Косоугольное параллельное проецирование

5. Косоугольное проецирование

При параллельном проецировании проецирующие лучи параллельны между собой.

Косоугольное проецирование- это частный случай параллельного проецирования. При нем проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций, угол не равен 90○.

Косоугольное проецирование используется для построения теней и построения аксонометрических проекций

Как он вчера говорил: Есть одна плоскость без искажения (фронтальная или горизонтальная).

Примером искажения является тень предметов в утреннее или вечернее время.

Косоугольное проецирование применяется в основном при решении позиционных задач, что значительно упрощает построения, связанные с решением задач на пересечение прямых с плоскостями и взаимное пересечение плоскостей, когда необходимо получить вырожденные проекции названных геометрических образов, т.е. прямую превратить в точку, а плоскость – в прямую. Косоугольное проецирование может быть как центральным, так и параллельным.

Свойства:

  1. Проекцией точки является точка.

  2. Проекцией линии является линия.

  3. Проекцией прямой в общем случае является прямая. (Если прямая совпадает с проецирующим лучом, то её проекцией является точка).

  4. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии.

  5. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий.

  6. В общем случае плоский многогранник проецируется в многогранник с тем же числом вершин.

  7. Проекции параллельных прямых параллельны.

  8. Если точка делит длину отрезка в отношении m:n, то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении.

  9. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется без искажения.

Пример:

Построим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ, на плоскость П1, при заданном направлении проецирования Р не П1. Для этого необходимо провести проецирующие прямые через точки А и В, параллельные направлению проецирования Р. При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П1 получатся параллельные проекции А1 и В1 точек А и В. Соединив параллельные проекции А1 и В1 мы получим параллельную проекцию А1В1 отрезка АВ.

6. Центральное проецирование

Наиболее общий случай получения проекций пространственных фигур — это центральное проецирование.

Вэтом случае проецирующиелучи выходят из одной точки — центра проецирования S, который находится на конечном расстоянии от плоскости проекций П1.

Для того чтобы получить центральные проекции точек А и B, необходимо провести проецирующие лучи из центра проецирования S через точки А и B до пересечения с плоскостью проекций П1. При пересечении получаются точки А1 и B1 — центральные проекции точек А и B.

Для того чтобыопределить положение точки А в пространстве по её центральным проекциям, необходимо иметь две центральные проекции этой точки А1 и А2, полученные из двух различных центров S1 и S2. Если провести проецирующие лучи S1А1 и S2А2, то точка их пересечения однозначно определит положение точки А в пространстве.

Для построения центральной проекции A1B1 отрезка АВ достаточно построить центральные проекции А1 и B1 точек А и В, так как две точки однозначно определяют прямую.

Центральное проецирование обладает большой наглядностью, так как оно соответствует зрительному восприятию предметов.

Свойства центрального проецирования:

  1. Проекцией точки является точка.

  2. Проекцией линии является линия.

  3. Проекцией прямой в общем случае является прямая. (Если прямая совпадает с проецирующим лучом, то её проекцией является точка).

  4. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии.

  5. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий.

  6. В общем случае плоский многогранник проецируется в многогранник с тем же числом вершин.

  7. Проекцией взаимно параллельных прямых является пучок прямых.

  8. Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то её проекция подобна этой фигуре.

7. Прямые и плоскости общего и частного положения Прямая частного положения (или прямая уровня) — прямая, параллельная хотя бы одной из называетсягоризонталью. На горизонтальную плоскость проекций горизонталь проецируется в натуральную величину. Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называетсяфронталью. На фронтальную плоскость проекций фронталь проецируется в натуральную величину. Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называетсяпрофильной прямой. На профильную плоскость проекций профильная прямая проецируется в натуральную величину. Прямая называется проецирующей, если она перпендикулярна одной из плоскостей проекций. Одна из проекций такой прямой есть точка. Эта проекция называется главной или вырожденной. Все точки проецирующей прямой являются конкурирующими.

1.Горизонтально проецирующая прямая — прямая горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальной проекцией такой прямой является точка, а фронтальная и профильная проекции || оси z.

2.Фронтально проецирующая прямая — прямая фронтальной плоскости проекций. Фронтальной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и профильная проекции || оси y.

3.Профильно проецирующая прямая — прямая профильной плоскости проекций. Профильной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и фронтальная проекции || оси x.

Прямой общего положения называется прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.№ Плоскость общего положения — плоскость не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций. Плоскость частного положения — плоскость проходящая через проецирующие прямые, т.е. перпендикулярная к одной или одновременно к двум основным плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна только к одной плоскости проекций, то она называется проецирующей плоскостью.

Существует три вида проецирующих плоскостей:

1.Горизонтально-проецирующая плоскость — перпендикулярна к П1. И поэтому проецируется на нее как прямая.

2. Фронтально-проецирующая плоскость — перпендикулярна к П2. И поэтому проецируется на нее как прямая.

3. Профильно-проецирующая плоскость — перпендикулярна к П3. И поэтому проецируется на нее как прямая.

На обычном ортогональном чертеже, когда плоскость П3 не используется, профильно-проецирующая плоскость выглядит как плоскость общего положения. Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то она называется плоскостью уровня. Следовательно, плоскость уровня всегда параллельна одной из плоскостей проекций. Существует три вида плоскостей уровня: 1. Горизонтальная плоскость уровня — || П1. 2. Фронтальная плоскость уровня — || П2. 3. Профильная плоскость уровня — || П3.

Лекция 1. Методы проецирования

1.1. Центральное проецирование

Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими.

Известны два метода проецирования: центральное и параллельное.

Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).

Рисунок 1.1 – Центральное проецирование

Введём следующие обозначения (Рисунок 1.1):

S – центр проецирования (глаз наблюдателя); π1 – плоскость проекций; A, B, C – объекты проецирования – точки;

SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи).

Интерактивная модель
Принцип центрального проецирования

Примечание: левой клавишей мыши можно переместить точку в горизонтальной плоскости, при щелчке на точке левой клавишей мыши, изменится направление перемещения и можно будет ее переместить по вертикали.

Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций.

Свойство 1. Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой.

Докажем это утверждение.

На рисунке 1.1: точка А1 – центральная проекция точки А на плоскости проекций π1. Но эту же проекцию могут иметь все точки, лежащие на проецирующей прямой. Возьмём на проецирующей прямой SA точку С. Центральная проекция точки С (С1) на плоскости проекций π1 совпадает с проекцией точки А (А1):

  1. С ∈ SA;
  2. SC ∩ π1=C1 → C1 ≡ A1.

Следует вывод, что по проекции точки нельзя судить однозначно о её положении в пространстве.

Чтобы устранить эту неопределенность, т.е. сделать чертеж обратимым, введём еще одну плоскость проекций (π2) и ещё один центр проецирования (S2) (Рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 – Иллюстрация 1-го и 2-го свойств

Построим проекции точки А на плоскости проекций π2. Из всех точек пространства только точка А имеет своими проекциями А1 на плоскость π1 и А2 на π2 одновременно. Все другие точки лежащие на проецирующих лучах будут иметь хотя бы одну отличную проекцию от проекций точки А (например, точка В).

Свойство 2. Проекция прямой есть прямая.

Докажем данное свойство.

Соединим точки А и В между собой (Рисунок 1.2). Получим отрезок АВ, задающий прямую. Треугольник ΔSAB задает плоскость, обозначенную через σ. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой: σ∩π1=А1В1, где А1В1 – центральная проекция прямой, заданной отрезком АВ.

Метод центрального проецирования – это модель восприятия изображения глазом, применяется главным образом при выполнении перспективных изображений строительных объектов, интерьеров, а также в кинотехнике и оптике. Метод центрального проецирования не решает основной задачи, стоящей перед инженером – точно отразить форму, размеры предмета, соотношение размеров различных элементов.

1.2. Параллельное проецирование

Рассмотрим метод параллельного проецирования. Наложим три ограничения, которые позволят нам, пусть и в ущерб наглядности изображения, получить чертёж более удобным для использования его на практике:

  1. Удалим оба центра проекции в бесконечность. Таким образом, добьемся того, что проецирующие лучи из каждого центра станут параллельными, а, следовательно, соотношение истинной длины любого отрезка прямой и длины его проекции будут зависеть только от угла наклона этого отрезка к плоскостям проекций и не зависят от положения центра проекций;
  2. Зафиксируем направление проецирования относительно плоскостей проекций;
  3. Расположим плоскости проекций перпендикулярно друг другу, что позволит легко переходить от изображения на плоскостях проекций к реальному объекту в пространстве.

Таким образом, наложив эти ограничения на метод центрального проецирования, мы пришли к его частному случаю – методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.

Рисунок 1.3 – Метод параллельного проецирования

Введём обозначения:

Введём обозначения: Р – направление проецирования; π1 – горизонтальная плоскость проекций; A, B – объекты проецирования – точки;

А1 и В1 – проекции точек А и В на плоскость проекций π1.

Параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, параллельной заданному направлению проецирования Р, с плоскостью проекций π1.

Проведём через точки А и В проецирующие лучи, параллельные заданному направлению проецирования Р. Проецирующий луч проведённый через точку А пересечёт плоскость проекций π1 в точке А1. Аналогично проецирующий луч, проведённый через точку В пересечет плоскость проекций в точке В1. Соединив точки А1 и В1, получим отрезок А1 В1– проекция отрезка АВ на плоскость π1.

1.3. Ортогональное проецирование. Метод Монжа

Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p1, то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4), или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π1, то проецирование называется косоугольным.

Четырехугольник АА1В1В задаёт плоскость γ, которая называется проецирующей, поскольку она перпендикулярна к плоскости π1 (γ⊥π1). В дальнейшем будем использовать только прямоугольное проецирование.

Рисунок 1.4 – Ортогональное проецирование

Рисунок 1.5- Монж, Гаспар (1746-1818)

Интерактивная модель
Принцип ортогонального проецирования

Основоположником ортогонального проецирования считается французский учёный Гаспар Монж (Рисунок 1.5).

До Монжа строители, художники и учёные обладали довольно значительными сведениями о проекционных способах, и, всё же, только Гаспар Монж является творцом начертательной геометрии как науки.

Гаспар Монж родился 9 мая 1746 года в небольшом городке Боне (Бургундия) на востоке Франции в семье местного торговца. Он был старшим из пяти детей, которым отец, несмотря на низкое происхождение и относительную бедность семьи, постарался обеспечить самое лучшее образование из доступного в то время для выходцев из незнатного сословия. Его второй сын, Луи, стал профессором математики и астрономии, младший — Жан также профессором математики, гидрографии и навигации. Гаспар Монж получил первоначальное образование в городской школе ордена ораторианцев. Окончив её в 1762 году лучшим учеником, он поступил в колледж г. Лиона, также принадлежавший ораторианцам. Вскоре Гаспару доверяют там преподавание физики. Летом 1764 года Монж составил замечательный по точности план родного города Бона. Необходимые при этом способы и приборы для измерения углов и вычерчивания линий были изобретены самим составителем.

Во время обучения в Лионе получил предложение вступить в орден и остаться преподавателем колледжа, однако, вместо этого, проявив большие способности к математике, черчению и рисованию, сумел поступить в Мезьерскую школу военных инженеров, но (из-за происхождения) только на вспомогательное унтер-офицерское отделение и без денежного содержания. Тем не менее, успехи в точных науках и оригинальное решение одной из важных задач фортификации (о размещении укреплений в зависимости от расположения артиллерии противника) позволили ему в 1769 году стать ассистентом (помощником преподавателя) математики, а затем и физики, причём уже с приличным жалованием в 1800 ливров в год.

В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях.

В 1780 был избран членом Парижской академии наук, в 1794 стал директором Политехнической школы. В течение восьми месяцев занимал пост морского министра в правительстве Наполеона, заведовал пороховыми и пушечными заводами республики, сопровождал Наполеона в его экспедиции в Египет (1798–1801). Наполеон пожаловал ему титул графа, удостоил многих других отличий.

Метод изображения объектов по Монжу заключается в двух основных моментах:

1. Положение геометрического объекта в пространстве, в данном примере точки А, рассматривается относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей π1 и π2 (Рисунок 1.6).

Они условно разделяют пространство на четыре квадранта. Точка А расположена в первом квадранте. Декартова система координат послужила основой для проекций Монжа. Монж заменил понятие координатных осей проекций на линию пересечения плоскостей проекций (ось проекций) и предложил совместить координатные плоскости в одну путем поворота их вокруг координатных осей.


Рисунок 1.6 – Модель построения проекций точки

Интерактивная модель
Ортогональные проекции точки на две плоскости проекции

π1 – горизонтальная (первая) плоскость проекций

π2 – фронтальная (вторая) плоскость проекций

π1∩π2 — ось проекций (обозначим π2/π1)

Рассмотрим пример проецирования точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций π1 и π2.

Опустим из точки А перпендикуляры (проецирующие лучи) на плоскости π1 и π2 и отметим их основания, то есть точки пересечения этих перпендикуляров (проецирующих лучей) с плоскостями проекций. А1 – горизонтальная (первая) проекция точки А;А2 – фронтальная (вторая) проекция точки А; АА1 и АА2 – проецирующие прямые. Стрелки показывают направление проецирования на плоскости проекций π1 и π2. Такая система позволяет однозначно определить положение точки относительно плоскостей проекций π1 и π2:

АА1⊥π1

А2А0⊥π2/π1 АА1 = А2А0 — расстояние от точки А до плоскости π1

АА2⊥π2

А1А0⊥π2/π1 АА2 = А1А0 — расстояние от точки А до плоскости π2

2. Совместим поворотом вокруг оси проекций π2/π1 плоскости проекций в одну плоскость (π1 с π2), но так, чтобы изображения не накладывались друг на друга, (в направлении α, Рисунок 1.6), получим изображение, называемое прямоугольным (ортогональным) чертежом (Рисунок 1.7):
Рисунок 1.7 – Ортогональный чертеж

Прямоугольный или ортогональный носит название эпюр Монжа.

Прямая А2А1 называется линией проекционной связи, которая соединяет разноимённые проекции точки (А2 — фронтальную и А1 — горизонтальную) всегда перпендикулярна оси проекций (оси координат) А2А1⊥π2/π1. На эпюре отрезки, обозначенные фигурными скобками, представляют собой:

  • А0 А1 – расстояние от точки А до плоскости π2, соответствующее координате yА;
  • А0 А2 – расстояние от точки А до плоскости π1, соответствующее координате zА.

1.4. Прямоугольные проекции точки. Свойства ортогонального чертежа

1. Две прямоугольные проекции точки лежат на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

2. Две прямоугольные проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве относительно плоскостей проекций.

Убедимся в справедливости последнего утверждения, для чего повернём плоскость π1 в исходное положение (когда π1⊥π2). Для того, чтобы построить точку А необходимо из точек А1 и А2 восстановить проецирующие лучи, а фактически – перпендикуляры к плоскостям π1и π2, соответственно. Точка пересечения этих перпендикуляров фиксирует в пространстве искомую точку А. Рассмотрим ортогональный чертеж точки А (Рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Построение эпюра точки

Интерактивная модель
Ортогональные проекции точки на три плоскости проекции

Введём третью (профильную) плоскость проекций π3 перпендикулярную π1 и π2 (задана осью проекций π2/π3).

Расстояние от профильной проекции точки до вертикальной оси проекций А‘0A3 позволяет определить расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций π2. Известно, что положение точки в пространстве можно зафиксировать относительно декартовой системы координат с помощью трёх чисел (координат) A(XA; YA; ZA) или относительно плоскостей проекций с помощью её двух ортогональных проекций (A1=(XA; YA); A2=(XA; ZA)). На ортогональном чертеже по двум проекциям точки можно определить три её координаты и, наоборот, по трём координатам точки, построить её проекции (Рисунок 1.9, а и б).

а б
Рисунок 1.9 – Построение эпюра точки по её координатам

По расположению на эпюре проекций точки можно судить о её расположении в пространстве:

  • если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А1 лежит под осью координат X , а фронтальная — А2 – над осью X, то можно говорить, что точка А принадлежит 1-му квадранту;
  • если на эпюре горизонтальная проекция точки А — А1 лежит над осью координат X, а фронтальная — А2 – под осью X, то точка А принадлежит 3-му квадранту;
  • если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А1 и А2 лежат над осью X, то точка А принадлежит 2-му квадранту;
  • если на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки А — А1 и А2 лежат под осью X, то точка А принадлежит 4-му квадранту;
  • если на эпюре проекция точки совпадает с самой точкой, то значит – точка принадлежит плоскости проекций;
  • точка, принадлежащая плоскости проекций или оси проекций (оси координат), называется точкой частного положения.

Для определения в каком квадранте пространства расположена точка, достаточно определить знак координат точки.

Зависимости квадранта положения точки и знаков координат

X Y Z
I + + +
II + +
III +
IV + +

Упражнение

Построить ортогональные проекции точки с координатами А (60, 20, 40) и определить в каком квадранте расположена точка .

Решение задачи: по оси OX отложить значение координаты XA=60, затем через эту точку на оси OX восстановить линию проекционной связи, перпендикулярную к OX, по которой вверх отложить значение координаты ZA=40, а вниз – значение координаты YA=20 (Рисунок 1.10). Все координаты положительные, значит точка расположена в I квадранте.

Рисунок 1.10 – Решение задачи

1.5. Задачи для самостоятельного решения

1. По эпюру определите положение точки относительно плоскостей проекций (Рисунок 1.11).

Рисунок 1.11

2. Достройте недостающие ортогональные проекции точек А, В, С на плоскости проекций π1, π2, π3 (Рисунок 1.12).

Рисунок 1.12

3. Постройте проекции точки:

  • Е, симметричной точке А относительно плоскости проекций π1;
  • F, симметричной точке В относительно плоскости проекций π2;
  • G, симметричной точке С относительно оси проекций π2/π1;
  • H, симметричной точке D относительно биссекторной плоскости второго и четвертого квадрантов.

4. Постройте ортогональные проекции точки К, расположенной во втором квадранте и удаленной от плоскостей проекций π1 на 40 мм, от π2 — на 15 мм.

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1000 р./ак.ч. Ваша заявка отправленна В скором времени мы с вами свяжемся ОК

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *