применим схему Горнера:

Таблица 10.

Таблица 11.

Получили, что остаток при делении g (x) на x-2/3 равен — 80/9, т.е.2/3 не является корнем многочлена g (x), а значит, и f (x).

Итак, многочлен f (x) =6×4+13×3-24×2-8x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и — 2/3.

Напомним, что описанный выше метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный в примере многочлен имеет еще два корня: — 1±v5 (это корни многочлена х2+2х-4). А, вообще говоря, многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.

Теперь дадим несколько советов.

Таким образом, мы научились находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Оказывается, что тем самым мы научились находить иррациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами. В самом деле, если мы имеем, например, многочлен f (x) =x4+2/3×3+5/6×2+3/8x+2, то, приведя коэффициенты к общему знаменателю и внеся его за скобки, получим f (x) =1/24 (24×4+16×3-20×2+9x+48). Ясно, что корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена, стоящего в скобках, а у него коэффициенты — целые числа. Докажем, например, что sin100 — число иррациональное. Воспользуемся известной формулой sin3б=3sinб-4sin3б. Отсюда sin300=3sin100-4sin3100. Учитывая, что sin300=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8sin3100-6sin100+1=0. Следовательно, sin100 является корнем многочлена f (x) =8×3-6x+1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень sin100 не является рациональным числом, т.е. sin100 — число иррациональное.

Теорема о рациональных корнях многочлена

Если многочлен

с целыми коэффициентами имеет рациональный корень то число p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Доказательство

Пусть все коэффициенты многочлена являются целыми числами, и пусть целое число a является корнем этого многочлена. Так как в этом случае то отсюда следует, что коэффициент делится на a.

Замечание. Эта теорема фактически позволяет находить корни многочленов высших степеней в том случае, когда коэффициенты этих многочленов − целые числа, а корень − рациональное число. Теорему можно переформулировать так: если нам известно, что коэффициенты многочлена − целые числа, а корни его − рациональны, то эти рациональные корни могут быть только вида где p является делителем числа (свободного члена), а число q является делителем числа (старшего коэффициента).

Теорема о целых корнях,заключающая в себе

Если целое число α — корень многочлена с целыми коэффициентами, то α — делитель его свободного члена.

Доказательство. Пусть:

P (x)=a0xⁿ +a1xⁿ-1+…+an-1x +an

многочлен с целыми коэффициентами и целое число α −его корень.

Тогда по определению корня выполняется равенство P (α)=0;

a0 αⁿ+a1 αⁿ-1+…+an-1 α +an=0.

Вынося общий множитель α за скобки, получим равенство:

α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)+an=0, откуда

an= -α(a0 αⁿ-1 +a1 αⁿ-2 +…+an-1)

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.
На теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно выписать значения многочленов этих чисел.

2.Дополнительная теорема о целых корнях

Если целое число α−корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то α-1−делитель числа P(1), α+1−делитель числа P(-1)

Доказательство. Из тождества

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ-1+xⁿ-2y+…+ xyⁿ-2+yⁿ-1)
вытекает, что для целых чисел b и c число bⁿ-cⁿ делится на b∙c. Но для любого многочлена P разность

P (b)-P(c)= (a0bⁿ+a1bⁿ-1+…+an-1b+an)-(a0cⁿ+a1cⁿ-1+…+an-1c+an)=

Затем: при b = α , с=1, P (α)-P (1)= -P(1), а значит, P(1) делится на α-1. Аналогично рассматривается второй случай.

Схема Горнера

Теорема: Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0xn+a1xn−1+ +an−1x+an =0 c целыми коэффициентами, тогда число q является делителем старшего коэффициента a0, а число р является делителем свободного члена an.

Замечание 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Замечание 2.Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни, если они существуют — целые.

Корень многочлена. Корнем многочлена f(x)= a0xn+a1xn−1+ +an−1x+an является x = c , такое, что f(c)=0.

Деление многочлена на одночлен можно выполнить по схеме Горнера:

Если f(x)=a0xn+a1xn−1+ +an−1x+an, a0≠0, g(x)=x−c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид q(x)=b0xn−1+b1xn−2+ +bn−2x+bn−1, где b0=a0,

bk=c bk−1+ak, k=1, 2, ,n−1. Остаток rнаходится по формуле r=c bn−1+an

a0 a1 a2 an−1 an
x = c b0=a0 b1=c b0+a1 b2=c b1+a2 bn−1=c bn−2+an−1 r=c bn−1+an

В первой строке этой таблицы записывают коэффициенты многочлена f(х). Если какая-то степень переменной отсутствует, то в соответствующей клетке таблицы пишется 0. Всегда старший коэффициент частного равен старшему коэффициенту делимого b0=a0. Если x = c является корнем многочлена, то в последней клетке получается 0, т.е. остаток от деления будет равен нулю.

Пример.Решить уравнение x3−x2−8x+12=0

a0=1 a1=−1 a2=−8 a3=12
x = 1 -8 не корень
x = -1 -2 -6 не корень
x = 2 -6 корень

Решение:Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые корни уравнения надо искать среди делителей свободного члена: 1; 2; 3; 4; 6; 12. используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения:

Если один корень подобран по схеме Горнера. то можно дальше решать так x3−x2−8x+12=(x−2)(x2+x−6)=0 (x−2)2(x−3)=0 x=2;x=3

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Алгебраические и трансцендентные числа

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Алгебраические и трансцендентные числа

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, решим следующую задачу.

Задача. Найти все корни уравнения

2×3 + x2 – 5 x – 3 = 0,

являющиеся рациональными числами.

Решение. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

,

где m – число целое, а n – число натуральное, то выполняется равенство:

Умножая это равенство на n3, получаем равенство:

2m3 + m2n – 5 m n2 –
– 3n3 = 0.
(1)

Теперь преобразуем равенство (1):

Отсюда вытекает, что число 2m3 нацело делится на число n . А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа m и n не имеют общих простых делителей, то число n является делителем числа 2 . Таким образом, число n равно 1 или 2 .

Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:

Значит, число 3n3 нацело делится на число m . А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа m и n не имеют общих простых делителей, то число m является делителем числа 3. Таким образом, число m может быть равно: – 1, 1, – 3 или 3.

Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел m и n , получаем, что дробь

может принимать только следующие значения:

Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень, то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.

Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число .

Оставляя читателю проверку того, что другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число действительно является его корнем:

Ответ. Число является единственным рациональным корнем исходного уравнения.

Замечание. Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен

2×3 + x2 – 5 x – 3

на двучлен

В результате деления получится квадратный трехчлен

2×2 – 2x – 2 ,

после чего остается лишь решить квадратное уравнение:

x2 – x – 1 = 0 .

Теорема. Если рациональное число (несократимая дробь)

,

где m – число целое, а n – число натуральное, является корнем многочлена k -ой степени

a0 xk + a1 x k –1 + a2 x k –2 +
+ … +
+ ak –1 x + ak ,

все коэффициенты

a0 , a1 , a2 , … , ak –1 , ak ,

которого являются целыми числами, то числитель дроби m является делителем коэффициента ak , а знаменатель дроби n является делителем коэффициента a0 .

Коэффициент a0 называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент ak – свободным членом многочлена.

Алгебраические и трансцендентные числа

Определение. Действительное число называют действительным алгебраическим числом, если существует многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого это число является. Если же такой многочлен не существует, то указанное число называют действительным трансцендентным числом.

Замечание. Числа π и e – наиболее известные примеры действительных трансцендентных чисел.

Утверждение. Каждое рациональное число является алгебраическим числом.

Доказательство. Каждое рациональное число представимо в виде несократимой дроби

,

где m – число целое, а n – число натуральное. Но указанная дробь является корнем уравнения первой степени

Рациональное число (лат. ratio — отношение, деление, дробь) — число, представляемое обыкновенной дробью , числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число, к примеру ¼. Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые вещи (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что не удаётся обойтись целыми числами и необходимо ввести понятие доли: половины, трети и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел обозначается и может быть записано в таком виде:

При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, и , (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

Здесь — наибольший общий делитель чисел и .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа знаменатель , то является целым числом. Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Заметим, кстати, что ещё древние греки убедились в существовании чисел, не представимых в виде дроби (например, они доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2).

Терминология

Формальное определение

См. также: Кольцо частных

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар по отношению эквивалентности , если . При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

Связанные определения

См. также: Дробь (математика)

Правильные, неправильные и смешанные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанной дробью. Например, . Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике, избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна . Высота же соответствующего рационального числа равна , так как дробь сокращается на .

Термин дробное число (дробь) иногда используется как синоним к термину рациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае, дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.

Свойства

Основные свойства

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.

  1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел и существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два положительных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа и связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг неотрицательно, а — отрицательно, то . Суммирование дробей
  2. Операция сложения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило суммирования, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием. Правило суммирования имеет следующий вид: .
  3. Операция умножения. Для любых рациональных чисел и существует так называемое правило умножения, которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: .
  4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .
  5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
  6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
  7. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
  8. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
  9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
  10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
  11. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
  12. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
  13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
  14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
  15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
  16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

  • Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.
  • Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.
  • Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.
  • Множество рациональных чисел является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел ) относительно операций сложения и умножения дробей. — поле
  • В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа.
  • Каждое рациональное число является алгебраическим.

Счётность множества

Нумерация положительных рациональных чисел

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел. Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой -ой строке в каждом -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где — номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а — номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

  • Если текущее положение таково, что — нечётное, а , то следующим положением выбирается .
  • Если текущее положение таково, что , а — чётное, то следующим положением выбирается .
  • Если для текущего положения сумма индексов нечётна, то следующее положение — .
  • Если для текущего положения сумма индексов чётна, то следующее положение — .

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби ставится в соответствие число 1, дроби — число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Разумеется, существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, для этого можно воспользоваться такими структурами как дерево Калкина — Уилфа, дерево Штерна — Броко или ряд Фарея.

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

В геометрии следствием так называемой аксиомы Архимеда (в более общем понимании, чем упомянуто выше) является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это не верно.

Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , т. е. числу, квадрат которого равен 2.

Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число и такое натуральное число , что , причём дробь несократима, т. е. числа и — взаимно простые.

Если , то , т. е. . Следовательно, число чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число также чётно. А значит найдётся натуральное число , такое что число можно представить в виде . Квадрат числа в этом смысле , но с другой стороны , значит , или . Как уже показано ранее для числа , это значит, что число — чётно, как и . Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся пополам. Полученное противоречие доказывает, что не есть рациональное число.

Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к возможности расширения понятия рациональных чисел до вещественных.

См. также

Натуральные числа
Целые числа
Рациональные числа
Вещественные числа
Комплексные числа
Кватернионы
  • Дроби Фарея
  • Иррациональные числа
  • Непрерывная дробь

Примечания

Литература

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *