Показатели качества переходного процесса

6.2 Показатели качества переходного процесса

На переходные процессы в системах РА накладываются определенные ограничения, связанные с особенностями работы систем. Например, в системах автоматического сопровождения цели РЛС не допускаются большие углы отклонения антенны от установившегося значения, так как может произойти срыв сопровождения цели. Для повышения надежности работы механических узлов ограничивается число колебаний антенны в переходном процессе.

К основным показателям качества переходного процесса в системе РА относятся следующие параметры (рис. 6.1) :

  1. длительность переходного процесса tп, равная интервалу времени с момента подачи сигнала до момента времени, когда выходной сигнал будет отличаться от его установившего значения не более чем на 5 %;

  2. перерегулирование , равное отношению разности между максимальным значением выходного сигнала в переходном процессе и установившегося значения () к установившемуся значению;

  3. время установления первого максимума выходного сигнала tр, характеризующее скорость изменения в переходном процессе;

  4. частота колебаний в переходном процессе , гдеT – период колебаний;

  5. колебательность переходного процесса, равная отношению соседних перерегулирований (максимумов переходной характеристики)

.

Кроме перечисленных показателей также определяется число колебаний, наблюдаемых в течение переходного процесса.

Для нахождения кривой переходного процесса используются аналитические методы или она определяется с помощью ЭВМ.

Установившееся значение выходного сигнала системы вычисляется по теореме о конечном значении. При единичном входном сигнале переходный процесс описывается уравнением

,

где – передаточная функция замкнутой системы.

Рис. 6.1  Вид переходного процесса системы РА

В астатических системах РА установившееся значение выходного сигнала в переходном процессе равно единице, в статических системах – .

Если сигнал на входе системы отличается от единицы, то в переходном процессе изменяется только масштаб выходного сигнала.

Пример. Найти переходной процесс в системе ФАПЧ (рис. 2.12), передаточная функция которой в разомкнутом состоянии определяется выражением

Решение. Для упрощения постоянной времени фазового дискриминатора пренебрежем, а постоянная времени управляющего элемента TУЭ = 0.04 с и постоянная времени ФНЧ TФНЧ = 0.1 с. Общий коэффициент усиления системы K = 200. Тогда передаточная функция замкнутой ФАПЧ в соответствии с правилами преобразования (табл. 4.2) и (4.30) будет иметь вид

Преобразование Лапласа для отклонения частоты генератора при изменении эталонной частоты на

Полюсы системы: 1 = – 40, 2 = – 50.

Применив теорему о вычетах (3.10), найдем

На графике переходного процесса системы ФАПЧ (рис. 6.2) видно, что длительность переходного процесса tп = 0.75 с, а  = 1.08.

Рис. 6.2  График переходного процесса в системе ФАПЧ

6.3 Частотные показатели качества

Частотные показатели качества работы систем РА определяются по АЧХ замкнутой системы (рис. 6.3). АЧХ систем нормируются относительно значения АЧХ, на частоте равной нулю, т.е. ее начальное значение равно единице. При этом следует отметить, что в астатических системах РА значение этой характеристики при частоте, равной нулю, равно единице, а в статических системах – .

Рис. 6.3  Нормированная АЧХ замкнутой системы РА

К частотным показателям качества работы систем РА относятся следующие параметры:

  1. полоса пропускания п – диапазон частот, в котором АЧХ больше или равна единице. Если АЧХ замкнутой системы РА во всем диапазоне частот меньше единицы, то полоса отсчитывается по уровню 0.7;

  2. резонансная частота р – частота, соответствующая максимуму АЧХ замкнутой системы, эта частота характеризует частоту колебаний в переходном процессе;

  3. показатель колебательности М – максимальное значение АЧХ замкнутой системы. Обычно этот показатель не должен превышать двух и соответствует колебательности переходного процесса системы.

Частотные показатели замкнутой и разомкнутой систем связаны соотношением

,

где ,– АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

Из последнего выражения находим, что

(6.0)

или при – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

(6.0)

Из уравнений (6.3) и (6.4) следует, что в диапазоне частот, в котором , АЧХ замкнутой системы равна единице, а ФЧХ мало отличается от нуля. В диапазоне частот, где, характеристикиисовпадают с характеристиками разомкнутой системы.

На частоте, равной полосе пропускания, АЧХ замкнутой системы равна единице. Тогда согласно (6.4),

. (6.0)

В диапазоне частот среза и пропускания логарифмическая АЧХ разомкнутой системы имеет наклон – 20 дБ/дек. Поэтому ФЧХ в этом диапазоне частот изменяется незначительно и можно принять, что . Тогда выражение (6.5) принимает вид

Полоса пропускания и частота среза связаны соотношением

Отсюда

. (6.0)

Значение показателя колебательности системы РА можно определить, если исследовать на максимум выражение (6.4). В диапазоне частот, в котором расположена резонансная частота, ФЧХ разомкнутой системы изменяется незначительно и приблизительно равна этой характеристике на частоте среза. Поэтому для отыскания максимума (6.4) можно продифференцировать это выражение по и результат приравнять к нулю. В результате получим, что максимум АЧХ замкнутой системы получается при. Подставив это выражение в (6.4), найдем, что колебательность системы связана с запасом устойчивости по фазе выражением

. (6.0)

Пример. Оценить частотные показатели качества работы системы фазовой автоподстройки частоты, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

Рис. 6.4  Оценка частотных показателей системы фазовой

автоподстройки частоты

КАЧЕСТВО ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В САУ. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Качество переходного процесса определяется по графику изменения выходной величины во времени при подаче в систему скачкообразного (ступенчатого) возмущения. В понятие качества переходного процесса входят: быстродействие, колебательность, перерегулирование.

Быстродействие — оценивается двумя параметрами (рис.5.1):

1) Время (первого) согласования — — время, в течение которого система, находящаяся под действием ступенчатого возмущения впервые достигает согласованного положения.

2) Время переходного процесса tn – отрезок времени, в течение которого выходная величина попадает в зону или интервал погрешности относительно своего нового установившегося значения.

Величина зависит от требований к точности работы САУ. Этой точностью определяется и величина tn. Обычно от .

Для монотонного переходного процесса .

Колебательность — определяется числом колебаний N за время переходного процесса tn. N может быть дробным:

,

где Tk – “период” колебаний.

Частота колебаний

Колебания, возникающие в системе приводят к износу механизмов, увеличивают время переходного процесса и являются нежелательными. В авиационных двигателях во время переходного процесса допускается не более 2…3 колебаний.

Перерегулирование — наибольший заброс в сторону, противоположную начальному рассогласованию (относительно установившегося значения) (рис.5.1):

При проектировании САУ стремятся обеспечить минимальное значение . Это приводит к тому, что система становится быстродействующей с большим перерегулированием.

Допустимая величина зависит от максимальных допустимых динамических напряжений, температурных условий в узлах двигателя.

В реальных системах желательно стремиться к тому, чтобы и t были минимальны.

Построение САУ, удовлетворяющей заданным показателям качества переходного процесса, представляет достаточно трудоемкую инженерную задачу. Для анализа влияния конструктивных и эксплуатационных параметров систем на качество переходного процесса требуется построить серию кривых переходных процессов. Построение переходного процесса может быть выполнено точными методами для систем невысокого порядка и приближенными методами для нелинейных систем и систем высокого порядка. К приближенным методам относятся метод численного интегрирования дифференциальных уравнений на ЭЦВМ, моделирование на АВМ и частотные методы. Выбор параметров САУ на основе построения серии переходных характеристик представляет собой трудоемкий процесс и в общем случае невозможно установить аналитическую зависимость между параметрами системы и показателями качества переходного процесса. Поэтому для связи параметров САУ с показателями качества переходного процесса в ТАУ введены косвенные оценки. Эти оценки связаны с одной стороны с параметрами САУ, а с другой — с показателями качества переходного процесса. Существуют несколько косвенных оценок качества переходного процесса: оценка по распределению корней характеристического уравнения; оценка по вещественным частотным характеристиками САУ; интегральные оценки. Ниже будут рассмотрены вопросы выбора параметров САУ с использованием этих косвенных оценок переходного процесса.

ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА.

Показатели качества переходного процесса.

После обеспечения устойчивости системы необходимо обеспечить качество переходного процесса управления, которое оценивают по переходной функции h(t), представляющей собой реакцию системы на внешнее воздействие типа единичной ступенчатой функции 1(t).

На примере переходной функции (рис.52) рассмотрим основные показатели качества переходного процесса – время регулирования, перерегулирование, частоту колебаний, число колебаний, максимальную скорость и максимальное ускорение регулируемой величины.

Рис.52. Переходная функция.

Время регулирования tp определяется длительностью переходного процесса. Теоретически переходной процесс длится бесконечно долго, однако практически он заканчивается, как только отклонения регулируемой величины от нового ее установившегося значения не будут превышать допустимых пределов. Обычно принимают e = (3¸5)% hуст. Временем регулирования характеризуют быстродействие системы. Однако иногда быстродействие также характеризуют временем tу достижения переходной функцией первый раз нового установившегося значения или временем tmax достижения максимального значения hmax.

Перерегулирование Dhmax или выброс, представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения. Обычно первый максимум является наибольшим. Относительное перерегулирование, .

Время регулирования и перерегулирование (основные показатели переходного процесса) тесно связаны между собой. Перерегулирование появляется вследствие того, что система к новому установившемуся состоянию подходит с определенной скоростью, которая графически отображается тангенсом угла наклона касательной в точке А.

.

Чем больше эта скорость, тем дальше за новое установившееся положение «пройдет» система по инерции. Для уменьшения перерегулирования необходимо снизить скорость, с которой система подходит к новому установившемуся состоянию. Это приводит к увеличению времени регулирования. Если система подходит к новому установившемуся состоянию с нулевой скоростью, то перерегулирования не происходит, но время регулирования значительно возрастает. Таким образом, отсутствие и очень большое перерегулирование нежелательны. Поэтому перерегулирование допускают в пределах 20 – 30 % установившегося значения. При этом число полуколебаний переходной функции равно двум-трем.

Оценки качества переходных процессов.

Качество переходного процесса оценивают по графику переходной функции. Однако на практике при исследовании качества регулирования используют косвенные оценки, которыми являются некоторые числа, характеризующие отдельные моменты переходного процесса. Эти числа можно найти без построения графика переходного процесса. Существует несколько косвенных оценок качества переходного процесса — частотные, интегральные, корневые и т.д.

Частотные оценки. На резонансной частоте wmax АЧХ имеет максимум Amax (рис.53). При дальнейшем увеличении частоты система в следствие своей инерционности, которая отражается постоянными времени ее звеньев, не успевает реагировать на колебания больших частот и A(w) резко «падает».

Рис.53. Амплитудная и фазовая частотные характеристики следящей системы.

Установлено, что чем больше Amax, тем более колебательным является переходной процесс. Отношение называют показателем колебательности. Для следящих систем A(0) = 1, поэтому M = Amax. Обычно M = 1,2 ¸ 1,5. При малых M система имеет большое время регулирования. При больших M увеличивается перерегулирование, и система приближается к границе устойчивости.

Кроме частоты wmax, характерными частотами АЧХ являются wсз и wп. Частота wсз называется частотой среза замкнутой системы и определяется на уровне A = 1. Для следящих систем частота wсз определяет диапазон частот вынужденных колебаний, которые пропускает система без ослабления. На этой частоте амплитуды входного и выходного колебаний равны. Частота wп называется полосой пропускания замкнутой системы и определяется на уровне . Так как в диапазоне частот wсз — wп АЧХ резко «падает», то числовые значения частот wсз и wп близки.

Полоса пропускания влияет на точность и быстродействие системы. С увеличением полосы пропускания быстродействие системы растет. Чем больше полоса пропускания, тем больший спектр входного сигнала передается без искажений. Однако при наличии высокочастотных помех во входном сигнале нецелесообразно расширять полосу пропускания, поскольку при этом система будет одинаково хорошо пропускать как полезный сигнал, так и помеху.

О качестве регулирования можно судить по ЛАЧХ. На основании расчетов переходных процессов было установлено, что для удовлетворительного качества регулирования участок средних частот, на котором ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, должен иметь наклон минус 20 дБ/декаду. Протяженность этого участка влияет на перерегулирование. С его увеличением уменьшается колебательность переходного процесса. Приемлемое качество переходных процессов имеет место, если протяженность этого участка примерно равна декаде. Время регулирования tp зависит от частоты среза, при которой ЛАЧХ пересекает ось абсцисс. Чем больше wс, тем меньше tp.

Корневые оценки. Корневыми называются оценки, которые основываются на расположении корней характеристического уравнения замкнутой системы, т.е. полюсов передаточной функции замкнутой системы.

Корневой оценкой качества является степень устойчивости – расстояние h от мнимой оси до ближайшего корня на плоскости корней l характеристического уравнения замкнутой системы (рис.54). Если ближайшим является вещественный корень (рис.54.а), то ему соответствует апериодическая составляющая решения для переходного процесса (апериодическая степень устойчивости h). Время ее затухания tп » 3/h при погрешности 5 % характеризует общую длительность переходного процесса, так как все члены решения, соответствующие основным корням затухают быстрее.

Рис.54. Корневые оценки качества переходных процессов.

Если же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексных корней (рис.54.б), то доминирующая составляющая решения для переходного процесса называется колебательной (колебательная степень устойчивости h), причем оценка длительности переходного процесса остается прежней tп » 3/h.

Колебательность переходного процесса определяется величиной , где a и b — соответственно вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения. Эта величина характеризует быстроту затухания колебаний за каждый период. Чем больше величина m, названная колебательностью, тем слабее затухания колебаний в переходном процессе.

Для уменьшения амплитуд отклонений в переходном процессе желательно, чтобы нули передаточной функции замкнутой системы Ф(р) (значение р, при котором Ф(р) = 0) располагались вблизи ее полюсов (корней характеристического уравнения, при которых Ф(р) = ¥).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *