Определитель 3 го порядка

Определители 3-го порядка.

  • Главная
  • Избранное
  • Популярное
  • Новые добавления
  • Случайная статья

Определители 2-го и 3-го порядков.

В алгебре и аналитической геометрии широко используются алгебраические выражения специального вида, которые называются определителями. Определители составляются из элементов квадратных таблиц – матриц.

Определители 2-го порядка.

Матрицей второго порядка называется квадратная таблица из 4-х элементов, расположенных в виде двух строк и двух столбцов:

Строки матрицы нумеруются сверху вниз, столбцы – слева направо. Если элементы матрицы – числа, то матрица называется числовой матрицей. Определителем (детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется выражение

Схема образования определителя второго порядка

Левая часть последнего равенства представляет собой обозначение определителя второго порядка.

Определитель второго порядка не изменится, если сделать его строки столбцами, записав их в том же порядке:

.

Определители 3-го порядка.

Матрицей третьего порядка называется квадратная таблица из 9 элементов, расположенных в виде трех строк и трех столбцов.

Диагональ матрицы, на которой стоят элементы , , называется ее главной диагональю.

Определителем (детерминантом) третьего порядка называется выражение

Правая часть последнего равенства составляется следующим образом. Три слагаемых с плюсом являются произведениями элементов главной диагонали и произведениями элементов, стоящих на параллели к главной диагонали, на элемент из противоположного угла. Три слагаемых с минусом образуются таким же образом относительно второй диагонали.

Определитель третьего порядка не изменится, если сделать его строки столбцами, записав их в том же порядке:

Действительно, при такой замене матрица определителя подвергается преобразованию симметрии относительно главной диагонали. При этом тройки элементов, изображенные закрашенными кружками, не изменяются, а тройки элементов, изображенные кружками со штриховкой, поменяются местами с тройками, изображенными кружками с двойной штриховкой. Поэтому определитель не изменится.

Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Вычисление определителя третьего порядка можно свести к вычислению определителей второго порядка.

Вынесем в выражении для определителя третьего порядка за скобки элементы первой строки и запишем выражения в скобках в виде определителей второго порядка:

Поменяем порядок столбцов в определителе:

Следовательно,

– разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Выражение, записанное в правой части, называется разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Определитель можно разложить по элементам любой строки или столбца. Для того, чтобы можно было легко составлять такие разложения, вводится понятие алгебраического дополнения.

Дополнительным минором элемента в определителе третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный вычеркиванием из данного определителя строки и столбца, содержащих данный элемент. Алгебраическим дополнением элемента называется его дополнительный минор, умноженный на , где – номер строки, – номер столбца, в которых строит данный элемент. Обозначим алгебраическое дополнение элемента через , алгебраическое дополнение элемента через и т.д.

Тогда

, ,

Следовательно,

Аналогичным образом можно доказать, что

,

,

и

Знаки перед минорами

Свойства определителей.

1.3. Свойства определителей 2-го порядка.

1. При перестановке двух строк (столбцов) определитель умножается на :

2. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю:

3. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя:

4. Если каждый элемент строки (столбца) является суммой двух чисел, то определитель равен сумме двух определителей, в первой из которых на месте сумм стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые:

5. Определитель не изменится, если к элементам строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число:

Свойства 1-4 доказываются непосредственным подсчетом определителей. При этом достаточно проверять свойства только для строк, так как, по доказанному выше, определитель не изменится, если сделать его строки столбцами.

Докажем свойство 5. Используя последовательно свойства 4, 3, 2, получим:

1.4. Свойства определителей 3-го порядка.

1. При перестановке двух строк (столбцов) определитель множится на :

Доказательство.

Пусть

, .

Разложим каждый из определителей по элементам первой строки.

Получим

, .

Но . Аналогично, , .

Следовательно, .

2. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю:

3. Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

4. Если каждый элемент строки (столбца) является суммой двух чисел, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых на месте сумм стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые:

5. Определитель не изменится, если к элементам строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число:

Свойства 2, 3, 4 доказываются, как и свойство 1, разложением определителя по элементам строки. Свойство 5 доказывается так же, как для определителей второго порядка.

Пример.

6. Сумма произведений элементов строки (столбца) на соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю.

Докажем, например, что

,

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов

в определителе .

Определители 2-го и 3-го порядков

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5

Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А, называется число

.

Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя (они же элементы матрицы А).

Элементы а11, а22 составляют главную диагональ, а элементы а21, а12 – побочную диагональ.

Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка:

.

Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице А, называется число D, которое определяется выражением:

Элементы а11, а22, а33 – расположены на главной диагонали, элементы а13, а22, а31 – на побочной диагонали.

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка

Определитель 2-го порядка вычисляется по определению:

.

Пример 1

Для вычисления определителя 3-го порядка можно воспользоваться следующими правилами:

Правило Саррюса: дописать справа к элементам определителя сначала 1-й столбец, затем 2-й (можно внизу дописать первую и вторую строки), (рис.1), произведение элементов, стоящих на главной диагонали определителя, а также произведения элементов, стоящих на двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «плюс», а произведение элементов побочной диагонали и двух параллелях к ней, содержащих по 3 элемента – нужно взять со знаком «минус» (рис. 1). Сумма этих шести произведений дает определитель 3-го порядка, соответствующий матрице А.


,

— — — + + +

Рис. 1

Пример 2

Вычислить .

Решение

,

– – – + + +

таким образом:

Правило треугольника:одно из трех слагаемых, со знаком «плюс» есть произведение элементов главной диагонали определителя, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла определителя, слагаемые со знаком «минус» строятся так же, но относительно побочной диагонали (рис.2).

(+) (-)

Рис. 2

Пример 3

Вычислить определитель по правилу треугольника: .

Решение

Свойства определителей

Рассмотрим свойства определителей на примере определителя 3-го порядка.

Рассмотрим определитель:

Определение. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение минора .

Пример 4

Минор элемента а12: .

Определение. Алгебраическим дополнениемлюбого элемента определителя называется минор этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент, есть число четное, либо с противоположным знаком, если эта сумма есть число нечетное. Обозначение алгебраического дополнения Аij.

Пример 5

Свойство 1.Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Пример 6

Вычислим определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:

Свойство 2. Величина определителя не изменится, если каждую его строку заменить столбцом с тем же номером.

Свойство 3. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна его умножению на (–1).

Свойство 4.Общий множитель всех элементов одного столбца или одной строки определителя можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

Свойство 6. Определитель, имеющий два одинаковых столбца или две одинаковых строки, равен нулю.

Свойство 7. Определитель равен нулю, если элементы двух столбцов или двух строк пропорциональны.

Свойство 8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые:

Свойство 9.Если к элементам некоторого столбца (или строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (или строки), умноженные на общий множитель, то величина определителя не изменится.

Пример 7

Вычислим определитель:

,

при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.

Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.

Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица А порядка n.

Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица , которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

По определению

А · = · А = Е.

Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной.

Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле

,

где — определитель матрицы А, — союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица

,

для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица

Пример

Для матрицы найти обратную.

Решение

Обратную матрицу находим по формуле

Определитель матрицы , следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:

Определение 1

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n.

|А|, ∆, det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Пример 1​​​​​

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

А=1-231.

Решение:

det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  • правило треугольника;
  • правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 2

А=13402115-1

Решение:

det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 3

А=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin

Разложение матрицы по элементам столбца:

det A=а1i×А1i+а2i×А2i+…+аni×Аni

Замечание

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Пример 5

А=01-132100-24513210

Решение:

  • раскладываем по 2-ой строке:

А=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

Свойства определителя

Свойства определителя:

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

Определение определителя 3-го порядка как обобщение записи определителя 2-го порядка и геометрической схемы (правила) формирования членов определителя, то есть его вычисления.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по формуле:

.

Данная формула получила название правила треугольников или правило Сарруса.

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться следующей схемой, показывающей произведения каких элементов берутся со знаком “+”, а каких со знаком “-“:

4. . Свойства определителя 3-го порядка, вытекающие из принятого правила его вычисления. Вычисление определителя 3-го порядка разложением по столбцу (строке).

а)Свойство 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка равны нулю, то и определитель равен нулю.

Свойство 2. Определитель 3-го порядка не изменится, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.

Свойство 3. Если поменять местами две строки (столбца) определителя 3-го порядка, то обсолютная величина определителя не изменится, а знак изменится на противоположный.

Следствие. Определитель 3-го порядка, в котором каких-либо две строки (столбца) совпадают, равен нулю.

Свойство 4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка умножить на какое-либо число, то и определитель умножится на это число.

Следствие 1. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца) этого определителя, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя 3-го порядка представляет собой сумму двух слагаемых, то и определитель можно представить в виде суммы двух слагаемых, например:

a1b1c1 + d1 a1b1c1 a3b3c3

a2b2c2 + d2 = a2b2с2 + a2b2d2

a3b3c3 + d3 a3b3c3 a3b3d3

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

(7)

Определитель

(8)

составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

1. Если определитель системы , то система (7) имеет решение, и притом единственное. Это решение находится по формулам

(9)

Из этого заключаем, что значение неизвестного системы (7) равно дроби, знаменатель которой есть определитель системы, а числитель есть определитель, получающийся из определителя системы заменой в нем столбца из коэффициентов при определяемом неизвестном столбцом свободных членов.

Определители, стоящие в числителях дробей (9), будем обозначать соответственно через Dx, Dy, Dz.

2. Если D = 0, но, по крайней мере, один из его миноров и хотя бы один из определителей Dx, Dy и Dz не равен нулю, то система (7) решений не имеет. В этом случае говорят, что она противоречива, или несовместна.

3. Если D = 0 и все определители, стоящие в числителях дробей (9), — Dx, Dy, Dz — равны нулю, т. е. если

D = Dx = Dy = Dz = 0,

но хотя бы один из миноров в определителе D не равен нулю, то одно уравнение системы (7) является следствием двух других, и система трех уравнений (9) приводится к двум уравнениям, причем решения этих двух уравнений удовлетворяют третьему. В этом случае система (9) имеет бесконечное множество решений и называется неопределенной.

4. Если же все миноры в определителе D равны нулю, но хотя бы один из миноров в каком-нибудь из определителей Dx, Dy, Dz не равен нулю и хотя бы один из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то система несовместна и решений не имеет.

5. Если в определителях D, Dx, Dy, Dz все миноры равны нулю, но хотя бы один из коэффициентов при неизвестных нулю не равен, то два уравнения системы являются следствием третьего, и система трех уравнений приводится к одному уравнению, является неопределенной и имеет бесконечное множество решений, причем решения этого третьего уравнения удовлетворяют первому и второму уравнениям.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *