Виды расчетов на прочность

Прочностью называют способность конструкций и составляющих их элементов сопротивляться разрушению под действием внешних нагрузок.

Под разрушением также понимаются необратимые пластические деформации.

Прочность — базовое понятие в сопротивлении материалов и технической механике.

Прочность материалов характеризуется такими параметрами как предел текучести (для пластичных) или предел прочности (для хрупких материалов).

Для элементов конструкций прочность обуславливается величиной допускаемых напряжений.

Короткое видео о том что такое прочность в сопромате:

Критерием оценки прочности элементов является условие, при котором напряжения, возникающие под действием внешних нагрузок не должны превышать допустимых значений.

Например, при растяжении:
Если нормальные напряжения σ не превышают допустимых — стержень прочный.

Когда напряжения в сечении больше допустимых – стержень непрочен.

Конструкция в целом считается прочной только тогда, когда прочны все составляющие ее элементы. Отсюда следует, что если хотя бы один элемент конструкции не является прочным, то вся конструкция тоже считается непрочной.

Прочность элементов в свою очередь зависит от материала, величины прикладываемой нагрузки и поперечных размеров, а в некоторых случаях формы и расположения сечения.

Поэтому недопустимо судить о прочности конструкции при отсутствии схемы ее нагружения.

Если нагрузки неизвестны, можно, лишь сравнивать прочность различных материалов либо элементов.

Например, при абсолютно одинаковых размерах стальной брус прочнее деревянного.

Виды расчетов на прочность

В механике основными видами расчетов на прочность являются:

  • Проектировочный расчет (подбор размеров сечений)
  • Проверка на прочность
  • Определение грузоподъемности.

Прочностные расчеты выполняются в несколько этапов:

  1. При необходимости определяются опорные реакции,
  2. Рассчитываются внутренние силовые факторы и строятся их эпюры,
  3. Определяются наиболее нагруженные участки либо сечения бруса,
  4. В зависимости от условия задачи выполняется необходимый расчет.

Примеры расчетов на прочность >>
Расчет напряжений >>

Вы здесь: Техническая механика > Глоссарий терминов механики > Прочность

Расчет на прочность

Расчеты на прочность ведутся либо по допускаемым напряжениям, либо по коэффициенту запаса прочности. 11од коэффициентом запаса прочности п понимают отношение предельного напряжения а, к максимальному ст1Пах

Для пластичных материалов под ст, понимают предел текучести т, для хрупких — предел прочности ав.

Прочность считают обеспеченной, если

где |»| — рекомендуемое значение коэффициента запаса. Величина п задается принятыми в данной отрасли нормами проектирования и обычно находится в диапазоне от 1,5 до 2. Под допускаемым напряжением |ст| понимают отношение

Конструкцию считают прочной, если

Различают два вида расчетов на прочность: проектировочный и проверочный.

При проектировочном расчете подбирают размеры поперечного сечения детали или материал. Конкретно этот вопрос рассмотрен далее в разделах, посвященных расчетам деталей на растяжение, кручение и изгиб.

Проверочный расчет проводят в тех случаях, когда размеры конструкции, силы и материал выбраны и необходимо убедиться, что конструкция удовлетворяет условиям прочности. В этом расчете используют зависимости (14.10) и (14.11), если проверяют прочность по коэффициенту запаса, или зависимости (14.12) и (14.13), если проводят проверку по допускаемым напряжениям.

Пример: проверка прочности бруса, нагруженного по схеме рис. 14.11, если Р = 104 Н, d = 10 мм, сж = р = 200 МПа.

Рис. 14.11. Пример нагруженного бруса

Решение. Разбивая стержень на два участка и используя метод сечений, строят эпюры внутренних нормальных сил и напряжений.

I участок

II участок

На участке 11 условие прочности не выполняется.

Решение. Разбивая стержень на два участка и используя метод сечений, строят эпюры внутренних нормальных сил, напряжений и удлинений.

Рис. 14.12. Схема нагружения стержня

I участок:

II участок:

Перемещения W(z) произвольных сечений вычисляют относительно нижнего неподвижного конца WA = 0:

Перемещение верхнего свободного конца стержня:

Пример: определение предельных усилий растяжения золотой и алюминиевой проволочек d = 28 мкм при монтаже микросхем, если запас прочности п = 2, предел прочности золота а(1 = 250 МПа, предел прочности алюминия ав = 170 МПа.

Решение.

Для золотой проволочки:

Для алюминиевой проволочки:

Решение. Для решения статически неопределимых задач к условию равновесия = о необходимо добавить условие совместности деформаций. Для данной схемы 2W,- = + &12 = 0. Отбрасываем опоры, заменяя их

опорными реакциями RA и Rc. Разбиваем брус на участки I и II.

Рис. 14.13. Статически неопределимая система

Методом сечений находим внутренние силы и напряжения

I участок:

II участок:

Удлинения участков:

Откуда

Строим эпюры внутренних нормальных сил и нормальных напряжений

Из условий прочности находим площадь сечения каждого участка

Рис. 14.14. Усилия и удлинения стержневой системы при нагреве

Решение. При нагреве всей системы стержни 1 и 2 расширяются в разной степени, но гак как концы их закреплены на одном уровне, то в итоге крайние стержни будут растянуты, а средний сжат.

Уравнение равновесия при снятой верхней плите:

Условие совместности деформаций:

где Д/,т — изменение длины стержня при нагреве; Л/)Л, — изменение длины стержня под действием внутренней силы.

Решение уравнений равновесия и совместности деформаций дает

Тема 2.5. Кручение.

Напряжения и деформации

При кручении

Иметь представление о напряжении и деформациях при круче­нии, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бру­са сетку из продольных и попе­речных линий и рассмотрим рису­нок, образовавшийся на поверхно­сти после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол φ, продольные линии искривляют­ся, прямоугольники превращают­ся в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформа­ции.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу

224 Лекция 27

плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.16).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1г).

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге τ = Gγ,

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лекцию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

где р — расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интегрированием) элементарных моментов:

После преобразования получим формулу для определения напря­жений в точке поперечного сечения:

Тема 2.5. Кручение 225

При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении про­порционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл Jp (лекция 25) называется полярным моментом инерции сечения. Jp является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.


Анализ полученной формулы для Jp показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что ртaх = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитыва­ется по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Обычно Jp/ ртaх обозначают Wp и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

8 — 8060 Олофинская

226 Лекция 27

Таким образом, для расчета максимального напряжения на по­верхности круглого бруса получаем формулу

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

где — допускаемое напряжение кручения.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность

1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса
(вала) вопасном сечении:

2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

Тема 2.5. Кручение 227

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оце­нивается углом закручивания:

Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R = d/2. Откуда

Закон Гука имеет вид τк = Gγ.

Подставим выражение для γ получим

oткуда

Произведение GJP называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8·105МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ0.

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

где φ0 — относительный угол закручивания, φ0 = φ/l;

≈1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.

228 Лекция 27

Примеры решения задач

Из расчетов на прочность и жесткость определить потреб­ный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания = 0,02 рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 • 105 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на
прочность.

Условие прочности при кручении:

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вра­щении:

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении

Значения подставляем в ньютонах и мм.

Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на
жесткость.

Условие жесткости при кручении:

Тема 2.5. Кручение 229

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

Определяем диаметр вала:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение

dвала = 75 ММ.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Контрольные вопросы и задания

1. Как называется напряженное состояние, возникающее при кручении круглого бруса (вала)?

2. Напишите закон Гука при сдвиге.

3. Чему равен модуль упругости материала при кручении для стали? В каких единицах он измеряется?

4. Какая связь между углом сдвига и углом закручивания?

5. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения?

6. Напишите формулу для расчета напряжения в любой точке поперечного сечения.

7. Что такое полярный момент инерции? Какой физический
смысл имеет эта величина? В каких единицах измеряется?

Напишите формулу для расчета полярного момента инерции для круга.

230 Лекция 27

8. Напишите формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?

9. Почему для деталей, работающих на кручение, выбирают круглое поперечное сечение?

10. В чем заключается расчет на прочность?

11. В чем заключается расчет на жесткость?

12. По величине допускаемых крутящих моментов сравнить не­сущую способность двух валов из одинакового материала, имею­щих примерно одинаковую площадь поперечных сечений с = 0,55 (рис. 27.5). Сравнение провести по формуле = Wp.

13. Ответьте на вопросы тестового задания.

Тема 2.5. Кручение

Тема 2.5. Кручение 231

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *