Начальные понятия геометрии

«Начальные геометрические понятия»

Ключевые слова конспекта: начальные геометрические понятия, математические утверждения в геометрии, аксиома, определение, теорема, доказательство, точка, прямая, линия, плоскость, луч, отрезок, длина отрезка, измерение отрезков, единицы длины, расстояние между двумя точками.

Математические утверждения в геометрии

Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений».

Определение – четкое формулирование того или иного математического понятия.

Теорема – математическое утверждение, истинность которого устанавливают путем доказательства.

Признак – утверждение,которое позволяет доказать, что данная фигура является фигурой, которая имеет данные качества или связана необходимыми отношениями.

Доказательство – размышление, в ходе которого устанавливается истинность или ложность утверждения.

Простейшие геометрические фигуры

Точка — понятие, не имеющее значения. Представление о точке дает след на листе бумаги, сделанный хорошо заостренным карандашом. Слово «точка» является переводом латинского слова «pungo», что означает «тыкаю», «дотрагиваюсь». Обозначают точки большими латинскими буквами: А, В, С.

Прямая — понятие, не имеющее значения. Представление о прямой дают: туго натянутая нитка; луч света, проходящий сквозь узкое отверстие. Обозначают прямые латинскими буквами: а, b, … или двумя большими латинскими буквами: АС, ВС, … Прямая бесконечна.

Слово «линия» происходит от латинского слова «tinea», что значит «лён», «льняная нить», иногда это слово понимают как «прямая линия», и отсюда происходит слово «линейка».

Плоскость — понятие, не имеющее значения. Представление о плоскости дают: поверхность стола, оконного стекла, поверхность озера в тихую погоду и т.п. Плоскость предcтавляют неограниченной, идеально ровной и гладкой. Обозначают плоскости маленькими греческими буквами: α, β, …

Луч (полупрямая) — часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, которая лежит по одну сторону от данной на ней точки (начало луча).

Отрезок и его длина

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, включая эти точки. Равные отрезки — отрезки,которые совпадают при наложении. Середина отрезка — точка, которая делит отрезок пополам.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между разными точками — длина отрезка с концами в данных точках. Расстояние между точками, которые совпадают, равно 0.

Для любых точек А и В расстояние от А до В равно расстоянию от В до А. Для любых трех точек расстояние между двумя из них не больше суммы двух других расстояний.

Это конспект по теме «Начальные геометрические понятия». Выберите дальнейшие действия:

  • Перейти к следующему конспекту: Аксиомы планиметрии
  • Вернуться к Списку конспектов по геометрии

Словарь геометрических понятий 7-8 класс

Геометрия,7-9 Основные определения, теоремы, формулы

7 класс Глава I Начальные геометрические сведения

Первичные понятия: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, угол, равные фигуры, середина отрезка, биссектриса угла, измерение отрезков, измерение углов

Отрезок-часть прямой, ограниченная двумя точками.

Луч-часть прямой,ограниченная точкой с одной стороны и неограниченная с другой стороны.

Угол-часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Равные фигуры-фигуры, которые совпадают при наложении друг на друга.

Середина отрезка-точка на отрезке, делящая его пополам.

Биссектриса угла-луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Единицы измерения длины отрезка: миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

Единицы измерения углов: градус, минуты, секунды.

Длина отрезка-количество единиц измерения длины, вмещающихся между двумя концами отрезка.

Градусная мера угла-количество единиц измерения углов, вмещающихся между сторонами угла.

Прямой угол-угол,градусная мера которого равна 900.

Острый угол-угол,градусная мера которого меньше 900.

Тупой угол-угол,градусная мера которого больше 900,но меньше 1800.

Развёрнутый угол-угол,градусная мера которого равна 1800.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая,а две других образуют прямую линию.

Свойство: сумма смежных углов равна 1800.

Вертикальные углы-два угла, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство: вертикальные углы равны.

Перпендикулярные прямые-прямые, которые при пересечении образуют прямой угол.

Параллельные прямые-прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Глава II Треугольники

Треугольник-фигура, состоящая из трёх точек, соединённых между собой отрезками.Точки-вершины треугольника, отрезки-стороны треугольника.

Периметр – сумма длин всех сторон.

Теорема(первый признак равенства треугольников): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема: из точки,не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Медиана треугольника- это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса треугольника- отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота треугольника- перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник-треугольник, у которого две стороны равные. Равные стороны – боковые, третья сторона – основание.

Равносторонний треугольник- треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство:в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Теорема(второй признак равенства треугольников): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(третий признак равенства треугольников): если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружность-геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки-центра.

Радиус окружности-отрезок,соединяющий любую точку окружности с её центром.

Хорда-отрезок, соединяющий две любые точки окружности.

Диаметр-хорда, проходящая через центр.

Дуга – часть окружности, ограниченная двумя точками.

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

  • построение отрезка, равного данному

  • построение угла, равного данному

  • построение биссектрисы угла

  • построение середины отрезка

  • построение перпендикулярных прямых

Глава III Параллельные прямые

При пересечении двух прямых третьей прямо-секущей образуются следующие виды углов:

  • накрест лежащие углы

  • односторонние углы

  • соответственные углы

Теорема(первый признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(второй признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема(третий признак параллельности прямых):если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна углы равна 1800, то прямые параллельны.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема:если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Теорема:если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема:если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 1800.

Глава IV Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: сумма внутренних углов треугольника равна 1800.

Внешний угол треугольника-угол, смежный с каким-либо внутренним углом треугольника.

Остроугольный треугольник-это треугольник, все внутренние углы которого острые.

Тупоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов тупой.

Прямоугольный треугольник-это треугольник, у которого один из углов прямой.

Гипотенуза-это сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Катеты-это стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол.

Теорема:в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Теорема:в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Следствие:в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.

Теорема(признак равнобедренного треугольника):если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Теорема(неравенство треугольника):каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Свойство:сумма двух острых углов треугольника равна 900.

Свойство:катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы.

Свойство:если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 300.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема(признак равенства прямоугольных треугольников):если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Теорема:все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

8 класс. Глава V Четырёхугольники

Многоугольник-фигура, состоящая из нескольких точек плоскости, поочередно соединённых между собой непересекающимися отрезками.

Диагональ-это отрезок, соединяющий две несоседних вершины многоугольника.

Выпуклый многоугольник- это многоугольник, который весь лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Теорема:Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*1800.

Параллелограмм- это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство:в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство:диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема(признак параллелограмма):Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Трапеция-это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.Параллельные стороны-основания, непараллельные стороны-боковые.

Равнобедренная трапеция-это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция-это трапеция, у которой один из углов прямой.

Теорема Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пресекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

Прямоугольник-это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство: диагонали прямоугольника равны.

Теорема(признак прямоугольника):если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

Ромб-это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство: диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат-это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Глава VI Площадь

Площадь плоской фигуры-это количество единичных квадратов, вмещающихся в данную фигуру.

Единицы измерения площади: мм2,см2, дм2, м2, ар=100м2, км2 , га=100км2.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Площадь трапеции равна полусумме её оснований на высоту.

Теорема Пифагора:в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема(обр.):если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный.

Глава VII Подобные треугольники

Отрезки m и n пропорциональны отрезкам m1и n1,если отношения их длин равны m:m1= n: n1.

Подобные треугольники- это треугольники,у которых соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Коэффициент подобия- это число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Свойство биссектрисы тр-ка: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема(второй признак подобия треугольников):если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Теорема(первый признак подобия треугольников):если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Среднее пропорциональное(среднее геометрическое)двух величин – это квадратный корень из произведения этих величин.

С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

С. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы,заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Синус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение противолежащего катета к прилежащему .

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника- это отношение прилежащего катета к противолежащему .

Глава VIII Окружность

Касательная к окружности – это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Т. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Т.(обр.) Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности измеряется центральным углом, который на неё опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Т.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

С. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Т. Если две хорды окружности пересекаются, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные геометрические понятия

Тела отличаются друг от друга весом, цветом, плотностью, твердостью, занимаемым ими местом и т. д.

Эти признаки называются свойствами тел.

Тела, обладающие этими свойствами, называются физическими телами.

Между этими свойствами особенного внимания заслуживает свойство тела, называемое протяженностью.

Протяженность есть свойство тела занимать в пространстве определенное место.

Его называют геометрическим свойством тела. Этим свойством определяется форма и величина тела.

Тело, обладающее только одним свойством протяженности, называется геометрическим телом. Рассматривая геометрическое тело, обращают внимание только на его форму и величину.

Остальные свойства тела называются физическими.

Геометрическое тело есть место, занимаемое физическим телом.

Геометрическое тело ограничено со всех сторон. Оно отделяется от остального пространства поверхностью тела. Чтобы выразить это, говорят, что

Поверхность есть предел тела.

Одна поверхность отделяется от другой линией. Линия ограничивает поверхность, поэтому линию называют границей поверхности.

Линия есть предел поверхности.

Конец линии называется точкой. Точка ограничивает и отделяет одну линию от другой, поэтому точку называют границей линии.

Точка есть предел линии.

На чертеже 1 изображено тело, имеющее форму закрытого со всех сторон ящика. Оно ограничено шестью сторонами, образующими поверхность ящика. На каждую из сторон ящика можно смотреть как на отдельную поверхность. Эти стороны отделяются друг от друга 12 линиями, образующими ребра ящика. Линии же отделяются друг от друга 8 точками, составляющими углы ящика.

Тела, поверхности и линии бывают неодинаковой величины. Это значит, что они занимают неодинаковое пространство, или неодинаковое протяжение.

Объем тела. Величина геометрического тела называется объемом или вместимостью тела.

Площадь поверхности. Величина поверхности называется площадью.

Длина линии. Величина линии называется длиною.

Длина, площадь и объем являются разнородными величинами. Они измеряются различными единицами и употребляются для различных целей. Чтобы найти расстояние двух предметов, ширину руки, глубину колодца, высоту башни, определяют длину линии. Для этого делают только одно измерение, то есть производят измерение в одном направлении. При измерении прибегают к единицам длины. Эти единицы длины называются верстами, саженями, аршинами, футами, метрами и т. д. Единица длины имеет одно измерение, поэтому и говорят, что

Линии имеют одно измерение. Линии не имеют ни ширины, ни толщины. Они имеют одну длину.

Чтобы иметь понятие о размерах картины, нужно знать ее длину и ширину. Длина и ширина дают понятие о площади картины. Для определения площади нужно стало быть сделать два измерения, или измерить картину в двух направлениях. Для определения величины площади прибегают к единицам площадей. За единицу площадей принимают квадрат, стороны которого имеют определенную единицу длины. Единицы площадей называются квадратными милями, квадратными верстами, квадратными футами и т. д. Квадратная верста есть площадь квадрата, у которого каждая сторона равна версте, и т. д. Единица площадей имеет два измерения: длину и ширину. Так как поверхности измеряются единицами площадей, то в этом смысле и говорят, что

Поверхности имеют два измерения. Поверхности не имеют толщины. Они могут иметь только длину и ширину.

Чтобы иметь понятие о вместимости комнаты или ящика, нужно знать их объемы. Для этого нужно знать длину, ширину и высоту комнаты, то есть сделать три измерения или измерить ее в трех направлениях. Объемы измеряются единицами объема. За единицу объема принимают куб, каждая сторона которого равна единице. Единицы объема имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Так как объемы измеряются единицами объемов, то и говорят, что

Тела имеют три измерения.

Единицы объемов называются кубическими верстами, кубическими футами и т. д. Смотря по длине стороны куба.

Точка не имеет ни длины, ни ширины, ни вышины, или точка не имеет измерения.

Геометрические протяжения. Линии, поверхности и тела называются геометрических протяжениями.

Геометрия есть наука о свойствах и измерении геометрических протяжений.

Геометрия есть наука о пространстве. В ней излагается совокупность необходимых отношений, связанных с природой пространства.

Образование геометрических протяжений движением

На линию можно смотреть так же, как на след, оставляемый движением точки, на поверхность как на след, оставляемый движением лини и на тело как на след, оставляемый движением поверхности. На этих соображениях основаны другие определения линии, поверхности и тела.

Линия есть геометрическое место движущейся точки.

Поверхность есть геометрическое место движущейся линии.

Тело есть геометрическое место движущейся поверхности.

Все предметы, рассматриваемые в природе, имеют три измерения. В ней нет ни точек, ни линий, ни поверхностей, а существуют только тела. Однако в геометрии рассматривают точки, линии и поверхности отдельно от тел. При этом некоторое приближенное наглядное представление о поверхности дает нам очень тонкая оболочка тела, наглядное представление о линии дает очень тонкая нить или волосок и о точке конец нити.

Линии

Линии разделяются на прямые, ломаные и кривые.

Прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Сильно натянутая тонкая нить дает некоторое наглядное представление о прямой линии.

Всякую линию обозначают буквами, поставленными при ее точках. Чертеж 2 изображает прямую линию AB. Во всякой прямой линии обращают внимание на ее направление и величину.

Направление прямой линии определяется ее положением.

Ломаная линия есть последовательное и непрерывное соединение нескольких прямых, имеющих неодинаковое направление.

Ломаная линия ABCD (черт. 3) составлена из прямых AB, BC, CD, имеющих неодинаковое направление.

Кривая линия есть такая, которая не может быть составлена из прямых.

Линия, изображенная на черт. 4, будет кривой линией.

Линия, составленная из прямых и кривых, называется иногда составной линией.

Чертеж (4, а) представляет такую составную линию.

Поверхности

Поверхности разделяются на прямые или плоские и кривые. Плоская поверхность называется плоскостью.

Плоскость. Поверхность называется плоскостью в том случае, когда всякая прямая линия, проведенная через каждые две точки поверхности, лежит на ней всеми своими точками.

Кривая поверхность есть такая, которая не может быть составлен из плоскостей.

Прямая линия, проведенная между всякими двумя точками кривой поверхности, не помещается на ней всеми своими промежуточными точками.

Некоторое наглядное представление о плоскости дает поверхность хорошо полированного зеркала или поверхность стоячей воды. Примером кривых поверхностей может послужить поверхность бильярдного шара.

Разделы геометрии

Геометрия делится на планиметрию и стереометрию.

Планиметрия изучает свойство геометрических протяжений, рассматриваемых на плоскости.

Стереометрия изучает свойства таких геометрических протяжений, которые не могут быть представлены в одной плоскости.

Планиметрия называется геометрией на плоскости, стереометрия — геометрией в пространстве.

Геометрия разделяется еще на начальную и высшую. В настоящем сочинении предлагается изложение только начальной геометрии.

Различные формы выражения геометрических истин

Геометрические истины выражаются в форме аксиом, теорем, лемм и проблем или задач.

Аксиома есть истина, но своей очевидности не требующая доказательства.

Примерами истин, не требующих доказательства, могут послужить следующие аксиомы:

  1. Целое равно сумме своих частей.

  2. Целое больше своей части. Части меньше целого.

  3. Две величины, равные одной и той же третьей, равны между собой.

  4. Прибавив или вычтя из равных величин поровну, получим величины равные.

  5. Прибавив или вычтя из равных величин не поровну, получим величины неравные.

  6. Прибавив или вычтя из неравных величин поровну, получим величины неравные.

  7. Сумма больших больше суммы меньших величин.

  8. Однородная величина, которая не больше и не меньше другой, равна ей и т. д.

Теорема. Теоремой или предположением называется истина, требующая доказательства.

Доказательство есть совокупность рассуждений, делающих теорему очевидной.

Теорема доказывается при помощи аксиом.

Состав теоремы. Всякая теорема состоит из условия и заключения.

Условие называется иногда предположением, допущением, а заключение называют иногда следствием. Условие дано и потому получает иногда название данного.

Теорема называется обратной, если заключение делается условием, а условие или предположение заключением. В таком случае данная теорема называется прямою. Не всякая теорема имеет свою обратную.

Проблема или задача есть вопрос, разрешаемый при помощи теорем.

Лемма есть вспомогательная истина, облегчающая доказательство теоремы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *