Этапы развития натурального числа

Содержание

«Этапы развития понятий натурального числа и нуля»

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Ростовской области

«Волгодонский педагогический колледж»

Реферат

Тема: «Этапы развития понятий натурального числа и нуля».

Дисциплина: Математика.

Выполнила: Мерикова Эльмира Александровна.

Проверила: Молотова Наталья Евгеньевна.

Волгодонск 2017

Введение…………………………………………………………………………….3

1.Зарождение счета в глубокой древности……………………………………….4

2.История возникновения понятия натурального числа………………..……….5

3.Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел…………………..……9

4.Натуральные числа, основные функции натуральных чисел………………..10

5.История возникновения нуля………………..……………………………..…..11

Заключение…………………………………………………………….………….12

Список литературы……………………………………………………………….13

Введение

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами. Что же понимается под словом «число»? Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из соответствующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707г.) Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу…. Целое число есть то, что измеряется единицей…». В настоящее время, математик С.Ф. Клюйков также внес свой вклад в определение числа: «Числа — это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания».

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480-524г. г.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался французский математик Даламбер (1717-1783г. г.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо простых понятий. При работе над рефератом появилась возможность подробнее узнать историю возникновения числа, и понятия натурального числа.

Зарождение счета в глубокой древности.

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века — палеолита. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисления Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.

Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами «один» и «много». Появление элемента «два» объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой, «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие «четыре», так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой — возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.

Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.

На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.

История возникновения понятия натурального числа.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона.

У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы (пальцевой счет, о котором говорилось ранее), что без сомнений подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея — обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов — десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков — цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов (в устной речи) и в форме обозначения специальными знаками (в письменной).

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких — либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматическогометода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность.

Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития.

Было время, когда люди не умели считать. Чтобы сравнить конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами или между одним из множеств и подмножеством другого множества, т.е. на этом этапе человек воспринимал численность предметов без их пересчета. Например, о численности группы из двух предметов он мог говорить: «Столько же, сколько рук у человека», о множестве из пяти предметов — «столько же, сколько пальцев на руке». При таком способе сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы.

В результате очень долгого периода развития человек пришел к следующему этапу создания натуральных чисел — для сравнения множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя и на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла, например, о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Так, у некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов — словами «весь человек».

Только после того как человек научился оперировать множествами-посредниками, установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например, яблок, не перечислялись уже «одно яблоко», «два яблока» и т.д., а проговаривались слова «один», «два» и т.д. Это был важнейший этап в развитии понятия числа. Историки считают, что произошло это в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно в 10-5 тысячелетии до н.э.

Возникновение понятия натурального числа было важнейшим моментом в развитии математики. Появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. С развитием понятия натурального числа как результата счета предметов в обиход включаются действия над числом. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счета равными частями (по два, по три…), деление — как деление совокупности на равные части. Лишь во многовековом опыте сложилось представление об отвлеченном характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика». Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Следовательно, арифметика — это наука о числе.

Термин «натуральное число» впервые употребил в V в. римский ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги «О введении в арифметику», которая до XVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки, от состояния которого зависела и прочность всего здания математики. В связи с этим появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Так как математика XIX века перешла к аксиоматическому построению своих теорий, то была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на исследование природы натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств. Конечно, в созданных теориях понятия натурального числа и действий над ними получили большую абстрактность, но этим всегда сопровождается процесс обобщения и систематизации отдельных фактов.

Дальнейшие расширения понятия числа обусловлены уже не непосредственными потребностями счета и измерения, но явились следствием развития математики.

Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел

Как мы ранее рассмотрели, арифметика — это наука, изучающая числа и действия над ними. Счет является основой арифметики. Прежде чем научиться вычислять, надо научиться считать и уметь записывать числа. Для счета люди пользуются названиями чисел и особыми знаками для краткого их обозначения. Знаки для изображения чисел называются цифрами. Практически на всем земном шаре алфавитом в языке цифр служат десять цифр (от 0 до 9), эти цифры называются арабскими. Девять из них используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а для обозначения отсутствия предметов употребляется число нуль, которое изображается цифрой 0. Все числа: 1, 2, 3, 4,…17,18 и т.д. без конца называют натуральным рядом чисел, а сами числа — натуральными числами. В натуральном ряду каждое число, начиная с 2, на единицу больше предыдущего. Натуральные числа получаются при счете предметов и при измерении величин. Но если при измерении появляются числа, отличные от натуральных, то счет приводит только к числам натуральным. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных, которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо. Иначе говоря, нужен отрезок натурального ряда. Поэтому, решая задачу обоснования системы натуральных чисел, в первую очередь надо было ответить на вопрос о том, что же представляет собой число как элемент натурального ряда. Ответ на него был дан в работах двух математиков — немца Грассмана и итальянца Пеано. Они предложили аксиоматику, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Долго и трудно добиралось человечество до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, вещи, животные.

Натуральные числа, основные функции натуральных чисел.

Натуральные числа являются целыми числами. К целым числам относится и нуль, но оно не принадлежит к натуральным числам. Не следует смешивать понятия «числа» и «цифры». Различных чисел можно записать сколько угодно, а цифр — только десять. Любое натуральное число мы записываем с помощью этих десяти цифр. Производя счет предметов, используют натуральное число как характеристику порядка. В задачах, связанных с измерением величин, число выступает как значение величины при выбранной единице, т.е. как мера величины. Большое внимание уделяется еще одной роли числа — как компоненту вычислений. Таким образом, натуральное число имеет много функций.

Основными функциями натуральных чисел являются:

1. Характеристика количества предметов;

2. Характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т. т.) и количественного числа (один, два и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.).

История возникновения нуля.

Ноль (нуль) (от лат. Nullus — никакой) — название первой (по порядку) цифры в стандартных системах исчисления, а также математический знак, выражающий отсутствие значения данного разряда в записи числа в позиционной системе счисления. Цифра ноль, поставленная справа от другой цифры, увеличивает числовое значение всех левее стоящих цифр на разряд (соответственно, в десятичной системе счисления, умножает на десять.).

В Индии.

Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие.

Индийцы называли знак, обозначающий отсутствие какого-либо разряда в числе, словом «сунья», что значит пустой (разряд, место). Арабы перевели это слово по смыслу и получили слово «сыфр», от него и ведет происхождение слово «цифра». Впервые цифру ноль использовал в своих рассказах Харязми. Первое достоверное сведение о записи нуля относится к 876г.; в настенной надписи из Гвалиора (Индия) имеется число 270. Некоторые исследователи предполагают, что нуль был заимствован у греков, которые ввели в качестве нуля букву «о» в шестидесятеричную систему счисления, употребляемую ими в астрономии. Другие, наоборот, считают, что ноль пришел в Индию с востока, он был изобретен на границе индийской и китайской культур. Обнаружены более ранние надписи от 683 и 686г. г. в нынешних Камбодже в Индонезии, где нуль изображен в виде точки и малого кружка. Индийцы вначале изображали нуль точкой. Когда индийцы в V веке н.э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство которой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей.

математика число нуль натуральный.

Заключение

На первых ступенях развития, понятие числа определялось потребностями счета и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки. Мир полон тайн и загадок. Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

Рассмотрев данную тему, можно с уверенностью сказать, что исторические сведения изменчивы, и со временем мы можем узнать много нового о том, что, казалось бы, уже известно, а также будет открыто что-то не менее интересное и, в настоящее время, неизученное.

Список литературы

2. Марков С.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. — Иркутск: Издательство иркутского университета, 1995. 248 с.

ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.

Числа 1, 2, 3,… называют натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. Возникло оно из потребности практической деятельности людей Чтобы прийти к понятию числа, человек в своем развитии прошел несколько этапов:

I. Множества сравнивались непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. («Яблок столько, сколько человек за столом»). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

И.Н.Лузин (крупнейший математик современности):

«Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась история величайшей из наук».

IV.Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений.

Числа стали предметом изучения и возникла наука арифметика. Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран Арабского мира, а начиная с 18 в. — европейскими учеными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (ок.480 — 524 г.г.).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики который называется теорией чисел.

Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с количеством пальцев на руке, затем исполь­зуют натуральные числа при счете.

НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА. СЧЕТ.

К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение — к действительному числу.

Множество натуральных чисел называют натуральным рядом. Он обладает свойствами:

— имеется начальное число (1),

— за каждым числом следует только одно число,

— каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1).

— натуральный ряд бесконечен.

При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения количества элементов в множестве.

Например, чтобы определить число элементов в множестве ( а..с.b.е ), нужен отрезок натурального ряда {1,2,3,4,5 }.

Отрезком натурального ряда N называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

N5 = { 1,2,3.4,5}

Во время счета мы следуем некоторым правилам:

— считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного,

— числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропус­кая ни одного и не используя дважды.

Счетом элементов множества А называется установление вза­имно однозначного соответствия между множеством А и отрезком 1 натурального ряда Na

Число а называют числом элементов в множестве А. оно единствен­ное для данного множества и является характеристикой количества эле­ментов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.

В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий,…), т.е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.

Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.

Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т.е. запомнил последовательность числительных/ При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное со­ответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов сосчитывание одного предмета несколько раз, непо­нимание сколько же всего предметов и др.).

Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен пе­реход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.

10. Способы записи чисел особенности десятичной системы счисления.

СПОСОБЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ.

Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой про­блемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.

Система счисления — язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Следы этой системы сохранились и сегодня в стремлении считать парами. В компьютерной технике также используется двоичная система счисления.

Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др.

В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.

Сейчас наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:

шестидесятеричная — при измерении времени,

двенадцатеричная — при счете дюжинами,

двоичная — при счете парами и др.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:

I — один V — пять X — десять L — пятьдесят С — сто D— пятьсот М — тысяча

Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифме­тических действий: сложения и вычитания. Например IV— четыре (5 — 1 = 4), VI — шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная — где бы не стоял знак V или I — он всегда имеет одно и то же значение.

Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни в записи 325 — цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 — цифра 2 обозначает единицы.

ОСОБЕННОСТИ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5457 — краткая запись числа «пять тысяч четыреста пятьдесят семь». Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго,

5- 103 + 4 102+5- 10 + 7.

Краткая запись числа выглядит так: а а а

Числа 1,10,102,103 ,…,10п называются разрядными единицами соответственно первого, второго и т.д. разряда.

10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего высшего разряда.

10 — основание системы счисления, поэтому она называется деся­тичной.

Три первых разряда образуют класс единиц следующие три разряда — классом тысяч, затем идет класс миллионов и др.

классы

миллионов

тысяч

единиц

разряды сот дес ед сот дес ед сот дес ед
млн млн млн тыс тыс тыс

Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел получаются из основных.

Некоторые вопросы наименования и записи чисел можно рассматри­вать с дошкольниками. Например:

1)— Отсчитаем 10 палочек. Перевяжем их. Это десяток. Десяток можно называть «дцать». Положим на десяток палочек еще одну. Всего одиннадцать палочек — «одиннадцать».

2) — Возьмем две связки. Это два десятка. Можно сказать «два дцать».

Объяснение происхождения названий чисел второго десятка, счет де­сятками дает хорошую подготовку дошкольникам к усвоению десятичной системы счисления в курсе математики в школе.

11. Этапы развития математики (по А.Н.Колмагорову).

Колмогоров выделяет следующие этапы в развитии математики:

Период зарождения математики, предшествующий греческой математике.

Период элементарной математики. Начало этого периода Колмогоров относит к 6-5 вв. до н.э., а его завершение к 17 в. Запас знаний, которые имела математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

Период математики переменных величин, который можно условно назвать периодом «высшей математики». Этот период начинается с употребления переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления.

Период современной математики. Началом этого периода Колмогоров считает создание Н.И. Лобачевским так называемой «воображаемой геометрии», которая положила начало расширению круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику 19 и 20 веков естественно отнести к особому периоду современной математики.

12. Эмпирический этап методики математического развития.

для первого этапа становления методики математического развития характерна ярко выраженная практическая направленность обучения элементам счета, использование наглядности, нацеленной прежде всего на тренировку знаний о числе и арифметических действиях (Д. Л. Волковский, Я. А. Коменский и др.). На этом этапе зародилась и развилась ставшая классической система сенсорного воспитания М. Монтессори, включающая «подготовку к изучению математики», основанную на использовании автодидактических материалов. На этом этапе были заложены основы для становления теории и методики математического развития дошкольников в СССР.

Второй этап становления и развития методики формирования математических представлений дошкольников связан с началом разработки теории и методики математической работы с детьми дошкольного возраста. На этом этапе теоретики и практики дошкольной педагогики стремились определить содержание, методы и приемы работы, дидактический и игровой материал, опираясь на идеи и педагогические взгляды ведущих ученых — психологов и педагогов.

13. Начальный этап становления теории и методики математического развития дошкольников.

II этап — становления методики математического развития дошкольников (с 20- 30 г.г. до середины 60г.) — определение содержания методов и приемов работы с детьми, определение дидактических материалов и игр в зависимости от педагогических взглядов и идей; -естественное математическое развитие ребёнка в детском саду и семье, по методу Е.И.Тихеевой. Создание развивающей среды, как условие полноценного математического развития; — разработка разнообразных методов Л.В.Глаголевой при обучении сравнению величин. — разработка дидактических игр, игровых занимательных упражнений как основной путь математического развития детей по методике Ф.Н.Блехер.

14. Научно обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений (А.М.Леушина).

III этап — научно-обоснованная дидактическая система формирования элементарных математических представлений, разработанная А.М.Леушиной (50-60 годы); — теоретическая и методическая Концепция формирования количественных представлений в дошкольном возрасте, определение объёма знаний и умений в области познания множеств и чисел с детьми 2-7 лет; — занятия, как ведущая форма организации работы педагога с детьми; -повседневная жизнь детей- это источник формирования элементарных представлений; -место и роль игр в формировании математических представлений и развитии личности ребёнка; — дидактический материал, как одно из средств формирования математических представлений.

Концепция складывается из: 1. Цель. 2. Содержание. 3. Методы и приёмы. 4. Дидактические средства. 5. Формы организации детей. Занятия становятся ведущей формой детской деятельности.

15. Содержание обучения, цель программ обучения математике.

Содержание математического развития отражено в Программе обучения детей математике, и условно можно его разделить на три направления: представления и понятия; зависимости и отношения; математические действия.

Под содержанием обучения понимаются объем и характер знаний, умений и навыков, которыми должны овладеть дети в процессе организации разных видов деятельности.

Разные математические понятия тесно связаны между собой. Так, в работе с детьми четвертого года жизни основное внимание уделяется формированию знаний о множестве. Дети учатся сравнивать «контрастные» и «смежные» множества (много и один; больше (меньше) на один). В дальнейшем, в группах пятого, шестого, седьмого годов жизни, знания о множестве углубляются: дети сравнивают множество элементов по количеству составляющих, делят множество на подмножества, устанавливая зависимости между целым и его частями, и т.п.

На основе представлений о множестве у детей формиру­ются представления и понятия о числах и величинах и т.д. Усваивая понятия о числах, ребенок учится абстрагировать количественные отношения от всех других особенностей элементов множества (величина, цвет, форма). Это требует от ребенка умения выделять отдельные свойства предметов, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Формирование понятий о величине тесно связано с развитием у детей числовых представлений. Сформированность оценок величины, знаний о числе позитивно влияет на фор­мирование знаний о форме предметов (у квадрата 4 стороны, все стороны равны, а у прямоугольника — только противоположные и т.д.).

В дошкольном возрасте основные математические поня­тия вводятся описательно. Так, при ознакомлении с числом дети упражняются в счете конкретных предметов, реальных и нарисованных (считают девочек и мальчиков, зайчиков и лисичек, круги и квадраты), попутно знакомятся с про­стейшими геометрическими фигурами, без всяких определе­ний и даже описаний этих понятий. Точно так же дети усва­ивают понятия: больше, меньше; один, два, три; первый, вто­рой, последний и т.д.

Каждое понятие вводится наглядно, путем созерцания конкретных предметов или практического оперирования ими.

Основной целью этого обучения являлась подготовка дошкольника к школьному обучению. «Работа по формированию у дошкольников элементарных математических представлений — важнейшая часть их общей подготовки к школе. В связи с переходом к обучению детей с шести лет внимание к этой работе должно быть усилено. Она начинается со второй младшей группы… Воспитатель заботится и о прочном усвоении детьми знаний, предусмотренных программой, и, что особенно важно, о развитии у них интереса

IV этап

Стр 1 из 7

Натуральные числа и нуль

Этапы развития понятия натурального числа

Числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …, называются натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. К возникновению понятия числа человека привели два вида деятельности: счет и измерение. Понятие числа возникло из практической потребности человека и прошло длительный путь в своем развитии.

Чтобы прийти к современному представлению о числе, человек прошел несколько этапов.

I этап.

Множества сравниваются непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. («Яблок столько, сколько человек за столом»). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

II этап.

Вводятся множества-посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы и др.). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств (например, «иметь поровну элементов»). Для ответа на вопрос «сколько?» малыши часто используют пальцы на руках как множества-посредники.

III этап.

Происходит отвлечение от природы множеств-посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорит: «Один камешек, два камешка, …», а называет числа: «Один, два, три, …». Это важнейший этап в развитии понятия числа. Человек научился абстрагироваться от других свойств множества, выделяя только количество элементов в нем.

IV этап.

Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счисления. Создание десятичной системы, понятия нуля в Древней Индии (V – VI вв. н.э.) решило многие проблемы в этой области и получило всемирное распространение.

История возникновения натуральных чисел и нуля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и молодежной политики Забайкальского края

Государственное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования

«Петровск-Забайкальский профессионально-педагогический техникум»

РЕФЕРАТ

по математике

Тема: » История возникновения натуральных чисел и нуля «

Выполнил:

Михрин Дмитрий Юрьевич

г. Петровск-Забайкальский 2011г.

Введение

1. Изучить историю возникновения натуральных чисел и нуля:

1.2. Рассмотреть историю возникновения понятия натурального числа, указать основные функции натурального числа;

Зарождение счета в глубокой древности

Пальцевой счёт

Появление систем счисления

Следы двенадцатеричной и шестнадцатеричной систем счисления сохранились и до нашего времени. Стоит вспомнить хотя бы счет часов в сутках, измерение углов градусами, минутами и секундами.

Письменная нумерация у древних народов

Развитие числовой записи всегда сопутствовало общему подъёму культурного уровня народов, а потому, протекало наиболее интенсивно в тех странах, которые быстро шли по пути развития государственности.

Нумерация государств Древнего Востока и Рима

Числа народов Средней Азии

Нумерация на Руси

Тысяча тысяч — тьма; Тьма тем — легион, или певедий;

Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

натуральное число ноль счисление

2. История возникновения понятия натурального числа

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения.

Числа возникли из потребности счета и измерения и претерпели длительный путь исторического развития.

Дальнейшие расширения понятия числа обусловлены уже не непосредственными потребностями счета и измерения, но явились следствием развития математики.

4. Натуральные числа, основные функции натуральных чисел

Основными функциями натуральных чисел являются:

2. Характеристика порядка предметов, размещенных в ряд.

5. История возникновения нуля

В Индии.

В Европе.

В России.

Ноль в других культурах

Список литературы

2. Марков С.Н. Курс истории математики: Учебное пособие. — Иркутск: Издательство иркутского университета, 1995. — 248с.

1. Из истории возникновения понятия натурального числа

  • •Министерство образования и науки украины
  • •Пояснительная записка
  • •Структура курса
  • •Модуль 1. Множества
  • •Тема 1. Множества и операции над ними
  • •Введение
  • •1. Понятие множества и элемента множества
  • •2.Способы задания множества
  • •3. Отношения между множествами. Подмножество
  • •Примеры
  • •4. Круги Эйлера-Венна
  • •Практическая работа. Понятие множества
  • •Тема 2. Операции над множествами
  • •1. Пересечение множеств
  • •2. Объединение множеств
  • •3. Законы пересечения и объединения множеств
  • •Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
  • •4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
  • •Практическая работа. Операции над множествами
  • •Вопросы к изучению
  • •Основные понятия
  • •Обозначения
  • •Практическая часть
  • •Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
  • •1. Понятие разбиения множества на классы
  • •Практическая работа. Разбиение множества на классы
  • •Вопросы к изучению
  • •Обозначения
  • •Правила
  • •Тема 2.2. Декартово произведение множеств
  • •1. Декартово произведение множеств
  • •2. Свойства операции нахождения декартова произведения
  • •3. Кортеж. Длина кортежа
  • •Практическая работа. Декартово произведение
  • •Вопросы к изучению
  • •Обозначения
  • •Правила
  • •Тема 3. Понятие соответствия Содержание
  • •1. Понятие соответствия между множествами
  • •Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
  • •2. Способы задания соответствий
  • •3. Соответствие обратное данному
  • •4. Взаимно однозначные соответствия
  • •5. Равномощные множества
  • •Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
  • •Тема 4. Числовые функции
  • •1. Понятие функции. Способы задания функций
  • •2. Прямая и обратная пропорциональности
  • •Основные понятия темы
  • •Основные выводы, замечания
  • •Тема 5. Отношения на множестве
  • •1. Понятие отношения между элементами одного множества
  • •2. Способы задания отношений
  • •3. Свойства бинарных отношений
  • •Практическая работа. Отношения на множестве
  • •Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
  • •Выражения и их тождественные преобразования.
  • •1. Выражения и их тождественные преобразования
  • •3. Уравнения с одной переменной
  • •4. Неравенства с одной переменной
  • •Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
  • •Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
  • •Контрольная (зачетная) работа
  • •Модуль 2. Математические утверждения и их структура
  • •Тема 7. Математические понятия Содержание
  • •1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
  • •Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
  • •2. Отношение рода и вида между понятиями
  • •4. Требования к определению понятий
  • •5. Неявные определения
  • •Практическая работа. Математические понятия
  • •Вопросы к изучению
  • •Представления о математических понятиях —
  • •Обозначения
  • •Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
  • •2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
  • •3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
  • •Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
  • •Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
  • •1. Высказывания с кванторами
  • •2. Истинность высказываний с кванторами
  • •3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
  • •Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
  • •Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
  • •1. Отношения следования между предложениями
  • •2. Отношения равносильности между предложениями
  • •Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
  • •Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Обозначения
  • •Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
  • •1. Структура теоремы
  • •2. Отличие теоремы от правила
  • •3. Виды теорем
  • •Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
  • •Тема 9. Математическое доказательство
  • •1. Понятие умозаключения.
  • •2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
  • •3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
  • •Все s1, s2,…, Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
  • •4. Неполная индукция
  • •5. Математическая индукция
  • •6. Аналогия
  • •7. Умозаключения «от противного»
  • •8. Некоторые виды неправильных умозаключений
  • •9. Логическая структура математической задачи
  • •10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
  • •Практическая работа. Математическое доказательство
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Практическая часть
  • •Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
  • •1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
  • •2. Структура процесса решения текстовой задачи
  • •2. Методы и способы решения текстовых задач
  • •3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
  • •1. Анализ задачи
  • •4. Поиск и составление плана решения задачи
  • •5. Осуществление плана решения задачи
  • •6. Проверка решения задачи
  • •7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
  • •Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Практическая часть
  • •Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
  • •1. Комбинаторика
  • •2. Правила суммы и произведения
  • •3. Размещения и сочетания
  • •Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
  • •Вопросы для коллоквиума
  • •Модуль 3. Целые неотрицательные числа
  • •Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
  • •1. Из истории возникновения понятия натурального числа
  • •2. Об аксиоматическом способе построения теории
  • •3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
  • •4. Количественные натуральные числа. Счет
  • •Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
  • •Вопросы для самоконтроля
  • •Задания для самостоятельной работы
  • •Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
  • •1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
  • •2. Теоретико-множественный смысл суммы
  • •3. Теоретико-множественный смысл разности
  • •4. Теоретико-множественный смысл произведения
  • •5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
  • •Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
  • •1. Позиционные и непозиционные системы счисления
  • •2. Запись числа в десятичной системе счисления
  • •Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
  • •Теоретическая часть
  • •Основные понятия темы
  • •Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
  • •1. Алгоритм сложения
  • •2. Алгоритм вычитания
  • •3. Алгоритм умножения
  • •4. Алгоритм деления
  • •Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
  • •Признаки делимости.
  • •Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
  • •1. Отношение делимости и его свойства
  • •2. Признаки делимости
  • •3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
  • •4. Простые числа
  • •5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
  • •Практическая работа. Делимость натуральных чисел
  • •Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
  • •1. Понятие дроби
  • •2. Положительные рациональные числа
  • •3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
  • •4. Действительные числа
  • •Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
  • •Вопросы к коллоквиуму
  • •Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
  • •Теоретико-множественный смысл суммы.
  • •Теоретико-множественный смысл разности.
  • •Признаки делимости.
  • •Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
  • •1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
  • •2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
  • •3. Смысл суммы и разности
  • •Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
  • •Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Определения, теоремы, выводы
  • •Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
  • •1. Понятие геометрической фигуры
  • •2. Углы
  • •3. Параллельные и перпендикулярные прямые
  • •4. Треугольники
  • •5. Четырехугольники
  • •Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
  • •1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  • •2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
  • •6. Многоугольники
  • •7. Окружность и круг
  • •8. Построение геометрических фигур на плоскости.
  • •1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
  • •2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
  • •3. Найти середину отрезка.
  • •4. Построить биссектрису данного угла.
  • •5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
  • •9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
  • •1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
  • •2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
  • •3. Гомотетия.
  • •10. Движения и равенство фигур
  • •Практическая работа. Решение геометрических задач
  • •Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Практическая часть
  • •Тема 20. Изображения пространственных фигур
  • •1. Свойства параллельного проектирования
  • •2. Многогранники и их изображение
  • •3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
  • •Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Практическая часть
  • •Тема 21. Геометрические величины
  • •1. Длина отрезка и ее измерение
  • •2. Величина угла и ее измерение
  • •3. Понятие площади фигуры и ее измерение
  • •4. Площадь многоугольника
  • •5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
  • •Практическая работа. Геометрические величины
  • •Теоретическая часть Вопросы к изучению
  • •Основные понятия темы
  • •Правила, замечания
  • •Практическая часть
  • •Список литературы
  • •Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
  • •Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)

Реферат

Министерство образования и науки Украины

ВП «Стахановский педколедж ЛНУ имени Тараса Шевченка»

на тему: «История возникновения понятий натурального числа и нуля»

выполнила проверила: Ермолаева О.В

студентка 22ПО Бондарь Ирина

Стаханов

Введение

1. Возникновение числа

1.1 Зарождение счета в глубокой древности

1.2 История возникновения понятия натурального числа

1.3 Счет как основа арифметики. Натуральный ряд чисел

1.4 Натуральные числа, основные функции натуральных чисел

1.5 История возникновения нуля

Заключение

Список литературы

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин; эта связь сохраняется и теперь. Во всех разделах современной математики приходится рассматривать разные величины и пользоваться числами. Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами. Что же понимается под словом «число»? Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Первое научное определение числа дал Эвклид в своих «Началах», которое он, очевидно унаследовал от своего соотечественника Эвдокса Книдского: «Единица есть то, в соответствии с чем каждая из соответствующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц». Так определял понятие числа и математик Магницкий в своей «Арифметике» (1703г.). Еще раньше Эвклида Аристотель дал такое определение: «Число есть множество, которое измеряется с помощью единиц». В своей «Общей арифметике» (1707г.) Исаак Ньютон пишет: «Под числом мы подразумеваем не столько множество единиц, сколько абстрактное отношение какой-нибудь величины к другой величине такого же рода, взятой за единицу…. Целое число есть то, что измеряется единицей…». В настоящее время, математик С.Ф. Клюйков также внес свой вклад в определение числа: «Числа — это математические модели реального мира, придуманные человеком для его познания».

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480-524г. г.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел. Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался французский математик Даламбер (1717-1783г. г.).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо простых понятий. При работе над рефератом появилась возможность подробнее узнать историю возникновения числа, и понятия натурального числа.

1. Возникновение числа

1.1 Зарождение счета в глубокой древности

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века — палеолита. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисления Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.

Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами «один» и «много». Появление элемента «два» объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой, «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие «четыре», так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой — возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.

Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее.

На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.

1. Объем и содержание понятия. Определение понятия (стр. 3 из 12)

1)при обозначении свойств класса объектов («Многие окружающие нас предметы имеют длину».)

2)при обозначении свойства конкретного объекта из этого класса («Этот стол имеет длину».)

3)при сравнении объектов по этому свойству. («Длина стола больше длины парты».)

Однородные величины— величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого класса.

Разнородные величины выражаютразличные свойства объектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).

Свойства однородных величин:

1.Однородные величины можно сравнивать. Для любых величин ab справедливо только одно из отношений: а < b, a > b, a = о.

Например, масса книги больше массы карандаша, а длина карандаша меньше длины комнаты.

2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В результате сложения и вычитания получается величина того же рода.

Величины, которые можно складывать, называются аддитивными. Например, можно складывать длины предметов. В результате получается длина. Существуют величины, которые не являются аддитив­ными, например, температура При соединении воды разной темпера­туры из двух сосудов, получается смесь, температуру которой нель­зя определить сложением величин.

Мы будем рассматривать только аддитивные величины. Пусть: а — длина ткани, b— длина куска, который отрезали, тогда: (а — b) — длина оставшегося куска.

3. Величину можно умножать на действительное число. Б результате получается величина того же рода. Пример: «Налей в банку 6 стаканов воды. » Если объем воды в стакане — v, то объем воды в банке — 6v.

4. Однородные величины делят. В результате получается неотрицательное действительное число, его называют отношением величин.

Пример: «Сколько ленточек длиной b можно получить из ленты длиной а ?» ( х = а : b )

5. Величину можно измерить.

9. Этапы развития понятия натурального числа и нуля. Натуральный ряд и его свойства. Счет.

ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.

Числа 1, 2, 3,… называют натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. Возникло оно из потребности практической деятельности людей Чтобы прийти к понятию числа, человек в своем развитии прошел несколько этапов:

I. Множества сравнивались непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. («Яблок столько, сколько человек за столом»). Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.

Неудобство заключается в том, что оба множества должны быть одновременно обозримы.

И.Н.Лузин (крупнейший математик современности):

«Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего (не открывшего, а именно создавшего) понятие единицы. Возникло Число, а вместе с ним возникла Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась история величайшей из наук».

IV.Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений.

Числа стали предметом изучения и возникла наука арифметика. Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран Арабского мира, а начиная с 18 в. — европейскими учеными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (ок.480 — 524 г.г.).

В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики который называется теорией чисел.

Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с количеством пальцев на руке, затем исполь­зуют натуральные числа при счете.

НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД И ЕГО СВОЙСТВА. СЧЕТ.

К возникновению понятия числа приводят два вида деятельности: счет и измерение. Счет ведет к натуральному числу, измерение — к действительному числу.

Множество натуральных чисел называют натуральным рядом. Он обладает свойствами:

—имеется начальное число (1),

—за каждым числом следует только одно число,

—каждое последующее число на 1 больше предыдущего, а предыдущее на 1 меньше последующего (n ± 1).

—натуральный ряд бесконечен.

При счете используются не все натуральные числа, а только их часть, достаточная для определения количества элементов в множестве.

Например, чтобы определить число элементов в множестве ( а..с.b.е ), нужен отрезок натурального ряда {1,2,3,4,5 }.

Отрезком натурального ряда Nназывается множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

N5 = { 1,2,3.4,5}

Во время счета мы следуем некоторым правилам:

—считаем каждый элемент только один раз, не пропуская ни одного,

—числа называем последовательно, начиная с единицы, не пропус­кая ни одного и не используя дважды.

Счетом элементовмножества А называется установление вза­имно однозначного соответствия между множеством А и отрезком 1 натурального ряда Na

Число а называют числом элементов в множестве А. оно единствен­ное для данного множества и является характеристикой количества эле­ментов в множестве А или, короче, количественным натуральным числом.

В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий,…), т.е. натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.

Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.

Многие родители допускают ошибку, говоря, что ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, т.е. запомнил последовательность числительных/ При обучении дошкольника счету, необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное со­ответствие между предметами и числами, чтобы избежать ошибок (пропуск предметов сосчитывание одного предмета несколько раз, непо­нимание сколько же всего предметов и др.).

Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен пе­реход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества или для определения их количества.

10. Способы записи чисел особенности десятичной системы счисления.

СПОСОБЫ ЗАПИСИ ЧИСЕЛ.

Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой про­блемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.

Система счисления — язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.

Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Следы этой системы сохранились и сегодня в стремлении считать парами. В компьютерной технике также используется двоичная система счисления.

Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др.

В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.

Сейчас наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:

шестидесятеричная — при измерении времени,

двенадцатеричная — при счете дюжинами,

двоичная — при счете парами и др.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:

I — один V — пять X — десять L — пятьдесят С — сто D— пятьсот М — тысяча

Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифме­тических действий: сложения и вычитания. Например IV— четыре (5 — 1 = 4), VI — шесть (5 + 1 = 6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная — где бы не стоял знак V или I — он всегда имеет одно и то же значение.

Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни в записи 325 — цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 — цифра 2 обозначает единицы.

ОСОБЕННОСТИ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системой записи чисел и понятия нуля. Ее завезли в Европу арабские купцы поэтому ее долго называли арабской.

В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.

Например: 5457 — краткая запись числа «пять тысяч четыреста пятьдесят семь». Подробная запись этого числа выглядит так: 5000 + 400 + 50 + 7 или, более строго,

Понятие натурального числа и нуля. Отношение «равно», «меньше», «больше» на множестве натуральных чисел.

Натуральное число — это число, используемое при счете предметов. Оно возникло из практических нужд человека. Развитие понятия натурального числа можно разделить на несколько этапов: 1. древние люди, чтобы сравнивать множество, устанавливали соответствия: например, столько же, сколько пальце на руке. Недостаток — сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы. 2. Множество — посредники, например, камни, ракушки, палочки. Понятие о числе еще не сложено. И числа привязаны к конкретным предметам. 3. Появление числа (Обозначение числа в виде цифр). Зарождение арифметики. Арифметика как наука зародилась в странах Древнего Востока — Китай, Индия, Египет, дальнейшее развитие в Греции. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый Боэций. Счет необходим для определения количества множества. Разобьем все количественные множества на классы эквивалентности, например, в один класс экв. войдут множества вершин треугольников, сторон квадрата, множество букв в слове мир. Если продолжить этот процесс, то в силу того, что в отношении эквивалентности — все равномощное отношение. Конечные множества окажутся по классам. Т.о. теоретико — множественный смысл количественного натурального числа — есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Каждому классу соответствует свое количественное число. Нуль ставится в соответствии пустому множеству.

Числа А и В называются равными, если они определяются равномощными множествами.

Такой способ применяется в начальных классах.

Методика работы над задачами, раскрывающими конкретный смысл арифметических действий.

Арифметические задачи в курсе математики занимают значительное место. Почти половина времени на уроках математики отводится решению задач. Это объясняется их большой воспитательной и образовательной ролью, которую они играют при обучении детей. Решение арифметических задач помогает раскрыть основной смысл арифметических действий, конкретизировать их, связать с определенной жизненной ситуацией. Задачи способствуют усвоению математических понятий, отношений, закономерностей. При решении задач у детей развивается произвольное внимание, наблюдательность, логическое мышление, речь, сообразительность. Решение задач способствует развитию таких процессов познавательной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, обобщение.

В процессе решения арифметических задач учащиеся учатся, планировать и контролировать свою деятельность, овладевать приёмами, самоконтроля (проверка задачи прикидка задач и т.д.) у них воспитывается настойчивость, воля, развивается интерес к поиску решения задачи. Велика роль решения задач в подготовке детей к жизни, к их дальнейшей трудовой деятельности. При решении сюжетных задач учащиеся учатся переводить отношения между предметами и величинами на «язык математики». В арифметических задачах используется числовой материал, отражающий успехи страны в различных отраслях народного хозяйства, культуры, науки и т.д. Это способствует расширению кругозора учащихся, обогащению их новыми знаниями об окружающей действительности. Умением решать арифметические задачи учащиеся овладевают с большим трудом.

Причины ошибочных решений задач детьми кроются в первую очередь в особенностях их мышления. В процессе обучения решению задач следует избегать натаскивания в решении задач определенного вида, надо учить сознательному подходу к решению задач, учить ориентироваться в определенной жизненной ситуации, описанной в задаче, учить осознанному выделению данных задачи, осознанному выбору действий. В процессе работы над любой арифметической задачей можно выделить следующие этапы:

1. Работа над содержанием задачи.

2. Поиск решения задачи.

3. Решение задачи.

4. Формулировка ответа.

5. Проверка решения задачи.

6. Последующая работа над решенной задачей.

Большое внимание следует уделять работе над содержанием задачи, т.е. над осмыслением ситуации изложенной в задаче, установлением зависимости между данными и искомым. Последовательность работы над усвоением содержания задачи;

а) разбор непонятных слов или выражений;

б) чтение текста задачи учителем и учащимся;

в) запись условия задачи;

г) повторение задачи по вопросам.

Выразительному чтению текста задачи следует учить учеников. Нужно помнить, что детей специально надо учить выразительному чтению, они не могут самостоятельно правильно прочитать задачу, не могут расставить логические ударения и т.д.

Наряду с конкретизацией содержания задачи с помощью предметов, трафаретов и рисунков в практике работы учителей в школах широкое распространение получили следующие формы записи содержания задачи:

1. Сокращенная форма записи, при которой из текста задачи выписывают числовые данные и только те слова и выражения, которые необходимы для .понимания логического смысла задачи.

2. Сокращенно-структурная форма записи, при которой каждая логическая часть задачи записывается с новой строки.

3. Схематическая форма записи.

4. Графическая форма записи.

Так как функция контроля у детей ослаблена, то проверка решения задачи имеет не только образовательное, но и воспитательное значение. В младших классах необходимо:

1. Проверить словесно сформулированные задачи, производя действие над предметами.

2. Проверять реальность ответа.

3. Проверять соответствие ответа условию и вопросу задачи. Проверка решение задачи другим способам её решения возможно с 4 класса.

Для контроля правильности решения задачи используется и некоторые элементы программированного обучения. Этот элемент очень полезен тем, что ученик сразу получает подкрепление правильности или, наоборот, ошибочности своих действий. При ошибочности решения он ищет новые пути решения.

Учитель в школе зачастую не может быть уверенным, что решение задачи понято всеми учениками. Поэтому очень полезно провести работу по закреплению решения этой задачи. Работа по закреплению решения задачи может быть проведена различными приемами.

1. Ставятся узловые вопросы по содержанию задачи.

2. Предлагается рассказать весь ход решения задачи с обоснованием выбора действий.

3. Ставятся вопросы к отдельным действиям или вопросам. Для учащихся важно не количество решенных аналогичных задач, а понимание предметной ситуации в зависимости между данными. Этой цели и служит последующая работа над решенной задачей, которую можно рассматривать как важный прием формирующий навыки решения задач данного вида. Лучшему пониманию предметного содержание задач, зависимости между данными и искомыми способствует решение задач с лишними или недостающими числовыми данными, записанными не числами, а словами. Наблюдения показывают, что лучшие учителя широко используют как один из приемов обучения решению задач составление задач самими учащимися.

Составление задач помогает детям лучше осознать жизненно-практическую значимость задачи, глубже понять её структуру, а также различать задачи различных видов, осознать приемы их решения. Составление задач проводится параллельно с решением готовых задач. Опыт и наблюдение показывают, что легче всего для учащихся частичное составление задач. Следует стимулировать составление учащимися задач с разнообразными фабулами. Это способствует развитию их воображение смекалки, инициативы. Очень полезно, когда для составления задач учащиеся привлекают материал «добываемый» ими во время экскурсий, из справочников, газет, журналов и т.д. Учащихся старших классов необходимо учить заполнять и писать деловые документы, связанные с теми или иными расчетами. Например, написать доверенность, заполнить бланк на денежный перевод и т.д. Все, указанные выше приемы могут быть широко использованы при решении всех видов задач.

Простой арифметической задачей называется задача, которая решается одним арифметическим действием. Простые задачи играют чрезвычайную роль при обучении учащихся математики. Именно простые задачи позволяют раскрыть основной смысл и конкретизировать арифметические действия, сформировать те или иные математические понятия. Простые задачи являются составной частью сложных задач, а следовательно, формируя умение решать их, учитель готовит учащихся к решению сложных задач.

На каждом учебном году обучения учащиеся знакомятся с новыми видами простых задач. Постепенное введение их объясняется различной степенью трудности математических понятий, местом изучения тех арифметических действий, конкретный смысл которых они раскрывают. Не менее пристального внимания учителя при выборе задач данного вида заслуживает и конкретизация и содержание. Наконец учитель учит конкретизировать содержание задачи, вскрывая зависимость между данными и искомыми с помощью различных форм краткой записи.

Опыт работы лучших учителей показывает, что подготовку к решению арифметических задач следует начинать с обогащения и развития практического опыта учащихся, ориентировки их в окружающей действительности. Учеников нужно вести в ту жизненную ситуацию, в которой приходится считать, решать арифметические задачи, производить изменения. Причем эти ситуации не следует на первых порах создавать искусственно, на них лишь следует обратить и направлять внимание учащихся. Учитель организует наблюдение над изменением количества элементов предметных множеств содержимого сосудов и т. д., что способствует развитию представлений учащихся о количестве к знакомству их с определенной терминологией, которая впоследствии встретится при словесной формулировке задач: стало, всего осталось, взяли, увеличилось, уменьшилось и т.д. Надо организовать так игровую и практическую деятельность учащихся, чтобы, являясь непосредственными участниками этой деятельности, а также наблюдая, учащиеся сами могли делать вывод в каждом отдельном случае; увеличилось или уменьшилось число элементов множества и какой операцией и словесному выражению соответствует это увеличение или уменьшение. Этот этап подготовительной работы совпадает с началом работы над числами первого десятка и знакомства с арифметическими действиями, с решением и составлением примеров операций с предметными множествами.

Прежде чем приступить к обучению решения арифметических задач, учитель должен ясно себе представить, какие знания, умения и навыки нужно дать ученикам. Чтобы решить задачу, ученики должны решать арифметические примеры, слушать, а затем читать задачу, повторять задачу по вопросам, по краткой записи, по памяти, выделять в задаче составные компоненты, решать задачу и проверять ее правильность решения. В 1 классе учащиеся учатся решать задачи на нахождение суммы и остатка. Эти задачи вводятся впервые при научении чисел первого десятка. При обучении решению задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых, на деление на равные части или на деление по содержанию, следует опираться на понимание учащимися сущности арифметических действий умножения и деления. До решения задачи на разное сравнение учащимися нужно дать понятие о сравнение предметов одной совокупности, двух предметных совокупностей, величин, чисел, устанавливая между ними отношения равенства и неравенства. Составной или сложной арифметической задачей называется задача, которая решается двумя или большим числом арифметических действий. Психологические исследования по изучению особенностей решения составных арифметических задач показывают, что дети не узнают знакомых простых задач в контексте новой составной задачи. Подготовительная работа к решению составных задач должна представить собой систему упражнений, приемов, целенаправленно ведущих учащихся к овладению решением составных задач. К решению составных задач учитель может переходить тогда, когда убедится, что учащиеся овладели приемами решения простых задач, которые войдут в составную задачу, сами могут составить простую задачу определенного вида. При решении составных задач учащиеся должны или к данным ставить вопросы или к вопросу подбирать данные. Поэтому в подготовительный период, т.е. на протяжении всего первого года и в начале второго года обучения, следует предлагать учащимся задания:

1. К готовому условию подобрать вопросы.

2. По вопросу составить задачу, подобрав недостающие числовые данные.

Составляя простые и составные задачи, учащиеся постепенно научатся узнавать в составной задаче простые, уже бывшие в опыте их решения очень полезны упражнения на составления сложных задач. Это будет способствовать лучшему усвоению видов простых задач, умению их узнавать вычленить в составной задаче, поможет учащимся более сознательно осуществлять анализ задач. При решении составных задач учащихся следует научить общим приемам работы над задачей; умению анализировать содержание задачи, выделяя известные данные, искомое (т.е. устанавливая, что нужно узнать в задаче), определите, каких данных не достает для ответа на главный вопрос в задаче. В практике работы школы оправдал себя, прием работы с карточками, заданиями в которых излагается последовательность работы над задачей. При решении задач оформление ее решения записывается с вопросами или записывается каждое действие и поясняется. Выработка обобщенного способа решения задач данного вида обеспечивается многократным решением задач с разнообразными видами, фабулами, решением готовых и составленных самими учащимися задач, сравнением задач данного вида с ранее решавшимися видами задач и т. д.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *