Выяснить взаимное расположение прямых

Содержание

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Прямые, находящиеся в одной плоскости, будут либо пересекающимися, либо параллельными. Выясним условия, при которых прямые соответствуют тому или иному случаю, определим угол между прямыми, координаты точки пересечения, если таковая имеется.

Пусть две прямые заданы уравнениями

, . (4.1)

Поскольку угловой коэффициент определяет наклон прямой к оси абсцисс, то очевидно, что равные углы наклона соответствуют параллельным прямым. Поэтому условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями (4.1) является равенство их угловых коэффициентов

. (4.2)

Если , то угол между прямыми (4.1) определяется известной тригонометрической формулой тангенса разности двух углов , которое в случае прямых принимает вид

. (4.3)

Если прямые (4.1) перпендикулярны, т.е. , то

− (4.4)

условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые заданы общими уравнениями

, , (4.5)

то указанные выше условия будут выглядеть так:

условие параллельности ; (4.6)

условие перпендикулярности ; (4.7)

угол между прямыми . (4.8)

Условие (4.9)

определяет совпадающие прямые.

Точка пересечения двух прямых (4.5) есть общая точка этих прямых. Координаты этой точки должны одновременно удовлетворять уравнениям обеих прямых, т.е. системе

. (4.10)

Решая эту систему, находим координаты искомой точки.

Замечание. Для определения угла между прямыми, удобнее переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 1. Напишите уравнение медианы АМ треугольника АВС, если заданы координаты его вершин А(-5;4), В(3;1), С(2;-5).

Пример 2. Напишите уравнение прямой , проходящей через точку М(7;4) параллельно прямой .

Решение. Первый способ. Согласно формуле (3.5), уравнение любой прямой, проходящей через точку М, может быть записано в виде . Поскольку искомая прямая должна быть параллельна прямой , то их угловые коэффициенты совпадают. Запишем в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом , откуда . Следовательно, искомая прямая имеет уравнение или .

Второй способ. Будем искать уравнение прямой в виде . Поскольку прямая проходит чрез точку М(7;4), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению. И можно записать . Данная прямая параллельна прямой , для которой , . Подставив эти значения в предыдущее уравнение, получим , . Окончательно запишем, что уравнение искомой прямой имеет вид .

Замечание. Если дано общее уравнение прямой , то уравнение параллельной прямой, проходящей через заданную точку х1, у1, имеет вид

. (4.11)

Пример 3. Проверить, принадлежит ли точка М(2;-4) прямой .

Решение. Подставим координаты точки М в левую часть уравнения прямой . Поскольку левая часть не равна правой: , то точка М не принадлежит прямой .

Пример 4. На прямой найти точку, у которой ордината .

Решение. Подставив в уравнение прямой значение найдем абсциссу : ; . Искомая точка .

Пример 5. Найти координаты вершин параллелограмма , если известны координаты вершины , а также уравнение сторон : и : .

Решение. Решая эту задачу, необязательно (и даже не нужно) рисовать данные в условии прямые и точки в декартовых координатах. Достаточно (для себя) нарисовать произвольный параллелограмм, чтобы определиться с расположением вершин и сторон (рис. 6). Окончательный чертеж можно выполнить после получения решения.

Поскольку , то, используя условие параллельности двух прямых (4.11), можно записать , − уравнение прямой DC. Прямая AD, заданная уравнением , параллельна оси ОХ . И поскольку точка принадлежит прямой ВС, то уравнение полностью определяет эту прямую. Теперь, когда известны уравнения всех сторон параллелограмма, его вершины найдем из решения систем вида (4.10). Точка А − пересечение прямых АВ и AD:

Точка В − пересечение прямых АВ и ВС:

Точка − пересечение прямых AD и DC:

Ответ: координаты точек , , .

Пример 6. Найти уравнение прямой , проходящей через точку М(1;1), перпендикулярно прямой .

Решение. Перепишем уравнение в виде . Таким образом, угловой коэффициент данной прямой . Если прямая, проходящая через точку М, перпендикулярна данной, то их угловые коэффициенты связаны соотношением (4.4): , откуда . В соответствии с формулой (3.5), можно записать уравнение искомой прямой , проходящей через точку М(1;1) перпендикулярно прямой или ; .

Ответ: уравнение прямой .

Пример 6.1. Найти расстояние от точки М(1;1) до прямой .

Решение. Расстоянием d от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую. Поэтому сначала запишем уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. Эта часть задания нами уже выполнена в примере 6, поэтому воспользуемся готовым результатом и запишем, что нужная нам прямая имеет уравнение . Найдем точку А пересечения прямых и , решая систему ; ; . Расстояние между точками А и М вычислим по формуле (2.1): .

Ответ: расстояние от точки М до прямой d=1.

Замечание. Можно вывести формулу расстояния от точки до прямой в общем случае, используя рассуждения примера 6.1. Тогда получим формулу

, (4.12)

определяющую расстояние от точки до прямой. Вместо слов «расстояние от точки до прямой» иногда используют выражение «отклонение точки от прямой».

Пример 7. Через точку провести прямую под углом к прямой .

Решение. Обозначим прямую как , а искомую прямую, проходящую через точку М, как . Уравнение прямой, проходящей через точку М, имеет вид (см. формулу (3.5)): или . Здесь − угловой коэффициент прямой . Записав уравнение прямой в виде , найдем ее угловой коэффициент . Поскольку известен угол между прямыми, то согласно формуле (4.3) ; ; ; . Теперь окончательно запишем уравнение искомой прямой или .

Пример 8. Даны две вершины треугольника и . Его высоты пересекаются в точке . Определить координаты третьей вершины треугольника .

Решение. Для удобства рекомендуется нарисовать произвольный треугольник АВС (рис. 7).

Пусть AD, BF и CK – высоты треугольника АВС, N – точка пересечения высот. В связи с этим AN и AD определяют одну и ту же прямую. Аналогично для пар BN и BF, а также CN и CK. Согласно формуле (3.1) уравнение прямой BN (или, что то же самое, прямой BF: ; ; ; − прямая BF. Аналогично, уравнение прямой AN (или AD): ; − прямая AD.

Запишем уравнение стороны ВС как уравнение прямой, проходящей через точку В, перпендикулярно прямой AD. Поскольку AD определяется уравнением y=const, то перпендикулярная ей прямая ВС будет иметь уравнение x=const. А так как эта прямая проходит через точку В, то абсцисса точки В и определит уравнение ВС: х=6.

Уравнение стороны АС запишем как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BF, согласно формулам (4.4) и (3.5). Так как угловой коэффициент BF известен: , то угловой коэффициент АС – это , поэтому уравнение АС: ; − уравнение АС.

Точка С теперь может быть найдена как пересечение прямых ВС
и АС: ; ; .

Ответ: С(6;-6).

Прямая в пространстве – необходимые сведения.

Прямая, плоскость, их уравнения


В этой статье мы разберемся с понятием прямой линии в трехмерном пространстве, рассмотрим варианты взаимного расположения прямых и остановимся на основных способах задания прямой в пространстве. Для лучшего представления приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.


Прямая в пространстве – понятие.

В разделе прямая на плоскости мы дали представление о точке и прямой на плоскости. Прямую линию в пространстве следует представлять абсолютно аналогично: мысленно отмечаем две точки в пространстве и проводим с помощью линейки линию от одной точки до другой и за пределы точек в бесконечность.

Все обозначения точек, прямых и отрезков в пространстве аналогичны случаю на плоскости.

Вообще, прямая линия целиком принадлежит некоторой плоскости в пространстве. Это утверждение вытекает из аксиом:

  • через две точки проходит единственная прямая;
  • если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Существует еще одна аксиома, которая позволяет рассматривать прямую в пространстве как пересечение двух плоскостей: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Взаимное расположение прямых в пространстве.


Перейдем к вариантам взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Во-первых, две прямые могут совпадать, то есть, иметь бесконечно много общих точек (по крайней мере две общие точки).

Во-вторых, две прямые в пространстве могут пересекаться, то есть, иметь одну общую точку. В этом случае эти две прямые лежат в некоторой плоскости трехмерного пространства. Если две прямые в пространстве пересекаются, то мы приходим к понятию угла между пересекающимися прямыми.

В-третьих, две прямые в пространстве могут быть параллельными. В этом случае они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Рекомендуем к изучению статью параллельные прямые, параллельность прямых.

После того как мы дали определение параллельных прямых в пространстве, следует сказать о направляющих векторах прямой линии в силу их важности. Любой ненулевой вектор, лежащий на этой прямой или на прямой, которая параллельна данной, будем называть направляющим вектором прямой. Направляющий вектор прямой очень часто используется при решении задач, связанных с прямой линией в пространстве.

Наконец, две прямые в трехмерном пространстве могут быть скрещивающимися. Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Такое взаимное расположение двух прямых в пространстве приводит нас к понятию угла между скрещивающимися прямыми.

Особое практическое значение имеет случай, когда угол между пересекающимися или скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен девяноста градусам. Такие прямые называют перпендикулярными (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

Способы задания прямой в пространстве.

Существует несколько способов, позволяющих однозначно определить прямую линию в пространстве. Перечислим основные из них.

Мы знаем из аксиомы, что через две точки проходит прямая, причем только одна. Таким образом, если мы отметим две точки в пространстве, то это позволит однозначно определить прямую линию, проходящую через них.

Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и задана прямая с помощью указания координат двух ее точек, то мы имеем возможность составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Второй способ задания прямой в пространстве основан на теореме: через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и причем только одна.

Таким образом, если задать прямую (или отрезок этой прямой) и не лежащую на ней точку, то мы однозначно определим прямую, параллельную заданной и проходящей через данную точку.

Рекомендуем также ознакомиться со статьей уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

Можно указать точку, через которую проходит прямая и ее направляющий вектор. Это также позволит однозначно определить прямую.

Если прямая задана таким способом относительно зафиксированной прямоугольной системы координат, то мы можем сразу записать ее канонические уравнения прямой в пространстве и параметрические уравнения прямой в пространстве.

Следующий способ задания прямой в пространстве основан на аксиоме стереометрии: если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Таким образом, задав две пересекающиеся плоскости, мы однозначно определим прямую в пространстве.

Смотрите также статью уравнения прямой в пространстве — уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Еще один способ задания прямой в пространстве следует из теоремы (ее доказательство Вы можете найти в книгах, указанных в конце этой статьи): если задана плоскость и не лежащая в ней точка, то существует единственная прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к заданной плоскости.

Таким образом, чтобы определить прямую, можно задать плоскость, которой искомая прямая перпендикулярна, и точку, через которую эта прямая проходит.

Если прямая задана таким способом относительно введенной прямоугольной системы координат, то будет полезно владеть материалом статьи уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости.

Список литературы.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Базовый уровень

Варианты взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве

Мы выделили базовые объекты стереометрии – точку, прямую, плоскость.

Точка может принадлежать прямой или плоскости, а может не принадлежать (см. рис. 1). Здесь все интуитивно понятно.

Рис. 1. Точка принадлежит прямой , точка не принадлежит прямой

Поговорим о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Рассмотрим две прямые. На плоскости у нас было всего два варианта – прямые пересекаются или не пересекаются (параллельны) (см. рис. 2).

Рис. 2. Пересекающиеся прямые и , параллельные прямые и

Эти два варианта останутся и в пространстве, если прямые лежат в одной плоскости. Но две прямые могут и не лежать в одной плоскости.

Рассмотрим прямую и произвольную точку, которая на ней не лежит. Как мы уже знаем, они задают плоскость. Понятно, что мы можем провести через точку множество прямых, не принадлежащих данной плоскости (см. рис. 3).

Рис. 3. Через точку плоскости можно провести множество прямых, не принадлежащих данной плоскости

Понятно, что все такие прямые не могут пересекать исходную прямую (иначе бы они имели две общие точки с плоскостью, а значит, принадлежали бы ей).

Кроме того, легко доказать, что любая из этих прямых не может лежать с исходной в одной плоскости. Действительно, если бы это было так, то через прямую и не лежащую на ней точку мы бы провели две различные плоскости, что противоречит теореме, которую мы доказали на предыдущем уроке.

Итак, получаем три возможных варианта взаимного расположения прямых в пространстве.

1. Пересекающиеся прямые: понятно, что они лежат в одной плоскости (см. рис. 4).

Рис. 4. Пересекающиеся прямые

2. Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, но не пересекаются (см. рис. 5).

Рис. 5. Параллельные прямые

Рис. 6. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые мы часто встречаем в жизни. Обратите внимание, что по рисунку обычно нельзя понять – скрещиваются прямые или пересекаются (см. рис. 7).

Рис. 7. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые

Когда мы смотрим на следы от самолетов в небе, то может казаться, что их траектории пересеклись (см. рис. 8), хотя они могли лететь на разных эшелонах (разной высоте) (см. рис. 9) и их следы были частью скрещивающихся, а не пересекающихся прямых.

Рис. 8. Следы от самолетов в небе

Рис. 9. Самолеты летят на разной высоте

А вот траектории двух кораблей (если предположить, что они движутся по прямой) обязательно пересекутся (ведь корабли движутся на одной «высоте», то есть, грубо говоря, по плоскости) (см. рис. 10). Но это не приводит к столкновениям, так как в роли третьей координаты (компоненты) выступает время – в точке пересечения корабли оказываются в разное время.

Рис. 10. Пересечение траекторий кораблей

Наконец, еще один пример – провода в электрической схеме. Если они пересекаются, значит, в этой точке есть контакт (см. рис. 11). А как быть, если провода не соприкасаются? Для этого придумали специальное обозначение (см. рис. 12). Оно показывает, что в данном случае электрические провода – скрещивающиеся прямые и не лежат в одной плоскости.

Рис. 11. В точке есть контакт

Рис. 12. Нет контакта (провода не соприкасаются)

Мы уже знаем, что плоскость можно задать парой пересекающихся прямых. Можно добавить теперь еще способ – пара параллельных прямых также однозначно задает плоскость (см. рис. 13).

Рис. 13. Пара параллельных прямых однозначно задает плоскость

Если рассмотреть две случайные прямые в пространстве, то вероятность того, что они окажутся в одной плоскости, равна нулю. То есть они наверняка будут скрещивающимися. Если мы все-таки потребуем, чтобы они были в одной плоскости, то они окажутся пересекающимися. Параллельность же будет самым маловероятным событием.

Перейдем к взаимному расположению прямой и плоскости. В планиметрии такого вопроса не существовало. Плоскость была всего одна, и все прямые лежали в этой плоскости.

В стереометрии мы сформулировали аксиому: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

То есть прямая может полностью принадлежать плоскости. Если же она ей не принадлежит, то у нее не может быть больше одной общей точки с этой плоскостью.

Получаем еще два варианта расположения: прямая пересекает плоскость в одной точке или у прямой и плоскости нет общих точек. Здесь уже скрещиваемости быть не может: плоскость делит пространство на две части, и не пересекающая ее прямая должна лежать только в одной из этих частей, так что интуитивно ясно, что в этом случае прямая параллельна плоскости (см. рис. 14).

Рис. 14. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве

Каждому варианту соответствует свое определение.

Прямая лежит в плоскости, если все ее точки принадлежат плоскости (см. рис. 15).

Рис. 15. Прямая лежит в плоскости

Прямая пересекает плоскость, если только одна точка прямой принадлежит плоскости (см. рис. 16).

Рис. 16. Прямая пересекает плоскость в точке

Прямая параллельна плоскости, если ни одна точка прямой не принадлежит прямой (см. рис. 17).

Рис. 17. Прямая параллельна плоскости

При переходе от планиметрии к стереометрии мы часто указываем на объекты, которые являются аналогами. Например, круг и шар – это аналогичные фигуры. Круг можно назвать двумерным шаром. У них идентичные определения с оговоркой на количество измерений.

Аналогом прямой на плоскости является плоскость в пространстве. Почему так, понять не сложно: у пространства – 3 измерения, у плоскости – 2, у прямой – 1. Получается, что у прямой на плоскости на 1 измерение меньше, чем у самой плоскости. Аналогично у плоскости в пространстве.

Такие объекты называют гиперплоскостями (прямая – гиперплоскость для плоскости, плоскость – гиперплоскость для пространства). Но для нас это не так важно.

Мы воспользуемся этой аналогией для определения возможного взаимного расположения двух плоскостей в пространстве. Вспомним, что две прямые на плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными.

Аналогично плоскости в пространстве могут или пересекаться, или быть параллельными (см. рис. 18). Параллельными плоскости мы будем называть, если они не имеют общих точек.

Рис. 18. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Признаки параллельности прямых и плоскостей

Рассмотрим несколько важных утверждений, которые следуют из рассмотренных ранее аксиом и определений.

В планиметрии была теорема о трех параллельных прямых: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу. Такое свойство объектов называют транзитивностью, вспомним из алгебры:

Транзитивностью обладает и параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Так, если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу:

Это утверждение можно использовать в качестве признака параллельности прямых.

Чтобы доказать эту теорему, нам понадобится вспомогательная теорема (лемма).

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к лемме

Хоть это утверждение и кажется очевидным, но, так как оно не является аксиомой, его нужно строго доказать. Доказательство можно посмотреть ниже.

Доказательство леммы

Пусть прямые и параллельны и пересекает плоскость в точке (см. рис. 20). Докажем, что прямая тоже пересекает плоскость .

Рис. 20. Иллюстрация к доказательству

Так как прямые параллельны, то существует плоскость , в которой они обе лежат. Точка принадлежит обеим плоскостям. Следовательно, плоскости пересекаются, причем по некоторой прямой , проходящей через точку (см. рис. 21).

Рис. 21. Иллюстрация к доказательству

Так как эта прямая лежит в обеих плоскостях, то в плоскости лежат все три прямые , , . Так как через точку не могут проходить две параллельные прямые для , то пересекает в некоторой точке . Но тогда – общая точка и для прямой , и для плоскости .

Получается, что прямая или пересекает плоскость , или лежит в ней. Но лежать в плоскости они не может, иначе бы она лежала в обеих плоскостях, а такая прямая у нас уже есть – это . Таким образом, остается только один вариант: пересекает плоскость .

Доказано.

Доказательство теоремы о транзитивности параллельных прямых

Пусть .Чтобы показать, что они параллельны друг другу, нужно показать, что они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Отметим точку на прямой и проведем через прямую и эту точку плоскость (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к доказательству

Покажем, что прямая лежит в этой плоскости. Если бы прямая пересекала плоскость , то, по лемме о параллельных, прямая тоже пересекала бы эту плоскость, а вслед за ней и прямая по той же лемме. Но лежит в плоскости, а не пересекает ее. Следовательно, не пересекает плоскость . А так как она имеет с ней общую точку , значит, она лежит в плоскости .

Итак, прямые и лежат в одной плоскости. Могут ли они пересекаться? Если бы такое случилось, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, обе параллельные , что невозможно. Следовательно, они не пересекаются, а значит, параллельны.

Доказано.

Сформулированная нами лемма позволяет доказать признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Доказать это утверждение легко.Если прямая параллельна прямой , которая лежит в плоскости , то а не может пересекать , иначе, по лемме о параллельных, обязана тоже пересекать , чего быть не может. Следовательно, прямая параллельна .

Верно и обратное утверждение.

Если прямая параллельна плоскости, то в плоскости есть прямые, ей параллельные.

Доказательство

Построить такую прямую легко. В самом деле, пусть прямая параллельна плоскости (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к доказательству

Проведем через нее плоскость , которая пересекает плоскость по прямой (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к доказательству

Прямые и будут параллельны. В противном случае они бы пересеклись, так как лежат в одной плоскости . Но тогда бы прямая пересекла плоскость , а она ей параллельна.

Понятно, что таких прямых в плоскости бесконечно много. Чтобы их получить, нужно чуть-чуть повернуть плоскость вокруг прямой . Или просто построить любую прямую в плоскости , которая параллельна прямой .

Доказано.

Теперь мы можем получить еще один признак параллельности прямой и плоскости: если прямая параллельна плоскости, то все прямые, параллельные данной прямой, либо параллельны плоскости, либо лежат в ней (см. рис. 25).

Понятно, почему так. Если бы какая-то прямая пересекла плоскость, то все ей параллельные прямые тоже должны были бы это сделать по лемме о параллельных прямых, включая и исходную прямую, чего быть не может.

Рис. 25. Иллюстрация к признаку параллельности прямой и плоскости

Решение задач

Рассмотрим несколько практических задач.

Пример 1.

Сторона треугольника параллельна плоскости , а его стороны пересекают плоскость в точках и . Доказать, что треугольники и подобны (см. рис. 43).

Рис. 43. Иллюстрация к примеру 1

Доказательство

Для начала отметим, что оба треугольника лежат в одной плоскости треугольника .

Далее плоскость треугольника проходит через прямую , параллельную плоскости и пересекает плоскость по прямой , значит, прямые и параллельны.

Задача свелась к планиметрической: в треугольнике отрезок параллелен основанию . Осталось доказать подобие треугольников и . Это сделать легко:

(соответственные при параллельных прямых и ) (см. рис. 44).

Рис. 44. Иллюстрация к примеру 1

Треугольники, у которых два угла попарно равны, подобны по признаку подобия.

Доказано.

Пример 2.

Дан тетраэдр. На серединах его ребер построен четырехугольник. Определить его тип (см. рис. 45).

Рис. 45. Иллюстрация к примеру 2

Решение

Начнем с того, что четырехугольник в пространстве не обязан быть плоским, т. е. его вершины могут не лежать в одной плоскости. Неплоский четырехугольник легко получить из плоского, немного согнув его по диагонали. Каков же наш четырехугольник?

Рассмотрим грань . Она является треугольником, а в нем – средняя линия, которая параллельная основанию . Рассмотрим грань . В этом треугольнике средняя линия тоже параллельна основанию . Следовательно, параллелен .

Но тогда через эти два отрезка можно провести единственную плоскость. И все четыре вершины окажутся в этой плоскости. Итак, наш четырехугольник оказался плоским и у него есть пара параллельных сторон и .

Но аналогично , так как они параллельны каждый.

Итак, в четырехугольнике противоположные стороны оказались попарно параллельны. Он параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

Скрещивающиеся прямые

Пока мы больше говорили о параллельных и пересекающихся прямых. Поговорим немного о скрещивающихся прямых. Для них есть простой и удобный признак.

Теорема

Если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то прямые скрещиваются (см. рис. 46).

Рис. 46. Иллюстрация к теореме

Для доказательства нужно показать, что данные прямые не лежат в одной плоскости.

Доказательство

Итак, предположим, что существует плоскость, в которой лежат обе прямые (см. рис. 47).

Рис. 47. Иллюстрация к доказательству

Тогда эта плоскость проходит через прямую и точку , т. е. совпадает с первой плоскостью, а значит, и прямая лежит в плоскости, которую она должна на самом деле пересекать. Получили противоречие. Таким образом, прямые не могут лежать в одной плоскости, т. е. они скрещиваются.

Доказано.

Через одну из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй скрещивающейся прямой, и притом только одну (см. рис. 48).

Рис. 48. Иллюстрация к теореме

Доказательство

В самом деле, пусть есть две скрещивающихся прямые и . Через точку проходит единственная прямая , параллельная прямой (см. рис. 49).

Рис. 49. Иллюстрация к доказательству

Две пересекающиеся прямые задают плоскость. Так как , лежащей в этой плоскости, то . Итак, мы построили плоскость, проходящую через и параллельную .

Почему она единственная? Любая другая плоскость, проходящая через будет пересекаться прямой , но тогда, по лемме о параллельных, она будет пересекаться и прямой .

Через прямую тоже проходит плоскость, параллельная прямой . Нетрудно увидеть, что эти плоскости будут параллельны друг другу.

Докажем этот факт от противного. Проведем через плоскость, параллельную (см. рис. 50).

Рис. 50. Иллюстрация к доказательству

Если предположить, что она пересечет первую плоскость, то у них будет общая прямая. Это прямая не может пересекать , иначе плоскость будет иметь общую точку с , а ведь она ей параллельна. Кроме того, эта прямая параллельна самой прямой , а следовательно, и . Т. е. эта прямая параллельна обеим пересекающимся прямым, чего не может быть.

Таким образом, через каждую из двух скрещивающихся прямых проходят плоскости, параллельные друг другу.

Доказано.

Пример 3.

В параллелепипеде через скрещивающиеся прямые и проходит пара параллельных плоскостей – левая и правая грани (см. рис. 51).

Рис. 51. Иллюстрация к примеру 3

Возьмите в руки два карандаша и расположите их параллельно. Легко видеть, какую плоскость они задают. Если вы совсем немного повернете один карандаш, но не в их общей плоскости, то карандаши станут скрещивающимися (см. рис. 52). При этом они еще очень близки к параллельности. Поворачивая карандаш еще, мы все дальше будем уходить от параллельности.

Рис. 52. Скрещивающиеся карандаши

Таким образом, возникает вопрос об угле между скрещивающимися прямыми. Чтобы дать ему формальное определение, воспользуемся равенством углов с сонаправленными сторонами.

Пусть стороны двух углов попарно параллельны и сонаправлены. Тогда эти углы равны (см. рис. 53).

Рис. 54. Иллюстрация к теореме

С доказательством этой теоремы вы можете ознакомиться ниже.

Доказательство теоремы

Каждая пара сонаправленных лучей задает плоскость.

Эти плоскости имеют две общие точки и – вершины углов, а значит, они пересекаются по прямой (см. рис. 55).

Рис. 55. Иллюстрация к доказательству

Отложим на соответствующих лучах равные отрезки:

Получили два четырехугольника в каждой плоскости, которые являются параллелограммами, так как у них две противоположные стороны равны и параллельны.

Тогда , и равны и параллельны. Тогда четырехугольник тоже параллелограмм. Тогда треугольники и равны, следовательно, .

Вспомним, что в планиметрии для двух пересекающихся прямых меньший из полученных углов считается углом между прямыми. Т. е. угол между ними не больше . Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Теперь перейдем к разговору, что такое угол между скрещивающимися прямыми.

Выберем произвольную точку . Она может лежать на одной из прямых или нет.

Проведем через эту точку две прямые, параллельные, соответственно, одной и второй из скрещивающихся прямых. Угол между этими пересекающимися прямыми назовем углом между скрещивающимися прямыми (см. рис. 56).

Рис. 56. Угол между скрещивающимися прямыми

Если точку брать на одной из скрещивающихся прямых, то дополнительно строить придется только одну прямую. Понятно, что, если точки выбирать в других местах, мы будем получать равные углы, потому что у них будут сонаправлены стороны.

Пример 4.

Угол между скрещивающимися прямыми и в параллелепипеде равен углу между прямыми и . Если параллелепипед прямоугольный, то угол между скрещивающимися ребрами равен (см. рис. 57).

Рис. 57. Иллюстрация к примеру 4

Список литературы

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru
  2. Интернет-портал mathematics.ru
  3. Интернет-портал resolventa.ru

Тема 2. «Параллельность прямых. Взаимное расположение прямых в пространстве».

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

a || b (прямая а параллельна прямой b)
прямая с и прямая а не параллельны
прямая с и прямая b не параллельны

рис. 8

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Ma
b||а и Мb (b — единственная)

рис. 9

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

отрезок СD || отрезку АВ

рис. 10

Свойства параллельных прямых

Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

рис. 11

Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

рис. 12

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

рис. 13 a
b = K
Ka
=> a и b — скрещивающиеся прямые.

Выводы:

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

Замечания:

Взаимное расположение прямых в пространстве.
Задачи с прямой в пространстве

Данная статья – это вторая часть урока Уравнения в прямой пространстве. Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =)

Едем дальше:

Взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые пространства могут:

1) скрещиваться;

2) пересекаться в точке ;

3) быть параллельными ;

4) совпадать.

Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости. Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости.

Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве?

Рассмотрим две прямые пространства:

– прямую , заданную точкой и направляющим вектором ;
– прямую , заданную точкой и направляющим вектором .

Для лучшего понимания выполним схематический чертёж:
На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые.

Как разобраться с этими прямыми?

Так как известны точки , то легко найти вектор .

Если прямые скрещиваются, то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов будет отлично от нуля: .

В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны, а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: .

Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают.

Если направляющие векторы не коллинеарны, то прямые пересекаются. Как проверить два вектора на коллинеарность, подробно рассмотрено в той же статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Если направляющие векторы коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны.

Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают:

Пример 11

Выяснить взаимное расположение двух прямых

Решение: как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам:

1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы:

2) Найдём вектор:

3) Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность.

Составим систему из соответствующих координат данных векторов:

Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны.

Вывод: прямые параллельны либо совпадают.

5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой :

Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными.

Ответ:

Интересный пример для самостоятельного решения:

Пример 12

Выяснить взаимное расположение прямых

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр.

И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны 😉

Задачи с прямой в пространстве

В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно.

Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами:

Пример 13

Даны прямые . Требуется:

а) доказать, что прямые скрещиваются;

б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым;

в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых;

г) найти расстояние между прямыми.

Решение: Дорогу осилит идущий:

а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых:

Найдём вектор:

Вычислим смешанное произведение векторов:

Таким образом, векторы не компланарны, а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать.

Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего.

б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку и перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж:
Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё.

Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка . Не хватает направляющего вектора.

По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым , а значит, её направляющий вектор будет ортогонален направляющим векторам . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём векторное произведение:

Составим уравнения прямой «дэ» по точке и направляющему вектору :

Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но необходимости в этом нет никакой.

Для проверки необходимо подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два».

Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр?

в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь.

Итак, требуется найти уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых.

Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых – это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым:

Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок.

Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор , найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой.

Решение оформим по пунктам:

1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:

Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через . Тогда координаты точки запишутся в виде:

Или:

Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных.

2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде:

Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям:

Или:

3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников. Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Есть две точки: .

Находим вектор:

4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

Или покоординатно:

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера. Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение:

Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность.

5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки:

Направляющий вектор особо не нужен, так как уже найден его коллега .

После длинного пути всегда интересно выполнить проверку.

Подставим координаты точки в уравнения :
Получены верные равенства.

Подставим координаты точки в уравнения :
Получены верные равенства.

6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой по точке (можно взять ) и направляющему вектору :

В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика.

Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми?

г) Срубаем четвёртую голову дракона.

Способ первый. Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: .

Крайние точки общего перпендикуляра найдены в предыдущем пункте, и задача элементарна:

Способ второй. На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр.

В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми:
(вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых).

Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: .

Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: , вычислим его длину:

Таким образом:

Гордо выложим трофеи в один ряд:

Ответ:
а) , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать;
б) ;
в) ;
г)

Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе:

Пересекающиеся прямые в пространстве

Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости:

Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения . И сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас!

Как найти точку пересечения пространственных прямых?

Пример 14

Найти точку пересечения прямых

Решение: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме:
Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать.

Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.

Точка пересечения прямых принадлежит прямой , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра :

Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно:

Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения:

Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса, но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение:

Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда:

Подставим найденное значение параметра в уравнения:

Ответ:

Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения:
Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых.

Кстати, можно было поступить наоборот: точку найти через «эс нулевое», а проверить – через «тэ нулевое».

Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами.

Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной?

(прямые пересекаются)

Пример 15

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки до прямой .

Примечание: оговорка «прямые пересекаются» – существенна. Через точку
можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»).

а) Решение: Неизвестную прямую обозначим через . Выполним схематический чертёж:

Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, необходимо найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор , им и займемся. Точнее, возьмём за шкирку неизвестный конец вектора.

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра:

Или одной строкой:

Тогда:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю:

Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной:

3) Значение параметра известно, найдём точку:

И направляющий вектор:
.

4) Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :

Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2:

Ответ:

Примечание: более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор , естественно, тоже будет направляющим вектором данной прямой.
Проверка состоит из двух этапов:

1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность;

2) подставляем координаты точки в уравнения каждой прямой, они должны «подходить» и там и там.

О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике.

Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости. Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате.

Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?

б) Решение: Найдём расстояние от точки до прямой .

Способ первый. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра : . Решение очевидно: если известны точки , то:

Способ второй. В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой.

Расстояние от точки до прямой выражается формулой:
, где – направляющий вектор прямой «эль», а – произвольная точка, принадлежащая данной прямой.

Решаем:

1) Из уравнений прямой достаём направляющий вектор и самую доступную точку .

2) Точка известна из условия, заточим вектор:

3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину:

4) Рассчитаем длину направляющего вектора:

5) Таким образом, расстояние от точки до прямой:

Ответ:

После разобранной задачи вам не составит труда разобраться в следующем примере:

Пример 16

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти высоту и её длину.

Это пример для самостоятельного решения. Не забывайте выполнять схематические чертёжи! Полное решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа рассмотрим угол:

Как найти угол между прямыми в пространстве?

Рисунка приводить не буду, думаю, всем понятно, что это за угол.

Понятие угла в пространстве определено не только для пересекающихся прямых, но и для скрещивающихся прямых. Угол «альфа» между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. А формула едина и хорошо вам знакома:

, где – направляющие векторы двух пересекающихся либо скрещивающихся пространственных прямых.

В частности, если , то прямые перпендикулярны.

Приведённая формула может дать любой угол от 0 до 180 градусов включительно, и многие авторитетные авторы учебников по геометрии углом между пространственными прямыми называют каждый из 4 углов. Однако на практике, как и в случае угла между «плоскими» прямыми, от вас, скорее всего, потребуют острый угол (что, в общем-то, логично). Поэтому если вы получили по формуле тупой угол, например, 120 градусов, то от греха подальше, внесите дополнение, что угол между прямыми равен: 180 – 120 = 60 градусов

В примерах особого смысла нет, сильно сомневаюсь, что кто-то неправильно найдёт направляющие векторы пространственных прямых по их уравнениям. А практические задачи на применение самой формулы можно посмотреть, например, в статье Скалярное произведение векторов.

Скоро-скоро грядут задачи на плоскость и прямую в пространстве, поэтому немного освежаем материал об уравнении плоскости. В контексте параграфа полезен следующий вопрос: определяют ли две пересекающиеся прямые плоскость в пространстве? Да, конечно, если даны две пересекающиеся прямые, то они однозначно определят плоскость, в которой лежат. Уравнение данной плоскости можно составить по двум направляющим векторам и какой-нибудь точке, принадлежащей любой из прямых.

Параллельные прямые в пространстве

Параллельные прямые пространства, как и пересекающиеся прямые тоже лежат в одной плоскости:

Что сразу можно сказать? Они не пересекаются, и у них один и тот же направляющий вектор.

В начале этой статьи я зарубил четырёхглавого дракона, ловите мой меч-кладенец, вас поджидает стандартный шестиглазый зверь:

Пример 17

Дана прямая . Требуется:

а) построить прямую , параллельную данной и проходящую через точку

б) будут ли параллельные прямые однозначно определять плоскость в пространстве? Если да, то составить уравнение данной плоскости;

в) найти расстояние между параллельными прямыми.

Постарайтесь самостоятельно, не заглядывая в образец решения, выполнить предложенные задания.

Вот, пожалуй, и все основные задачи с пространственными прямыми. После изучения уравнения плоскости и уравнений прямой в пространстве, можно приступить к рассмотрению задач на прямую и плоскость, они вряд ли покажутся вам сложнее.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 12: Решение:
1) Находим направляющие векторы и точки, принадлежащие данным прямым. Для нахождения точек удобно использовать нулевые значения параметров :
2) Найдём вектор:
3) Вычислим смешанное произведение векторов:
Таким образом, прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.
4) Исследуем направляющие векторы на коллинеарность:
, следовательно, направляющие векторы не коллинеарны, и прямые пересекаются.
Ответ:

Пример 16: Решение: 1) Выполним схематический чертёж:
2) Найдём вектор .
3) Запишем параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
4) Точка , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой: .
5) Найдём вектор .
6) Так как – высота треугольника, то и:
7) Найдём точку:
Точка совпала с точкой , значит, высота совпадает со стороной , и треугольник является прямоугольным.
8) Найдём вектор .
9) Составим уравнения высоты (катета ) по точке и направляющему вектору :
10) Найдём длину высоты как длину вектора :
Ответ:

Пример 17: Решение:
а) Из уравнений прямой найдём её направляющий вектор: . Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
б) Да, две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, в которой они лежат.
Точка принадлежит первой прямой.
Найдём вектор:
Уравнение искомой плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам :
в) Расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой: (формула из Примера № 15).

Таким образом:
Ответ:
а)
б) да,

в)

Емелин Александр

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *