Окрестность точки на числовой прямой

1.Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в
бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.

Окрестность точки. 1. На числовой оси окрестность точки – любой интервал (открытый промежуток), содержащий данную точку. В частности открытый (не содержащий границ) промежуток (а – δ; а + δ) с центром в точке а называется δ-окрестностью точки а (положительное число δ – радиус δ-окрестности).

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) или при х® хо, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xn¹x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится (стремится) к числу А

В этом случае пишут или ƒ(х)—>А при х→хо. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

3) Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х0, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x1= –1, x2=2, x3= –3, …,

xn=(–1)nn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции и отметим на нём точки и .

Предел функции в точке существует и равен , если для любой -окрестности точки можно указать такую -окрестность точки , что для любого из этой -окрестности значение будет находится в -окрестности точки .

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при не важно, какое значение принимает функция в самой точке . Можно привести примеры, когда функция не определена при или принимает значение, отличное от . Тем не менее, предел может быть равен .

Значение словосочетания &laquoчисловая ось»

  • Числовая ось, или числовая прямая — это прямая, на которой выбраны:
    некоторая точка O — начало отсчёта;
    положительное направление, указанное стрелкой (противоположное направление называется отрицательным);
    масштаб, то есть единица измерения длин.
    Между вещественными числами и числовой осью устанавливается взаимно однозначное соответствие: начало координат соответствует нулю, числовое значение произвольной точки соответствует расстоянию её до начала координат — в положительном направлении со знаком плюс, иначе — со знаком минус.
    Таким образом, числовая ось является наглядным геометрическим образом множества вещественных чисел
    R
    {\displaystyle \mathbb {R} }
    . Она состоит из точки начала координат и двух расходящихся от неё лучей, один из которых соответствует положительным, а другой — отрицательным числам. Естественный порядок точек на прямой при таком соответствии согласуется с упорядоченностью чисел. Числовая ось применяется, например, для построения графиков как ось координат. Отрезки прямой при этом изображают числовые интервалы.

Источник: Википедия

ЧИСЛОВАЯ ОСЬ

ЧИСЛОВАЯ ОСЬ — прямая, служащая для изображения действительных чисел, на которой заданы: 1) точка — начало отсчета; 2) положительное направление от точки к точке ; 3) единичный отрезок (масштаб). Всякое действительное число изображается точкой Ч. о. по следующим правилам: число нуль изображается точкой ; положительное число изображается точкой (обозначаемой также ) такой, что лучи и сонаправлены (имеют положительное направление на оси), и отношение длины отрезка к длине отрезка равно ; отрицательное (действительное) число изображается точкой (обозначаемой также ) такой, что луч имеет направление, противоположное направлению луча , т. е. отрицательное направление, и отношение длины отрезка к длине отрезка равно абсолютной величине числа (рис. 137).

Рис. 137

Это соответствие между числами и точками Ч. о. взаимно однозначно. Поэтому часто не делают различия между числом и соответствующей ему точкой на Ч. о., которая может обозначаться также точкой , и множество действительных чисел также называют Ч. о. Расстояние между точками и на Ч. о. равно модулю разности соответствующих чисел и , т. е. равно .

Ч. о. иногда (не совсем точно) называют координатной прямой или числовой прямой. (Заметим, что координатных прямых много, а числовая прямая одна — множество действительных чисел.)

Материал по математике «Числовая ось, числовые промежутки»

Числовая ось, чис­ло­вые промежутки

1. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой точ­ка­ми от­ме­че­ны числа a, b, c, d и m. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ука­зан­ны­ми точ­ка­ми и чис­ла­ми из пра­во­го столб­ца.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны точки A, B, C, и D.

Каж­дой точке со­от­вет­ству­ет одно из чисел в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ука­зан­ны­ми точ­ка­ми и чис­ла­ми.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

1)

2)

3)

4)

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер.

А

Б

В

Г

3. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны точки A, B, C, и D. Про число m из­вест­но, что оно равно .

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ука­зан­ны­ми точ­ка­ми и чис­ла­ми из пра­во­го столб­ца, ко­то­рые им со­от­вет­ству­ют.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) A

Б) B

В) C

Г) D

1)

2)

3)

4)

В таб­ли­це под каж­дой бук­вой ука­жи­те со­от­вет­ству­ю­щий номер.

А

Б

В

Г

4. На пря­мой от­ме­че­ны точки K, L, M и N.

Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между ука­зан­ны­ми точ­ка­ми и чис­ла­ми из пра­во­го столб­ца, ко­то­рые им со­от­вет­ству­ют.

ТОЧКИ

ЧИСЛА

А) K

Б) L

В) M

Г) N

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

5. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число

Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке убы­ва­ния числа:

1)

2)

3)

4)

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных чисел в по­ряд­ке убы­ва­ния.

6. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа и .

Рас­по­ло­жи­те числа в по­ряд­ке убы­ва­ния:

1)

2)

3)

4)

7. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа и

Рас­по­ло­жи­те в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа

1)

2)

3)

4)

В от­ве­те ука­жи­те но­ме­ра вы­бран­ных Вами чисел, рас­по­ло­жен­ных в по­ряд­ке воз­рас­та­ния, без про­бе­лов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных сим­во­лов.

8. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­ны числа и :

Рас­по­ло­жи­те числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния:

1)

2)

3)

4)

9. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и мно­же­ства­ми их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

10. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и мно­же­ства­ми их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

А

Б

В

Г

11. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и мно­же­ства­ми их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

12. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств слева со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний, изоб­ражённых на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой спра­ва. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А) x(1 − x) 0

Б) 1 − x 0

В) (1 − x)2 0

Г) x(1 − x)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

13. Каж­до­му из четырёх чисел в левом столб­це со­от­вет­ству­ет от­ре­зок, ко­то­ро­му оно при­над­ле­жит. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между чис­ла­ми и от­рез­ка­ми из пра­во­го столб­ца.

ЧИСЛА

ОТ­РЕЗ­КИ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

14. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

А

Б

В

Г

15. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1) или

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

16. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1) или

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

17. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

А

Б

В

Г

18. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний из пра­во­го столб­ца. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

Впи­ши­те в при­ведённую в от­ве­те таб­ли­цу под каж­дой бук­вой со­от­вет­ству­ю­щую цифру.

А

Б

В

Г

19. Про­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му не­ра­вен­ству мно­же­ство его ре­ше­ний.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

Б

В

Г

20. По­ставь­те в со­от­вет­ствие каж­до­му не­ра­вен­ству мно­же­ство его ре­ше­ний.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

21. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

22. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

23. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

24. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

25. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А)

Б)

В)

Г)

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

26. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А) 0,5x ≥ 2

Б) 0,5x ≤ 2

В) 2x ≤ 2

Г) 2x ≥ 2

1) x ≥ −1

2) x ≥ 1

3) x ≤ −1

4) x ≤ 1

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

27. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

НЕ­РА­ВЕН­СТВА

РЕ­ШЕ­НИЯ

А) 0,5x ≥ 4

Б) 2x ≥ 4

В) 0,5x ≤ 4

Г) 2x ≤ 4

1)

2)

3)

4)

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

А

Б

В

Г

28. Каж­до­му из четырёх не­ра­венств в левом столб­це со­от­вет­ству­ет одно из ре­ше­ний в пра­вом столб­це. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между не­ра­вен­ства­ми и их ре­ше­ни­я­ми.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *