Температура черной дыры

ТЕМПЕРАТУРА И ЭНТРОПИЯ ЧЕРНОЙ ДЫРЫ

Существование черной дыры само по себе парадоксально. Черная дыра ведет себя, как тело с температурой, равной абсолютному нулю, потому что с помощью черной дыры можно полностью превратить тепло в работу.

При падении на черную дыру тело может производить работу за счет энергии гравитационного притяжения к черной дыре. Если какое-либо тело падает на черную дыру, то вся его энергия вместе с «энергией покоя» M0cІ (M0 -масса покоя тела) может быть превращена в работу.

Таким образом, на границе черной дыры полная энергия тела обратится в нуль. Можно сказать, что масса покоя тела погасится отрицательной потенциальной энергией тела в гравитационном поле черной дыры. В обычных земных условиях потенциальная энергия очень мала по сравнению с энергией покоя, так что масса падающего камня остается практически неизменной; при падении в поле черной дыры она обращается в нуль.

Закон тяготения действует так, что сила притяжения пропорциональна массе притягиваемого тела независимо от того, с чем связана эта масса. Горячий чайник немного тяжелее холодного; падая на черную дыру, горячий чайник выделит несколько больше энергии (на U/cІ, где U — внутренняя энергия), чем холодный. Черная дыра работает как идеальный холодильник при Т=0, из которого никакими способами нельзя извлечь какой-либо энергии. Это значит, что к.п.д. цикла с черной дырой в качестве холодильника, по Карно, будет равен единице. Возникает ситуация, очень напоминающая вечный двигатель второго рода, и нарушается теорема Нернста. Такой парадокс должен был неминуемо навести на мысль, что черная дыра не может иметь температуру Т=0.

Решение парадокса надо было искать в термодинамических свойствах черной дыры. Первая догадка состояла в следующем.

Если черная дыра имеет температуру, отличную от абсолютного нуля, то она имеет и энтропию. Если черная дыра сферически симметрична, не вращается и не заряжена, то энтропия может зависеть только от массы. Но энтропия — величина, которая не зависит от единиц измерения: энтропия идеального газа определялась отношением объемов и отношением температур. Численное же значение массы, конечно, зависит от того, в каких единицах мы ее измеряем — в граммах или в миллионах тонн. По-видимому, и энтропия черной дыры должна определяться отношением ее массы к какой-то стандартной эталонной массе. Но какой? Как все же должно выглядеть выражение для энтропии черной дыры?

Качественное решение задачи было придумано Бекенштейном. Внимание его привлекла одна теорема общей теории относительности. Теорема утверждала, что какие бы процессы ни происходили в системе, в которой есть черные дыры, суммарная площадь поверхностей черных дыр может только увеличиваться. Эта очень общая теорема похожа на теорему о возрастании энтропии. Площадь, так же как энтропия, величина аддитивная и, так же как и энтропия, зависит от массы черной дыры. Поэтому был соблазн предположить, что энтропия черной дыры просто пропорциональна ее площади: S~A. Но как свести концы с концами, если площадь A имеет размерность квадрата длины?

В микромире нет своего масштаба длины. Из двух постоянных ћ и c нельзя составить величину с размерностью длины или времени. Для этого надо взять еще массу. Тогда длину можно, например, составить так: ћ/mc.

В общей теории относительности также нет масштаба длины, так как его нельзя составить из G и c. Но если привлечь на помощь массу, то длину можно составить так: Gm/cІ.

Объединим теперь обе длины ћ/mc и Gm/cІ, составив их геометрическое среднее (ћG/cі)Ѕ. При этом масса сократится. Это и есть единица длины, предложенная Планком.

После того как Планк ввел две фундаментальные постоянные ћ и k, он заметил, что появилась возможность построить новую систему единиц, не связанную ни с какими искусственными эталонами. Это следующие единицы:

Длина lп=(ћG/cі)Ѕ=5,110*10-31 м,

Время tп =(ћG/c5)Ѕ=1,7016 *10-43 с,

Масса mп =(ћc5/G)Ѕ =6,189*10-9 кг,

Температура Тп=1/k(ћc5/G)Ѕ=4,028*1031 К.

Единицы Планка удобны при расчете таких систем, где существенны эффекты как квантовые, так и гравитационные.

Черная дыра (и ее энтропия) кажется удачным кандидатом для применения единиц Планка.

Предположим, что масштаб энтропии связан с постоянной длины lп, т.е. что площадь поверхности черной дыры надо разделить на lп2 с каким-то коэффициентом, о котором, конечно, нельзя догадаться заранее. На основе таких не очень строгих рассуждений и была выдвинута гипотеза о том, что энтропия черной дыры должна иметь вид

S=бБ/ lп2,

где коэффициент б надо вычислить из каких-то соображений особо. Такая догадка оказалась правильной. Коэффициент б был вычислен позднее Хокингом. Он оказался равным 1/4.

Зная энтропию, можно вычислить и температуру. Заменим площадь A ее выражением через гравитационный радиус:

A=4рRgІ=16рGMІ/c4.

Используя единицы Планка, можно теперь написать формулу для энтропии:

S=16рб(M/mп)І.

Температура запишется в виде

T=1/(32рб)* mп/M*Tп .

Исключая из этих формул массу, будем иметь (в единицах Планка и б=1/4) STІ=1/(16р).

Такое уравнение состояния ни на что не похоже. Из него следует, что чем выше температура, тем меньше энтропия, а при абсолютном нуле энтропия обращается в бесконечность.

Отсюда можно заключить, что либо в наших рассуждениях грубая ошибка, либо с черно дырой происходит нечто серьезное и она не «доживает» до абсолютного нуля. Но в рамках классических представлений парадокс разрешить оказалось невозможным.

Парадокс исчез, когда Хокинг теоретически доказал, что вблизи черной дыры происходит рождение частиц. Неожиданным образом выяснилось, что теорема о возрастании площади поверхности черной дыры перестает быть строгой в квантовой механике и энтропия ее может уменьшаться за счет того, что вокруг нее создается поток фотонов, которые эту энтропию уносят.

Очень большой потенциал гравитационного поля вблизи черной дыры приводит к тому, что на ее поверхности рождаются пары фотонов (и другие частицы). Энергия этих фотонов (как и всех частиц вблизи черной дыры) равна нулю, поэтому они могут родиться «из ничего», не нарушая закона сохранения энергии. После рождения пары фотонов один из них уходит в черную дыру, а второй за счет освободившейся энергии улетает на бесконечность. Система работает, как блок: один груз опускается, а за его счет поднимается другой. Результатом этого процесса будет уменьшение массы черной дыры (а значит, и ее поверхности), эквивалентное энергии улетевших фотонов.

Теория этого процесса сложна. Но результат был интересным. Черная дыра излучает фотоны, спектр которых совпадает с распределением Планка, отвечающим температуре (в единицах Планка, т.е. mп =1 и Tп=1):

T=1/(8р)*1/М.

Из этой формулы следует, что коэффициент б=1/4.

Таким образом, черная дыра излучает как идеальное черное тело (неожиданно реализованное в космосе с очень большой точностью).

Теперь становится ясным источник парадокса. Черная дыра — система неустойчивая, неравновесная, поэтому и понятие о температуре черной дыры — понятие не вполне точное. Температура черной дыры растет с уменьшением массы; рождение пар приводит к уменьшению массы, а, следовательно, и к повышению температуры. С ростом температуры интенсивность излучения увеличивается, а температура возрастает еще больше. В конце концов, черная дыра должна сгореть совсем, причем сгореть за конечное время.

Какая температура внутри черной дыры?&nbsp

SUSANNA KAZARYAN

Сусанна Казарян, США

Формализм термодинамики позволяет рассчитать температуру чёрной дыры косвенно, по излучению Хокинга, спектр которого строго чёрнотельный, а значит, зависящий только от температуры чёрной дыры: T = ħc³/8πkGm, где m — масса чёрной дыры.

Здесь предполагается, что чёрнотельное излучение находится в тепловом равновесии с чёрной дырой-излучателем и температура излучения может быть приписана температуре чёрной дыры.

Подставив в формулу значения фундаментальных констант, получим T ≈ 6⋅10⁻⁸/M, где температура (T) измеряется в Кельвинах, а масса чёрной дыры в единицах масс Солнца (М=m/M⊙).

Видно, что температура обратно пропорциональна массе чёрной дыры и для дыры массой в 6 Солнц, температура оказывается равной T (M=6) ≈ 10⁻⁸ K.

Отметим, что данная температура получена на основе излучения, исходящего из горизонта событий чёрной дыры, ограниченный радиусом Шварцшильда. Для случая M=6 это соответствует радиусу примерно 18 км.

Прямое же решение задачи определения температуры внутри чёрной дыры невозможно из-за неопределенности самого понятия температуры за горизонтом событий.

ЛЁША ЗАБЛОЦКИЙ

Программист. Потребитель пельменей.

Хороший вопрос! Это зависит от вашей скорости. Если вы сидите снаружи — то внутри у чёрной дыры ничего нет (даже самого пространства), а температура вокруг неё зашкаливает. Горизонт событий будет настолько горяч, что его энергия образует, собсна, чёрную дыру. Да, на это можно и так смотреть.

Но если вы падаете в чёрную дыру — с вами ничего такого не случится, вы даже не заметите, как пролетите этот горизонт, потому что, для вас он будет в другом месте. Вас, конечно, это не спасёт от разрывания на кварки сингулярностью, но горизонт в вашей системе отсчёта будет не горячее, чем окружающий космос.

То есть, температура тоже относительна, и чёрная дыра — прекрасный пример этого удивительного факта.

Andrei Avantgardian / flickr.com

Физики из Израильского технического университета подтвердили тепловую природу излучения Хокинга «глухой» дыры — одного из самых достоверных аналогов гравитационного излучения Хокинга. Для этого ученые измеряли корреляции между плотностями бозе-конденсата, в котором возникала «глухая» дыра, и сравнивали спектр корреляций с распределением Планка. Найденная таким образом температура Хокинга «глухой» дыры составила около 0,35 нанокельвин, что согласуется с теорией в пределах погрешности эксперимента. Результаты измерений исследователи опубликовали в Nature.

В 1974 году Стивен Хокинг обнаружил, что из-за квантовых эффектов черные дыры испускают тепловое излучение, причем температура и интенсивность этого излучения тем выше, чем меньше дыра. Тепловое излучение — это излучение, энергия которого подчиняется закону Планка. В настоящее время физикам известно множество эвристических объяснений, которые указывают на эффект Хокинга. Чаще всего этот эффект объясняют с помощью виртуальных пар частиц, одна из которых «проваливается» под горизонт событий, а другая улетает на бесконечность. Разумеется, это упрощенное объяснение не совсем корректно. Подробно прочитать про излучение Хокинга можно в материалах «Летописец времени», «Что общего между излучением Хокинга и эффектом Унру?» и «Эффект Унру».

К сожалению, обнаружить излучение Хокинга у настоящей черной дыры — а тем более подтвердить его тепловой спектр — физики до сих пор не смогли. И скорее всего не смогут даже в далеком будущем. Дело в том, что астрономические черные дыры имеют очень маленькую температуру — например, температура черной дыры с массой Солнца составляет всего 6×10−8 кельвин. Увидеть такое излучение не может даже самый точный телескоп (потому что оно почти в миллиард раз слабее реликтового излучения). Создать миниатюрную черную дыру в лаборатории при текущем уровне развития техники тоже невозможно. Тем не менее, в лаборатории можно построить аналог черной дыры — систему, которая эффективно моделирует горизонт событий и, соответственно, эффект Хокинга. Один из первых примеров такой системы теоретически рассмотрел еще в 1981 году Уильям Унру; в общих чертах, в этом примере черная дыра моделировалась сходящимся потоком жидкости. А примерно с середины прошлого десятилетия некоторые из предложенных моделей начали проверять в настоящих экспериментах.

На данный момент один из самых достоверных аналогов излучения Хокинга наблюдал в 2016 году израильский физик Джефф Штейнхауэр, работавший с так называемой «глухой» дырой. Чтобы создать такую дыру, ученый получал бозе-конденсат холодных атомов рубидия и разделял его на две области. В одной области атомы двигались с дозвуковой скоростью, во второй — со сверхзвуковой скоростью, разделяющая области граница служила аналогом горизонта событий, а фононы (кванты звука) — аналогами фотонов. С этим связано название «глухой» дыры: звуковые волны, попавшие в «сверхзвуковую» область, никогда ее не покидают. В результате пары фононов, которые рождаются вблизи горизонта событий, разрываются и формируют характерную картину корреляций. Измеряя эти корреляции, физик подтвердил, что излучение аналоговой черной дыры напоминает излучение Хокинга. Впрочем, в этой работе Штейнхауэр рассматривал только пары фононов со сравнительно высокой энергией, тогда как оставшийся спектр оставался неизмеренным. Кроме того, физик не оценивал температуру Хокинга для построенного аналога черной дыры.

Схематическое изображение «глухой» черной дыры

Juan Ramón Muñoz de Nova et al. / Nature, 2019

Поделиться Теперь группа исследователей под руководством Джеффа Штейнхауэра вернулась к этому эксперименту, более аккуратно промерила корреляции между фононами, измерила спектр излучения Хокинга и подтвердила, что он хорошо согласуется с теоретическими предсказаниями. На практике ученые измеряли корреляционную функцию плотностей атомного газа в различных точках, а затем пересчитывали ее в корреляционную функцию между модами Хокинга и модами-компаньонами (Hawking and partner modes). Грубо говоря, мода колебаний — это функция, которая отвечает определенной волне. Затем ученые делали преобразование Боголюбова, которое связывает операторы рождения-уничтожения этих мод с операторами рождения-уничтожения мод, приходящих из прошлого, и замечали, что квадрат модуля получившейся корреляционной функции выражается через распределение Планка с температурой Хокинга. Следовательно, по квадрату модуля корреляционной функции, измеренному в эксперименте, можно судить о том, насколько хорошо излучение Хокинга описывается распределением Планка. Более того, из этого квадрата можно было извлечь температуру черной дыры.

Для повышения точности ученые повторяли эксперимент 7400 раз. С одной стороны, в каждом эксперименте физики измеряли пространственное распределение плотности газа и скорости звука, рассчитывали температуру Хокинга по известным формулам и усредняли результат. Найденная таким образом температура составляла примерно 0,351±0,004 нанокельвин. С другой стороны, для каждого эксперимента исследователи рассчитывали корреляционную функцию плотностей, делали ее преобразование Фурье, сравнивали его с распределением Планка, извлекали температуру Хокинга и снова усредняли. Эта температура составляла примерно 0,348±0,017 нанокельвин. Другими словами, оба результата совпадали в пределах погрешности эксперимента. Поэтому физики считают, что этот эксперимент не только качественно, но и количественно подтверждает тепловую природу излучения Хокинга «глухой» дыры.

(a) Картина корреляций между модами Хокинга и модами-компаньонами (зеленая линия). (b) Спектр корреляций в излучении Хокинга (черные линии и точки) в сравнении с теоретически предсказанным тепловым спектром (серая жирная линия). Во врезе эксперимент сравнивается с численными расчетами

Juan Ramón Muñoz de Nova et al. / Nature, 2019

Поделиться Вообще говоря, бозе-конденсат — не единственная система, в которой физики наблюдали аналоги излучения Хокинга. Например, в январе этого года группа исследователей под руководством Джонатана Дрори (Jonathan Drori) с помощью эффекта Керра впервые получила оптический аналог излучения Хокинга. А еще двумя годами ранее другая группа ученых предложила альтернативный эксперимент по созданию аналоговой черной дыры при помощи мощных лазеров и плазмы. Правда, до экспериментальной проверки ученые до сих пор не добрались.

К сожалению, физики до сих пор не могут объяснить, что происходит внутри черной дыры. В частности, ученые плохо понимают, за счет каких эффектов излучение Хокинга приобретает тепловой спектр, почему энтропия черной дыры пропорциональна ее площади, куда пропадает упавшая в дыре информация. Про последнюю загадку, которую принято называть информационным парадоксом, можно прочитать в материалах «Никакого парадокса нет» и «Уйдем по направлению световой бесконечности». В ходе безуспешных попыток «хоть одним глазком заглянуть под горизонт событий» ученые разработали множество теоретических методов, которые, впрочем, скорее создавали новые вопросы, чем отвечали на старые. В последнее время среди этих методов особенно выдвинулся сюжет про квантовый хаос (предполагается, что черные дыры сильнее всех в природе «перемешивают» информацию) и AdS/CFT соответствие, частным случаем которого является соответствие между двумерной дилатонной гравитацией в двумерном пространстве анти-де Ситтера и SYK-моделью. Мы кратко упоминали этот сюжет в новостях «Квантовый хаос запретил квантовой системе достигнуть нулевой температуры» и «Квантовая телепортация сымитировала получение информации из черной дыры». Возможно, когда-то эксперименты с аналогами черных дыр тоже смогут почувствовать эффекты, связанные с квантовым хаосом.

Дмитрий Трунин

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *