Определить реакции опор составной конструкции

Определение реакций опор составной конструкции – решение задачи

Порядок решения задач

Для определения реакций опор составной конструкции, мы мысленно разбираем конструкцию на отдельные элементы, каждый из которых является твердым телом. Вместо связей в опорах и точках соединений составных элементов прикладываем силы реакций. Вид сил реакций зависит от крепления опоры или точки соединения тел. Для каждого тела, входящего в конструкцию, мы составляем уравнения равновесия. В результате получаем систему уравнений. Если задача является статически определимой, то эта система имеет единственное решение. Если задача не является статически определимой, то система уравнений имеет бесконечно много решений. Выбрать единственное решение, методами статики, нельзя. Это можно сделать методами сопротивления материалов.

При составлении уравнений равновесия стоит заметить, что иногда целесообразно составлять уравнения для всей конструкции в целом, или к группе ее элементов, рассматривая их как единое целое.

Силы, возникающие в точках соприкосновения частей конструкции, связаны между собой законом равенства действия и противодействия:
Сила, с которой первое тело действует на второе, равна по абсолютной величине и противоположна по направлению силе, с которой второе тело действует на первое.

Методы определения реакций опор твердых тел рассмотрены на странице
«Определение реакций опор твердого тела».

Далее рассмотрен пример решения задачи на определение реакций опор составной конструкции.

Пример решения задачи на определение реакций опор составной конструкции


Составная конструкция.

Для составной конструкции, изображенной на рисунке, определить реакции опор в шарнирах A и B, а также реакции в скользящей заделке C. Расстояния указаны в метрах.

Дано:
P1 = 5 kН; P2 = 7 kН; M = 22 kН·м; q = 2 kН/м; α = 60°.

Решение задачи

Равновесие стержня CB

Мысленно разъединим конструкцию. Рассмотрим равновесие стержня CB. Проводим систему координат Axyz с началом в точке A. Ось Az перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас.


Реакции опор, поддерживающие равновесие правой части конструкции.

Соединение в точке C является скользящей заделкой. Заменим это соединение силами реакций. Разложим их на две составляющие: на силу , параллельную оси y; и на момент (пару сил) MC. Их направления выбираем произвольно. Если мы не угадаем с направлением, то значение соответствующей реакции будет иметь отрицательное значение.

Шарнирную опору в точке B заменим силами реакций и , параллельными осям координат.

Рассмотрим геометрию системы. Из прямоугольного треугольника OBC имеем:
м;
м;
;
.
Здесь β – угол между стержнем CB и вертикалью CO. Поскольку , то угол между направлением силы и горизонталью также равен β.

Составляем уравнения равновесия. Сумма проекций сил на ось x равна нулю.
;
;
;
(П1) .

Сумма проекций сил на ось y равна нулю.
;
;
;
(П2) .

Составляем уравнение для моментов. Возьмем ось Bz′, проходящую через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
;
(П3.1) .

Вычисляем моменты сил. Ось Bz′ направлена на нас. По правилу правого винта, положительным направлением моментов сил является направление против часовой стрелки.
Силы реакций пересекают ось Bz′. Поэтому их моменты равны нулю.
Плечом силы является отрезок OB. Тогда
.
Поскольку , то отрезок DB является плечом силы . Момент этой силы:
.

Подставим в (П3.1):
;
(П3) .

Равновесие конструкции в целом

Рассмотрим равновесие всей конструкции в целом. Шарнирную опору в точке A заменим силами реакций и , параллельными осям координат.


Реакции опор, поддерживающие равновесие всей конструкции.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
kН.
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры – в точке L, посередине отрезка KA:
|KL| = |LA| = 2 м.

Силы и разложим на составляющие вдоль осей координат:
; ;
; ;
; .

Составляем уравнения равновесия. Сумма проекций сил, действующих на всю конструкцию, на ось x равна нулю.
;
;
;
(П4) .

Сумма проекций сил на ось y равна нулю.
;
;
;
(П5) .

Сумма моментов сил относительно оси z, проходящей через точку A перпендикулярно плоскости рисунка, равна нулю:
;
(П6.1)
.

Вычисляем моменты сил. Силы реакций и пересекают ось Az. Поэтому их моменты равны нулю.
Момент от некоторой силы относительно оси Az равен произведению плеча силы на абсолютное значение этой силы, взятое с соответствующим знаком. Если сила направлена в положительном направлении (против часовой стрелки), то знак момента положительный. В противном случае – отрицательный. Чтобы найти плечо, через вектор силы проводим прямую. Длина перпендикуляра, опущенного из точки A на эту прямую равна плечу силы относительно оси Az.

В результате уравнение (П6.1) принимает вид:
;
(П6)
.

Решение уравнений равновесия

Решение системы уравнений оказалось простым во многом благодаря тому, что мы подходящим образом выбрали оси, относительно которых вычисляли моменты. А также за счет того, что мы удачно выбрали части конструкции, для которых составляли уравнения (правую часть и всю конструкцию в целом). Можно составить уравнения равновесия и другими способами. Например, можно составить уравнения равновесия для левой и правой частей конструкции и выбрать другие оси для вычисления моментов. Если бы мы сделали это неудачно, то нам пришлось бы решать систему из шести линейных уравнений с шестью неизвестными другим способом, например, методом Крамера. Количество вычислений было бы больше, но в результате мы все равно получили бы одни и те же значения сил реакций.

Проверка правильности решения

Сделаем проверку правильности решения задачи. Для этого рассмотрим равновесие левой части конструкции.


Реакции опор, поддерживающие равновесие левой части конструкции.

По закону равенства действия и противодействия, в скользящей заделке C, на раму действуют сила и момент MC. Их направления противоположны силе и моменту, действующих в точке C на правую часть конструкции, а абсолютные значения равны.

Через точку V проведем ось Vz′′, перпендикулярно плоскости рисунка. Если мы определили значения реакций правильно, то сумма моментов сил относительно этой оси должна равняться нулю:
.

Все правильно.

Ответ

Определение реакций опор составной конструкции

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7

Конструкция состоит из двух тел, соединённых с помощью шарнира C. Исходные данные берутся из таблицы.

Требуется определить реакции опор и шарнирного соединения.

Исходные данные

Вариант а м l м h м F кН M кНм q кН/м
1,4 3,2 2,0 2,2
Исходная схема Расчётная схема
Рис. 1 Рис. 2

Решение

Исходная схема (рис. 1) соответствует составной конструкции из двух тел, соединённых шарниром в точке С.

Обозначим опоры A, B, точку D. Проведём координатные оси x и y. Шарнирно-неподвижные опоры являются внешними связями, в которых возникают по две реакции. Изобразим расчётную схему. В соответствии с принципом освобождаемости отбросим шарнирно-неподвижные опоры, и в местах их расположения приложим опорные реакции XA, YA, XB, YB (рис. 2). Образовалась изменяемая система, части которой могут поворачиваться, например, вокруг шарнира С. Однако на основании принципа отвердевания можно считать шарнир абсолютно твёрдым телом, к которому приложены заданные внешние силы и реакции связей.

Внешние силы и опорные реакции образуют плоскую систему, для которой можно составить три уравнения равновесия. Между тем в них будут содержаться четыре неизвестные опорные реакции. Таким образом, условия равновесия, будучи необходимыми, не являются достаточными для определения неизвестных. Выход состоит в том, чтобы расчленить систему на две части, и для каждой из них составлять уравнения равновесия. При этом необходимо добиваться, чтобы количество уравнений соответствовало количеству неизвестных.

Сначала проведём некоторые предварительные вычисления. В предстоящих выкладках удобно вместо распределённой нагрузки q иметь эквивалентную ей сосредоточенную силу Q

= 2,2 ∙ 2,0 = 4,4 кН.

Составление некоторых уравнений равновесия существенно упростится, если разложить силу F на вертикальную и горизонтальную составляющие:

Наметим на рис. 2 угол α и установим его величину:

Теперь разделим рассматриваемое тело на две части: левую (рис. 3) и правую (рис. 4). В середине участка AD вместо распределённой нагрузки q отметим сосредоточенную силу Q. Вместо внешней силы F укажем их составляющие FХ, FУ; обозначенные размеры заменим их численными значениями; покажем реакции XС и YС в точке С. В последнем случае силы XС и YС, приложенные к различным частям, попарно равны по модулю, действуют вдоль одной прямой и противоположны по направлению.

Рис. 3 Рис. 4

Далее задача состоит в том, чтобы найти шесть неизвестных опорных реакций: XA, YA, XB, YB, XC, YC. Силы, приложенные к каждой части конструкции, образуют плоскую систему, находящуюся в равновесии, и потому удовлетворяющую трём (всего шести) уравнениям равновесия. Решение такой алгебраической системы уравнений даёт искомые реакции связей.

Составим эти уравнения, одновременно производя в них числовые подстановки и простейшие преобразования.

Уравнения равновесия для левой части:

. (1)

. (2)

. (3)

Уравнения равновесия для правой части:

(4)

. (5)

. (6)

XC = 6,98 кН, YC = 1,59 кН.

Остальные неизвестные находятся легко из отдельных уравнений.

Из (1): ХА = –1,4 – XC = –1,4 – 6,98 = –8,38 кН.

Определение реакций опор составной конструкции (стр. 1 из 4)

Задание С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Вариант № 1.

Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции. Схема конструкции представлена на рис. 1 (размеры – в м), нагрузка указана в таблице 1.

Рис. 1

Таблица 1.

P1, кН М, кН×м q, кН/м
6,0 25,0 0,8

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Решение. Рассмотрим систему уравновешивающихся сил,

приложенных ко всей конструкции (рис. 2).

P1y P1

90°

P1x C

Q M

RAy RBy

RAx RBx x

A B

Рис. 2.

Разложим силу P на составляющие Px и Py.

P1x aa

Рис. 3.

P1x = P1×sin(a),

P1y = P1×cos(a).

a = arctg(1,5/6) = arctg(0,25) = 14°.

P1x = P1×sin(a) = P1×sin(14°) = 6×0,24 = 1,44 (кН),

P1y = P1×cos(a) = P1×cos(14°) = 6×0,97 = 5,82 (кН).

Q = q×3,5 = 0,8×3,5 = 2,8 (кН).

С-3. Определение реакций опор составной конструкции.

Запишем уравнения равновесия:

(1) (2) (3)

Данная система из 3 уравнений содержит 4 неизвестных, для их нахождения рассмотрим отдельно правую и левую части конструкции.

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к левой части конструкции (рис.4):

y

P1y P1

90°

P1x C

Q RCy

Рис. 4.

Запишем уравнения равновесия:

(4) (5)

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

(6)

Рассмотрим систему уравновешивающихся сил, приложенных к правой части конструкции (рис.5):

y

R`Cy

R`Cx

Рис.5.

Запишем уравнения равновесия:

(7) (8) (9)

где RCx = R`Cx, RCy = R`Cy.

Таким образом, имеем систему 4 уравнений (1), (2), (6) и (9) с 4 неизвестными.

Из уравнения (9)

Из уравнения (1)

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Из уравнения (6)

Из уравнения (2)

Найдем реакции шарнира С:

RCx = -RBx = 12,5 кН,

RCy = -RBy = 0,07 кН.

Отрицательные значения RBx и RBy говорят о том, что действительное направление RBx и RBy противоположно указанному на рис.4.

Итак,

С-3. Определение реакций опор составной конструкции

Найти реакции опор конструкции изображенной на рис.1.

Составим уравнения сумм моментов относительно всех осей:

Р*15-q*5=0, где , отсюда Р=(q*5)/15

-qx*20+P*60-RBx*80, отсюда RBx=(qx*20-P*60)/80

-qx*20-G*(20+30)+RBz*(20+30+30) отсюда RBz= (qx*20+G*50)/80

-Raz*80+qz*60+G*30=0 отсюда Raz= (qz*60+G*30)/80

Rax*80+ qx*60-P*30=0 отсюда Rax=-( qx*60-P*30)/80

qx=Q*cos45; qz=Q*sin45

Ra= RB=

Результаты работы

Raz Rax Ra RBz RBx RB

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.

Вариант № 1.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; b — угол наклона плоскости к горизонту; f – коэффициент трения скольжения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Рис. 1

Таблица 1.

m1, кг m2, кг m3, кг m4, кг b, град f s, м
m 4m 0,2m 4m/3 60 0,10 2

Решение.

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(1)

где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

— сумма работ внешних сил, приложенных к системе; — сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

(2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4. (3)

2

3 b V1

A C3 CV

Рис. 2.

Д-10

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

(4)

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

, (5)

где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

, (6)

w2 – угловая скорость барабана 2:

. (7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

. (8)

Кинетическая энергия барабана 3, совершающего плоское движение:

Задача

Конструкция, состоящая из двух частей, соединенных в точке С шарниром (рисунок 4), удерживается двумя неподвижными шарнирными опорами в точках A и B.

Конструкция нагружена сосредоточенными силами P1=5 кН, P2=7 кН, парой сил с моментом M=22 кН∙м и равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q=2 кН/м; α=60o. Определить реакции опор A и B, а также шарнира C.

Пример решения

Освобождаем конструкцию от связей, т.е. убираем опоры, заменяя их действие неизвестными силами в точках A и B, распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной силой Q (рисунок 5).

Рисунки 4 и 5

Составим уравнение равновесия моментов сил относительно точки B.

Для упрощения вычисления момента силы P1 разложим ее на вертикальную и горизонтальную составляющие (рисунок 5):

где Q=q∙4=2∙4=8 кН.

После подстановки данных и вычислений уравнение (1.1) получает вид

XA-5YA=-24,74 кН. (2.1′)

Второе уравнение с неизвестными XA и YA получим, рассмотрев систему уравновешивающихся сил, приложенных к части конструкции, расположенной левее шарнира C (рисунок 6, а):

∑MiC=0; P1″∙6 + Q∙2 — YA∙3 + XA∙4=0,

или после вычислений

4XA — 5YA = -41,98 кН. (2.2)

Решая систему уравнений (2.1′) и (2.2), находим: XA=7,97 кН, YA=3,36 кН.

Рисунок 6

Модуль реакции опоры

Направление реакции RA определяется по направляющим косинусам:

cos(RA,Ox) = XA/RA,
cos(RA,Oy) = YA/RA.

Запишем условия равновесия для сил, действующих на всю конструкцию (рисунок 5):

∑Xi=0; -P1‘ + Q + XA — P2cosβ + XB=0; отсюда XB=15,07 кН; ∑Yi=0; -P’1″ + YA — P2sinβ + YB=0; отсюда YB=9,37 кН.

Модуль реакции опоры B

Направление реакции RB определяется по направляющим косинусам:

cos(RB,Ox) = XB/RB,
cos(RB,Oy) = YB/RB.

Запишем условия равновесия для части конструкции, расположенной правее шарнира C (рисунок 6, б):

∑Xi=0; -P1‘ + Q + XA + XC=0; отсюда XC=2,47 кН; ∑Yi=0; -P1″ + YA + YC=0; отсюда YC=0,97 кН.

Модуль реакции шарнира C

Направление реакции RC определяется по направляющим косинусам:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *