Показатели качества процесса регулирования

Показатели качества процесса регулирования

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием эффективного функционирования системы. Не менее важно, чтобы процесс регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества. Требования к качеству переходного процесса могут быть самыми разнообразными, однако к числу наиболее существенных критериев, с помощью которых оценивается поведение системы в динамике, относятся следующие:

  • показатели качества переходного процесса, определяемые по переходной функции системы;

  • частотные критерии качества; корневые критерии качества;

  • интегральные критерии качества.

Поскольку переходный процесс в системе определяется не только параметрами САУ, но и характером внешнего воздействия, оценку качества регулирования осуществляют по виду реакции системы на типовой входной сигнал. Наиболее часто характер протекания переходного процесса оценивается по переходной функции системы.

Основными показателями качества процесса регулирования, определяемыми по переходной функции системы (рис. 4.1), являются: время регулирования (tp), перерегулирование (σ), частота (ω) и число колебаний.

Временем регулирования tp называется временной интервал, отсчитываемый с момента приложения воздействия к системе до момента, начиная с которого отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения не превышает наперед заданной величины .

Обычно принимают равной 5 % от Таким образом, время регулирования определяет длительность переходного процесса, т.е. быстродействие системы. Величина tp должна быть ограничена не только сверху, но и снизу, поскольку при повышении быстродействия системы время регулирования уменьшается, но при этом возрастают динамические нагрузки, что отрицательно сказывается на сроке службы САУ.

Перерегулированием σ называется максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения , выраженное в процентах.

Абсолютная величина отклонения определяется по графику переходной функции:

Соответственно перерегулирование равно:

. (4.1)

Допустимое значение перерегулирования определяется спецификой функционирования конкретной системы. Обычно оно составляет 10 – 30 %, но для ряда САУ перерегулирование принципиально недопустимо.

Колебательность переходного процесса определяется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования tp, например, числом минимумов за этот интервал. Приемлемым считается от одного до трех колебаний. Иногда колебательность определяют, как отношение величин первого () и второго () максимумов переходной функции выраженное в процентах.

Частота колебаний равна:

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 14

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием эффективного функционирования системы. Не менее важно, чтобы процесс регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества. Требования к качеству переходного процесса могут быть самыми разнообразными, однако к числу наиболее существенных критериев, с помощью которых оценивается поведение системы в динамике, относятся следующие:

· показатели качества переходного процесса, определяемые по переходной функции системы;

· частотные критерии качества; корневые критерии качества;

· интегральные критерии качества.

Поскольку переходный процесс в системе определяется не только параметрами САУ, но и характером внешнего воздействия, оценку качества регулирования осуществляют по виду реакции системы на типовой входной сигнал. Наиболее часто характер протекания переходного процесса оценивается по переходной функции системы.

Основными показателями качества процесса регулирования, определяемыми по переходной функции системы (рис. 4.1), являются: время регулирования (tp), перерегулирование(σ), частота(ω)и число колебаний.


Временем регулирования tp называется временной интервал, отсчитываемый с момента приложения воздействия к системе до момента, начиная с которого отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения не превышает наперед заданной величины .

Обычно принимают равной 5 % от Таким образом, время регулирования определяет длительность переходного процесса, т.е. быстродействие системы. Величина tp должна быть ограничена не только сверху, но и снизу, поскольку при повышении быстродействия системы время регулирования уменьшается, но при этом возрастают динамические нагрузки, что отрицательно сказывается на сроке службы САУ.

Перерегулированием σ называется максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения , выраженное в процентах.

Абсолютная величина отклонения определяется по графику переходной функции:

Соответственно перерегулирование равно:

℅. (4.1)

Допустимое значение перерегулирования определяется спецификой функционирования конкретной системы. Обычно оно составляет 10 – 30 %, но для ряда САУ перерегулирование принципиально недопустимо.

Колебательность переходного процесса определяется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования tp, например, числом минимумов за этот интервал. Приемлемым считается от одного до трех колебаний. Иногда колебательность определяют, как отношение величин первого ( ) и второго ( ) максимумов переходной функции выраженное в процентах.

Частота колебаний равна:

где T – период колебаний.

В случае необходимости к перечисленным показателям качества процесса регулирования добавляются следующие: время достижения первого максимума , время первого достижения уровня установившегося значения , декремент затухания, равный:

,

и ряд других.

Частотные критерии качества

Оценка динамических свойств САУ по ее переходной функции h(t) представляет собой прямой метод исследования качества регулирования. Существует возможность судить об основных показателях качества переходных процессов в системе и без построения h(t), используя различные косвенные оценки, которые определяются проще, чем переходная функция. Такие косвенные оценки называются критериями качества. При исследовании качества переходных процессов эти критерии являются аналогами критериев устойчивости.

Рассмотрим частотные критерии качества, позволяющие судить о динамических свойствах системы по ее частотным характеристикам. К их числу могут быть отнесены (см. разд. 3.4) запасы устойчивости САУ по усилению и фазе, которые могут быть определены по АФХ или логарифмическим амплитудно- и фазо-частотной характеристикам системы в разомкнутом состоянии.

Для оценки качества переходного процесса минимально-фазовой системы достаточно знать вид ее амплитудно-частотной характеристики . С целью обеспечения сопоставимости значений критериев для различных САУ характеристика нормируется, для чего ее ординаты делятся на начальное значение , т.е. на ее значение при :

При этом АЧХ нормированных статических систем начинается с единицы (рис. 4.2).

К частотным показателем качества, определяемым по , относятся:

· полоса пропускания системы ;

· резонансная частота :

· показатель колебательности M.

Полоса пропускания системы — это диапазон частот, в котором превышает единицу. Если АЧХ замкнутой системы во всем частотном диапазоне меньше единицы, то полоса пропускания отсчитывается на уровне 0,707.

Резонансная частота – это частота, при которой достигает максимума.

Показатель колебательности M равен максимальному значению нормированной АЧХ замкнутой системы, т.е.

= .

При < 1 переходная функция системы монотонная (не колебательная). Чем больше M, тем больше колебательность. При M в системе возникают незатухающие колебания с частотой . Качество регулирования САУ считается вполне удовлетворительным, если показатель колебательностисистемы находится в диапазоне 1,1 < М < 1,5 , при этом переходная функция имеет приемлемую колебательность с частотой близкой к .

Длительность переходного процесса определяется шириной характеристики , а, следовательно, величиной полосы пропускания . Чем больше , т.е. чем более растянута частотная характеристика, тем короче переходный процесс и меньше tp.Это связано с тем, что, чем более высокие частоты «пропускает» система, тем она менее инерционна. Этим же объясняется и то, что длительность переходного процесса тем меньше, чем больше частота среза .

Величина перерегулирования может быть приближенно оценена по виду вещественной частотной характеристики замкнутой системы:

Если график имеет максимум («горб»), переходный процесс в системе происходит с перерегулированием, величина которого составляет не менее 18 %. В случае монотонно убывающей характеристики переходная функция также будет монотонной (без перерегулирования).

Колебательность и длительность переходного процесса h(t ) замкнутой системы могут быть в первом приближении определены по параметрам ЛАХ разомкнутой системы: частоте среза и величинам запасов устойчивости по фазе и амплитуде. В случае колебательной переходной функции h(t) резонансная частота ωр замкнутой системы близка по величине к частоте среза ЛАХ разомкнутой системы. Колебательность считается допустимой, если ЛАХ на частоте среза имеет наклон -20 дБ/дек; чем шире участок с таким наклоном, тем меньше колебательность. Если запас по фазе Δφ > 300 , а запас по амплитуде не менее 6 дБ, то h(t) имеет слабую колебательность.

Корневые критерии качества

Эта группа критериев позволяет оценить качество переходных процессов по расположении полюсов и нулей передаточной функции устойчивой замкнутой системы. При исследовании устойчивости САУ оценивалось только расположение полюсов на комплексной плоскости. Оценивая качество переходного процесса, необходимо учитывать и расположение нулей.

К числу корневых критериев качества относят степень устойчивостиистепень колебательности.

Степень устойчивости (η)– это расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней левого полюса (рис. 4.3, а) или ближайшей пары комплексно сопряженных полюсов замкнутой системы (рис. 4.3, б). В первом случае соответствующая этому полюсу слагаемое в общем решении дифференциального уравнения (3.5) равно:

Во втором случае, когда ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексно-сопряженных полюсов, им в выражении (3.5) будет соответствовать слагаемое вида:

В обоих случаях указанное слагаемое будет затухать медленнее остальных, тем самым определяя в первом приближении длительность переходного процесса:

Степень колебательности определяется только для замкнутых систем, передаточные функции имеют комплексно-сопряженные полюса:

pi,i+1 = αi + jβi .

Переходная функция таких систем в большей или меньшей степени колебательна. Степень колебательности переходного процесса равна:

,

где φ – наибольший по величине угол, образованный отрицательной вещественной полуосью и лучом, проведенным из начала координат к комплексному полюсу pi
(рис. 4.3, а, б). Среди всех комплексно-сопряженных полюсов системы указанному полюсу соответствует максимальное отношение мнимой части к действительной. Чем больше степень колебательности μ, тем слабее будет затухание колебаний в переходном процессе.

Задавшись предельно допустимыми значениями степени устойчивости ηз и степени колебательности φз, можно построить на комплексной плоскости область (рис. 4.3, в), в которой должны находиться полюса системы, показатели качества регулирования которой будут удовлетворять заданным значениям, т.е. η > ηз и μ < μз.

Оценка качества процессов регулирования

на тему:

«Оценка качества процессов регулирования»

1. Общие положения по оценке качества

Устойчивость необходимое, но недостаточное требование, предъявляемое к системе, она должна удовлетворять требованиям по качеству.

Качество системы – это соответствие системы, предъявляемым к ней требованиям (например: по точности, быстродействию и другим показателям качества).

Качество оценивается качеством переходного процесса и точностью в установившемся режиме, т.е. с помощью динамических и статических показателей качества. Существует ряд методов оценки качества процессов регулирования, которые можно классифицировать следующим образом:

Прямые методы: классический метод; оценка качества по переходной функции; методы моделирования.

Косвенные методы: частотные; корневые; интегральные.

Рассмотрим методы оценки качества.

2. Классический метод оценки качества

Классический метод основан на решении неоднородных дифференциальных уравнений, т.к. аналитическое решение уравнений выше 3-го порядка представляет определенные трудности, то этот метод находит ограниченное применение и используется для систем до 3-го порядка.

3. Оценка качества по переходной функции

Рассмотрим переходную функцию некоторой системы (рис. 1).

При оценке качества переходного процесса с использованием переходной функции определяются прямые показатели качества.

По переходной функции определяются следующие прямые показатели качества:

1. Время регулирования (переходного процесса) – время, по истечении которого

(1)

где  = 3–5% от h, т.к. теоретически tp.

Время регулирования характеризует быстродействие системы.

Рис. 1

2. Величина перерегулирования

(2)

Относительное перерегулирование – %.

(3)

Если % = 0, процесс называется монотонным. Относительное перерегулирование характеризует перегрузки в системе. Обычно % = 20–30%.

3. Число перерегулирований, т.е. число минимумов и максимумов за время регулирования – N. Обычно N = 2–3.

4. Период собственных колебаний T0 = 2/0.

5. Величина статической ошибки

6. Логарифмический декремент затухания

Достоинство метода: простота и наглядность.

Недостатки метода: не учитывается правая часть уравнения; не видно влияния параметров на качество; сложность применения для систем выше 2-го порядка.

4. Оценка качества систем методами моделирования

При проектировании и исследовании систем управления широко используются методы моделирования (аналоговое, цифровое, имитационное и др.). Идея метода – использование вместо реальной системы адекватной ее модели. При моделировании систем управления используются либо языки моделирования (например: CSSL, GPSS, SIMULA и др.), либо пакеты прикладных программ (например: CC, SIAM и др.).

5. Частотные методы оценки качества

Частотные методы позволяют оценить как устойчивость, так и качество системы. При этом для оценки качества системы можно использовать любую частотную характеристику, но наиболее часто используют АФХ, ЛАЧХ, АЧХ, ВЧХ.

Оценка качества по АЧХ замкнутой системы. Допустим, выходной сигнал следящей системы точно копирует входной, (это возможно только в идеальных системах управления) при этом

Любая реальная техническая система инерционна (рис. 2).

A()

Am()

0 0 c п 

A ()

0 

()

0 

()

0 

Рис. 2

При этом:

0 — резонансная частота, которая характеризует частоту собственных колебаний системы (при А = Аm);

c — частота среза (при А = 1);

п — верхняя граничная частота, которая характеризует полосу пропускания системы (при A = A(0)/2).

Только на небольшом участке в области низких частот характеристики входного и выходного сигнала совпадают, далее на резонансной частоте 0 амплитуда имеет максимальное значение – A m, при дальнейшем увеличении частоты система, вследствие инерционности не успевает реагировать на колебания больших частот и амплитуда резко падает. Так как в диапазоне c и п амплитуда резко падает, то можно считать c = п. Полоса пропускания влияет на точность и быстродействие.

Колебательность определяется M = Am/ A(0). Обычно М = 1,2–1,5.

При малой колебательности система «вялая» имеет большое время регулирования – tp. При большой колебательности увеличивается перегрузка системы и система приближается к границе устойчивости.

Т.о. косвенными показателями качества являются: М – колебательность; 0 — резонансная частота; п — верхняя граничная частота.

Оценка качества по АФХ и ЛАЧХ разомкнутой системы. Рассмотрим характеристики, приведенные на рис. 3.

Ветвь АФХ состоит из трех частей: низкочастотная (НЧ) – определяет статику системы; среднечастотная (СЧ) – определяет динамику системы; высокочастотная (ВЧ) – не представляет интереса, так как амплитуда сигнала в этой области мала.

Рис. 3

При оценке качества системы по АФХ и ЛАЧХ разомкнутой системы получают следующие косвенные показатели качества: Aз – запас устойчивости по амплитуде (модулю); з — запас устойчивости по фазе.

Рекомендуемые значения: Aз = 20–30 дБ; з = 40–600.

Оценка качества по ВЧХ замкнутой системы. Рассмотрим основные свойства ВЧХ.

1. Каждой вещественной частотной характеристике – P() соответствует определенная переходная функция – h(t).

Рис. 4

3. Изменение масштаба по оси частот. Если P () = h (t/ ). Графически это можно представить следующим образом (рис. 5).

Рис. 5

Рис. 5

Как видно из графика h(t), чем больше п, тем выше быстродействие системы.

4. Пик P() характеризует колебательность и частоту колебаний (рис. 6).

Рис. 6

Как видно из графиков пик ВЧХ характеризует колебательность и период собственных колебаний системы.

Таким образом, по виду вещественной характеристики системы можно построить ее переходную функцию и определить ее качество.

6. Корневые методы оценки качества

Основа корневых методов – анализ расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости

(4)

Расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы в комплексной плоскости характеризует не только устойчивость, но и качество системы (рис. 7).

При этом косвенными показателями качества являются:

Степень устойчивости — 0 – расстояние от мнимой оси до ближайшего корня или пары корней. Этот показатель характеризует быстродействие системы.

2) Колебательность —

3) Затухание (демпфирование)-

2 1 0 +j

+

Рис. 7

Линия 1 определяет запас устойчивости, а линия 2 определяет колебательность. Если корни расположены в области ограниченной линиями 1 и 2, то система удовлетворяет заданным 0 и .

Определение длительности переходного процесса.

Корни ближайшие к мнимой оси являются определяющими (доминирующими), они определяют характер переходного процесса. Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то переходный процесс имеет вид:

(5)

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Определить степень устойчивости и колебательность системы с характеристическим уравнением p3+14p2+53p+130 = 0.

Решение:

Определяем корни характеристического уравнения

p1 = -10 c-1; p2,3 = (-2  j3) c-1.

Определяем степень устойчивости 0 = -2 c-1 и колебательность  = 1,5.

Пример 2. Для заданной системы (рис. 9) определить зависимость степени устойчивости и колебательности от параметров системы.

Решение:

Определяем характеристический полином

D(p) = 1+Kр(p) = Tp2+p+k = 0.

Определяем корни характеристического уравнения

p2+ (1/T) p+k/T = 0; p1,2 = -1/T j (k/T-1/ 4T2).

Определяем:

– степень устойчивости 0 = -1/2T c-1;

– колебательность  =  (k/T-1/ 4T2)/ 0,5 T =  (4kT-1).

Применение критериев устойчивости для оценки качества

Критерии устойчивости Найквиста и Михайлова можно использовать не только для определения устойчивости системы, но и для оценки ее качества.

Применение критерия Михайлова для оценки качества.

Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости необходимо в характеристический полином подставить p = -0+ j вместо p = j и, если , то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.

Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в характеристический полином подставить p = -0+j = (-+j) вместо p = j и, если , то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.

Применение критерия Найквиста для оценки качества.

Для определения, обладает ли система заданной степенью устойчивости, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы подставить p = -0+ j вместо p = j и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданной степенью устойчивости.

Для определения, обладает ли система заданным демпфированием, необходимо в комплексную передаточную функцию разомкнутой системы вместо p = j подставить p=-0+ j= (-+j) и, если АФХ не охватывает критическую точку, то система не только устойчива, но и обладает заданным демпфированием.

7. Метод корневого годографа

Корневой годограф – геометрическое место точек корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра системы (чаще всего 0  к  ).

Пусть задана передаточная функция разомкнутой системы

(6)

где si — нули передаточной функции разомкнутой системы;

pi — полюса передаточной функции разомкнутой системы;

pk — полюса передаточной функции замкнутой системы.

Задача состоит в том, чтобы, зная расположение нулей и полюсов передаточной функции разомкнутой системы, найти корни передаточной функции замкнутой системы как функции параметра системы. Это и есть корневой годограф.

Если полюс pk (рис. 10) является корнем характеристического уравнения (т.е. точка принадлежит корневому годографу), то он обращает его в нуль, при этом выполняется условие модуля и аргумента:

+j

s1 pk-p1

p1 +

Рис. 10

Если из каждого полюса и нуля провести линии к точке корневого годографа, то сумма углов должна быть равна , а модуль 1.

Для упрощения процедуры построения корневого годографа необходимо использовать правила, позволяющие приближенно определить расположение ветвей корневого годографа. Рассмотрим основные свойства корневого годографа.

1. Число ветвей корневого годографа равно – n.

2. Ветви корневого годографа расположены симметрично вещественной оси и нигде не пересекаются.

3. Ветви корневого годографа начинаются в полюсах передаточной функции разомкнутой системы, заканчиваются в нулях, а т. к. n  m, то остальные n – m ветвей уходят в бесконечность.

4. Ветви корневого годографа уходят в бесконечность вдоль асимптот.

Точка пересечения асимптот определяется как центр тяжести координат нулей и полюсов

(7)

Угол наклона асимптот определяется по формуле

где к = 1,2,…,. (8)

Например: угол наклона асимптот при различном их количестве имеет вид (рис. 11а-г)

при n-m = 1; при n-m = 2;

при n-m = 3; при n-m = 4;

+j +j +j +j

+ + + +

a) б) в) г)

Рис. 11

Определим расположение ветвей корневого годографа в области двух полюсов, расположенных на вещественной оси (см. рис. 12).

p2+ap+b=0, (9)

Если в-увеличивается, то значение подкоренного выражения уменьшается и корни сближаются. Если значение подкоренного выражения равно нулю, корни сольются. Если значение подкоренного выражения меньше нуля, корни станут комплексными.

Расположение ветвей корневого годографа в области двух нулей на вещественной оси приведено на рис. 12б.

Полюса движутся навстречу друг к другу, сливаются и далее расходятся к нулям.

Рис. 12

Рассмотрим примеры.

Пример 3. Построить корневой годограф системы с передаточной функцией

Решение:

Определяем количество полюсов, нулей и их разность:

n = 3; m = 0; n-m = 3.

Определяем значение полюсов и нулей:

p1 = -1; p2 = -2 p3 = -3.

Определяем точку пересечения асимптот

Определяем угол наклона асимптот

5. Строим примерный график (рис. 13а). Если задать 0, то можно определить, при каком коэффициенте усиления система достигнет границы устойчивости и заданной степени устойчивости. При этом можно определить критический коэффициент усиления.

Пример 4. Построить корневой годограф системы, передаточная функция которой имеет вид

Решение:

Определяем количество полюсов, нулей и их разность:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *