АЧХ согласованного фильтра

Согласованный фильтр его импульсная и частотная характеристики

В предыдущей статье рассмотрели оптимальный прием сигналов и ансамбль сигнала. В этой статье поговорим о согласованном фильтре, его свойствах и АЧХ и ФЧХ характеристиках.

Согласованный фильтр

Согласованный фильтр — линейный оптимальный фильтр, позволяющий получить максимальное отношение сигнал/шум на выходе фильтра для сигналов известной формы.

Линейный фильтр вносит линейные искажения. Если на нелинейное устройство подать моногармонический сигнал (обычную синусоиду) с одной частотой, то на выходе устройства, посмотрев на спектр, увидим новые спектральные составляющие, гармоники. У линейного устройства новые спектральные составляющие не появляются. На выходе любого линейного устройства, те же самые спектральные составляющие, что и на его входе, без добавления новых гармоник, у этих устройств изменяются только амплитуда и фаза.

Оптимальный фильтр, оптимальный это значит, что он достигает какого-то наилучшего качества. Если мы говорим про оптимальность, то мы должны говорить и про критерий оптимальности, т.е. что у нас достигается наилучшим способом. В данном случае критерием оптимальности является отношение сигнал/шум.

Для каждого сигнала существует свой согласованный фильтр. Сигнал на выходе любого линейного фильтра, в том числе и согласованного, определяется выражением:

Свойства согласованного фильтра

Для любого линейного фильтра сигнал на выходе определяется через свертку сигнала на входе и его импульсной характеристики.

Импульсная характеристика фильтра это реакция фильтра (т.е. то что мы получим на выходе фильтра), на дельта импульс.

Если на вход фильтра подадим дельта импульс, то на выходе получим отклик, этот отклик и есть импульсная характеристика.

Дельта импульс это математическая абстракция, это импульс, который имеет бесконечно большую амплитуду, бесконечно малую длительность и площадь этого импульса равна единице. На практике, такой дельта импульс можно заменить коротким импульсом. Спектр дельта импульса равномерен и бесконечен.

Импульсная характеристика согласованного фильтра

Импульсная характеристика СФ имеет отзеркаленную форму сигнала, для которого фильтр согласован:

  • где Ts – длительность сигнала;
  • s – сигнал;
  • k – константа, сигнал можно умножать на любую константу.
  • В формуле t со знаком минус, сигнал отзеркалили по времени.

Не важно какую амплитуду имеет сигнал, если по форме сигнал повторяет импульсную характеристику, то фильтр будет согласован для этого сигнала. На картинке ниже представлено два примера. Есть треугольный сигнал, осциллограмма в виде треугольного импульса.

Какой фильтр будет для него согласован? Тот который имеет импульсную характеристику повторяющую форму сигнала, но отзеркаленную.

Другой пример, выше, затухающая синусоида сигнала. Чтобы спроектировать согласованный фильтр для такого сигнала, нужно взять форму сигнала и отзеркалить ее и получится импульсная характеристика.

Если у сигнала меняется амплитуда, становится больше или меньше, импульсная характеристика не меняется, фильтр всё равно будет согласован.

Частотные характеристики согласованного фильтра

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала.

  • где H(f) – частотная передаточная характеристика фильтра;
  • S(f) – Фурье-образ сигнала;
  • T – длительность сигнала;
  • k – константа.

Комплексная экспонента е^-i2πTf говорит о сдвиге фаз, возникшем в результате задержки сигнала в фильтре на время T. Откуда взялась комплексная экспонента? Любой фильтр вносит задержку, а комплексная экспонента поворачивает фазу сигнала.

Эта функция H(f) комплексная, у нее есть мнимая и реальная части. Формула с точностью до постоянного множителя (константы) повторяет Фурье-образ сигнала S(f). Единственное, нужно взять Фурье-образ и сделать над ним комплексное сопряжение. Фурье-образ сигнала это результат преобразования Фурье. Это комплексный спектр сигнала.

Комплексная частотная передаточная характеристика СФ комплексно сопряжена с Фурье-образом сигнала с точностью до какого-то постоянного коэффициента. Импульсная характеристика повторяет форму сигнала, частотная характеристика повторяет спектр сигнала, только комплексно сопряжена.

Комплексное сопряжение. Если есть комплексное число в котором есть реальная и мнимая часть, то комплексное число сопряженное, это число у которого меняется знак мнимой части. c=a+jb и c=a-jb.

АЧХ и ФЧХ согласованного фильтра

Из передаточной характеристики H(f) получаем АЧХ и ФЧХ. Чтобы получить АЧХ нужно у этой функции взять модуль. АЧХ согласованного фильтра с точностью до постоянного коэффициента k повторяет амплитудный спектр сигнала:

ФЧХ согласованного фильтра повторяет фазовый спектр сигнала с обратным знаком и с учетом задержки:

где ψs(f) — фазовый спектр сигнала.

На картинке выше есть амплитудный и фазовый спектр. Чтобы получить согласованный фильтр, нужно взять фильтр, который имеет АЧХ повторяющий амплитудный спектр сигнала и ФЧХ повторяющий фазовый спектр сигнала, но с обратным знаком. Наклон, который появился на графике “ФЧХ согласованного фильтра” появился из-за задержки сигнала.

Отклик согласованного фильтра

Предположим, есть сигнал, который имеет прямоугольную форму, для него спроектирован согласованный фильтр, который будет иметь импульсную характеристику в виде прямоугольного импульса.

Если на вход согласованного фильтра подать прямоугольный импульс, то на выходе получится сигнал, который определяется через свёртку.

Отклик СФ на сигнал определяется свёрткой импульсной характеристики h(t) и сигналом s(t).

Свёртка это перемножение двух функций в различный момент сдвига друг относительно друга и затем функции нужно их проинтегрировать.

На картинке, зафиксировали положение импульсов. Есть один импульс s(t) на входе и вторая импульсная характеристика согласованного фильтра h(t). В конкретный момент времени нужно вычислить площадь, которая образуется пересечением и эта площадь — значение сигнала на выходе в какой-то конкретный момент времени. И нужно постепенно смещать этот импульс и снова вычислять площадь и так далее. В итоге получим функцию, это и есть свертка.

Сигнал проходя через согласованный фильтр не сохраняет свою форму.

С точки зрения приема сигнала важна не его форма, а значение сигнала. В следующей статье расскажем про приемники.

Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра

Комплексная частотная характеристика согласованного фильтра может быть найдена как преобразование Фурье от hopt(t), определяемой выражением (6.20)

Сделав замену переменных =t0-t, получим

(6.24)

Интеграл в формуле (6.24) определяет комплексно-сопряжённый спектр сигнала

(6.25)

так как в показателе экспоненты стоит знак плюс, а не минус, как это надо для определения спектра сигнала.

Таким образом, комплексная частотная характеристика согласо­ванного фильтра

(6.26)

пропорциональна произведению комплексно-сопряженного спектра сигнала S*( ) на множитель задержки Представим комплексный спектр S( ) сигнала S(t) в виде

, (6.27)

где и — соответственно амплитудный и фазовый спектры сигнала.

Комплексно-сопряженный спектр будет отличаться от (6.27) только знаком показателя экспоненты:

(6.28)

Подставив (6.28) в (6.26), получим

(6.29)

где Ксф( ) = k ×S( ) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) согласованного фильтра,

— фазочастотная характеристика (ФЧХ) согласованного фильтра.

Пропорциональность АЧХ согласованного фильтра амплитудному спектру сигнала приводит к тому (рис.6.4), что коэффициенты передачи фильтра больше на тех частотах, на которых выше амплитуда спектральных составляющих сигнала, и меньше там, где составляющая ниже.

ФЧХ согласованного фильтра определяется взятой с обратным знаком суммой фазового спектра сигнала и пропорционального частоте угла задержки . Возьмём одну гармоническую составляющую спектра сигнала на произвольной частоте , имеющую (для простоты изложения) конечную амплитуду S( ):

Эта составляющая, пройдя через фильтр, увеличит свою амплитуду в — раз и получит фазовую задержку, равную

В момент t = t0 гармоническая составляющая будет равна своей амплитуде

. (6.30)

Рис. 6.4

Так как частота составляющей (t) была выбрана произвольно, то можно сделать следующий вывод: на выходе согласованного фильт­ра в момент t = t0 все гармонические составляющие равны своим амплитудным составляющим. Благодаря этому выходной сигнал Sвых(t) в момент времени t=t0 формируется в результате арифметического сложения всех амплитуд гармонических составляющих выходного спектра.

Таким образом Ксф( ) и сф( ) подобраны так, чтобы обеспечить максимум пика выходного сигнала при t= t0. и в соответствии с этим получить наибольшее отношение сигнал/шум. При этом форма выходного сигнала не будет совпадать с формой входного сигнала. Более того, искажение формы здесь принципиально необходимо, чтобы получить наибольшее пиковое отношение сигнал/шум на выходе. Кроме того, заметим, что все характеристики согласованного фильтра, например hсф(t) и Ксф( ), при белом шуме на входе полностью определяются характеристиками сигнала S(t), Момент t0 совпадает с длительностью импульсного сигнала, если импульс одиночный, или с длительностью пачки импульсов, если сигнал представляется в виде нескольких импульсов, образующих пачку.

Сравнение методов распознавания сигналов. Нейронные сети против согласованного фильтра

Я недавно опубликовал статью «Распознавание радиотехнических сигналов с помощью нейронных сетей». И там была довольно длинная и интересная дискуссия по поводу возможности использования для этих целей согласованного фильтра(СФ). Разумеется, использовать согласованные фильтры для той задачи, что решалась, проблематично. Но меня заинтересовал другой вопрос, что лучше использовать при незначительных колебаниях параметров сигнала, нейронные сети(НС) или СФ. В качестве генератора сигнала буду использовать обычный мультивибратор. Подавать сигнал буду через звуковую карту, а далее распознавать с помощью метода описанного в и с помощью согласованного фильтра. Далее ПО сравнит результаты и даст ответ какой метод лучше.

Часть 1. Генератор сигнала

Для того чтобы сравнение было адекватным, будем распознавать РЕАЛЬНЫЙ сигнал. Для его создания нужен генератор. Так же понадобится генератор шума. Сигнал будем генерировать с помощью мультивибратора. И чтобы «не лезли» ВЧ составляющие на выход надо поставить ФНЧ. Питание осуществляется от USB. Диапазон подаваемого напряжения на аудио карту должен быть в пределах 0.001 — 1.5В. А выход с мультивибратора лежит от 0 до 5В. Для ограничения напряжения будем использовать Г-образный делитель. Ниже представлена принципиальная схема генератора.

Делать с нуля я его не стал, т.к. на втором курсе, в рамках хакатона, собирал предусилитель кардиосигнала для съема кардиоинтервалограммы, который отличается только отсутствием ПОС между двумя каскадами. Поэтому я ограничился добавлением этой связи. Вот что в итоге получилось.

Внешний вид:

Во время работы:

В качестве генератора белого шума, я использовал метод randNorm из своей мат. библиотеки AI.MathMod для языка C#.

Часть 2. Прием сигнала

Для приема и записи сигнала я использовал библиотеку NAudio для языка C#. Далее надо создать класс для записи сигнала. В начале подключаем пространства имен.

using System; using System.Collections.Generic; using NAudio.Wave; using AI.MathMod.AdditionalFunctions; using AI.MathMod;

Объявляем глобальные переменные:

// WaveIn — поток для записи WaveIn waveIn; //Блок сигнала List<double> lf2 = new List<double>(); // частота дискретизации double fd = 500, //Время записи timeRec = 5; //Записанный сигнал Vector signal = new Vector(); // отсчеты по амплитуде public Vector Signal { get{return signal;} } // Отсчеты по времени public Vector Time { get{return MathFunc.GenerateTheSequence(0,signal.N)/fd;} }

И метод для начала записи (взято отсюда):

void Start(){ try { waveIn = new WaveIn(); //Дефолтное устройство для записи (если оно имеется) waveIn.DeviceNumber = 0; //Прикрепляем к событию DataAvailable обработчик, возникающий при наличии записываемых данных waveIn.DataAvailable += waveIn_DataAvailable; //Прикрепляем обработчик завершения записи waveIn.RecordingStopped += new EventHandler<StoppedEventArgs>(waveIn_RecordingStopped); //Формат wav-файла — принимает параметры — частоту дискретизации и количество каналов(здесь mono) waveIn.WaveFormat = new WaveFormat(fd,16,1); //Начало записи waveIn.StartRecording(); } catch{} }

Сама запись:

//Получение данных из входного буфера void waveIn_DataAvailable(object sender, WaveInEventArgs e) { if (this.InvokeRequired) { this.BeginInvoke(new EventHandler<WaveInEventArgs>(waveIn_DataAvailable), sender, e); } else { lf2.Clear(); for (var i = 0; i < e.Buffer.Length; i += 2) { double sample = BitConverter.ToInt16(e.Buffer, i) / 32768.0; lf2.Add(sample); } signal.Add(lf2.ToArray()); if(signal.N>=(timeRec*fd)) Stop(); // Завершение записи } }

Часть 3. Согласованный фильтр

Теперь надо создать модель согласованного фильтра. Согласованный фильтр(СФ) обеспчивает максимальное ОСШ(отношение сигнал/шум) в случае если фильтр согласован с полезным сигналом, т.е. АЧХ фильтра совпадает с модулем спектральной плотности сигнала. Состоит СФ из согласованного фильтра для одиночного импульса(СФОИ), линий задержки(ЛЗ) и сумматора. СФОИ для прямоугольного импульса состоит из интегратора, ЛЗ, инвертора и сумматора(для радио импульса с прямоугольной огибающей интегратор заменен на радиоинтегратор, в качестве которого часто выступает полосовой фильтр, в частности колебательный контур или резонансный усилитель с колебательным контуром в коллекторной цепи). Ниже представлена структурная схема. Увеличение ОСШ происходит благодаря тому, что сигнал узкополосный, а помеха широкополосная.

Так же накопитель дает увеличение ОСШ в раз, где m количество импульсов в пачке. Из-за дороговизны и сложности реализации ЛЗ, в реальных задачах все чаще используют метод с цифровым накоплением. Тогда вероятность ложной тревоги и верного обнаружения задаются следующими соотношениями:

Структура накопителя(все коеф. «а» = 1):

Схематично работа накопителя представлена ниже:

Из-за того что периоды следования импульсов равны как и длительности импульсов, можно использовать вместо набора линий задержек только одну, поставить так называемый рециркулятор с накопителем.

В нашем случае идеальный, без потерь. Структурная схема СФ.

Подробнее о структуре и расчетах СФ можете почитать в и .

При вероятности нахождения там сигнала >0.6 принимается решение, что сигнал зарегистрирован.

Часть 4. ПО для сравнения

Архитектура программы в своей структуре содержит «два флажка»,

bool flag1 = false; bool flag2 = false;

при старте программы они оба неактивны, имеется метод, который каждый раз, как опрашивается окно проверяет активны ли флажки, если активен первый флажок зачисляется 1 балл согласованным фильтрам. Если же второй, то балл зачисляется нейронной сети. В любом случае все параметры возвращаются в исходное положение.

Итог

Было проведено 20 экспериментов, в которых использовался, согласованный фильтр настроенный на исследуемый сигнал, ОСШ = 0.4, результат: 16:4 в пользу СФ. После чего была изменена длительность сигнала на 5%, результат: 2:18 в пользу НС. Из этого можно сделать вывод, что при ИЗВЕСТНЫХ параметрах СФ работает намного лучше чем ИНС, но когда параметры не известны, или могут варьироваться, целесообразней использовать ИНС.

Литература:

Согласованная фильтрация.

Альтернативой корреляционному методу обработки сигналов являются согласованная фильтрация, осуществляющая сжатие сигнала не по спектру, а по времени. Основным преимуществом таких фильтров является их инвариантность к задержке сигнала, когда максимум выходного напряжения не зависит от времени прихода (задержки) сигнала. Применение согласованных фильтров обеспечивает, как и в случае корреляционной обработки сигнала, минимальную вероятность появления ошибки. Это достигается фильтрацией искаженного шумом сигнала, с помощью фильтра, обладающего импульсной характеристикой h(t), являющейся зеркальными отображением входного сигнала, сдвинутой во времени. Такой фильтр называется согласованным.

В отличие от привычного фильтра с П-образной амплитудно-частотной характеристикой Колмогоровым А.Н. и Винером Н. решена задача синтеза фильтра оптимального по отношению к заданному сигналу, действующему на фоне помех с известными статистическими характеристиками. Критерием оптимальности чаще всего выбирается условие достижения максимального отношения сигнал/шум. Для сигнала в(0, обладающего спектром 5(щ)

где (р? (со) — фазовая характеристика спектра сигнала.

Искомая передаточная функция фильтра имеет вид

При действии на входе фильтра «белого» шума с равномерным энергетическим спектром ТУ, отношение сигнала в некоторый пиковый момент времени С) к среднеквадратичному (эффективному) значению шума достигает максимума при условиях:

или

где А — некоторый постоянный коэффициент.

Из соотношения (11.120) следует, что

Выражение (11.121) показывает, что фильтр срк (со) осуществляет компенсацию фазы любой из компонент сигнала (рх(со) в нулевой момент времени (1о = 0). Реально это достигается не ранее момента окончания действия сигнала на входе фильтра, т.е. когда > Т, Т — длительность импульса.

Рис. 11.66

которая приведена на рис. 11.66а пунктирной линией.

Соотношение (11.120) показывает, что модуль передаточной функции фильтра К(со) должен совпадать с модулем спектральной плотности мощности сигнала Б (со). При амплитудно-частотной характеристике К(со), удовлетворяющей условию (11.120) фильтр (рис. 11.666) пропускает шумовые составляющие неравномерно и ослабление увеличивается с уменьшением модуля 8(со). Это приводит к значительному уменьшению мощности шума на выходе фильтра и распределение спектральной плотности шума из равномерной становится близкой к нормальному с выходной мощностью 8швых(а?) = К2(со)И0 (приведена нормированная кривая для А 8(0) = 1).

Ослабление сигнала из-за неравномерности К(со) существенно меньше по сравнению с уменьшением шума, что объясняется тем, что снижение К(со) приводит к уменьшению составляющих спектра сигнала слабо влияющих на величину его пика. Это приводит к ослаблению шума относительно сигнала и, с учетом действия механизма фазовой компенсации, максимизации отношения сигнал/шум на выходе фильтра.

При действии на входе согласованного фильтра сигнала и помехи выходное напряжение определяется выражением

и-.(0 = 2-Ь(а>ЖС/®У“

Подставляя в (11.123) вместо К(]со) выражение, соответствующее оптимальному коэффициенту передачи фильтра (11.121) получим

Учитывая, что

выражение (11.137) приобретает вид

Для момента достижения максимального значения (пика) выходного напряжения 1 = 1о

выражение (11.126) принимает вид

где Е — полная энергия входного сигнала. Это указывает, что пиковое значение сигнала на выходе оптимального фильтра зависит только от энергии входного сигнала, что объясняется компенсацией фаз спектра сигнала.

Воздействие на единичный импульс позволяет определить импульсную реакцию согласованного фильтра (через преобразование Фурье)

Учитывая, что S*{jco) = S(-co), выражение (11. 128) в новой переменной сох = -со выглядит

Выражение (11.129) показывает, что для сигнала на входе оптимального (согласованного) фильтра s(t) его импульсная реакция является зеркальным отображением входного воздействия, сдвинутым на Ц/2 , являющейся для него точкой симметрии.

Вводя новую переменную t-x = у получим выражение (11.130) в виде

что описывает автокорреляционную функцию входного сигнала R(t-to). Откуда выходной сигнал определяется как

Откуда следует, что сигнал на выходе согласованного (оптимального) фильтра с точностью до постоянного коэффициента А совпадает с автокорреляционной функцией входного сигнала.

При обработке сигналов с цифровой модуляцией временной сдвиг to, при котором достигается компенсация фазовых сдвигов (максимум выходного напряжения), выбирается равным длительности импульса информационной последовательности Т.

Условием согласованности является формирование частотной характеристики фильтра, при которой импульсная характеристика фильтра h(t) связана с сигналом u(t) соотношением h(t) = и(Т -t). В этом случае задержка сигнала на время т приводит к появлению отклика на выходе согласованного фильтра (СФ), максимальное значение которого достигается в момент t = т + Т.

Ширина спектра сигнала на выходе СФ практически не изменяется, а длительность его увеличивается в величину, равную базе сигнала В, что приводит к повышению помехо защищенности сигнала.

Если сигнал представляет собой пачку импульсов, то основным средством повышения помехоустойчивости приема является метод накопления. Для обнаружения некогерентного пакета импульсов сигнал vluo (t,) после синхронного детектирования (рис. 11.62) и усиления каскадом УПЧ, согласованного по полосе со спектром одиночного импульса, поступает на вход синхронного накопителя (согласованного фильтра).

Примером реализации СФ для пакета ПСП длиной Т вида 1110010 является структура, приведенная на рис. 11.67

Рис. 11.67

Импульсная характеристика синхронного накопителя может рассматриваться как зеркальное отображение прямоугольного пакета видеоимпульсов, т.е. является согласованным фильтром. Дискретная форма широкополосного сигнала (несущая модулированная ПСП) позволяет реализовывать СФ на дискретных элементах. Линия задержки, каждый вывод которой обеспечивает отставание во времени на длину чипа (элементарного импульса), при длине пакета в семь чипов. Указанный порядок соединения и дополнительные фазовые сдвиги на л, обеспечивают согласование каждой ячейки с /с-ым чипом радиосигнала ик вх (7). Напряжение на выходе СФ (рис. 11.68) достигает максимального значения на выходе сумматора в момент окончания пакета, на интервале в два чипа.

Рис. 11.68

Напряжение на выходе СФ со сдвигом г, определенным значением точки симметрии и составляющим примерно гу2, повторяет в реальном времени автокорреляционную функцию радиосигнала. На выходе детектора напряжение изменяется пропорционально огибающей входного сигнала и имеет максимум в момент времени t = т + I Выигрыш в отношении сигнал/шум по мощности, который обеспечивает СФ, равен числу накапливаемых импульсов п. В момент окончания пакета на выходе согласованного фильтра пиковая мощность возрастает в п2 раз по сравнению со входом. Мощность шума в этот момент тоже увеличивается, но только в п раз, поскольку шумовые напряжения в отличие от сигнала не коррелированны между собой. Поскольку момент прихода пакета известен точно, то в момент окончания ожидаемого сигнала Т на выходе СФ создается напряжение пропорциональное сумме независимых выборок квазигармонического сигнала, обладающее распределением, близким к нормальному.

Техническая реализация согласованного фильтра задается скоростью чиповой последовательности и определяется в основном параметрами линии задержки: полосой пропускания, длительностью задержки (элемента сигнала) и стабильностью параметров. Устойчивость значений временных сдвигов является основным показателем, определяющим возможность синфазного сложения выходных напряжений с отводов линии задержки. Перспективным является применение аналоговых согласованных фильтров на поверхностных акустических волнах, обеспечивающих обработку широкополосных сигналов (десятки мегагерц) с большой базой.

Основное применение СФ в существующих системах мобильной связи обусловлена их инвариантностью ко времени, что упрощает вход в синхронизм при корреляционном приеме и алгоритм обработки многопозиционных сигналов. В приемнике с технологией WCDMA согласованные фильтры применяются для управления работой опорных генераторов псевдослучайных последовательностей, обеспечивающих вхождение в синхронизм восстановленной последовательности с маркерной.

СОГЛАСОВАННЫЕ ФИЛЬТРЫ

  • Реализация согласованных фильтров

    Найденные соотношения, определяющие амплитудно-частотную и импульсную характеристики согласованного фильтра, дают возможность определить физическую структуру устройства для оптимальной фильтрации входного сигнала известной формы. Оценим возможности реализации согласованных фильтров. Согласованный фильтр…
    (ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ)

  • Схемы согласованных фильтров

    На рис. 5.1 показана структурная схема фильтрации с СФ радиосигнала длительностью Ts. При t = Ts электронный ключ включается и на выходе образуется сигнал оценки решения (плюс — сигнал есть, минус — сигнала нет). Рис. 5.1. Структурная схема устройства с согласованным…
    (РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: ОСНОВЫ ТЕОРИИ)

  • Цифровые согласованные фильтры

    В современных РЛС обработка сигналов производится на специальных ЭВМ с быстрой цифровой обработкой и фильтрацией цифровыми методами. В согласованном аналоговом фильтре откликом является интеграл свертки: Рис. 10.2. Конструкция ВШП ДУЛЗ с использованием ПАВ (подложка — пьезокварц) где h…
    (РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: ОСНОВЫ ТЕОРИИ)

  • Найденные соотношения, определяющие амплитудно-частотную и импульсную характеристики согласованного фильтра, дают возможность определить физическую структуру устройства для оптимальной фильтрации входного сигнала известной формы. Оценим возможности реализации согласованных фильтров. Согласованный фильтр…
    (ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОСВЯЗИ)
  • На рис. 5.1 показана структурная схема фильтрации с СФ радиосигнала длительностью Ts. При t = Ts электронный ключ включается и на выходе образуется сигнал оценки решения (плюс — сигнал есть, минус — сигнала нет). Рис. 5.1. Структурная схема устройства с согласованным…
    (РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: ОСНОВЫ ТЕОРИИ)
  • В современных РЛС обработка сигналов производится на специальных ЭВМ с быстрой цифровой обработкой и фильтрацией цифровыми методами. В согласованном аналоговом фильтре откликом является интеграл свертки: Рис. 10.2. Конструкция ВШП ДУЛЗ с использованием ПАВ (подложка — пьезокварц) где h…
    (РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: ОСНОВЫ ТЕОРИИ)

Согласованная фильтрация сигнала в шуме.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда необходимо передать максимум мощности от источника к нагрузке не на одной частоте, а в диапазоне частот. Этот случай является типичной для радиотехники задачей выделения сигнала uс(t), имеющего в некоторой полосе частот спектр , из его смеси с шумом uш(t). Упрощённая схема радиосистемы для этого случая приведена на рис. 6.5. Источником сигнала в данном случае является формирующий фильтр с частотной характеристикой S(ω). При возбуждении этого фильтра коротким импульсом на его выходе формируется сигнал со спектром U(ω), который усиливается в передатчике и излучается в пространство. На приёмной стороне этот сигнал вновь усиливается и попадает в согласованный фильтр, который является нагрузкой и имеет частотную характеристику H(ω). Наша задача – найти H(ω), позволяющую получить на выходе этого фильтра максимальную мощность сигнала, а, следовательно, и максимальное отношение сигнал/шум. При рассмотрении этой схемы предполагаем, что все остальные звенья (антенны, пространство, передатчик, приемник) достаточно широкополосны и не вносят изменений в спектр выходного сигнала формирующего фильтра.

Рассмотрим некоторые предположения относительно характера шума, который попадает в согласованный фильтр вместе с сигналом. Если шум стационарный, распределение его произвольно, а зависимость его спектральной плотности от частоты известна и равна Nш(ω), то фильтр, выделяющий сигнал из смеси с таким шумом, называется оптимальным. Если шум имеет нормальное (гауссово) распределение, то его спектральная плотность в полосе частот от 0 до +¥ (в том числе и в полосе частот фильтра) полагается постоянной и равной N Вт/Гц. Если спектры сигнала и шума представлены в комплексной форме, то спектральная плотность нормального шума рассматривается в полосе частот от −¥ до +¥. В этом случае его спектральная плотность принимается равной N/2 Вт/Гц. Фильтр, выделяющий сигнал из смеси с нормальным шумом, называется согласованным.

Спектр сигнала на выходе согласованного фильтра (по напряжению) определяется произведением U(ω)H(ω). Являясь сомножителем этого произведения, частотная характеристика фильтра может изменять этот спектр: некоторые участки подчёркивать, увеличивать, а некоторые, наоборот, сглаживать, уменьшать. Эта роль H(ω) имеет основное значение. Чтобы найти сигнал на выходе фильтра uс(t)вых, необходимо применить к спектру U(ω)H(ω) обратное преобразование Фурье:

Мощность этого сигнала на выходе фильтра равна:

Если шумовое напряжение имеет нормальное распределение, то спектральная плотность мощности шума на выходе фильтра определяется выражением: N·H2(ω), а мощность шума будет равна: .

Отношение сигнал/шум представляет практический интерес в момент t0, когда на выходе фильтра формируется максимум сигнала uc(t0)вых=U(t0).Поскольку начало отсчета времени может быть выбрано произвольно, будем полагать t0=0.

Тогда отношение сигнал / шум по мощности примет вид:

Чтобы найти максимальное значение этого отношения, используем известное из математики неравенство Буняковского-Шварца, которое в общем случае имеет вид:

Это неравенство превращается в равенство при f1(х)=f2(x). Если входящие в него функции являются комплексными, то неравенство переходит в равенство при , где — функция, комплексно-сопряжённая с f1(x).

Полагая f1(x)=U(ω), а f2(x)=H(ω) получим:

Поскольку величина является полной энергией сигнала Е, можно записать .

Максимальное отношение сигнал/шум будет получено тогда, когда это неравенство перейдет в равенство. Для этого необходимо, чтобы H(ω)=U(ω). При выполнении этого условия отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра в момент t0 будет равно отношению полной энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума при любом виде частотной характеристики фильтра и спектра сигнала .

Если частотная характеристика фильтра H(ω) и спектр сигнала U(ω) являются комплексно сопряженными функциями H(ω)=U*(ω), то спектральная плотность нормального шума равна N/2 Вт/Гц и максимальное отношение сигнал/шум примет более известную форму:

Это означает, что максимум энергии сигнала выделится в фильтре в момент t0 в том случае, когда его частотная характеристика будет комплексно сопряжённой со спектром сигнала. Комплексная сопряженность частотной характеристики согласованного фильтра и спектра сигнала означает, что амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра должна совпадать со спектром входного сигнала и, следовательно, совпадать с амплитудно-частотной характеристикой формирующего фильтра. Фазо-частотная характеристика согласованного фильтра должна быть равна фазо-частотному спектру сигнала, взятому с обратным знаком и, следовательно, равна зеркальному отражению фазо-частотной характеристики формирующего фильтра.

При выводе отношения сигнал/шум не учитывалось усиление или ослабление сигнала при передаче его от формирующего фильтра в согласованный фильтр, а также его задержка во времени и смещение по фазе при распространении в пространстве, поскольку эти параметры не влияют не получение максимального отношения сигнал/шум на выходе согласованного фильтра.

В схеме рис. 6.5 прослеживается полная аналогия со схемой рис. 6.4, описанной в предыдущем разделе. Здесь также с одной стороны расположен источник сигнала – формирующий фильтр. Внутреннее комплексное сопротивление этого фильтра имеет активную и реактивную части, изменяющиеся в полосе его рабочих частот. Это, соответственно, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики фильтра. С другой стороны имеется нагрузка (согласованный фильтр), комплексное сопротивление которой также имеет активную и реактивную части (соответственно, амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики). Для получения в нагрузке максимума сигнала эти две части системы должны на всех частотах спектра удовлетворять условиям равенства амплитуд (определяемых амплитудно-частотными характеристиками) и противоположности фаз (определяемых фазо-частотными характеристиками). Если спектр рассматриваемого сигнала представить в дискретном виде, то есть в виде набора отдельных частот, расположенных в его рабочей полосе, то для согласования источника и нагрузки на каждой частоте потребуется выполнение условий, приведённых в разделе 6.1.для одночастотной схемы. При объединении результатов, полученных для всех частот, мы вновь получим равенство H(ω)=U*(ω).

Таким образом, согласованная фильтрация сложных сигналов фактически определяется совпадением активных и противоположностью реактивных сопротивлений источника (формирующего фильтра) и нагрузки (согласованного фильтра).

В схеме рис. 6.5. имеются активные элементы: передатчик и приёмник, а также участок пространства, в котором рассеивается значительная часть энергии источника сигнала. Это не позволяет выявить в явном виде другую особенность взаимодействия источника и нагрузки — передачу в нагрузку только половины мощности источника. Для учета этой особенности необходимо учитывать потери в пространстве и усиление сигнала при передаче и приеме.

6.3. Согласование приёмной антенны с пространством

Теперь обратимся к случаю, когда энергия поступает в нагрузку непосредственно из открытого пространства.

Рассмотрим простую приёмную антенну в виде провода длиной l, на которую падает плоская волна электромагнитного поля с напряженностью Е. ЭДС индукции, которая наводится на антенне под влиянием этого поля, будет равна U=E×l. В результате антенна становится источником энергии для входной цепи приёмника. Мощность этого источника РПАД=UI, где I − ток в цепи антенна − входная часть приемника, определяемый общим сопротивлением этой цепи, которое состоит из сопротивления самого источника и сопротивления нагрузки. Внутренним сопротивлением этого источника энергии является сопротивление излучения антенны, имеющее активную и реактивную составляющие. Входная цепь приемника, которая является для антенны нагрузкой, также представляет собой сопротивление, имеющее как активную, так и реактивную часть. Таким образом, соединение антенны и входной цепи приёмника можно представить в виде схемы, показанной на рис.6.6.

Рис. 6.6 Схема соединения сопротивлений антенны и приемника

Нетрудно видеть, что эта схема ничем не отличается от схемы рис.6.4 кроме индексов при буквах, обозначающих внутреннее сопротивление источника энергии. Но, в отличие от обычного источника энергии, имеющего сопротивления RИ и ХИ, у источника энергии − антенны такими сопротивлениями являются её сопротивления излучения RИзл и ХИзл. При строгом подходе полное активное сопротивление антенны должно включать в себя также сопротивление омических потерь RП в антенне. Но обычно эти потери невелики RП<<RИзл и ими можно пренебречь по сравнению с потерями на излучение или прибавить их к омическим потерям во входной цепи приёмника.

Условия передачи максимальной мощности в схеме рис.6.4 получены в разделе 6.1. Используем эти условия. Тогда для согласования антенны с приемником необходимо, чтобы активные сопротивления RН и RИзл были равны, а реактивные сопротивления антенны XИзл и входной цепи приёмника XН компенсировали друг друга, то есть были равны по абсолютной величине, но имели бы разные знаки.

Рис. 6.7 Взаимодействие диполя с падающей волной

Тогда мощность, получаемая антенной из пространства РПАД, разделится на две части. Одна часть мощности, передаваемая в нагрузку (входную цепь приёмника), будет равна:

,

а другая часть мощности

будет возвращаться в антенну. Но активным сопротивлением антенны является сопротивление излучения RИзл. Поэтому мощность РИЗЛ, выделяемая на этом сопротивлении, будет излучаться обратно в пространство и суммироваться (интерферировать) с падающей волной (рис. 6.7).

Таким образом, мы приходим к важному выводу: при согласовании антенны с приемником на его входе выделяется только половина мощности электромагнитного поля, падающего на антенну. Другая половина этой мощности выделяется в антенне. Это означает, что при согласованном приеме радиосигналов происходит излучение приемной антенны.

Эти два электромагнитных поля: падающее на антенну и излученное обратно, взаимодействуют (интерферируют) в окружающем антенну пространстве. Рассмотрим этот процесс. Мощность падающего поля равна РПАД = E×H×S, гдеS – площадь антенны, на которую падает поле.

Общая мощности РПАД, которая проходит за единицу времени через сечение антенны, делится на мощности РНАГР и РИЗЛ, которые связаны с плотностью потока энергии, падающего на антенну, и ее площадью следующими выражениями:

РНАГР = E×H×SПОГЛ; РИЗЛ = E×H×SИЗЛ;

где Е и Н – электрическая и магнитная составляющие поля,

SПОГЛ и SИЗЛ – эффективные сечения (или площади) антенны, соответствующие доле мощности, поглощаемой антенной и передаваемой в нагрузку, и доле мощности, излучаемой обратно в пространство. В общем случае эти площади могут быть не равны физической площади антенны, а также не равны между собой. Рассмотрим, от чего зависят эти площади у отрезка провода, имеющего длину l. Для антенн, обладающих поверхностью (рамка, элемент плоскости и т.д.), необходимо учитывать площадь этой поверхности.

Учитывая, что ЭДС индукции равна U=E×l, представим мощности РНАГР и РИЗЛ в виде:

; .

Так как − волновое сопротивление среды, можем записать:

; отсюда: .

Это и есть эффективные сечения провода, соответствующие поглощению электромагнитной волны и ее переизлучению. Очевидно, что при согласованной нагрузке SПОГЛ=SИЗЛ.

Теперь рассмотрим, как физически формируется эффективная площадь антенны.

Рис. 6.8 Интерференция полей в пространстве вокруг антенны

Суммарное поле является суммой двух полей: падающего плоского поля и сферического поля, переизлучаемого приёмной антенной (рис.6.7). Полный поток энергии в этом случае будет выглядеть как сумма трёх составляющих: первой, образуемой плоским падающим полем; второй, возникающей от сферического поля, излучаемого диполем и третьей, являющейся результатом интерференции этих двух полей. Именно эта третья составляющая определяет эффективное сечение антенны в пространстве, которое отличается от его физического се­чения и от которого зависит количество энергии «перехватываемой» антенной из падающего на нее поля. Чтобы представить себе связь интерференции указанных полей с эффективным сечением антенны, обратимся к рис.6.8.

На рисунке показано сечение провода, через которое снизу вверх распространяется плоское электромагнитное поле. Слева направо проходят магнитные силовые линии этого поля. Электрические силовые линии поля направлены перпендикулярно магнитным (перпендикулярно плоскости рисунка) и их сечение изображено в виде кружочков с крестиком. Направление перемещения энергии, соответствую­щее направлению распространения поля, показано штриховыми линиями.

Когда магнитные силовые линии падающего поля пересекают провод, силы Лоренца вызывают в нем движение электронов, возникает электрический ток, который в свою очередь вызывает круговые (сферические, так как диполь очень мал) магнитные силовые линии вторичного поля вокруг антенны. Эти линии, складываясь с магнитными силовыми линиями падающего первичного поля, образуют суммарное поле, линии распространения которого искривляются, как показано на рисунке.

В результате искривляются и линии перемещения энергии и на провод начинают «замыкаются» не только линии, непосредственно проходящие через его сечение, но и линии, находящиеся в стороне от этого сечения. Теперь провод собирает энергию с площади, значительно превышающей это сечение. Этот эффект равносилен увеличению поверхности провода, поэтому такая площадь называется его эффективным сечением. Эффективное сечение может превышать физическое в десятки и сотни раз.

Таким образом, относительные величины мощностей, как попадающей во входную цепь приёмника, так и переизлучаемой приёмной антенной, зависят от относительных величин RН и RИзл. Меняя RН можно менять интенсивность переизлученного поля и, следовательно, изменять эффективное сечение антенны. А величина этой интенсивности и определяется интерференционной составляющей суммарного электромагнитного поля.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *