Резервирование с дробной кратностью

Резервирование с дробной кратностью

Существуют технические системы, часто называемые мажоритарными, с

дробной кратностью резервирования де т — число резервных эле-

ментов, п — общее число элементов.

Мажоритарная система будет работоспособной в течение времени t (собы­тие А) при отказе не более чем т элементов. Пусть At — событие, состоя­щее е отказе любых i (0 < г < т ) элементов за время t. Тогда

Событие А/ произойдет, если откажут любые i элементов, а остальные n-i элементов останутся работоспособными. Вероятность этого события выража­ется формулой Бернулли:

Поскольку события А, попарно несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

Таким образом, вероятность безотказной работы мажоритарной системы при условии, что все элементы имеют одинаковую надежность, равна т

(6.11)

В частности, при т = 0 получаем основное соединение элементов, для кото­рого при m-n-1 —резервное соединение элементов, для ко­торого Pc(t) = I -Qn(t). При т = 1 получаем систему, отказ которой наступа­ет при отказе двух любых ее элементов. В этом случае

Формулу для вероятности безотказной работы символически можно предста­вить следующим образом:

Справедливо также рекуррентное соотношение, выражающее вероятность безотказной работы мажоритарной системы Pc(t) = Pc(t,n,m) через вероятно­сти аналогичной системы меньшей размерности:

Определим интенсивность отказа мажоритарной системы и исследуем ее свойства.

Так как плотность распределения то, используя формулу (6.11), получим:

Преобразуем это выражение:

Найдем теперь интенсивность отказа мажоритарной системы:

ИЛИ

Вычислим, во сколько раз интенсивность отказов системы больше интенсив­ности отказов одного элемента:

Рассмотрим случай наличия резерва ( т > 1). Тогда в начальный момент времени t= 0 получим а при то имеет место равенство:

Таким образом, наличие резерва приводит к изменению отношения интен­сивности отказов системы к интенсивности отказов элемента от нуля до по­стоянной величины, равной количеству основных элементов системы (п-т).

ПРИМЕР 6.2. Пусть система состоит из трех одинаковых устройств. При этом ее отказ наступает при отказе любых двух или всех трех устройств. В данном случае имеет место мажоритарное резервирование с кратностью 1/2, т. е. одно резервное устройство и два основных. Необходимо определить показатели надежности Рс (t), , предполагая, что интенсивности от­каза постоянны.

Решение. Воспользуемся формулой (6.11). В нашем случае т = 1, и = 3. Тогда

Сравним надежность мажоритарной и нерезервированной системы. Для этого решим неравенство:

Для постоянных интенсивностей отказов и, значит,

На рис. 6.4 приведены зависимости вероятности безотказной работы нерезер­вированной и резервированной систем при = 0,01 час-1.

Рис. 6.4. Зависимости вероятности безотказной работы системы от времени

Из рисунка видно, что Pc(t) > P(t), если P(t) > 0,5.

Вычислим среднее время безотказной работы системы:

Результат вычислений показал, что среднее время безотказной работы систе­мы с кратностью резервирования 1/2 ниже, чем нерезервированной.

Вычислим интенсивность отказа:

График этой функции показан на рис. 6.5.

График подтверждает приведенные ранее свойства интенсивности отказов мажоритарной системы. В частности , с течением времени приближает­ся к

Рис. 6.5. Зависимости интенсивности отказов мажоритарной системы от времени

7.3. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ПРИ РЕЗЕРВИРОВАНИИ ОБЪЕКТОВ С ДРОБНОЙ КРАТНОСТЬЮ

  • Комплексные показатели надежности (показатели готовности) объекта

    К основным показателям готовности объекта относят: • мгновенный, средний и стационарный коэффициенты готовности; • мгновенный, средний и стационарный коэффициенты неготовности; • коэффициент технического использования; • коэффициент оперативной готовности; • коэффициент сохранения эффективности. Коэффициент…
    (Надежность теплоэнергетического оборудования ТЭС)

  • ПРИНЦИПЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПРИ РАСЧЕТЕ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

    Задача 1. Дана система, схема расчета надежности которой изображена на рис. 7.16. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы при известных вероятностях безотказной работы ее элементов (значения вероятностей указаны на рис. 7.16) Решение. Из рис. 7.16 следует, что объект состоит из…
    (Надежность и эффективность электрических аппаратов)

  • ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ, ОСНОВАННОМУ НА СОСТАВЛЕНИИ ГРАФА ПЕРЕХОДОВ

    Задача 31. Для питания радиостанции используется электроагрегат с двумя генераторами, производительность каждого из которых достаточна для нормальной работы; генераторы работают поочередно. При отказе работающего генератора (или соответствующих устройств регулирования и коммутации) в работу включается…
    (Надежность и эффективность электрических аппаратов)

  • Практические способы учета надежности при моделировании ТЭС и электросетевых объектов

    Первым действием инжиниринговой компании при моделировании, которое оказывает влияние на надежность производства электрической и тепловой энергии будущей ТЭС, является выбор основного оборудования. При этом контролируется параметр, который в разных стандартах носит название «ресурс», «полный назначенный…
    (Инжиниринг объектов интеллектуальной энергетической системы. Проектирование. Строительство. Бизнес и управление)

  • (Автоматизированные информационно-управляющие системы с применением SCADA-системы TRACE MODE)
  • ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА — ЧЕПМЕНА

    Применение экспоненциального закона распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем. Случайный процесс в какой-либо физической системе называется марковским, если он обладает следующим…
    (Автоматизированные информационно-управляющие системы с применением SCADA-системы TRACE MODE)

  • Другие понятия и свойства, характеризующие надежность объекта

    Для объектов, которые являются потенциальным источником опасности, важными понятиями являются «безопасность» и «живучесть». Безопасность — свойство объекта при изготовлении и эксплуатации и в случае нарушения работоспособного состояния не создавать угрозу для жизни и здоровья людей, а также для окружающей…
    (Надежность теплоэнергетического оборудования ТЭС)

  • Вероятностные характеристики надежности объектов

    Все технические системы и их элементы в зависимости от назначения разделяют на восстанавливаемые и невосстанавливаемые объекты (изделия). Восстанавливаемые объекты после отказа ремонтируются. Невосстанавливаемые объекты работают до первого отказа, после чего заменяются новыми. Их замену после отказа…
    (Надежность теплоэнергетического оборудования ТЭС)

  • Характеристики надежности невосстанавливаемых объектов

    Значительное количество деталей и узлов теплоэнергетического оборудования относится к числу невосстанавливаемых объектов. Для оценки надежности таких объектов используют вероятностную характеристику случайной величины — наработку до отказа Т0, под которой понимают наработку объекта от начала эксплуатации…
    (Надежность теплоэнергетического оборудования ТЭС)

Кратность резервирования и основные расчетные формулы

⇐ ПредыдущаяСтр 22 из 75

Кратность резервирования является основным параметром резервирования, определяемым как m / n – отношение числа резервных цепей к числу основных (резервируемых).

Как указано ранее (п.6.1), различают резервирование с целой и дробной кратностью. При резервировании с целой кратностью указывается величина m как целое число; при резервировании с дробной кратностью величина m представляется в виде несокращаемой дроби. Например, означает, что имеется резервирование с дробной кратностью, при котором число резервных элементов равно четырем, число основных- двум, а общее их число равно шести. Дробь не сокращается, так как если , то это означает наличие резервирования с целой кратностью, равной двум, при общем числе элементов, равном трем.

Резервирование по способу включения может быть постоянным или резервированием замещением.

При постоянном резервировании резервные элементы подключены к основным в течение всего времени работы и работают в одинаковом с ними режиме.

При резервировании замещением резервные элементы замещают основные после их отказа.

Включение резерва по способу замещения свидетельствует о том, что рез6ервные элементы до момента включения их в работу могут находиться в трех состояниях:

— нагруженном резерве;

— облегченном резерве;

— ненагруженном резерве.

Для известных методов резервирования используются следующие расчётные формулы.

1. Для общего резервирования с постоянно включенным (нагруженным) резервом и с целой кратностью

, (6.1)

где pi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента в течение времени t;

n — число элементов основной или любой резервной цепи;

Кратность резервирования m / n – отношение числа резервных цепей к числу основных (резервируемых). Дробь не сокращается.

При экспоненциальном законе надежности, когда

,(6.2)

,

где – интенсивность отказов нерезервированной системы или любой из m резервных систем; T cp.0 – среднее время безотказной работы нерезервированной системы или любой из т резервных систем. При резервировании неравнонадежных изделий

,(6.3)

где qi(t), pi(t) – вероятность отказов и вероятность безотказной работы в течение времени t i — го изделия соответственно.

2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью(рис. 6.1,6):

,(6.4)

где pi(t) – вероятность безотказной работы i — го эле­мента; mi – (кратность резервирования i -го элемента; n – число элементов основной системы.

Приэкспоненциальном законе надежности, когда ,

(6.5)

При равнонадежных элементах и одинаковой кратности их резервирования

, (6.6)

,(6.7)

где νi=(i+1)/(m+1).

3. Общее резервирование замещением с целой крат­ностью (рис. 6.1,в):

(6.8)

где Pm+1(t), Pm(t), —вероятности безотказной работы резервированной системы кратности m+1 и m соответ­ственно; P(t-τ) — вероятность безотказной работы ос­новной системы в течение времени (t-τ); аm(τ) — час­тота отказов резервированной системы кратности m в момент времени τ.

Формула (6.8) позволяет получить рас­четные соотношения для устройств любой кратности ре­зервирования.Для получения таких формул необходимо выполнить интегрирование в правой части, подставив вместо P(t-τ) и am(τ) их значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием ре­зерва.

При экспоненциальном законе надежности иненагруженном состоянии резерва

, (6.9)

, (6.10)

где λ0, Тср.0 — интенсивность отказов и средняя наработ­ка до первого отказа основного (нерезервированного) устройства.

При экспоненциальном законе инедогруженном со­стоянии резерва

,(6.11)

, (6.12)

где ; ; λ1 — интенсивность отказов резервного устройства до замещения.

При нагруженном состоянии резерва формулы для Рс(t)и Тср.ссовпадают с (6.2).

4. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью (рис. 6.1,г):

, (6.13)

5.Общее резервирование с дробной кратностью и по­стоянно включенным резервом (рис. 6.1, д):

, (6.14)

, (6.15)

где p0(t ) – вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента; l – общее число основных и резервных систем; h – число систем, необходимых для нормальной работы резервированной системы.

В данном случае кратность резервирования

m= (l-h)/h (6.16)

1. Скользящее резервирование:

, (6.17)

При экспоненциальном законе надежности

=

; (6.18)

Тср.с=Тср.0(m0+1),

где λ0 = nλ – интенсивность отказов нерезервированной системы; λ – интенсивность отказов элемента; n – число элементов основной системы; Tcp.0 –среднее время безотказной работы нерезервированной системы; m0 – число резервных элементов. В этом случае кратность резервирования

m = m0 /n (6.19)

Последействия отказов сказываются практически всегда при постоянном включении резерва, а также в случае резервирования замещением при недогруженном состоянии резерва.

Выражение (6.8) является основным при получении расчетных формул в случае учета влияния последействия отказов. При этом члены p(t-τ) и аm(τ) должны быть записаны с учетом последействия отказов, вида резервирования и его кратности.

Элементы резервированных устройств в ряде случаев могут иметь два вида отказов — «обрыв» и «короткое замыкание». В этом случае вычислять вероятность безотказной работы следует, суммируя вероятности всех благоприятных (не приводящих к отказу) гипотез, т. е.

, (6.20)

где pj(t) – вероятность j — й благоприятной гипотезы, вычисленной с учетом двух видов отказав; k – число благоприятных гипотез.

При вычислениях pj(t) следует иметь в виду, что для элементов сложной системы справедливы выражения

,φ0 + φз = 1 (6.21)

где l(t) – нтенсивность отказов элемента; φ0, φз – вероятность возникновения «обрыва» и «короткого замыкания», соответственно.

При экспоненциальном законе надежности

p(t)= e-λt, , , (6.22)

где λ0, λ3 – интенсивность отказов элемента по «обрыву» и «короткому замыканию», соответственно.

Остальные количественные характеристики надежности в случае необходимости вычисляются через Pc(t) по известным аналитическим зависимостям, приведенным в гл. 1.

Расчет надежности резервированных систем иногда полезно выполнять, используя схему «гибели» («чистого размножения»). В соответствии с этой схемой преобразование Лапласа вероятности возникновения п отказов вычисляется по формуле

. (6.23)

При неравных корнях знаменателя обратное преобразование Лапласа Pn(s) будет

. (6.24)

В формулах (6.23) и (6.24) приняты обозначения: λ0 – интенсивность отказов системы до выхода из строя первого элемента; λ1 – интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа первого элемента до второго; λ2 – интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго эле­мента до третьего и т. д.; п – число отказавших элементов;

sk= — λh — k – k — й корень знаменателя выражения (6.23);

B'(sk) — производная знаменателя в точке sk .

При одинаковых опасностях отказов λi, т. е λ0 = λ1 = λ2 =…=λn, расчетные формулы имеют вид

, . (6.25)

При расчетах надежности по формулам (6.23) — (6.25) следует помнить, что они не определяют вероятности безотказной работы (или вероятности отказа) резервированной системы, а определяют лишь вероятность i-го состояния системы, т. е. вероятность того, что в системе откажут п элементов. Для вычисления вероятности безотказной работы необходимо находить вероятности 0, 1, …, n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна), я суммировать полученные вероятности.

Среднее время безотказной работы системы при использовании схемы «гибели» вычисляется по формуле

; (6.26)

где λi – интенсивность отказов системы до выхода из строя i — го элемента.

При схемной реализации резервирования в ряде случаев конкретные технические решения не приводятся к логическим схемам расчёта надёжности (рис. 5.1, 5.2, 5.4, 5.5).

В этих случаях следует для получения аналитических выражений для количественных характеристик надежности использовать метод перебора благоприятных гипотез. Вероятность безотказной работы в этом случае вычисляется по выражению (6.20).

При анализе надежности резервированных устройств на этапе проектирования приходится сравнивать различные схемные решения. В этом случае за критерий качества резервирования принимается выигрыш надежности.

Выигрышем надежности называется отношение количественной характеристики надежности резервированного устройства к той же количественной характе­ристике нерезервированного устройства или устройства с другим видом резервирования.

Наиболее часто используются следующие критерии качества резервированных устройств: G0(t)i — выигрыш надежности в течениевремени t по вероятности отказов; G0(t) выигрыш надежности в течение времени t по вероятности безотказной работы; GT — выигрыш надежности по среднему времени безотказной работы.

При резервировании элементов электроники (резисторов, конденсаторов, контактов реле, диодов и т. п.) всегда произведение интенсивности отказов элемента на время его работы значительно меньше единицы, т. е. λt ˂˂ 1 Поэтому (при вычислении Gq(t) и Gq(p) целесообразно функции вида e-kλt (экспоненциальный случай) разложить в ряд:

(при небольшом k).

Если система исправна при отказе тэлементов, то необходимо брать не менее чем m+2 членов разложения.

Пример 6.1.Дана система, схема расчета надежности которой изображена на рисунке 6.1. Необходимо найти вероятность безотказной работы системы при известных вероятностях безотказной работы ее элементов (значе­ния вероятностей указаны на рисунке).

Рис. 6.2 Схема расчета надежности

Решение. На рис. 6.2 видно, что система состоит из двух (I и II) неравнонадежных устройств. Устройство I состоит из четырех узлов: а — дублированного узла с постоянно включенным резервом, причем каждая часть узла состоит из трех последовательно соединенных (в смысле надежности) элементов расчета;

б — дублированного узла то способу замещения;

в — узла с одним нерезервированным элементом;

г — резервированного узла с кратностью m =1/2 (схе­ма группирования).

Устройство II представляет собой нерезервированное устройство, надежность которого известна.

Так как оба устройства неравнонадежны, то на осно­вании формулы (6.3) имеем

Определяется вероятность pI(t). Вероятность безотказной работы устройства I равна произведению вероятностей безотказной работы всех узлов, то есть

pI(t)= рарбрврг.

В узле а число элементов основной и резервной цепи n = 3, а кратность резервирования т = 1. Тогда на осно­вании формулы (6.1)

В узле б кратность общего резервирования замеще­нием т=1, тогда на основании формулы (6.9) имеем

В узле г применено резервирование с дробной крат­ностью, когда общее число основных и резервных систем l = 3, число систем, необходимых для нормальной ра­боты, h =2. Тогда на основании формулы (6.14)

Вероятность безотказной работы устройства I будет

рх = рарбрвр, = 0,93٠ 0,99٠ 0,97٠ 0,972 ≈ 0,868

Тогда вероятность безотказной работы резервирован­ной системы будет

P0 = l — (l — pI) (1- рII) -1- (1 — 0,868) (1- 0,9) = 0,987.

Пример 6.2. Вероятность безотказной работы преоб­разователя постоянного тока в переменный в течение t = 1000 ч равна 0,95, т. е. Р (1000) = 0,95. Для повышения надежности системы электроснабжения на объек­те имеется такой же преобразователь, который включа­ется в работу при отказе первого. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа системы, состоящей из двух преобра­зователей, а также построить зависимости от времени частоты отказов fc(t)и интенсивности отказов lc(t) си­стемы.

Решение. Из условия задачи видно, что имеет ме­сто общее резервирование замещением кратности т=1. Тогда на основании формулы (6.9) получается

0,95 (1+ 0,05) = 0,9975.

Средняя наработка до первого отказа системы на основании формулы (6.10)

= 2Tср.0.

Так как в течение времени t = 1000 ч и λ0t = 0,05, то

=0,5٠10-4 ч-1, а средняя наработка до первого отказа нерезервированного преобразова­теля Тср.0= = 20000 ч.

Тогда средняя наработка до первого отказа резерви­рованной системы

Т ср.с = 2 Т ср.0 = 40 000 ч.

Для построения графиков fc(t) и λc(t) находятся ана­литические выражения этих функций по известной вероятности безотказной работы системы:

Графики fc(t) и λc(t) приведены на рис. 6.3.

Рис. 6.3 Зависимость fс и λcот t

Количественно повышение надежности системы в результате резервирования или применения высоконадежных элементов можно оценить по коэффициенту выигрыша надежности, определяемому как отношение показателя надежности до и после преобразования системы. Например, для системы из n последовательно соединенных элементов после резервирования одного из элементов (k-го) аналогичным по надежности элементом коэффициент выигрыша надежности по вероятности безотказной работы составит:

,

где Р’- вероятность безотказной работы резервированной системы,

Р — вероятность безотказной работы нерезервированной системы.

Из формулы (6.27) следует, что эффективность резервирования (или другого приема повышения надежности) тем больше, чем меньше надежность резервируемого элемента (при , , ).

Следовательно, при структурном резервировании наибольшего эффекта можно добиться при резервировании самых ненадежных элементов (или групп элементов).

В общем случае при выборе элемента (или группы элементов) для повышения надежности или резервирования необходимо исходить из условия обеспечения при этом наилучшего результата.

Date: 2015-07-17; view: 7147; Нарушение авторских прав

Понравилась страница? Лайкни для друзей:

Общее и раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и целой кратностью

Общее резервирование заключается в резервировании объекта в целом (рис. 5.7). При данном методе резервирования объект, состоящий из п элементов, m-кратно резервируется идентичными цепочками из п элементов каждая. В этом случае отказ объекта произойдет тогда, когда последовательно или одновременно (что маловероятно) в каждой из цепочек откажет хотя бы один элемент.

Схема с общим резервированием будет нормально функционировать при сохранении в работоспособном состоянии хотя бы одной из цепей. Вероятность отказа такой системы определяется на основе

Рис. 5.7. Схема общего резервирования: п — число элементов в основной цепи и цепи резервирования; т — кратность

резервирования

теоремы умножения вероятностей (для независимых событий) отказа отдельных цепей и может быть вычислена по формуле (5.11):

где 0обш(О — вероятность отказа схемы с общим резервированием; qt(t) — вероятности отказа отдельных цепей, каждая из которых состоит из п элементов; т — кратность резервирования (т. е. qx (t) — вероятность отказа основной цепи).

Произведение в последнем выражении состоит из т + 1 сомножителей с учетом кратности резервирования т и цепи основных элементов.

Вероятность безотказной работы схемы с общим резервированием определим по формуле (5.12):

где Робщ(0 — вероятность безотказной работы схемы с общим резервированием; P(t) — вероятность безотказной работы основной цепи; Pj (0 — вероятность безотказной работы /-й цепи (не путать с Py(t) — вероятностями безотказной работы отдельных элементов).

Вероятность безотказной работы /-й цепи, состоящей из п элементов, определяется на основании использования теоремы умножения вероятностей:

где Pjj(t) — вероятность безотказной работы у-го элемента /- й цепи.

Используя последнее равенство, формулу для вычисления вероятности безотказной работы схемы с общим резервированием можно записать в виде:

В случае, если элементы, составляющие основную цепь имеют экспоненциальное распределение наработки до отказа с параметром Xj, т. е. интенсивность отказа /-го элемента равна X,, формулы для расчета основных показателей могут быть переписаны следующим образом:

где X о — интенсивность отказов цепи, состоящей из п элементов, Интенсивность отказов системы:

Средняя наработка до отказа системы с общим резервированием:

где — средняя наработка до отказа нерезервированной системы.

При раздельном резервировании каждый из п основных элементов объекта m-кратно резервируется идентичными элементами (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Схема раздельного резервирования: п — число элементов в основной цепи; т — кратность резервирования

Определение вероятности безотказной работы схемы с раздельным резервированием будем осуществлять по этапам.

Сначала определим вероятность отказа каждой элементарной цепочки (столбца), состоящей из одного основного элемента и параллельно подключенных к нему резервных элементов. Вероятность отказа j-й цепочки вычисляется по формуле

Отсюда вероятность безотказной работы j-й элементарной цепочки:

Теперь мы можем заменить схему с раздельным резервированием эквивалентной схемой последовательно соединенных цепочек, вероятность безотказной работы каждой из которых мы только что вычислили.

Используя теорему умножения вероятностей, можем определить вероятность безотказной работы схемы с раздельным резервированием:

Для случая, когда все основные и резервные элементы объекта идентичны по своим надежностным характеристикам, схема содержит п основных элементов, кратность резервирования равна т, выражения для вероятностей безотказной работы схем с общим и раздельным резервированием можно, соответственно, преобразовать к виду:

где для всех i,j P0(t) = P(t).

В том случае, если для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения наработки до отказа и элементы имеют одинаковую надежность, т. е. P(t) — e~Xt, где X — интенсивность отказов любого из элементов системы, и одинаковой кратности резервирования каждого элемента, то справедливо:

Средняя наработка до отказа вычисляется по формуле где

Пример 11. Нерезервированная система состоит из п- 1000 элементов, соединенных последовательно и имеющих экспоненциальный закон распределения наработки до отказа. Для повышения надежности системы проведено общее однократное резервирование. Определить требуемую интенсивность отказов элемента системы, чтобы вероятность отказа дублированной системы была РСИСТ (t) = 0,9 в течение времени t= 100 ч.

Решение. Используя формулы (5.24): преобразовывая уравнение, получим соотношение для P(t):

Воспользуемся приближенной формулой для вычисления

С другой стороны, если Xt мало, то для приближенного вычисления значения P(t) можно использовать формулу (4.20) P(t) = 1 -Xt.

Таким образом, получаем:

Следовательно,

Пример 12. Нерезервированная система состоит из п- 1000 элементов, соединенных последовательно и имеющих экспоненциальный закон распределения наработки до отказа. Для повышения надежности системы проведено поэлементное (раздельное) однократное резервирование. Определить требуемую интенсивность отказов элемента системы, чтобы вероятность отказа дублированной системы была РСИСТ (0 = 0,9 в течение времени t- 100 ч.

Решение. Используя формулы (5.25):

преобразовывая уравнение, получим соотношение для P(t):

Воспользуемся приближенной формулой для вычисления

С другой стороны, если Xt мало, то для приближенного вычисления значения P(t) можно использовать формулу (4.20) P(t) = 1 -Xt. Тогда:

Следовательно,

Таким образом, из рассмотренных выше примеров следует, что требования к надежности элементов при общем резервировании выше, чем в случае поэлементного резервирования.

В реальных схемах может быть использовано смешанное резервирование, при котором отдельные элементы и узлы имеют как раздельное, так и общее резервирование (рис. 5.9). В этом случае для определения эффективности резервирования и расчета надежности модели при смешанном резервировании необходимо выделить в схеме участки с одинаковыми методами резервирования и определить надежность каждого из них. После этого в зависимости от характера укрупненной модели, сведенной к последовательному или параллельному соединению элементов, определить надежность моделируемой схемы с учетом всех примененных в ней методов резервирования.

Рис. 5.9. Смешанное резервирование:

п. — количество элементов схем; /и, — кратность резервирования; А — узел с общим резервированием; В — узел с раздельным резервированием; С — узел без резервирования

Взяв отношение вероятности отказа схемы с общим резервированием к вероятности отказа схемы с раздельным резервированием, получим:

Из данного выражения следует, что вероятность отказа схемы с общим резервированием в пт раз больше по сравнению с вероятностью отказа схемы с раздельным резервированием с таким же числом основных элементов и кратностью резервирования. Следовательно, схема с раздельным резервированием при прочих равных условиях существенно эффективнее схемы с общим резервированием.

Постоянное резервирование в вычислительных устройствах обычно производят по следующей схеме: входные сигналы поступают на п логических схем, причем п> к, где к — число логических схем в нерезервированной схеме. Выходные сигналы всех п логических схем далее подают на решающий элемент, который реализует мажоритарный закон. В этом случае решающий элемент называют мажоритарным элементом. На входы мажоритарного элемента поступают двоичные сигналы с выходов схем, и выходной сигнал мажоритарного элемента принимает значение, равное значению, которое принимает большинство его входных сигналов. Отсюда следует, что в схеме с мажоритарным резервированием должно быть нечетное число элементов. Наибольшее распространение получили мажоритарные элементы, работающие по закону «2 из 3». В этих элементах значение выходного сигнала равно значению двух одинаковых входных сигналов.

Обычно мажоритарный элемент выполняется но основе набора логических элементов типа И и ИЛИ. Структура простейшей схемы с мажоритарным резервированием приведена на рис. 5.10. Здесь элементы 1, 2, 3 выполняют одинаковые функции и имеют вероятность безотказной работы соответственно Я, (f), P2{t) и P3(t) (вообще говоря, мы имеем дело с идентичными элементами, поэтому вероятности безотказной работы у них равны, но пока для удобства будем писать P(t), P2(t) и P3(t)). Узел В, который состоит из логических элементов И и ИЛИ, является решающим (мажоритарным) элементом, осуществляющим функцию голосования. Обозначим вероятность безотказной работы решающего элемента Рр (t) (частный случай мажоритарного закона при п — 3).

Рассмотрим возможные значения результата на выходе в зависимости от значений входных элементов (табл. 5).

Рис. 5.10. Мажоритарное резервирование:

Л — узел схемы с элементами 1, 2, 3, выполняющими одинаковые функции; В — решающий элемент, состоящий из схем И и ИЛИ

Таблица 5. Таблица истинности схемы с мажоритарным резервированием

Элемент 1

Элемент 2

Элемент 3

Результат на выходе

Мажоритарный элемент выдает на выходе правильный результат (т. е. работает безотказно) при условии, что по крайней мере два из элементов 1, 2, 3 на выходе дают правильный результат.

Предположив, что вероятность безотказной работы решающего элемента Рр (t) = 1, с учетом таблицы истинности можем определить вероятность безотказной работы схемы с мажоритарным резервированием Рм (t) из следующего выражения:

Учитывая, что элементы 1, 2, 3 идентичны, обозначим

С учетом этих обозначений преобразуем выражение следующим образом:

Предположим, что вероятность безотказной работы каждого элемента P(t) = 0,99, и определим вероятность безотказной работы схемы с мажоритарным резервированием при трех идентичных элементах в схеме:

Таким образом, с помощью мажоритарного резервирования надежность схемы увеличилась более чем на порядок.

Общие формулы, по которым производятся вычисления для случая дробного резервирования, а также для ненагруженного и облегченного резерва, являются достаточно сложными, и их подробный вывод приводиться не будет. Для всех рассмотренных ниже случаев облегченного и ненагруженного резерва, а также резервирования с дробной кратностью предполагается, что наработка до отказа элементов системы имеет экспоненциальное распределение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *