Ротор электрического поля

Циркуляция и ротор векторного поля

Циркуляцией векторного поля, например, вдоль какой-либо воображаемой замкнутой кривой L называется ска­лярная физическая величина, определяемая формулой:

(13.15)

Что характеризует циркуляция поля? Рассмотрим картину силовых линий полей на рис. 13.3. Во всех трех случаях источники отсутствуют. Но структура полей явно различна.

Поле на рис.13.3а имеет замкнутые силовые линии и при обходе контура L ка­сательная составляющая поля сохраняет знак.

Рис.13.3. Примеры различных значений циркуляции.

Поэтому для поля на рис.13.3б обход контура L дает на двух сторонах квадрата нулевое значение интеграла (13.15),так как там = 0, а на двух других сторонах его численное значение одинаково, но имеет противоположный знак, в результате =О. Поле на рис.13.3в, хотя и не имеет замкнутых линий, но обладает некоторой степенью «закрученности» своих силовых линий и в результате

Гидродинамическая аналогия: в поле скоростей циркуляция определяется характером течения жидкости. Еcли жидкость течет с завихрениями, образует водовороты, воронки и т.п. то 0.

Ограниченность гидродинамической аналогии в применении к электромагнитного полям очевидна: в поле ничто реально не циркулирует и не образует «водоворотов». Вместе с тем, наглядный образ циркуляции, как степени закрученности силовых линий поля, весьма полезен.

13.4.1.Теорема о циркуляции вектора

Метод определения полей систем движущихся зарядов или токов основан на введении математической характеристики векторных полей — циркуляции век­тора ( или ).

Элементарная циркуляция вектора вдоль элемента контура : .

циркуляция вектора вдоль контура L (рис. 13.4): .

циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L: ,

где — элемент данного контура ;

— проекция вектора на (рис. 13.4).

Рис. 13.4. К понятию циркуляции вектора

Выберем контур, совпадающий с силовой линией магнитного поля. Тогда вектор совпадет по направлению с касательной компонентой к контуру .

Нетрудно показать, что если контур не охватывает ток, то цир­куляция вектора равна нулю.

Теорема о циркуляции вектора (закон Ампера – закон полного тока):

Циркуляция вектора вдоль любого замкнутого контура рав­на алгебраической сумме токов, пронизывающих площадку S, огра­ниченную контуром L, умноженной на магнитную постоянную (в системе СИ). (За положительное направление тока принимается направление, связанное с обходом контура по правилу правого винта):

(в наиболее общем случае ).

В дифференциальной форме теорема о циркуляции вектора выражается так:

. (13.17)

Здесь – вихрь (ротор) магнитного поля,

– плотность тока.

Из теоремы о циркуляции в магнитостатике следует, что магнитное поле – вихревое и создается постоянными электрическими токами или движущимися зарядами. Направление закрученности силовых линий магнитного поля определяется направлением вектора (по правилу правого винта) (рис. 13.5).

Рис.13.5. К понятию ротора вектора

Теорема о циркуляции имеет следующий физический смысл:

I. силовые линии магнитного поля замкнуты; магнитное поле

носит вихревой характер (вихревое поле);

2. магнитное поле создается движущимися зарядами (токами);

3.теорема о циркуляции — метод расчета магнитных полей, созда­ваемых различными системами постоянных токов.

13.4.2.Циркуляция и ротор вектора

Для электростатического поля циркуляция и ротор равны нулю:

что подтверждает потенциальный характер этого поля (силовые линии электростатического поля не замкнуты – либо расходятся, либо сходятся).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Может ли поток вектора В через замкнутую поверхность быть отличным от нуля?

2. Чему равна циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура?

  1. Какой знак имеет дивергенция вектора напряженности электростатического поля отрицательного заряда? положительного заряда?
  2. В каком гипотетическом случае дивергенция вектора магнитной индукции может быть отлична от нуля?
  3. Существует ли электрическое поле, ротор вектора напряженности которого отличен от нуля?

  • ПРЕДИСЛОВИЕ
  • МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
    ЧАСТЬ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
  • § 1. Электрический заряд
  • § 2. Закон Кулона
  • § 3. Системы единиц
  • § 4. Рационализованная запись формул
  • § 5. Электрическое поле. Напряженность поля
  • § 6. Потенциал
  • § 7. Энергия взаимодействия системы зарядов
  • § 8. Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом
  • § 9. Диполь
  • § 10. Поле системы зарядов на больших расстояниях
  • § 11. Описание свойств векторных полей
  • Дивергенция.
  • Циркуляция.
  • Теорема Стокса.
  • § 12. Циркуляция и ротор электростатического поля
  • § 13. Теорема Гаусса
  • § 14. Вычисление полей с помощью теоремы Гаусса
  • Поле двух разноименно заряженных плоскостей.
  • Поле заряженной сферической поверхности.
  • Поле объемно-заряженного шара.
    ГЛАВА II. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ
  • § 15. Полярные и неполярные молекулы
  • § 16. Поляризация диэлектриков
  • § 17. Поле внутри диэлектрика
  • § 18. Объемные и поверхностные связанные заряды
  • § 19. Вектор электрического смешения
  • § 20. Примеры на вычисление поля в диэлектриках
  • § 21. Условия на границе двух диэлектриков
  • § 22. Силы, действующие на заряд в диэлектрике
  • § 23. Сегнетоэлектрики
    ГЛАВА III. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
  • § 24. Равновесие зарядов на проводнике
  • § 25. Проводник во внешнем электрическом поле
  • § 26. Электроемкость
  • § 27. Конденсаторы
    ГЛАВА IV. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
  • § 28. Энергия заряженного проводника
  • § 29. Энергия заряженного конденсатора
  • § 30. Энергия электрического поля
    ГЛАВА V. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
  • § 31. Электрический ток
  • § 32. Уравнение непрерывности
  • § 33. Электродвижущая сила
  • § 34. Закон Ома. Сопротивление проводников
  • § 35. Закон Ома для неоднородного участка цепи
  • § 36. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа
  • § 37. Мощность тока
  • § 38. Закон Джоуля — Ленца
    ГЛАВА VI. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
  • § 39. Взаимодействие токов
  • § 40. Магнитное поле
  • § 41. Поле движущегося заряда
  • § 42. Закон Био — Савара
  • § 43. Сила Лоренца
  • § 44. Закон Ампера
  • § 45. Магнитное взаимодействие как релятивистский эффект
  • § 46. Контур с током в магнитном поле
  • § 47. Магнитное поле контура с током
  • § 48. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном
  • § 49. Дивергенция и ротор магнитного поля
  • § 50. Поле соленоида и тороида
    ГЛАВА VII. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
  • § 51. Намагничение магнетика
  • § 52. Напряженность магнитного поля
  • § 53. Вычисление поля в магнетиках
  • § 54. Условия на границе двух магнетиков
  • § 55. Виды магнетиков
  • § 56. Магнитомеханические явления
  • § 57. Диамагнетизм
  • § 58. Парамагнетизм
  • § 59. Ферромагнетизм
    ГЛАВА VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
  • § 60. Явление электромагнитной индукции
  • § 61. Электродвижущая сила индукции
  • § 62. Методы измерения магнитной индукции
  • § 63. Токи Фуко
  • § 64. Явление самоиндукции
  • § 65. Ток при замыкании и размыкании цепи
  • § 66. Взаимная индукция
  • § 67. Энергия магнитного поля
  • § 68. Работа перемагничивания ферромагнетика
    ГЛАВА IX. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
  • § 69. Вихревое электрическое поле
  • § 70. Ток смещения
  • § 71. Уравнения Максвелла
    ГЛАВА X. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
  • § 72. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле
  • § 73. Отклонение движущихся заряженных частиц электрическим и магнитным полями
  • § 74. Определение заряда и массы электрона
  • § 75. Определение удельного заряда ионов. Масс-спектрографы
  • § 76. Ускорители заряженных частиц
    ГЛАВА XI. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
  • § 77. Природа носителей тока в металлах
  • § 78. Элементарная классическая теория металлов
  • § 79. Эффект Холла
    ГЛАВА XII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК В ГАЗАХ
  • § 80. Несамостоятельная и самостоятельная проводимость
  • § 81. Несамостоятельный газовый разряд
  • § 82. Ионизационные камеры и счетчики
  • § 83. Процессы, приводящие к появлению носителей тока при самостоятельном разряде
  • § 84. Газоразрядная плазма
  • § 85. Тлеющий разряд
  • § 86. Дуговой разряд
  • § 87. Искровой и коронный разряды
    ГЛАВА XIII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
  • § 88. Квазистационарные токи
  • § 89. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления
  • § 90. Свободные затухающие колебания
  • § 91. Вынужденные электрические колебания
  • § 92. Переменный ток
    ЧАСТЬ 2. ВОЛНЫ
  • § 93. Распространение волн в упругой среде
  • § 94. Уравнения плоской и сферической волн
  • § 95. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении
  • § 96. Волновое уравнение
  • § 97. Скорость упругих волн в твердой среде
  • § 98. Энергия упругой волны
  • § 99. Стоячие волны
  • § 100. Колебания струны
  • § 101. Звук
  • § 102. Скорость звука в газах
  • § 103. Эффект Доплера для звуковых волн
    ГЛАВА XV. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
  • § 104. Волновое уравнение для электромагнитного поля
  • § 105. Плоская электромагнитная волна
  • § 106. Экспериментальное исследование электромагнитных волн
  • § 107. Энергия электромагнитных волн
  • § 108. Импульс электромагнитного поля
  • § 109. Излучение диполя
    ЧАСТЬ 3. ОПТИКА
  • § 110. Световая волна
  • § 111. Представление гармонических функций с помощью экспонент
  • § 112. Отражение и преломление плоской волны на границе двух диэлектриков
  • § 113. Световой поток
  • § 114. Фотометрические величины и единицы
  • § 115. Геометрическая оптика
  • § 116. Центрированная оптическая система
  • § 117. Тонкая линза
  • § 118. Принцип Гюйгенса
    ГЛАВА XVII. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
  • § 119. Интерференция световых волн
  • § 120. Когерентность
  • § 121. Способы наблюдения интерференции света
  • § 122. Интерференция света при отражении от тонких пластинок
  • § 123. Интерферометр Майкельсона
  • § 124. Многолучевая интерференция
  • ГЛАВА XVIII. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
  • § 126. Принцип Гюйгенса—Френеля
  • § 127. Зоны Френеля
  • § 128. Дифракция Френеля от простейших преград
  • § 129. Дифракция Фраунгофера от щели
  • § 130. Дифракционная решетка
  • § 131. Дифракция рентгеновских лучей
  • § 132. Разрешающая сила объектива
  • § 133. Голография
    ГЛАВА XIX. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
  • § 134. Естественный и поляризованный свет
  • § 135. Поляризация при отражении и преломлении
  • § 136. Поляризация при двойном лучепреломлении
  • § 137. Интерференция поляризованных лучей
  • § 138. Прохождение плоскополяризованного света через кристаллическую пластинку
  • § 139. Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами
  • § 140. Искусственное двойное лучепреломление
  • § 141. Вращение плоскости поляризации
    ГЛАВА XX. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН С ВЕЩЕСТВОМ
  • § 142. Дисперсия света
  • § 143. Групповая скорость
  • § 144. Элементарная теория дисперсии
  • § 145. Поглощение света
  • § 146. Рассеяние света
  • § 147. Эффект Вавилова — Черенкова
    ГЛАВА XXI. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД
  • § 148. Скорость света
  • § 149. Опыт Физо
  • § 150. Опыт Майкельсона
  • § 151. Эффект Доплера
    ПРИЛОЖЕНИЯ
  • I. Единицы электрических и магнитных величин в СИ и в гауссовой системе
  • Приложение II. Основные формулы электромагнетизма в СИ и в гауссовой системе
  • Приложение III. Векторный потенциал

Дивергенция и ротор векторного поля

Определение дивергенции выглядит так:

,

где — поток векторного поля через сферическую поверхность площадью , ограничивающую объем .

Более общим является определение, когда форма области с поверхностью и объемом допускается любой. Единственное требование – нахождение поверхности внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю, – не привязано к определенным координатам. Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трехмерном декартовом пространстве дивергенция поля будет определяться выражением:

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла: .

Многомерная, а также двумерная и одномерная дивергенция определяется в декартовых координатах в пространствах соответствующей размерности совершенно аналогично (в верхней формуле меняется лишь количество слагаемых, а нижняя остается той же, подразумевая оператор набла подходящей размерности).

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

– точка поля является источником;

– точка поля является стоком;

– стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причем на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Еще одним, быть может, несколько схематическим, примером может служить озеро (для простоты — постоянной единичной глубины со всюду горизонтальной скоростью течения воды, не зависящей от глубины, давая, таким образом, двумерное векторное поле на двумерном пространстве). В такой модели родники, бьющие из дна озера, будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки (пещеры, куда вода утекает) — отрицательную дивергенцию.

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру плоской площадки , перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

. (1.14)

Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру совершался против часовой стрелки.

В трехмерной декартовой системе координат ротор вычисляется следующим образом:

Когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

1.15. Дивергенция вектора магнитного поля

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности имеет место условие:

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора : поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Заменив поверхностный интеграл объемным, получим, что

Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема . Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, дивергенция вектора всюду равна нулю:

ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ (ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА). РОТОР ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Закон полного тока, или теорема о циркуляции вектора , которая будет рассмотрена ниже, позволяет находить напряженность магнитного поля при наличии симметрии токов без применения закона Био – Савара — Лапласа. Это дает возможность существенно упростить вычисления в ряде случаев.

Основное отличие магнитного поля от электростатического состоит в том, что магнитное поле непотенциально . Докажем это. Рассмотрим магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника с током. Силовые линии (линии напряженности) этого поля представляют собой окружности, плоскости которых перпендикулярны к проводнику, а центры лежат на оси проводника ( рис.3.5). Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольной силовой линии L равна

.

При этом L — окружность радиуса r, модуль напряженности по закону Био –Савара-Лапласа равен

Вектор направлен по касательной к окружности, поэтому .Тогда

(3.1)

— циркуляция вектора вдоль силовой линии не равна нулю, следовательно,

магнитное поле прямолинейного тока непотенциально.

Из выражения (1) следует, что циркуляция вектора магнитного поля прямолинейного тока одинакова вдоль любой силовой линии и равна силе тока.

Формула (3.1) справедлива для замкнутого контура L произвольной формы, охватывающего бесконечно длинный прямолинейный проводник с током I.

Действительно, рассмотрим контур (силовую линию) произвольной формы (рис.3.6). Точка А этого контура находится на расстоянии r от оси проводника с током. Из оси проводника проведем окружность радиуса r через точку А. Тогда вектор направлен по касательной к этой окружности, следовательно, он перпендикулярен к радиус – вектору . Элемент силовой линии в точке А направлен по касательной к контуру L. Тогда ,

где – длина проекции вектора на направление вектора . Но малый отрезок касательной к окружности радиуса r можно заменить дугой этой окружности: , где – центральный угол, под которым виден элемент контура L из центра окружности. Тогда:

,

а циркуляция вектора равна:

(3.2)

— результат тот же, что и для случая, когда L — окружность.

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током I вдоль замкнутого контура произвольной формы, охватывающего проводник, не зависит от формы контура и численно равна силе тока I.

Рассмотрим случай, когда контур не охватывает проводник с током (рис.3.7). В этом случае циркуляция вектора по контуру L равна сумме циркуляций вектора по участку контура 1a2 и участку контура 2b1, т.е.

(3.3)

— циркуляция вектора напряженности магнитного поля прямолинейного проводника с током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю.

Можно показать, что формулы (3.2) и (3.3) являются универсальными, т.е. справедливы для проводника любой формы и размеров.

На практике магнитное поле создается, как правило, несколькими проводниками, по которым текут токи , , … , . Каждый проводник с током создает магнитное поле напряженностью ( ). Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля равна:

Циркуляция вектора напряженности вдоль произвольного замкнутого контура L равна:

Но, согласно формулам (2) и (3),

Таким образом, . (3.4)

В выражении (3.4) индекс i заменен индексом к для того, чтобы подчеркнуть, что в эту сумму входят только токи, охватываемые контуром L. Формула (3.4) выражает закон полного тока для токов проводимости: циркуляция вектора напряженности магнитного поля постоянного электрического тока вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых эти контуром.

Если контур несколько раз охватывает ток, то величина тока учитывается столько раз, сколько раз контур обвивается вокруг тока с учетом направления обхода и знака тока.

Если токи текут непрерывно по поверхности S, то сумму токов можно заменить интегралом:

,

где — вектор плотности тока. Тогда закон полного тока (3.4) принимает вид:

,

или

. ( 3.5)

Здесь ( мы рассматриваем поле в вакууме), L – контур, на который опирается поверхность S. Согласно теореме Стокса , тогда из (3.5) получаем:

, (3.6)

— ротор вектора магнитной индукции отличен от нуля – магнитное поле непотенциально.

Поле, ротор которого отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.

Выражение (3.6) представляет собой дифференциальную форму записи закона полного тока.

С помощью закона полного тока (3.6) найдем напряженность магнитного поля внутри соленоида. Пусть длина соленоида много больше его радиуса, . Такой соленоид можно

считать соленоид бесконечным. Если витки соленоида расположены вплотную или очень близко друг к другу, то соленоид можно приближенно рассматривать как систему большого числа последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса, центры которых лежат на оси соленоида, а плоскости ортогональны ей. Легко видеть, что линии магнитной индукции соленоида параллельны его оси (рис.3. 8). Все поле сосредоточено внутри соленоида, вне соленоида поля нет и .

Для нахождения H выделим участок соленоида длины , на котором расположено витков, ( n- число витков на участке соленоида единичной длины), и проведем контур 1234 . Согласно (рис. 3.8) закону полного тока (3.4) имеем:

На участках 1,2 и 3,4 контур перпендикулярен к вектору , поэтому и

Участок 4,1 находится вне соленоида, следовательно, и , следовательно, .

Тогда , и . Сократив на , окончательно получаем:

Из этого выражения видно, что не зависит ни от расстояния до оси соленоида, ни от размеров самого соленоида. При фиксированном значении силы тока , поле соленоида однородно.

3.7. МАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ. ЗАКОН АМПЕРА

Ампер исследовал действие магнитного поля на проводники с током и показал, что сила F, действующая на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике, его длине , магнитной индукции и синусу угла между направлениями тока в проводнике и вектором :

В случае неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы перейдем к бесконечно малым приращениям, имеем:

-коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единицы измерения. В СИ .

Будем считать, что элемент проводника перпендикулярен вектору , тогда -магнитная индукция численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно к направлению магнитного поля. Т.е. магнитная индукция является силовой характеристикой поля.

Направление силы определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник со стороны поля.

Если не перпендикулярен , то вектор совпадает по направлению с векторным произведением — вектор направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами и таким образом, чтобы из конца вектора вращение от вектора к вектору по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки.

Закон Ампера в векторной форме имеет вид:

Силы электромагнитного взаимодействия не являются центральными и всегда перпендикулярны к линиям магнитной индукции.

Рассмотрим два длинных прямолинейных проводника, которые расположены параллельно друг к другу. Расстояние между проводниками а. При пропускании тока по проводникам между ними возникает сила взаимодействия. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1.Пусть токи и в проводниках направлены в одну сторону (рис.3.9а). В этом случае проводники притягиваются друг к другу. Каждый из проводников создает вокруг себя магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник. При этом на элемент второго проводника с током действует сила :

Если а << , то проводник можно считать бесконечно длинным, тогда

, при этом , , имеем .

Для выражение примет такой же вид. Оно симметрично для обоих проводников, поэтому

, тогда .

2. Если токи противоположны по направлению, то проводники отталкиваются (рис.9б).

Единицы измерения в системе СИ: магнитная индукция — B= – тесла; напряженность магнитного поля H= — ампер на метр.

Рассмотрим контур с током, находящийся в магнитном поле. Сила Ампера, действующая на контур, равна , интегрирование проводится по контуру с током. Если поле однородно, вектор можно вынести за знак интеграла. Интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов , поэтому он равен нулю. Поэтому результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле. Если же поле неоднородно, результирующая сила отлична от нуля . Рассмотрим плоский контур, размеры которого малы. Такой контур называют элементарным. Его магнитный момент , где — ток в контуре, — его площадь, — единичный вектор нормали к поверхности контура, связанный с направлением тока правилом правого винта. Сила Ампера, действующая на такой контур в неоднородном магнитном поле, равна , где — производная магнитной индукции на направление магнитного момента. Из этой формулы следует:

1) в однородном магнитном поле , т.к. ;

2) направление вектора в общем случае не совпадает ни с вектором , ни с вектором ; вектор совпадает лишь с направлением элементарного перемещения , взятого в направлении вектора в месте расположения контура. На рис. 3.11 представлены три расположения контура в поле прямого тока. Проекция силы на направление Х равна

Найдем момент сил Ампера, действующий на контур с током в магнитном поле. В однородном поле результирующая сил, действующих на контур, равна нулю, следовательно, суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют моменты этих сил. В этом случае говорят просто о моменте амперовых сил. Результирующий момент этих сил . Таким образом, результирующий момент амперовых сил , действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен магнитному моменту контура и вектору магнитной индукции.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *