Расчет сложной цепи синусоидального тока

5.Методы расчета сложных цепей синусоидального тока

  • •1. Информация о дисциплине
  • •1.1. Предисловие
  • •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы
  • •2. Рабочие учебные материалы
  • •2.1. Рабочая программа
  • •2.2. Тематический план дисциплины
  • •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины «Электротехника и электроника. Ч. 1»
  • •2.6. Рейтинговая система оценки знаний
  • •3. Информационные ресурсы дисциплины
  • •3.1. Библиографический список
  • •3.2. Опорный конспект
  • •ВВЕДЕНИЕ
  • •РАЗДЕЛ 1. Основы теории электрических цепей
  • •1. Электрическая цепь и ее характеристики
  • •1.1. Определение цепи
  • •1.2. Графическое изображение электрической цепи и ее элементов
  • •1.3. О направлениях действия ЭДС, токов и напряжений
  • •1.4. Законы электрических цепей
  • •1.5. Параметры электрических цепей
  • •1.6. Идеальные элементы электрической цепи
  • •2. Цепи постоянного тока
  • •2.1. Некоторые особенности цепей постоянного тока
  • •2.2. Закон Ома и законы Кирхгофа для цепей постоянного тока
  • •2.3. Мощность цепи постоянного тока
  • •2.4. Расчет простых цепей постоянного тока
  • •2.6. Баланс мощностей цепи постоянного тока
  • •3. Цепи синусоидального тока
  • •3.1. Основные понятия о синусоидальных процессах
  • •3.2. Аналитическая запись синусоидальных токов и напряжений
  • •3.5. Закон Кирхгофа в векторной форме записи
  • •3.7. Действующие значения синусоидальных токов и напряжений
  • •3.8. Элементы в цепи синусоидального тока
  • •3.10. Цепь с последовательным соединением R, L, C
  • •3.11. Цепь с параллельным соединением R, L и C
  • •3.14. Понятие о двухполюсниках и об эквивалентных цепях
  • •РАЗДЕЛ 2. Методы расчета электрических цепей
  • •4.1. Введение. Основы метода
  • •4.2. Комплексные токи и напряжения
  • •4.3. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость
  • •4.4. Комплексная мощность
  • •4.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме записи
  • •4.6. Аналогия с цепями постоянного тока
  • •5. Методы расчета сложных цепей синусоидального тока
  • •5.1. Введение
  • •5.2. Метод контурных токов
  • •5.3. Метод узловых напряжений (узловых потенциалов)
  • •5.4. Метод эквивалентного источника
  • •5.5. Метод наложения
  • •5.6. Баланс мощностей цепи синусоидального тока
  • •РАЗДЕЛ 3. Резонанс, индуктивно связанные цепи и трехфазные цепи
  • •6. Резонансные явления. Индуктивно связанные цепи
  • •6.1. Резонансные явления
  • •6.3. Резонанс в параллельной цепи из элементов R, L,C (резонанс токов)
  • •6.5. Цепь с трансформаторной связью между катушками
  • •7. Трехфазные электрические цепи
  • •7.1. Введение
  • •7.2. Соединение трехфазной цепи звездой
  • •7.3. Соединение трехфазной цепи треугольником
  • •7.4. Расчет трехфазных цепей
  • •7.5. Мощность трехфазной цепи
  • •РАЗДЕЛ 4 Несинусоидальные токи, напряжения и переходные процессы
  • •8.1. Общие положения
  • •8.4. Мощность в цепи при несинусоидальных токе и напряжении
  • •8.5. Расчет линейных цепей с несинусоидальными ЭДС
  • •9.1. Общие положения
  • •9.2. Законы коммутации. Начальные условия
  • •РАЗДЕЛ 5. Нелинейные электрические и магнитные цепи
  • •10. Нелинейные электрические и магнитные цепи постоянного тока
  • •10.1. Нелинейные электрические цепи. Общие положения
  • •10.2. Нелинейные сопротивления
  • •10.3. Нелинейные свойства ферромагнитных материалов
  • •10.4. Нелинейная индуктивность
  • •10.5. Нелинейная емкость
  • •10.6. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
  • •10.8. Магнитные цепи с постоянным магнитным потоком
  • •11. Нелинейные цепи переменного тока
  • •РАЗДЕЛ 6. Электрические машины
  • •12. Трансформаторы
  • •12.1. Назначение и принцип действия
  • •12.2. Холостой ход трансформатора
  • •12.3. Нагрузка трансформатора
  • •12.4. Схема замещения
  • •12.5. Режим холостого хода
  • •12.6. Режим короткого замыкания
  • •12.7. Внешняя характеристика трансформатора
  • •12.8. КПД трансформатора
  • •13. АСИНХРОННЫЕ МАШИНЫ
  • •13.1. Общие вопросы теории электрических машин
  • •13.2. Классификация электрических машин
  • •13.4. Скольжение и его влияние на параметры ротора
  • •13.5. Механическая мощность асинхронного двигателя
  • •13.9. Пуск асинхронных двигателей
  • •14. Cинхронные машины
  • •14.1. Устройство и принцип действия
  • •14.2. Характеристика холостого хода
  • •14.3. Внешние характеристики синхронного генератора
  • •14.4. Включение синхронного генератора на параллельную работу
  • •14.5. Пуск в ход синхронных двигателей
  • •14.6. Синхронные компенсаторы
  • •15. Машины постоянного тока
  • •15.1. Конструктивные особенности машин постоянного тока
  • •15.2. Классификация по способу возбуждения
  • •15.3. Генераторы постоянного тока
  • •15.4. Двигатели постоянного тока
  • •15.5. Пуск двигателей постоянного тока
  • •15.7. Пример решения задачи
  • •РАЗДЕЛ 7. Электрические измерения и приборы
  • •16. Электрические измерения и приборы
  • •16.1. Общие сведения об электрических измерениях
  • •16.2. Эталоны единиц электрических величин
  • •16.3. Измерительные приборы
  • •16.4. Измерение напряжения переменного тока
  • •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
  • •ГЛОССАРИЙ
  • •3.4. Лабораторные работы
  • •Общие указания
  • •3.5. Практические занятия
  • •Общие указания
  • •4. БЛОК КОНТРОЛЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
  • •Общие указания
  • •ЗАДАЧА 1
  • •ЗАДАЧА 2
  • •ЗАДАЧА 3
  • •ЗАДАЧА 4
  • •ЗАДАЧА 5
  • •ЗАДАЧА 6
  • •ЗАДАЧА 7
  • •ЗАДАЧА 8
  • •ЗАДАЧА 9
  • •4.2. Текущий контроль (вопросы для самопроверки, тестовые задания)
  • •Тема 1. Репетиционный тест 1
  • •Тема 1. Тест 1
  • •Тема 2. Репетиционный тест 2
  • •Тема 2. Тест 2
  • •Тема 3. Репетиционный тест 3
  • •Тема 3. Тест 3
  • •Тема 4. Репетиционный тест 4
  • •Тема 4. Тест 4
  • •Тема 5. Репетиционный тест 5
  • •Тема 5. Тест 5
  • •Тема 6. Тест 6
  • •Тема 7. Репетиционный тест 7
  • •Тема 7. Тест 3.7
  • •Тема 8. Тест 8.
  • •Тема 9. Тест 9
  • •Тема 10. Репетиционный тест 10
  • •Тема 10 Тест 10
  • •Тема 11. Тест 11
  • •Тема 12. Тест 12
  • •Тема 13. Тест 13
  • •Тема 14. Тест 14
  • •Тема 15. Тест 15
  • •Тема 16. Тест 16

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Анализ и расчет электрических цепей синусоидального тока производится с помощью уравнений электрического состояния, составленных с помощью законов Кирхгофа. Первый и второй законы Кирхгофа справедливы для мгновенных значений переменных токов и напряжений. Но тригонометрические преобразования, которые необходимы при анализе разветвленных электрических цепей синусоидального тока, будут очень громоздкими по сравнению с расчетами цепей постоянного тока.

Из курса математики и физики известно, что величины, изменяющиеся синусоидально в функции времени, в том числе токи, напряжения и ЭДС, могут быть представлены в виде вращающихся векторов и изображены графически в декартовой системе координат с помощью радиус-векторов. Законы Кирхгофа, записанные в векторной форме, используют для графоаналитического расчета и анализа электрических цепей синусоидального тока. Такие расчеты, выполняемые графически в форме геометрических операций над векторами, просты, наглядны, но не обладают требуемой точностью.

Если декартовую систему координат совместить с комплексной плоскостью, то радиус-векторам токов, напряжений и ЭДС будут соответствовать определенные комплексные числа. Это позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. Законы Ома и Кирхгофа могут быть записаны в комплексной форме. В результате этого, к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Комплексное представление синусоидальных электрических величин сочетает наглядность векторных диаграмм и высокую точных аналитических расчётов, поэтому рассмотрим этот метод, получивший название символического метода, более подробно.

В качестве примера рассмотрим мгновенные значения напряжения u(t), приложенного к приемнику (пассивному двухполюснику), и тока приемника i(t) (рис. 2.2, а). Аналитически они выражаются через синусоидальные функции времени:

; (2.1)

,

где Um, Im – амплитуды тока и напряжения, соответственно;

ω – угловая частота: ω = 2πf;

f – частота переменного тока;

ψu , –ψi – начальные фазы напряжения и тока, соответственно.

На комплексной плоскости напряжение и ток изображаются радиус-векторами для ωt=0 (рис. 2.2, б). Положение векторов на комплексной плоскости определяется начальной фазой. Так как начальная фаза напряжения больше нуля, то вектор смещен относительно действительной оси (+1) в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол ψu, а вектор тока сдвинут относительно действительной оси на угол -ψi<0 в отрицательном направлении, по часовой стрелке. Радиус-векторам соответствуют комплексные числа (комплексные амплитуды):

; (2.2)

, (2.3)

представляющие собой координаты точек на концах векторов или проекции векторов на действительную и мнимую оси. Данная форма записи комплексных амплитуд называется алгебраической. Выражая проекции векторов через их длину (модули) и начальную фазу, получим тригонометрическую форму записи комплексных амплитуд:

. (2.4)

Из тригонометрической формы комплексного числа вытекает, согласно формулы Эйлера ( ), показательная форма записи:

(2.5)

Все три формы записи комплексных амплитуд равнозначны и могут быть использованы при расчетах электрических цепей переменного тока. Выбор формы определяется удобством выполнения требуемой математической операции. На практике при расчетах пользуются действующими значениями. Под комплексом действующих значений синусоидальных токов и напряжений понимают:

; (2.6)

Сопротивление приемника (пассивного двухполюсника), определяемое из закона Ома через комплексы действующих значений напряжения и тока, обозначается Z и называется комплексным сопротивлением:

, (2.7)

где Z — модуль комплексного сопротивления, ;

φ = ψu- (-ψi) = ψu+ ψi – фазовый сдвиг между током и напряжением;

R – активное сопротивление приемника: R=Zcosφ;

Х – реактивное сопротивление приемника: X=Zsinφ.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов ветвей, сходящихся в одном узле, равна нулю:

. (2.8)

В комплексной форме это уравнение запишется как

. (2.9)

По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений любого контура электрической цепи равна нулю:

Расчет сложных цепей синусоидального тока символическим методом

Символический метод расчета цепей синусоидального тока является наиболее общим методом, при его использовании наблюдается полная аналогия с методом расчета цепей постоянного тока, и отличие будет только в математическом аппарате.

Рассмотрим расчет цепи (рис. 2.24) методом эквивалентного преобразования.

Пусть U=220 B, f=50 Гц, R1=5 Ом, R2=5 Ом, R3=10 Ом, L1=15,9 мГн, L3=9,55 мГн, С2=318,5 мкФ, С3=637 мкФ.

Определить комплексы токов во всех ветвях цепи и составить баланс комплексных мощностей.

Находим комплексы полных сопротивлений ветвей:

.

При расчете вместо недостающих параметров в расчетные формулы проставляем нули

.

Запишем Z1 в показательной форме :

.

Запишем Z2 в показательной форме :

Запишем Z3 в показательной форме :

Ветви R2 — C2 и R3 — L3 — C3 подключены к одной паре узлов, и следовательно включены параллельно

При умножении и делении удобно пользоваться показательной формой записи комплексного числа, а при сложении и вычитании — алгебраической

Запишем знаменатель в показательной форме

Теперь исходную цепь можно представить следующей эквивалентной схемой (рис. 2,25).

В эквивалентной схеме элементы Z1 и Z23 соединены последовательно.

Запишем Z123 в показательной форме :

Находим комплекс тока в первой ветви. Так как начальная фаза напряжения, приложенного к зажимам цепи, не дана, примем ее равной нулю

Находим комплекс напряжения первой ветви

Находим напряжение на параллельном участке цепи

Находим токи в ветвях

,

Находим комплексную мощность источника

Находим комплексные мощности приемников

Баланс мощностей сходится в действительной 998 992 и мнимой частях 158 163, следовательно, задача выполнена верно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *