Физический смысл теплопроводности

  • Предисловие
  • § 1. Линейные дифференциальные операторы
  • 1.2. Полный и главный символы
  • 1.3. Замена переменной
  • 1.4. Приведение к каноническому виду операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами
  • 1.5. Характеристики. Эллиптичность и гиперболичность
  • 1.6. Характеристики и приведение к каноническому виду операторов и уравнении 2-го порядка при n = 2
  • 1.7. Общее решение однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами при n = 2
    § 2. Одномерное волновое уравнение
  • 2.1. Уравнение колебании струны
  • 2.2. Неограниченная струна. Задача Каши. Формула Даламбера
  • 2.3. Полуограниченная струна. Отражение волн от конца струны
  • 2.4. Ограниченная струна. Стоячие волны. Метод Фурье (метод разделения переменных)
  • Задачи
  • § 3. Задача Штурма-Лиувилля
  • 3.2. Простейшие свойства собственных значении и собственных функций
  • 3.3. Коротковолновая асимптотика
  • 3.4. Функция Грина и полнота системы собственных функций
  • Задачи
    § 4. Обобщённые функции
  • 4.1. Мотивировка определения. Пространства основных функций
  • 4.2. Пространства обобщённых функции
  • 4.3. Топология и сходимость в пространствах обобщённых функций
  • 4.4. Носитель обобщённой функции
  • 4.5. Дифференцирование обобщённых функции и их умножение на гладкую функцию
  • 4.6. Общее понятие транспонированного оператора. Замена переменных. Однородные обобщённые функции
  • Задачи
    § 5. Свёртка и преобразование Фурье
  • 5.1. Свёртка и прямое произведение обычных функций
  • 5.2. Прямое произведение обобщённых функций
  • 5.3. Свёртка обобщённых функций
  • 5.4. Дальнейшие свойства свертки. Носитель и носитель сингулярности свёртки
  • 5.5. Связь между свойствами гладкости фундаментального решения и решений однородного уравнения
  • 5.6. Решения с изолированными особенностями. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций
  • 5.7. Преобразование Фурье обобщённых функций умеренного роста
  • 5.8. Схема применения преобразования Фурье для нахождения фундаментальных решении
  • 5.9. Теорема Лиувилля
  • Задачи
    § 6. Уравнение теплопроводности
  • 6.1. Физический смысл уравнения теплопроводности
  • 6.2. Простейшие краевые задачи для уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа
  • 6.3. Пример обоснования гармоничности предельной функции
  • 6.4. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона
  • 6.5. Фундаментальное решение для оператора теплопроводности. Формула Дюамеля
  • 6.6. Оценка производных решения гипоэллиптического уравнения
  • 6.7. Принцип Хольмгрена. Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности
  • 6.8. Схема решения первой и второй краевых задач методом Фурье
  • Задачи
  • § 7. Пространства Соболева. Обобщённое решение задачи Дирихле
  • 7.2. Пространства
  • 7.3. Интеграл Дирихле. Неравенство Фридрихса
  • 7.4. Задача Дирихле (обобщённое решение)
  • Задачи
    § 8. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа
  • 8.1. Симметрические и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве
  • 8.2. Расширение по Фридрихсу
  • 8.3. Дискретность спектра оператора Лапласа в ограниченной области
  • 8.4. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца и аналитичность собственных функции оператора Лапласа во внутренних точках области. Уравнение Бесселя
  • 8.5. Вариационные принципы. Поведение собственных значений при изменении области. Оценки собственных значений
  • Задачи
    § 9. Волновое уравнение
  • 9.1. Физические задачи, приводящие к волновому уравнению
  • 9.2. Плоские, сферические и цилиндрические волны
  • 9.3. Волновое уравнение как гамильтонова система
  • 9.4. Сферическая волна от мгновение» вспышки и решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения
  • 9.5. Фундаментальное решение трёхмерного волнового оператора и решение неоднородного волнового уравнения
  • 9.6. Двумерное волновое уравнение (метод спуска)
  • Задачи
  • § 10. Свойства потенциалов и их вычисление
  • 10.2. Функции, гладкие вплоть до Г с каждой стороны, и их производные
  • 10.3. Скачки потенциалов
  • 10.4. Вычисление потенциалов
  • Задачи
    § 11. Волновые фронты и коротковолновое приближение для гиперболических уравнений
  • 11.1. Характеристики, как поверхности разрывов
  • 11.2. Уравнение Гамильтона — Якоби. Волновые франты, бихарактеристики и лучи
  • 11.3. Характеристики гиперболического уравнения
  • 11.4. Быстро осциллирующие решения. Уравнение эйконала и уравнения переноса
  • 11.5. Задача Коши с быстро осциллирующими начальными данными
  • Задачи
  • Ответы и указания
  • Список литературы

Теплопроводность

Если в разных точках какого-либо газа (в замкнутой системе) за короткое время создается различная температура (градиент температуры), а затем газ предоставляется самому себе, то вследствие процесса теплопроводности температура в газе выравнивается. С макроскопической точки зрения, явление теплопроводности в газах заключается в переносе некоторого количества теплоты от более горячего места системы к холодному. В рамках молекулярно-кинетической теории газов процесс теплопроводности заключается в том, что молекулы из более горячего участка газа, где они имеют большую кинетическую энергию, за счет соударений передают свою энергию в более холодные области, что создает поток теплоты.

В реальных случаях в газах и жидкостях это явление обычно сопровождается переносом теплоты струями газа или жидкости, так называемой (упоминаемой ранее) конвекцией, возникающей из-за того, что при разных температурах различные слои газа и жидкости имеют различную плотность.

Теплопроводностью называется перенос теплоты, обусловленный тепловым (хаотическим) движением микрочастиц. Таким образом, в данном случае в общей формуле переноса (4.181) Aq есть поток теплоты (поток тепловой энергии). Переносимой величиной в случае теплопроводности является количество теплоты Q, т.е. G(x) = Q{x) = CvT{x), где Су — изохорная теплоемкость вещества. Это теплота обусловлена суммарной кинетической энергией молекул. В соответствии с обобщенной формулой процессов переноса (4.182) выражение для потока теплоты можно записать в виде

где ае — коэффициент теплопроводности.

В этом виде выражение (4.189) называется уравнением (законом) Фурье (здесь для простоты рассмотрения предположено, что тепло переносится только вдоль оси Ох). Знак минус указывает, что направление теплового потока противоположно направлению возрастания температуры (градиенту температуры йТ(х)/йх).

С микроскопической точки зрения «движущей силой» теплопроводности является градиент средней кинетической энергии молекул:

—. Имея в виду, что е = —кьТ, получаем: dx 2

где m — масса молекулы.

Любая величина потока частиц с макроскопической точки зрения

равна Подставляя в это выражение величину —

из (4.190), для теплового потока получаем:

Из этого соотношения следует, что коэффициент теплопроводности ге определяется выражением:

где р = тп — плотность вещества.

Физический смысл коэффициента теплопроводности заключается в том, что он определяет количество теплоты, переносимое в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку, при градиенте температуры, равном единице.

Анализируя выражение (4.191), можно прийти к выводу, что коэффициент теплопроводности зависит от строения молекул газа (так как он зависит от числа степеней свободы молекул). В изотермических процессах коэффициент теплопроводности зе не зависит от концентрации и давления газа (так как р ~ п и А. ~ 1 /»). В изохорном процессе ге зависит от температуры как -Jf.

Независимость зе от давления кажется на первый взгляд странной: ведь известно, что для изготовления сосудов Дьюара (термосов) из пространства между стенками выкачивают воздух, чтобы уменьшить теплопроводность (утечку тепла), и чем в этом пространстве меньше остаточное давление, тем лучше термос. Однако противоречия в этом нет, так как при низких давлениях р, когда А. становится соизмеримой с размерами пространства между стенками, исчезает зависимость А. от (1 /п) и зе становится независимой от концентрации п (и давления р соответственно), как это будет далее показано в подразделе 4.7.8.

Оценки коэффициентов теплопроводности некоторых газов, жидкостей и твердых тел даны в табл. 4.6.

  • Направление теплового потока определяется направлением вектора антиградиентатемпературы — (dr(x)/dx) л, ориентированного по п, т.е. в направлении убывания температуры.

Коэффициент теплопроводности. Физический смысл, зависимость от температуры

ВВЕДЕНИЕ

Теория тепломассообмена (теория теплопередачи) рассматривает процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты (теплообмен) может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением. Эти формы теплообмена глубоко различны по своей природе и подчиняются различным законам.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой.

Теплопроводность, согласно взглядам современной физики, представляет собой молекулярный процесс передачи теплоты.

Известно, что при нагревании тела – кинетическая энергия его молекул возрастает. Частицы более нагретой части тела, сталкиваясь при своем беспорядочном движении с соседними частицами тела, сообщают им часть своей кинетической энергии. Этот процесс постепенно распространяется по всему телу.

Перенос теплоты теплопроводностью зависит от разности температур между различными частями тела, от его геометрических размеров и, в значительной степени от физических свойств тела. Так, в металлах при такой передаче теплоты большую роль играют свободные электроны, поэтому металлы – самые теплопроводные вещества.

Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел основано на прочном теоретическом фундаменте – на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппаратом.

В реальных телах при определении переноса теплоты теплопроводностью встречаются известные трудности, которые до сих пор практически удовлетворительно не решены. Эти трудности состоят в том, что реальные тела не однородны, не изотропны и тепловые процессы происходят в среде, теплофизические свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему.

Второй вид переноса теплоты называют конвекцией.

Конвекция– этот перенос теплоты на макромолекулярном уровне, который происходит при перемешивании и перемещении всей массы неравномерно нагретого вещества. Разумеется, такой перенос теплоты может осуществляться только в жидкостях или газах.

Перенос теплоты конвекцией осуществляется тем интенсивнее, чем больше скорость движения жидкости или газа, так как в этом случае за единицу времени перемещается большее количество частиц среды.

Перенос теплоты конвекцией всегда сопровождается теплопроводностью, так как при перемешивании частицы с различной кинетической энергией соударяются и обмениваются этой энергией.

Одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называют конвективным теплообменом.

Конвективный теплообмен (часто называют просто конвекцией) – может быть вынужденным, если движение рабочего тела (жидкой или газообразной среды) вызвано искусственно – вентилятором, насосом, компрессором, мешалкой и т.д.. Если же движение рабочего тела происходит под влиянием гравитационных сил, т.е. под воздействием разности плотностей отдельных частей среды, имеющих различную температуру, то такой конвективный теплообмен называется свободным.

Третий вид теплообмена – тепловое излучение имеет совершенно другую физическую природу.

Процесс передачи теплоты тепловым излучением между двумя телами, разделенными полностью или частично лучепрозрачной средой можно условно разделить на 3 стадии:

— превращение части внутренней энергии одного из тел в энергию электромагнитных волн;

— распространение электромагнитных волн в пространстве;

— поглощение энергии излучения другим телом и трансформация ее в приращение внутренней энергии этого тела.

Теплообмен излучением (в полностью или частично лучепрозрачной среде) происходит между всеми телами, температура, которых отлична от 0 К, т.е., внутренняя энергия которых больше нуля. Чем выше температура тела, тем интенсивнее оно излучает электромагнитные волны теплового диапазона.

Совокупность переноса всех трех видов теплоты называют сложным теплообменом.

ТМО-1 ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1.1 Температурное поле

Теплопроводность представляет собой процесс обмена энергией между частицами тела, соприкасающимися друг с другом и имеющими различную температуру.

При получении закономерностей для процесса теплопроводности, рассматривают однородное изотропное тело (изотропным называют тело, обладающее одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям). При нагреве такого тела температура его в различных точках изменяется во времени и теплота распространяется из области с более высокой температурой в область с более низкой температурой, т.е. процесс передачи теплоты теплопроводностью сопровождается изменением температуры во времени и пространстве.

Температурным полем называется совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства, в котором происходит процесс.

В общем виде уравнение температурного поля для такого процесса запишется:

t = f(x, y, z, τ), (1.1)

где x, y, z – координаты точки, м;

τ – время, с.

Так как температура в уравнении (1.1) есть функция не только координат, но и времени , следовательно, такое температурное поле будет нестационарным. Уравнение (1.1) является уравнением трехмерного нестационарного температурного поля.

Если имеет место установившийся (стационарный) процесс теплопроводности и температура в отдельных точках тела не зависит от времени , то такое температурное поле называют стационарным:

t = f(x, y, z) (1.2)

Уравнение (1.2) является уравнением трехмерного стационарного температурного поля.

На практике, как правило, рассматривают стационарные температурные поля, стремясь привести задачу к рассмотрению двумерного или одномерного температурного поля.

Так при рассмотрении процесса переноса теплоты в стенке, например, наружной стене ограждающей конструкции здания, рассматривают задачу одномерного стационарного температурного поля:

t = f(x), (1.3)

Градиент температуры

Если соединить точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической или изотермной. Изотермные поверхности никогда не пересекаются. Они либо замыкаются на себя, либо кончаются на границах тела.

Если рассмотреть две изотермные поверхности с температурами t и t+Δt, то можно выяснить следующее: если перемещаться по изотермной поверхности, то изменения температуры не обнаруживается, если же перемещаться из точки А на одной из изотерм вдоль какого-либо направления S, то будет наблюдаться изменение температуры. Причем очевидно, что интенсивность изменения температуры, т.е, приращение температуры на единицу длины, по различным направлениям не одинакова.

Рисунок 1.1 К определению градиента температуры

Наибольшая разность температур на единицу длины будет иметь место в направлении нормали к изотермной поверхности.

Предел отношения изменения температуры Δt к расстоянию между изотермами по нормали Δn, когда Δn стремится к нулю, называют градиентом температуры, имеющим размерность .

(1.4)

Градиент температуры – есть вектор, направленный по нормали к изотермной поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление градиента температуры принимается направление возрастания температур.

Закон Фурье

Для передачи теплоты, как формы энергии, в любом теле необходимым условием есть наличие разности температур в различных точках тела. Очевидно, что это условие относится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой градиент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю ( ≠ 0).

Связь между количеством теплоты dQ, передаваемой теплопроводностью через элементарную площадку dF, расположенную на изотермной поверхности, за время dτ и градиентом температуры устанавливается гипотезой Фурье:

, Дж. (1.5)

Множитель пропорциональности λ в правой части называется коэффициентом теплопроводности.

Количество теплоты, проходящей через единицу изотермной поверхности в единицу времени, называют плотностью теплового потока или вектором плотности теплового потока, имеющим размерность .

или . (1.6)

Эту запись гипотезы Фурье называют законом Фурье.

Рисунок 1.2 К определению вектора плотности теплового потока

Вектор плотности теплового потока считают положительным, если он направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры. Вектор плотности теплового потока и вектор градиента температуры лежат на одной прямой, но вектор градиента температуры направлен в сторону возрастания температуры, поэтому в приведенных выше формулах в правой части стоит минус.

Как следует из закона Фурье, для определения количества теплоты, проходящей через произвольную поверхность тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности.

Коэффициент теплопроводности. Физический смысл, зависимость от температуры

Коэффициент теплопроводности λ есть физический параметр вещества, характеризующий его способность проводить теплоту.

Размерность и физический смысл λ определяется из гипотезы Фурье:

(1.7)

Значение коэффициента теплопроводности λ определяет количество теплоты, проходящей через единицу изотермной поверхности в единицу времени, при условии, что градиент температуры равен единице.

В общем случае коэффициент теплопроводности зависит от температуры и давления.

Для многих твердых материалов зависимость λ от температуры может быть принята линейной:

λ = λ0·, (1.8)

где λ0 – коэффициент теплопроводности при температуре t0;

t – текущая температура;

b – коэффициент, определяемый опытным путем.

Наиболее теплопроводными являются металлы, у которых λ составляет 3÷468 Вт/м·град. Коэффициенты теплопроводности чистых металлов, за исключением алюминия, с возрастанием температуры убывают. Самым теплопроводным металлом является чистое серебро.

Коэффициенты теплопроводности сухих строительных и теплоизоляционных материалов при повышении температуры возрастают по линейному закону и изменяются в пределах от 0,01 до 3 Вт/м·град. Увеличение λ пористых материалов при повышении температуры объясняется значительным возрастанием лучистого теплообмена между поверхностями твердого «скелета» пор. Конвективная составляющая теплообмена в порах растет с увеличением размера пор. Коэффициенты теплопроводности отдельных видов материалов зависят от их объёмной массы (пористости), влажности и температуры. В основном эти зависимости определяются соотношением составляющих, которыми может быть заполнен объём материала.

Коэффициент теплопроводности любого материала сильно отличается от коэффициента теплопроводности воздуха l » 0,023 Вт/м×град. Влага, заполняющая поры имеет l » 0,58 Вт/м×град, т.е. в 25 раз больший, чем у воздуха. При переходе жидкой влаги в лед её теплопроводность увеличивается в 4 раза и для льда l » 2,3 Вт/м×град. Важной для строительных материалов является зависимость l от влажности. С увеличением влажности материалов коэффициент теплопроводности возрастает.

Поэтому эффективный коэффициент теплопроводности пористых материалов имеет сложную природу и является условной величиной.

Коэффициенты теплопроводности большинства капельных жидкостей (λ = 0,08÷0,65 Вт/м·град) с повышением температуры убывают. Вода является исключением: с увеличением температуры от 0 до 127 оС коэффициент теплопроводности повышается, а при дальнейшем возрастании температуры уменьшается. От давления λ капельных жидкостей практически не зависят.

Коэффициенты теплопроводности газов (λ = 0,005÷0,6 Вт/м·град) при повышении температуры возрастают и практически не зависят от давления.

Коэффициенты теплопроводности различных веществ определяются опытным путем и для технических расчетов берутся по справочным данным.

Движущая сила теплообменных процессов. Уравнение теплопередачи. Физический смысл коэффициента теплопередачи

Движущей силой любого процесса теплообмена является разность температур теплоносителей (tx — t2). Движущая сила процессов теплопередачи при переменных температурах изменяется в зависимости от вида взаимного направления движения теплоносителей.

Чаще всего для определения поверхности теплообмена используют следующее уравнение:

Уравнение справедливо в предположении, что t1 и t2 остаются постоянными по всей поверхности теплообмена, однако эти условия выполняются только в частных случаях. В общем случае t1 и t2 изменяются по поверхности и, следовательно, изменяется и температурный напор Дt= t1 — t2.

Коэффициент теплоотдачи характеризует процесс передачи тепла от некоторого теплоносителя (жидкость или газ) к твердой стенке. Определяется параметрами данного теплоносителя (режим течения, скорость, теплофизические характеристики типа плотности, вязкости и теплопроводности), а также характеристиками той части стенки, которая омывается данным теплоносителем (характерный размер, наличие оребрения и.д.).

Коэффициент зависит:

  • -от вида теплоносителя и его температуры;
  • -от температуры напора, вида конвекции и режима течения;
  • -от состояния поверхности и направления обтекания;
  • -от геометрии тела.

Поэтому б — функция процесса теплоотдачи; величина расчётная, а не табличная; определяется экспериментально.

Эквивалентная запись:

Из вышеприведённой дифференциальной формулировки можно вывести интегральную:

Количество теплоты, отданное через площадку на границе раздела тел площадью S за время t, пропорционально разности температур этих тел (если считать, что она остаётся за это время постоянной):

Коэффициент теплопередачи k характеризует процесс передачи тепла между двумя теплоносителями через разделяющую их твердую стенку. Определяется коэффициентами теплоотдачи обоих теплоносителей и параметрами теплопередающей стенки (ее толщина и теплопроводность).

Разница между теплоотдачей б и теплопередачей k состоит в следующем. Суммарный перенос тепла складывается из нескольких стадий: стадия теплопереноса в первой среде, стадия теплопереноса от первой среды к стенке, стадия теплопереноса в самой стенке, стадия теплопереноса от стенки ко второй среде, стадия теплопереноса во второй среде. Коэффициенты теплоотдачи описывают отдельные стадии этого суммарного теплопереноса на стадии среда-стенка. А коэффициент теплопередачи описывает суммарный теплоперенос в целом со всеми его стадиями. По этой причине вначале всегда рассчитываются коэффициенты теплоотдачи б, а затем через них рассчитывается коэффициент теплопередачи k.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *