Определить перемещение свободного конца бруса

Расчетно-графическая работа. Растяжение и сжатие. Построение эпюр

РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

(построение эпюр N, σ и λ)

Последовательность решения задачи

1. Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и места изменения размеров поперечного сечения.

2. Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка по формуле

å Fi z = 0;

и построить эпюру продольных сил N. Проведя параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями.

3. Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков по формуле

i =

В пределах каждого участка напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

4. Перемещение свободного конца бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса

λ = å Δli,

вычисленных по формуле Гука

Δli =

Пример. Для данного ступенчатого бруса (рис.1) построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если Е = 2105МПа;

A1=1,9 см2; A2 = 3,1 см2;

F1 = 30 кН; F2 = 38 кН; F3 = 42 кН

Рис. 1 — Схема задачи

Решение:

1. Отмечаем участки, как показано на рис. 2

Рис. 2 — Схема участков

2. Определяем значения продольной силы N на участках бруса используя уравнение равновесия å Fi z = 0:

NI = 0;

NII = F1 = 30 кН;

NIII= F1 = 30 кН;

NIV = F1 – F2 = — 8 кН;

NV= F1 — F2 — F3 = — 50 кH

Строим эпюру продольных сил (рис. 3).

Рис. 3 — Эпюра продольных сил

3. Вычисляем значения нор­мальных напряжений:

I = = = 0 МПа

II = = = 158 МПа

III = = = 96,8 МПа

IV = = — = — 25,8 МПа

V = = — = — 163 МПа

Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 4).

Рис. 4 — Эпюра нормальных напряжений

4. Определяем перемещение свободного конца:

,

ΔlI =  = = 0 мм

ΔlII =  = = 0,394 мм

ΔlIII =  = = 0,0484 мм

ΔlIV =  = — = — 0,0516 мм

ΔlV =  = — = — 0,161 мм

λ = å Δli = 0 + 0,394 + 0,0484 — 0,0516 — 0,161 = 0,23 мм

Брус удлиняется на 0,23 мм.

Задача 5. Двухступенчатый стальной брус, длины ступеней которого указаны на рисунке 5, нагружен силами F1 и F2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв Е = 2  105 МПа.

Осевые размеры даны в мм.

Данные своего варианта взять из таблицы 1.

Таблица 1 — Исходные данные

Построение эпюр при растяжении и сжатии: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений для ступенчатого стержня (бруса)

Приветствую, друзья! Сегодня дебютирует наш курс – «сопромат для чайников», Вы находитесь на сайте проекта SoproMats, который связан с сопроматом и не только. На этой страничке будет выложен первый урок из заявленного экспресс курса, который связан с таким простейшим видом деформации как растяжение (сжатие). В частности, будем учиться строить эпюры для бруса (стержня), который загружен растягивающей и сжимающей силой. Как правило, такое домашнее задание, одним из первых, дают всем студентам, которые начинают знакомиться с сопроматом. После изучения материалов данного урока вы научитесь строить следующие эпюры: продольных сил, нормальных напряжений, относительных деформаций и осевых перемещений поперечных сечений. Не пугайтесь мудреных названий, на самом деле все эти эпюры строятся очень просто. Что же давайте приступим к изучению!

Построение эпюры продольных сил

Так как это курс для чайников, я многие моменты буду упрощать и рассказывать только самое основное, чтобы написанное здесь, было понятно даже самому неподготовленному студенту — заочнику. Если вы хотите более детально изучить рассматриваемые здесь вопросы, то могу предложить Вам другие материалы нашего сайта. Например, что касается данного блока статьи, то у нас есть материалы про продольную силу, где представлено полное досье на данный внутренний силовой фактор: что эта за сила, зачем нужна и т.д. Также есть отдельная статья по построению этой эпюры продольных сил, где я более подробно рассказываю о методике ее расчета и построения, а если точнее, то там рассмотрено целых 3 инструкции. Но если Вам некогда залазить в эти дебри, и хотите по-быстрому освоить продольную силу, то оставайтесь здесь, сейчас покажу как строится первая эпюра!

Кстати, вот объект нашего сегодняшнего исследования:

Чтобы построить эпюру продольных сил, нужно разбить наш брус на несколько участков, на которых эта эпюра будет иметь постоянное значение. Конкретно, для продольной эпюры, границами участков служат те точки, где прикладываются силы. То бишь, для нашего примера, нужно рассмотреть всего 2 участка:

Важно! На эпюру продольных сил, никак не влияет форма бруса, в отличие от других эпюр, которые будем дальше рассчитывать и строить.

На первом участке сила F1 растягивает брус на величину 5кН, поэтому на этом участке, продольная сила будет положительной и равной:

Откладываем это значение на графике. Эпюры в сопромате, принято штриховать перпендикулярно нулевой линии, а также для продольных сил, на эпюрах проставляются знаки:

На втором же участке, сила F2 сжимает брус, тем самым в уравнение продольных сил, она пойдет с минусом:

Откладываем полученное значение на эпюре:

Вот так, достаточно просто, строится эта эпюра!

Построение эпюры нормальных напряжений

Переходим к эпюре нормальных напряжений. В отличие от продольных сил, нормальные напряжения зависят от формы бурса, а если точнее, то от площади его поперечных сечений и вычисляются они, по следующей формуле:

То бишь, чтобы найти нормальное напряжение в любом сечении бруса, нужно: продольную силу в этом сечении разделить на его площадь.

Для того, чтобы построить эпюру нормальных напряжений, нужно рассчитать ее для любого сечения, каждого участка. В отличие, от продольной силы, здесь границами участков также служат места изменения геометрии бруса. Таким образом, для нашего подопытного бруса, нужно наметить три участка и вычислить напряжение, соответственно, 3 раза:

Зададим брусу на первом участке (I) площадь поперечного сечения A1=2 см2, а вторая ступень бруса, допустим, будет иметь площадь A2=4 см2 (II, III участки). В вашей домашней задаче, эти величины будут даны по условию. Также в задачах, часто, просят определить эти площади из условия прочности, с учетом допустимого напряжения, обязательно сделаю статью про это.

Вычисляем напряжения на каждом участке:

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений:

Построение эпюры перемещений

Самое время перейти к последней эпюре, которая называется эпюрой осевых перемещений поперечных сечений. Для краткости, ее еще называют просто эпюрой перемещений. Для расчета данного графика, пользуются следующей формулой:

Эта формула, является следствием закона Гука. Также ее можно записать как:

Сейчас покажу как ею пользоваться. Все характерные сечения бруса назовем буквами английского алфавита, чтобы потом в решении, было удобно ссылаться на них:

Традиционно расчет перемещений начинают с жестко защемленного торца. Так как сечение в заделке, не имеет возможности перемещаться, то и в решение записываем, что перемещение этого сечения равно нулю:

Далее, для построения эпюры нужно вычислить перемещения в характерных сечениях, которые находятся на границах участков (B, C и D). Этого будет достаточно, так как в пределах участков, эпюра будет меняться по линейному закону. Исключениями могут быть участки, на которых действует распределенная нагрузка, но это тема отдельной статьи.

Приступаем к расчету перемещения сечения B. По формуле, оно будет равно площади эпюры σ, на третьем участке, деленной на модуль упругости — E. При этом, обязательно, учитываем знак эпюры:

Для других сечений, перемещения будут вычисляться аналогичным образом:

ВАЖНО! Вы, наверное, заметили, что для каждого последующего сечения, в расчетах учитывается перемещение предыдущего. Это обязательно необходимо делать.

По полученным значениям, откладываем эпюру перемещений:

Вот так, достаточно просто можно построить эпюры для бруса, работающего на растяжение (сжатие). В рамках статьи, была рассмотрена достаточно простая расчетная схема, если Вы хотите развить свои навыки по построению эпюр, то приглашаю Вас на страничку про различные эпюры, где можно найти примеры расчета более сложных брусьев с распределенными нагрузками, где о каждой эпюре подготовлена отдельная статья.

Если Вам понравилась статья, расскажите о ней своим друзьям, подписывайтесь на наши социальные сети, где публикуется информация о новых статьях проекта. Также, там можно задать любой интересующий Вас вопрос о сопромате и не только.

Контрольная работа №2

Контрольная работа №2

ПО РАЗДЕЛУ «Сопротивление материалов»

Тема 2.2. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии

Знать порядок расчетов на прочность и жесткость, и расчетные формулы.

Уметь проводить проектировочные и проверочные расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Необходимые формулы

Нормальное напряжение:

где N — продольная сила; А — площадь поперечного сечения.

Удлинение (укорочение) бруса:

Е-модуль упругости; l — начальная длина стержня.

Допускаемое напряжение:

— допускаемый запас Прочность

Условие прочности при растяжении и сжатии:

Примеры расчетов на прочность и жесткость

Пример 1. Груз закреплен на стержнях и находится в равновесии (рис. П6.1). Материал стержней — сталь, допускаемое напряжение 160 МПа. Вес груза 100 кН. Длина стержней: первого — 2 м, второго — 1 м. Определить размеры поперечного сечения и удлинение стержней. Форма поперечного сечения — круг.



Решение

1. Определить нагрузку на стержни. Рассмотрим равновесие точки В, определим реакции стержней. По пятой аксиоме статистики (закону действия и противодействия) реакция стержня численно равна нагрузке на стержень.

Наносим реакции связей, действующих в точке В. Освобождаем точку В от связей (рис. П6.1).

Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей координат совпала с неизвестной силой (рис. П6.1б).

Составим систему уравнений равновесия для точки В:

Решаем систему уравнений и определяем реакции стержней.

Направление реакций выбрано, верно. Оба стержня сжаты. Нагрузки на стержни: F1 = 57,4 кН; Р2 = 115,5 кН.

2. Определяем потребную площадь поперечного сечения стержней из условий прочности.

Условие прочности на сжатие:

откуда

Стержень 1 (N1 = Рl):

Для круга

Полученные диаметры округляем.

3. Определяем удлинение стержней

Укорочение стержня 1:

Укорочение стержня 2:

Пример 2. Однородная жесткая плита с силой тяжести 10 кН, нагруженная силой F = 4,5кН и моментом т = 3КН’м, оперта в точке А и подвешена на стержне Ее (рис. П6.2). Подобрать сечение стержня в виде швеллера и определить его удлинение, если длина стержня 1 м, материал — сталь, предел текучести 570 МПа, запас прочности для материала 1,5.

Решение:

1. Определить усилие в стержне под действием внешних сил. Система находится в равновесии, можно использовать уравнение равновесия для плиты:

RB — реакция стержня реакции шарнира А не рассматриваем,

Откуда

По третьему закону динамики ре­ акция в стержне равна силе, действующей от стержня на плиту. Усилие в стержне равно 14кН.

2. По условию прочности определяем потребную величину площади попе речного сечения:

откуда

Допускаемое напряжение для материала стержня

Следовательно,

4. Определить удлинение стержня:



Задание 1. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами Р1, Р2; РЗ· Площади поперечных сечений А1 и А2.



Принять



ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Тема 2.2. Растяжение и сжатие.

Расчеты на прочность и жесткость.

Вопросы

Код

1. Определить максимальную продольную силу

110кН

в поперечном сечении бруса.

~

140 кН

160 кН

~

300 кН

2. Определить максимальное напряжение в

88 МПа

128 МПа

160 МПа

188 МПа

3. Проверить прочность бруса, изображенного в

и<

ив = 550 МПа; ит = 290 МПа;

и=

допускаемый запас прочности = 2.

и>

НЕТ ОТ

4. Груз подвешен на стержне 1 и находится

№6,5

допускаемое напряжение = 160 МПа.

№10

поперечного сечения — швеллер.

№12

№14

5. Определить удлинение стержня АВ. Усилие

1,07 мм

сталь, Е = 2· 105 МПа, сечение — круг

2,12 мм

0,1 мм

0,615 мм



Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений

Знать формулы моментов инерции простейших сечений, способы вычисления моментов инерции при параллельном переносе сей.

Уметь определять полярные и главные центральные моменты инерции для сечений, имеющих ось симметрии.

Моменты инерции простейших сечений.

Прямоугольник и квадрат

Осевые:

Jx — относительно оси хх

Jу — относительно оси уу

Полярный

Круг и кольцо



Осевые: - круг;

кольцо.

Полярный круг;

 -кольцо,

где d — диаметр круга и наружный диаметр кольца; d BH — внутренний диаметр кольца;

Моменты инерции относительно параллельных осей (рис. П7.3)

Где Jx — момент инерции относительно ХХ;

Jxo — момент инерции относительно Х0Х0; А — площадь сечения; а — расстояние между осями.

Рекомендации для решения задач.

1. Момент инерции сложной фигуры является суммой моментов инерции частей, на которые ее разбивают. Разбить заданную фигуру на простейшие части, для каждой определить главные центральные моменты инерции по известным формулам.

2. Моменты инерции вырезов и отверстий можно представить отрицательными величинами.

3. Заданные сечения симметричны, главные центральные ocи совпадают с осями симметрии составного сечения.

4. Моменты инерции частей, чьи главные центральные оси не совпадают с главными центральными осями сечения в целом, засчитывают с помощью формулы для моментов инерции относительно параллельных осей. Расстояние между параллельными осями: определить по чертежу.

5. При выполнении задания 2 главные центральные моменты инерции отдельных стандартных профилей определить по таблицам ГОСТ (Приложение 1).

Для использованных в составных сечениях полос моменты инерции определить по известной формуле для прямоугольника

Задание 2. Вычислить главные центральные моменты инерции сечений, представленных на схемах. При расчетах воспользоваться данными таблицы, выбрав необходимые величины.

Параметр

Вариант

d1, мм

d2, мм

h, мм

Ь, мм

а, мм

h1, мм

Ь1, мм

h2, мм

Рис

а

б

в

г

д

е

а

б

в

г

Параметр

Вариант

d1, мм

d2, мм

h, мм

Ь, мм

а, мм

h1, мм

Ь1, мм

h2, мм

Рис

д

е

д

е

г

а

б

в

г

д

Параметр

Вариант

d1, мм

d2, мм

h, мм

Ь, мм

а, мм

h1, мм

Ь1, мм

h2, мм

Рис

е

а

б

в

г

д

е

д

е

г

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений

Тема 2.5. Кручение. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения бруса, условия прочности и жесткости при кручении.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем, проводить проверку на жесткость.

Основные положения расчетов при кручении

Распределение касательных напряжений по сечению при кручении (рис. П8.1)

Касательное напряжение в точке А:

гдеА — расстояние от точки А до центра сечения.

Условие прочности при кручении

Мк — крутящий момент в сечении, Н м, Н мм;

Wp — момент сопротивления при кручении, м3, мм3

— допускаемое напряжение при кручении, Н/м2, Н/мм2.

Проектировочный расчет, определение размеров поперечного сечения

Сечение — круг:

Сечение — кольцо:



где d — наружный диаметр круглого сечения;

dви — внутренний диаметр кольцевого сечения;

Определение рационального расположения колес на валу

Рациональное расположение колес — расположение, при котором максимальное значение крутящего момента на валу — наименьшее из возможных.

Для экономии металла сечение бруса рекомендуется, выполнить кольцевым.

Условие жесткости при кручении

G — модуль упругости при сдвиге, H/M2, Н/мм2;

Е — модуль упругости при растяжении, Н/м2, Н/мм2.

0 — допускаемый угол закручивания,

Jp- полярный момент инерции в сечении, м4, мм4.

Проектировочный расчет, определение наружного диаметра сечения

круг;

кольцо;

Рекомендации по выполнению задания.

1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для предложенной в задании схемы.

2. Выбрать рациональное расположение колес на валу и дальнейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами.

3. Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полученных значений, округлив величину диаметра.

4. Сравнить затраты металла для случая круглого и кольцевого сечений. Сравнение провести по площадям поперечных сечений валов.

Площади валов рассчитать в наиболее нагруженном сечении (по максимальному крутящему моменту на эпюре моментов).

Задание 3.

Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов, соответствующих передаваемым мощностям, и уравновешенный момент.

Построить эпюру крутящих моментов по длине вала. Рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента на валу.

Поcтроить эпюру крутящих моментов для этого случая. Дальнейшие расчеты вести для вала с рациональным расположением шкивов.

Определить диаметры вала по сечениям из расчетов на прочность и жесткость. Полученный больший результат округлить до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа.

При расчете использовать следующие данные: вал вращается с угловой скоростью 25 рад/с; материал вала — сталь, допускаемое напряжение кручения 30 МПа, модуль упругости при сдвиге 8· 104 МПа допускаемый угол закручивания .

Провести расчет для вала кольцевого сечения, приняв с = 0,9.

Сделать выводы о целесообразности выполнения вала круглого или кольцевого сечения, сравнив площади поперечных сечений.



ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Тема 2.5. Кручение

Тема 2.6. Расчеты на прочность при изгибе

Знать распределение нормальных напряжений при чистом изгибе, расчетные формулы.

Уметь строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

Основные положения и расчетные формулы при изгибе

Распределение нормальных и касательных напряжений при изгибе

Wx — осевой момент сопротивления сечения; А — площадь сечения.

Условие прочности при изгибе

Знаки изгибающих моментов и поперечных сил.

Задание 4. Для изображенных балок построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Сечение балок — сдвоенный двутавр. Материал — сталь, допускаемое напряжение изгиба 160 МПа. Проверить прочность балок. В случае если прочность не обеспечена, подобрать сечение большего размера.

В вариантах 1-15 использовать двутавр №20.

В вариантах 16-20 — двутавр № 30

Форма поперечного сечения

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

Тема 2.6. Изгиб. Расчеты на прочность

Тема 2.7. Расчет бруса круглого поперечного сечения при сочетании основных деформаций

Уметь рассчитать брус круглого поперечного сечения на прочность при сочетании основных деформаций.

Основные положения и расчетные формулы

Геометрические характеристики круга и кольца

Круг (рис. ПI0.l) Кольцо (рис. П10.2)

Моменты сопротивления:



круг:

кольцо:

Площади сечений:



круг: кольцо:

Условие прочности при совместном действии изгиба и кручения:

Эквивалентные моменты:

— при расчете по гипотезе максимальных касательных напряжении:

- при расчете по энергетической гипотезе формоизменения:

Упражнение. В опасном сечении вала действуют изгибающие моменты Мх = 40 кН·м и Му = 50 кН·м и крутящий момент Мк = 100кН·м. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение. Определить потребные размеры вала круглого и кольцевого сечения при с=0,6. Расчет провести по теории максимальных касательных напряжений.

Порядок расчета:

1. Определить суммарный изгибающий момент в сечении.

2. Определить эквивалентный момент в сечении.

3. Из условия прочности определить потребный момент сопротивления с сечения.

4. Определить потребный диаметр вала круглого сечения.

5. Определить потребные внешний и внутренний диаметры кольцевого сечения.

6. Сравнить полученные результаты по полученным площадям поперечных сечений.

Задание 5.

Для промежуточного вала редуктора, передающего мощность Р при угловой скорости , определить вертикальную и горизонтальную составляющие реакций подшипников, построить эпюры крутящего момента и изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определить диаметры вала по сечениям, приняв и полагая. Расчет произвести по гипотезе максимальных касательных напряжений.

Параметр

Вариант

Р, кВт

w, рад/с

а, мм

d1, мм

d2, мм

Рис.

а

б

в

г

д

е

а

б

в

г

Параметр

Вариант

Р, кВт

w, рад/с

а, мм

d1, мм

d2, мм

Рис.

д

е

д

е

г

а

б

в

г

д

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *