Вывод формулы пуазейля

Формула Пуазейля

Если бы жидкость не обладала вязкостью, то для ее течения по горизонтальной трубе не требовалось бы прилагать никакую силу. Но вследствие вязкости течение любой реальной жидкости в трубе возможно лишь тогда, когда между концами трубы создана разность давлений.

Рис.3

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости внутри цилиндрической трубы с внутренним радиусом R (рис.3). Из симметрии ясно, что в трубе частицы текущей жидкости, равноудаленные от оси, имеют одинаковую скорость. Вследствие сил сцепления между молекулами жидкости и стенками трубы скорость жидкости у стенок равна нулю. Скорость каждого следующего слоя из-за вязкого трения между ними лишь немного больше, чем скорость предыдущего слоя. Для определения зависимости скорости от расстояния, отсчитываемого от оси трубы, выделим мысленно цилиндрический объем жидкости некоторого радиуса r и длины L (рис.4). На этот цилиндр за счет разности давлений на концах трубы DP = Р1 – Р2 действует сила

, (8)

где pr2 – площадь торца цилиндра.

Рис.4

Движение цилиндра жидкости тормозится силой вязкого трения между ним и прилегающим к нему слоем, величина силы определяется формулой (1), где в качестве S берется площадь боковой поверхности цилиндра :

, (9)

Так как жидкость движется равномерно, то силы, действующие на цилиндр взаимно компенсируются Fтр = F. Тогда с учетом (1) и (9) получим

(10)

Проинтегрировав это уравнение, найдем зависимость v (скорости слоев жидкости) от r (расстояния их от оси трубы), с учетом того, что v = 0 при r = R:

,

,

. (11)

Наибольшая скорость v достигается на оси трубы (r = 0), она пропорциональна квадрату радиуса трубы, а также градиенту давления .

Найдем объемную скорость жидкости Q. Поскольку скорость v в поперечном сечении непостоянна, разделим (рис.5) поперечное сечение трубы на узкие кольца шириной dr, вычислим объемную скорость жидкости для каждого из этих колец и просуммируем по всем кольцам, чтобы получить объемную скорость через все сечение трубы. Площадь узкого кольца на рис.5 равна произведению длины окружности 2pr на ширину dr:

Рис.5

Так как скорость жидкости v зависит только от r, в пределах одного кольца ее можно считать постоянной. Таким образом, объемная скорость жидкости, протекающей через узкое кольцо за 1 секунду, запишется в виде:

(12)

Подставляя уравнение (11) в (12) получаем

. (13)

Интегрируя по всему сечению, находим объемную скорость жидкости в трубе

или

(14)

Эта зависимость известна под названием формулы Пуазейля. Решим уравнение Пуазейля относительно :

(15)

и, обозначив сомножитель

, (16)

запишем

. (17)

При такой записи уравнение Пуазейля сходно с законом Ома:

. (18)

Разность давлений на концах сосуда аналогична напряжению U, объемная скорость кровотока Q — силе тока I, величина , называемая гемодинамическим сопротивлением – электрическому сопротивлению R.

Аналогия, существующая между законами Ома и Пуазейля, позволяет моделировать кровообращение при помощи электрических цепей. Электрическое моделирование сердечно-сосудистой системы применяется при создании аппаратов искусственного кровообращения, в протезировании сердца и других работах.

Анализ уравнения Пуазейля, записанного в форме (15), показывает, что кровяное давление зависит от объемной скорости кровотока и, следовательно, от массы циркулирующей крови и сократительной деятельности миокарда, определяющих эту скорость. Еще более выраженное влияние на динамику кровяного давления оказывает гемодинамическое сопротивление и, прежде всего, радиус сосуда. Согласно формуле Пуазейля, объемная скорость жидкости Q пропорциональна четвертой степени радиуса трубы R, таким образом, даже небольшое изменение радиуса трубы приводит к значительному изменению Q.

Пример зависимости Q = f (R4) можно найти в системе кровообращения человеческого организма. Поскольку формула Пуазейля справедлива лишь для течения несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью h, она не может в точности выполняться для крови. Тем не менее, в этом случае формула Пуазейля является достаточно хорошим приближением. Поток крови в организме регулируется крошечными мышцами, окружающими сосуды. При сокращении этих мышц диаметр сосуда уменьшается и поток, который в соответствии с формулой (14) пропорционален R4, резко сокращается уже при небольшом уменьшении радиуса. Таким образом, едва заметными сокращениями этих мышц очень точно контролируется поступление крови к различным органам. Однако, если вследствие атеросклероза (затвердевания стенок сосудов) и отложений холестерина радиус сосудов уменьшается, то для поддержания нормального кровотока требуется более высокий градиент давления. Если радиус сосудов уменьшится вдвое, то сердцу придется увеличить давление в 16 раз. В таких условиях сердце работает с перегрузкой, но, как правило, уже не может обеспечить требуемую величину потока, т.е. нормальное кровообращение.

Таким образом, повышенное артериальное давление указывает на то, что сердце работает с перегрузкой, и на то, что поток крови через артерии ниже нормы. Не случайно регуляция уровня кровяного давления в организме связана с влиянием, прежде всего, на гладко мышечную оболочку кровеносных сосудов в целях активного изменения их просвета. Сюда же направлены основные фармакологические средства нормализации кровяного давления.

Формула Пуазёйля

Формула Пуазёйля — это уравнение, выражающее прямую пропорциональность перепада давления вдоль трубки её длине, скорости потока через трубку, вязкости жидкости, и обратную пропорциональность этого перепада четвертой степени внутреннего радиуса при условии, что скорость потока, выраженного в единицах объема на единицу времени, постоянна, а трубка имеет жесткие стенки, круглое сечение и один диаметр.

.

Исторические сведения

Пуазёйль вначале внедрил U-образный ртутный манометр для измерения давления, который обладал высокой инертностью и измерял только среднее давление. Любопытно, что это привело его к мысли о том, что давление постоянно, когда кровь проходит крупные артерии. Он пишет так: «молекула крови движется под одинаковым давлением на протяжении всей артериальной системы». А наблюдение низкого давления в венах привело его к изучению тока жидкости в очень маленьких трубках, капиллярного размера, внутренним диаметром от 0,03 до 0,14 мм , так как он считал, что такие трубки оказывают наибольшее сопротивление.

Первоначальный вариант формулы

Результат экспериментов Пуазёйля выражается в этой формуле:

,

где Q — объем потока в единицу времени, P — давление, L — длина, D — внутренний диаметр трубки и К — константа. Поток (в единицах объема на единицу времени) возрастает пропорционально возрастанию градиента давления а также есть его степенной рост при росте диаметра трубки. Значение К было определено в различных условиях и показано, что оно падает с понижением температуры. Эта константа, несомненно, является мерой вязкости.

Уточненный вариант

В современном уравнении Пуазёйля,

полученном Видеманом и Хагенбахом (независимо друг от друга) добавлена μ, динамическая вязкость (в русском языке ее обозначают иногда не μ, а η), а вместо диаметра — радиус. Таким образом, коэффициент К равен числу π, деленному на 128 μ (учитывая то, что радиус в 4 степени равен диаметру в 4 степени, деленному на 16).

Вывод формулы Пуазёйля

Наиболее распространенный

Основное предположение, по существу, относится к частному случаю предположения Ньютона о вязкости (внутреннем трении). Рассмотрим трубку с постоянным внутренним радиусом R. Каждая частица жидкости движется параллельно оси трубки с постоянной скоростью V. Частицы, которые ближе к оси, движутся быстрее, чем частицы около стенки трубки, а те из них, которые движутся с одинаковой скоростью, симметрично расположены вокруг оси и образуют как бы цилиндрические пластины (можно их назвать вложенными трубками жидкости), и для каждой скорости свой радиус r. Таким образом вдоль радиуса имеется градиент скорости (dV / dr).

Рассмотрим цилиндрическую единицу жидкости с длиной L и радиусом r. Сила внутреннего трения (Fvisc), противодействующая его движению, пропорциональная площади поверхности, которой он соприкасается со следующим слоем (2πrL), сила также пропорциональна коэффициенту вязкости (μ) и скорости (dV / dr):

.

Разница сил давления, действующих на проксимальный и дистальный концы, имеющие площадь поперечного сечения πr2 :

.

Обе силы эквивалентны и противоположны, так что

,

или

.

Следовательно, градиент скорости равен

.

После интегрирования мы находим, что скорость на радиусе r равна

,

где С — коэффициент интегрирования. Чтобы ее определить, необходимо сделать дополнительное предположение о граничных условиях. Предположение сделанное Ньютоном: частицы слоя, контактирующего со стенкой трубки, не движутся; то есть, когда r = R, V = 0. Подставим эти значения в уравнение, и выведем из него константу интегрирования С:

,

откуда следует, что

,

или

Это уравнение параболы, где скорость V = 0 при r = R и максимальна при r = 0. Чтобы получить объем потока, необходимо определить объем параболоида, который имеет эту параболу в качестве своего профиля. То есть мы должны определить объем тела парабалоида вращения. Этот объем равен определённому интегралу по отрезку от 0 до R большое для 2πVr с элементом интегрирования r малое:

Теперь подставим сюда значение V из уравнения выше:

или

Эта формула широко известна как уравнение Пуазёйля.

Усреднённая скорость жидкости через трубку будет равна потоку Q, деленному на сечение, πr2. Поэтому из формулы Пуазёйля следует формула усреднённого объема:

Макисмальная скорость жидкости — по оси трубки. Находим ее значение из уравнение параболы (профиль параболоида), с учетом того, что r=0.

Cравнивая два последних уравнения, мы видим, что усредненная скорость равна ровно половине максимальной, осевой.

По Лэмбу

Другой метод вывода уравнения: по Лэмбу (1932). Он заключается в рассмотрении не цилиндрической единицы жидкости, а тонкой цилиндрической жидкой «оболочки» толщиной ∂r, внутренним радиусом r и длиной L; его ось совпадает с осью трубки, а скорость V везде параллельна оси и является функцией расстояния r от этой оси. В этом случае

,

а сила торможения записывается с учетом различия между двумя поверхностями, которые будут зависеть от изменения толщины, или

,

соответственно,

,

и после интегрирования

,

где А — постоянная интеграции. Поток симметричен по оси, поэтому ∂V / ∂r = 0 при r = 0; следовательно, A = 0 и

В качестве альтернативы Лэмб пишет решение уравнения как

и указывает, что, поскольку скорость жидкости должна быть конечной на оси, то мы должны иметь A = 0. А решение для B = 0 (нулевая скорость на стенке) такое же как для C в предыдущем методе вывода формулы.

Использование уравнений в других выводах

Уравнение эквивалентности и противоположности сил также может быть записано в форме

или

,

что используется в описании взаимоотношений пульсирующих давления и потока.

Применимость уравнения Пуазёйля к кровообращению

Применимость уравнения Пуазейля к кровообращению нужно рассмотривать с учётом того, что в методе, с помощью которого уравнение выводится теоретически, подразумевается ряд условий.

Так, есть условие, чтобы поток был ламинарным. При скоростях выше критических поток часто становится турбулентным, и это бывает в крупных артериях, где этот поток также и пульсирующий.

Отсутствие замедлений и ускорений потока это также одно из условий, для закона Пуазёйля. Если они есть, а это может быть при заметно пульсирующем потоке в самых крупных артериях, то это придает потоку еще и кинетическую энергию.

Одно из условий, это то, что трубка длиньше области, которая исследуется. Дело в том, что профиль скорости не сразу после входа в трубку становится параболоидальным. Есть понятие «входная дистанция» (inlet lenght), эта дистанция, которая нужна для того чтобы установился нужный профиль.

Следующее условие: поперечное сечение круглое и стенки параллельны. Оно тоже не всегда выполняется. Вены могут не иметь круглого поперечного сечения, а например, иметь эллиптическое. Артерии имеют круглое сечение, но сужаются к периферии и энергия давления преобразуется в кинетическую энергию согласно эффекту Бернулли.

Еще одно условие: труба жесткая и диаметр не изменяется под влиянием давления. Однако, здоровые артерии эластичны, а на давление реагирует гладкая мускулатура.

Наконец, нужно, чтобы соблюдалось условие однородности жидкости и постоянства ее вязкости. Это условие хорошо выполняется для кровотока в крупных артериях, когда они существенно превосходят размер эритроцитов и кровь ведет себя как Ньютоновская жидкость. Обнаружилось, что и в капиллярах закон Пуазёйля не всегда выполняется. Известен так называемый эффект Фарейес-Линквиста (Fåhræus–Lindqvist effect). Вязкость крови уменьшается с уменьшением диаметра сосуда. Но это выполняется при диаметре от 300 до 10 микрон. При таком диаметре эритроциты переходят в центр потока, а со стенками контактирует плазма.

Рекомендуемые источники

Примечания

См. также

  • История изучения кровотока в артериях
  • Вязкость крови
  • Уравнение Бернулли

Течение вязких жидкостей и газов в трубах.

При течении реальных жидкостей слои в этих жидкостях движутся с различными скоростями. Вблизи стенки канала (трубы), в котором течет жидкость, скорость течения намного меньше, чем вдали от нее. Из слоя газа с большой скоростью движения переносится импульс (ко­личество движения) к слою, движущемуся с меньшей скоростью. За счет передачи импульса от одного слоя к другому поперек движения скорость движения слоев уменьшается.

Рассмотрим течение жидкости вблизи плоской поверхности (рис.6.3). В направлении, перпендикулярном оси X, скорость движения во всех точках одинакова. Это значит, что скорость υявляется функцией только х. Как показывает опыт, импульс P, переносимый в единицу времени через единицу площади сечения, перпендику­лярного оси X, определяется уравнением

Рис. 6.3

, (6.10)

где — градиент скорости вдоль оси X, характеризующий быстроту изменения скорости вдоль этой оси (изменение скорости на каждую единицу длины). Знак минус означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости. Коэффициент h — коэффициент динамической вязкости, который зависит от свойств газа или жидкости.

Вязкость проявляется в том, что любой слой газа или жидкости, движущийся относительно соседнего, испытывает действие некоторой силы. Эта сила и представляет собой силу трения между слоями газа.Уравнение (6.10) следует поэтому записать в виде

, (6.11)

Выражение (6.11) — закон Ньютона для вязкого течения жидкости или газа.

Коэффициент динамической вязкости h согласно (6.11) численно равен силе трения между слоями площадью 1 м2 при величине гра­диента скорости (в направлении, перпендикулярном к слоям), равном единице (1 м/сек на 1 м длины). Размерность h в СИ = Па · с (паскаль-секунда).

В случае стационарного ламинарного течения жидкости по трубке небольшого радиуса R объем жидкости, протекший за секунду через сечение трубки прямо пропорционален разности давлений p1 и p2 у входа в трубку и на выходе из нее, четвертой степени радиуса R трубки и обратно пропорционален длине l трубки и коэффициенту вязкости h

, (6.12)

где Vсек – секундный расход жидкости. Соотношение (6.12) представляет собой формулу Пуазейля. Формула Пуазейля используется для определения коэффициента динамической вязкости сред η путем измерения объема V вытекающей жидкости за некоторое время t при заданном перепаде давлений. Этот метод называется вискозиметрическим.

Пример 6.2. Вывод формулы Пуазейля с помощью закона Ньютона для вязкого трения

Выделим объем жидкости или газа в виде цилиндра длиной l и радиусом r. При стационарном течении с постоянной скоростью сумма всех сил, действующих на выделенный объем, равна нулю. На данный объем действуют сила вязкого трения Fтр, , которая уравновешивается силой Fд, возникающей из-за перепада давления на длине трубки (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Сила Fтр, действует вдоль поверхности выделенного цилиндра с площадью S = 2plr и согласно закону Ньютона (6.11) равна

. (6.13)

равна

Так как Fтр,по модулю равна силе Fд, то приравнивая два последних выражения, получим

Разделяя переменные и интегрируя это уравнение, получим распределение скорости течения в радиальном направлении:

Постоянную С определим из условия равенства нулю скорости на стенке трубы:

С учетом последнего равенства:

Если вертикальный цилиндрический сосуд наполненный жидкостью равномерно вращать вокруг своей оси, то жидкость также приходит во вращение. Сначала начинают двигаться слои, находящиеся ближе к вертикальной поверхности сосуда. Затем вращение передается внутренним слоям. Вскоре жидкость начнет вращаться равномерно, как твердое тело. Это говорит о том, что существуют некие касательные силы между сосудом и жидкостью, а так же между слоями жидкости. Эти касательные силы называются силами трения – внутренними (между слоями жидкости) и внешними (между жидкостью и стенкой сосуда). Силы внутреннего трения – силы вязкости.

Рассмотрим две параллельные бесконечно длинные пластинки, между которыми находится слой жидкости. Пусть одна из пластинок движется с постоянной скоростью относительно другой. Необходимо все время прикладывать к движущейся пластинке силу для того, чтобы пластинка двигалась равномерно. Для того, чтобы вторая пластинка находилась в состоянии покоя, на нее должна действовать точно такая же сила, направленная в противоположную сторону . Модуль этой силы был установлен экспериментально:

,

где – расстояние между пластинками; – постоянная, называемая вязкостью жидкости. зависит от материала пластинок и имеет различные значения для различных жидкостей. Для конкретной жидкости зависит от различных параметров, характеризующих ее внутреннее состояние (в первую очередь от температуры).

Вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль прямолинейной цилиндрической трубы радиусом . Т.к. жидкость несжимаемая, она не меняет скорости тока вдоль трубы. Но она меняется в зависимости от , т.е. . Выделим в трубе бесконечно короткую цилиндрическую часть с радиусом и длиной . На ее боковую поверхность действует касательная сила вязкости . На

основание цилиндра действует сила разности давлений . Если движение стационарно, то сумма этих сил должна быть равна нулю, значит можно записать . Т.к. и вместе с ней не зависят от , то и должна быть постоянна и равняться , где – давление на входе трубы, – давление на выходе трубы, – длина трубы. Учитывая все вышеприведенное получаем . После интегрирования . , из условия, что при скорость движения жидкости равна нулю. В итоге получили . Из этого уравнения видно, что скорость максимальна на оси трубы. Там она достигает значения .

Найдем какой расход жидкости протекающей через сечение трубы. Масса жидкости проходящей каждую секунду через кольцевую площадку с внутренним радиусом и внешним будет равна . Подставляем выражение для скорости и интегрируем . Найдя интеграл, увидим, что –

формула Пуазейля.

Расход жидкости пропорционален разности давлений , четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален длине трубы и вязкости жидкости. Формула Пуазейля справедлива только для ламинарных течений. Ламинарное течение – такое течение, частицы жидкости в котором движутся вдоль прямолинейных траекторий, параллельных оси трубы.

Если имеет место механическое подобие двух систем, то зная картину течения для одной системы, можно однозначно предсказать течение жидкости и для другой. Пусть и – радиус-вектор и скорость жидкости в подобно расположенных точках, – характерный размер, – характерная скорость потока. Свойства жидкости характеризуется ее плотностью , вязкостью и сжимаемостью (иногда вместо сжимаемости используется скорость звука). Если существенна сила тяжести, то она характеризуется ускорением свободного падения . Если движение не стационарно, то следует ввести характерное время , за которое происходит заметное изменение течения. Из шести перечисленных выше величин можно составить шесть безразмерных комбинаций.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

Закон подобия течений ­– если для двух течений пять из шести безразмерных комбинаций совпадают, то будут совпадать и шестые. Такие течения называются механически или гидродинамически подобными.

– число Рейнольдса.

– число Фруд.

– число Маха.

– число Струхаля.

Число Рейнольдса – отношение кинетической энергии жидкости к потере ее, обусловленной работой сил вязкости на характерной длине.

Кинетическая энергия жидкости .

Сила вязкости – вязкое напряжение умноженная на характерную площадь , что дает . Если эту силу умножить на характерную длину, то можно определить по порядку величины работу сил вязкости . Тогда отношение кинетической энергии к работе будет , что и является числом Рейнольдса.

Таким образом, оно определяет относительную роль инерции и вязкости жидкости при течении. При больших числах Рейнольдса основную роль играет инерция при малых – вязкость.

ПУАЗЁЙЛЯ ЗАКОН

Смотреть что такое «ПУАЗЁЙЛЯ ЗАКОН» в других словарях:

  • Пуазёйля закон{:} — при течении вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке объём жидкости, протекающий через поперечное сечение трубки в 1 с, пропорционален разности давлений на единицу длины трубки и 4 й степени её диаметра и обратно пропорционален… … Энциклопедический словарь

  • ПУАЗЁЙЛЯ ЗАКОН — закон ламинарного течения вязкой жидкости в тонкой цилиндрич. трубке. Согласно П. з., объёмный расход жидкости сквозь поперечное сечение трубки О = ПИ*Дельта р*r4/8 nl, где r… … Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Пуазёйля закон — закон истечения жидкости через тонкую цлиндрическую трубку: объем Q жидкости, протекшей за секунду через поперечное сечение трубки, прямо пропорционально разности давлений ρ и ρ0 у входа в трубку и на выходе из нее и четвертой степени… … Большая советская энциклопедия

  • Закон Пуазёйля — (иногда закон Хагена Пуазёйля) это физический закон так называемого течения Пуазёйля, то есть установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в тонкой цилиндрической трубке. Закон установлен эмпирически в 1839 году Г. Хагеном, а в … Википедия

  • Течение Пуазёйля — Параболическое распределение скорости при течении Пуазейля. Пропеллеры показывают, что у этого течения ненулевая завихрённость. Течение Пуазёйля ламинарное течение жидкости через каналы в виде прямого кругового цилиндра или слоя между… … Википедия

  • Формула Пуазёйля — аналитическое выражение закона Пуазёйля (Хагена Пуазёйля): При установившемся ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу круглого сечения секундный объёмный расход прямо пропорционален перепаду давления на единицу … Википедия

  • Пуазёйль Жан Луи Мари — Пуазёйль, Пуазёй (Poiseuille) Жан Луи Мари (22.4.1799, Париж, 26.12.1869, там же), французский врач и физик, член Французской медицинской академии (с 1842). П. принадлежат работы по вопросам кровообращения и дыхания. Впервые применил (1828)… … Большая советская энциклопедия

  • Пуазёйль — Пуазёй (Poiseuille) Жан Луи Мари (22.4.1799, Париж, 26.12.1869, там же), французский врач и физик, член Французской медицинской академии (с 1842). П. принадлежат работы по вопросам кровообращения и дыхания. Впервые применил (1828) ртутный … Большая советская энциклопедия

  • Пуазёйль — Пуазёйль, Жан Луи Мари Жан Луи Мари Пуазёйль фр. Jean Louis Marie Poiseuille Дата рождения … Википедия

  • Пуазёйль Жан Луи Мари — Пуазёй (Poiseuille) (1799 1869), французский врач и физик. Труды по физиологии дыхания, динамике кровообращения. Первым применил (1828) ртутный манометр для измерения кровяного давления животных. Экспериментально установил закономерности… … Энциклопедический словарь

3. Формула пуазейля.

Данная формула связывает внутренние трение жидкости или газа стационарно текущих по трубе, с геометрическими размерами трубы и разностью давлений на ее концах, являющейся причиной движения жидкости или газа по трубе.

Для вывода формулы Пуазейля рассмотрим стационарное (ламинарное) течение вязкой жидкости или газа по трубе. Ламинарным называется такое течение жидкости или газа, при котором движущаяся среда как бы разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь. Турбулентным называется нестационарное течение, в котором скорость частиц в каждой точке пространства все время беспорядочно изменяется.

Мысленно выделим расположенный вдоль оси трубы цилиндр длиной и радиусом r (рис. 7а). Скорость жидкости или газа в разных точках сечения, трубы из-за присутствия силы внутреннего трения различна: она будет наибольшей на оси цилиндра и убывать по мере приближения слоев к стенкам цилиндра, поэтому изменение скорости можно характеризовать градиентом d /dr (рис. 7б). С внешней стороны на поверхность выделенного цилиндра действует сила вязкого трения, равная в соответствии с (15)

Fтр=,

где величина поверхности S равна боковой поверхности цилиндра, т.е 2pr тогда

Fтр = . (17)

Так как движение жидкости или газа происходит в разных местах трубы с постоянной для этого места скоростью, то сила Fтр должна быть уравновешена силой F давления, вызывающей движение жидкости или газа и создающей перепад давлений Dp = p1 — p2 на торцах выделенного цилиндра, причем эта сила из определения давления равна:

F =Dp S = Dp p r2. (18)

Из равенства выражений (17) и (18) следует, что

, или . (19)

Интегрируя (19), получаем

. (20)

Постоянная интегрирования С легко определяется из граничного условия: на стенке трубы (т.е. при r =R) скорость жидкости обращается в нуль =0 . Отсюда, С принимает значение

. (21)

С учетом ( 21) выражение (20) принимает вид:

. (22)

Из (22) видно, что скорости по сечению трубы меняются по квадратичному (параболическому) закону от нуля у стенок до максимальной скорости на оси трубы (рис. 7б)

Скорость течения жидкости или газа по трубе можно связать с количеством жидкости или газа, протекающих через все сечение трубы. Для этого разобьем сечение трубы на тонкие кольца радиуса r и шириной dr (рис.7в). Через площадь такого кольца dS = 2 p r dr за время dt протекает объем жидкости dV = dSd = 2prdr dt, а объем dQ, протекающий через эту элементарную площадку в единицу времени, будет равен:

dQ= . (23)

Подставив в (23) выражение для скорости (22), получим

dQ = . (24)

Интегрируя (24) в пределах от r = 0 до r = R, получим поток Q , т.е. объем жидкости или, газа протекающих через поперечное сечение трубы радиуса R в единицу времени:

Уравнение (25) называют формулой Пуазейля. Из нее следует, что поток сильно зависит от радиуса трубы, пропорционален перепаду давления на единице длины трубы и обратно пропорционален коэффициенту вязкости жидкости h . Формулу Пуазейля используют для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q и по полученным данным вычисляют h.

За любое время t через поперечное сечение трубы пройдет объем жидкости или газа V, равный

V = = . ( 26)

Величины, входящие в формулу (26) позволяют очень просто по скорости истечения жидкости или газа измерять коэффициент вязкости h. Формулы (25) и (26) справедливы для ламинарного течения жидкости или газа и небольших давлений по сравнению с атмосферным. Для создания значительного перепада давлений Dp при небольших значениях давлений p1 и p2 удобно пользоваться трубкой с малым поперечным сечением, т.е. капилляром.

О характере течения жидкости или газа мощно судить по значе­нию числа Рейнольдса:

, (27)

которое является безразмерным числом, показывающим отношение кинетической энергии элемента движущихся жидкости или газа к работеА сил вязкого трения, т.е. характеризует относительную роль сил вязкости. Можно доказать, что с учетом течения жидкости или газа (22) и (26)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *