Линейно независимые функции

Линейно зависимые и линейно независимые функции. Примеры исследования функций на линейную зависимость по определению.

Высшая математика » Линейно зависимые и линейно независимые функции » Линейно зависимые и независимые функции. Примеры.

\begin{equation} \alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\ldots+\alpha_n\cdot y_n=0 \end{equation}

при условии

\begin{equation} \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{2}=\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}+\ldots+\alpha_{n}^{2} \neq 0 \end{equation}

Примечание к терминологии: показать\скрыть

Условие (2) можно изложить и в такой формулировке: среди коэффициентов $\alpha_i$ есть хотя бы один, не равный нулю.

Если же равенство (1) возможно лишь при условии:

\begin{equation} \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}^{2}=\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}+\ldots+\alpha_{n}^{2} = 0 \end{equation}

Обоснование этого правила: показать\скрыть

Все примеры, указанные в этой теме, будут опираться на определения и свойство, приведенные выше. Естественно, что в общем случае применение таких определений несколько затруднительно. Существует несколько критериев, которые позволяют упростить процесс проверки функций на линейную зависимость. На сайте рассмотрены два таких способа: с помощью определителя Вронского и определителя Грама.

Пример №1

Решение

Подставим в выражение $\alpha_1\cdot y_1+\alpha_2\cdot y_2+\alpha_3\cdot y_3=0$ заданные функции:

$$ \alpha_1\cdot(x^2+2x-4)+\alpha_2\cdot(-4x^2+7x-1)+\alpha_3\cdot(-5x^2+20x-14)=0$$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$$ \alpha_1\cdot x^2+2\alpha_1\cdot x-4\alpha_1-4\alpha_2\cdot x^2+7\alpha_2\cdot x-\alpha_2-5\alpha_3\cdot x^2+20\alpha_3\cdot x-14\alpha_3=0; $$ $$(\alpha_1-4\alpha_2-5\alpha_3)\cdot x^2+(2\alpha_1+7\alpha_2+20\alpha_3)\cdot x+(-4\alpha_1-\alpha_2-14\alpha_3)=0.$$

Последнее равенство возможно лишь в том случае, когда коэффициенты при степенях переменной $x$ одновременно равны нулю, т.е.:

$$ \left\{\begin{aligned} \alpha_1-4\alpha_2-5\alpha_3=0; \\ 2\alpha_1+7\alpha_2+20\alpha_3=0;\\ -4\alpha_1-\alpha_2-14\alpha_3=0. \end{aligned} \right.$$ $$ 3\cdot y_1+2\cdot y_2-y_3=3\cdot(x^2+2x-4)+2\cdot(-4x^2+7x-1)-(-5x^2+20x-14)=0. $$

Пример №2

Исследовать на линейную зависимость такие функции: $y_1(x)=x\ln(x+4);\;y_2(x)=\ln^2(x+4)$.

Решение

Пример №3

Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=1; \; y_2(x)=x;\; y_3(x)=x^2; \; y_4(x)=x^3; \; y_5(x)=x^4$.

Решение

Область определения этих функций есть вся числовая прямая, т.е. $x \in R$. Рассмотрим равенство:

\begin{equation}\alpha_1\cdot 1+\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot x^2+\alpha_4\cdot x^3+\alpha_5\cdot x^4=0\end{equation}

Пример №4

Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=4;\; y_2(x)=\arcsin x; \; y_3(x)=\arccos x$ на отрезке $$.

Решение

Так как $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2} \; \forall x \in $ то:

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{8}\cdot4; \; \arcsin x+\arccos x-\frac{\pi}{8}\cdot4=0; \; 1\cdot y_1+1\cdot y_2+\left(-\frac{\pi}{8}\right)\cdot y_3=0$$

Пример №5

Исследовать на линейную зависимость функции: $y_1(x)=x;\; y_2(x)=|x|$ в их области определения.

Решение

Итак, чтобы равенство $\alpha_1\cdot x+\alpha_2\cdot |x|=0$ было верным для всех $x\in R$, требуется выполнение двух условий:

$$\left \{ \begin{aligned} \alpha_1+\alpha_2=0;\\ \alpha_1-\alpha_2=0. \end{aligned} \right.$$

Исследование на линейную зависимость с помощью определителей Вронского и Грама указаны в дальнейших темах сайта.

Линейная зависимость и линейная независимость функций

Понятие линейной независимости функций вводится аналогично понятию линейной независимости векторов.

Определение. Функции

Если это равенство выполняется лишь при α1=α2=…=αn=0, то функции y1, y2, …, yn называются линейно-независимыми.

Примеры.

  • 1) Функции y1=1, y2=x, y3=x², …, yn=xn-1 линейно независимы на любом отрезке .
  • 2) Если ki≠kj при i≠j, то функции

    а также функции

линейно независимы на любом отрезке .

Определитель Вронского

Определение. Определителем Вронского называется определитель

Теорема. Если y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) линейно-независимые решения уравнения

Общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка

Теорема. Если y1=y1(x), y2=y2(x), …, yn=yn(x) — линейно-независимые на отрезке решения однородного уравнения

коэффициенты которого непрерывны на этом отрезке, то его общее решение определяется формулой

где C1, C2, …, Cn — произвольные постоянные.

Следствие. Максимальное число линейно-независимых решений линейного однородного уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение. Любые n линейно-независимых решений линейного однородного уравнения n-го порядка называются его фундаментальной системой решений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *