Математическое моделирование производственных процессов

Математическое моделирование производственных процессов

Цель математического моделирования заключается в нахождении количественных характеристик (показателей, параметров) эффективности функционирования изучаемого процесса, выявлении количественных оценок взаимосвязей между его элементами. На основе результатов моделирования выбирают наилучшие параметры проектируемой машины или оборудования и оптимальный или рациональный вариант производственного процесса. Характеристики изучаемого процесса могут быть различными в зависимости от цели. В технологических задачах они связаны с качеством получаемой продукции и производительностью, а составляющие любого изучаемого процесса обычно учитываются одновременно. Так, при изучении способа раскряжевки хлыстов учитывают и производительность технологической линии, и качество вырабатываемых сортиментов (выход деловой древесины). В транспортных задачах на передний план выступает производительность, предопределяемая выбранными схемой работ и системой машин. Конкретными характеристиками изучаемого процесса в зависимости от решаемых задач могут быть загрузка машин по времени, вероятность их простоя по различным причинам, объем транспортной работы, процент выхода определенных лесоматериалов, доля отходов и др.

Общую схему математической модели можно представить так:

где Е — результат функционирования изучаемой системы или процесса, который подлежит определению; х{ — управляемые переменные и параметры действующих факторов; у. — неуправляемые переменные и факторы; / — функциональная зависимость между и у., определяющая величину Е.

Таким образом, в общем виде математическая модель представляет собой некоторую комбинацию следующих составляющих: компонент, переменных параметров (показателей), функциональных зависимостей, ограничений, целевых функций. Компоненты — это составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему или процесс. Иногда компоненты называют подсистемами, или элементами системы. Параметры выбираются произвольно. Значения переменных определяются видом данной функции. Параметры после придания им определенных значений становятся постоянными величинами, не подлежащими изменению. Например, в уравнении у = 4 + Зх, 4 и 3 — постоянные величины, а х и у — переменные.

Функциональные зависимости характеризуют поведение переменных и параметров в пределах подсистемы или выражают соотношение между подсистемами. Обычно функциональные зависимости устанавливают на основе методов математического анализа и гипотез, исходя из физической сущности моделируемого процесса.

Ограничения устанавливают пределы изменения значений переменных. Они могут задаваться разработчиком модели (искусственные ограничения) или системой (процессом) вследствие присущих ей свойств (естественные ограничения). Так, при моделировании работы системы лесосечных машин в качестве искусственных ограничений могут быть максимальный объем пачки деревьев, формируемых валочно- пакетирующей машиной, допустимые размеры заготавливаемых деревьев, вместимость верхнего склада и др. В качестве естественных ограничений в данном случае могут выступить предельный объем заготовленной древесины, предопределяемый ее запасом на лесосеке, рельеф лесосеки, почвенно-грунтовые условия и др. Искусственные ограничения могут подвергаться изменению, а естественные являются стабильными.

Математическое моделирование включает выполнение следующих этапов:

  • 1 Обоснование цели и постановка основных задач исследования объекта (процесса).
  • 2 Предварительное изучение объекта, выделение его существенных характеристик, установление ограничений и показателей эффективности процесса.
  • 3 Выбор, а при необходимости корректировка или разработка новых теоретических предпосылок для разрабатываемой модели.
  • 4 Подготовка исходной информации для исходных данных модели и постановка эксперимента.
  • 5 Проведение расчетов модели, анализ полученных результатов и их сопоставление с характеристиками реального объекта.
  • 6 Корректировка (при необходимости) разработанной модели.

7 Реализация (практическое использование) результатов моделирования, в виде рекомендаций оформление процесса моделирования в виде методик и инструкций.

Первый этап связан с непрерывным уточнением задач, а исследование сопровождается внесением корректировок, установлением допущений и ограничений. При постановке задачи и определении типа модели нужно четко определить физическую сущность изучаемого процесса и установить границы его функционирования. Это непросто, учитывая, что производство — это единая система. Обосновав цель, задачи исследования и границы изучаемого процесса, переходят к определению факторов, которые необходимо учитывать при моделировании процесса. Основная опасность, подстерегающая исследователя при построении модели, заключается в том, что модель имеет тенденцию обрастать деталями и элементами, которые несущественно повышают адекватность результатов, но усложняют, нередко до разрушения, модель процесса.

Закон Парето гласит, что в каждой группе или совокупности факторов существуют жизненно важное меньшинство и тривиальное большинство. Модель должна полностью учитывать это жизненно важное меньшинство, по возможности обособляясь от несущественного большинства деталей.

Для построения модели необходимо обоснованно выбрать количественные и качественные исходные данные. При этом нужно решить, какие данные следует получить экспериментальным путем, какие можно принять по аналогии с другими, ранее изученными, процессами, а какие можно получить, исходя из теоретических предпосылок. Насколько представительна и достоверна исходная информация, закладываемая в модель, настолько достоверны будут конечные результаты моделирования.

Если модель будет рассчитываться на ЭВМ, то перед разработчиком возникает проблема описания задачи методами, приемлемыми для используемой ЭВМ.

Проверка модели — чрезвычайно важный этап, ставящий целью получить приемлемый уровень уверенности разработчика и пользователя в том, что результаты расчета и выводы, полученные на основе моделирования процесса, будут достаточно точными, достоверными. Такая проверка должна быть особенно тщательной для моделей сложной структуры. В этом случае могут быть использованы следующие методы. Вначале экспериментатор должен убедиться в правильности модели в первом приближении. Для этого обычно в модель закладывают исходные данные, с тем чтобы получить предельные значения результата. Если такой результат явно абсурден, ищут ошибку в модели. После внесения необходимых исправлений снова просчитывают соответствие результатов физической сущности моделируемого процесса. Такая проверка эффективна, когда экспериментатор (разработчик модели) является специалистом данной отрасли, хорошо разбирается в особенностях реального процесса. Он должен уметь понять и объяснить, например, в какую сторону (меньшую или большую) должны изменяться параметры процесса при соответствующем изменении исходных данных и, сопоставив результаты расчета, дать предварительную оценку достоверности разработанной модели. Окончательную проверку и оценку модели дает практика, производственная проверка результатов моделирования. Однако такая проверка нередко невозможна, например, когда нет аналогов моделируемому процессу или она может быть осуществлена лишь для части результатов и выводов. Поэтому основным залогом успешного решения задачи может стать сочетание знания производства и представления о моделировании. Бытующее подчас мнение, что математик, особенно владеющий методами программирования на ЭВМ, способен успешно решать производственные задачи, так же неверно, как и упование только на опыт и знание производства инженером.

Никакое задание на моделирование не может считаться успешно завершенным, пока не будет надлежащим образом оформлено и использовано на практике. Наибольшие трудности моделирования связаны с восприятием результатов пользователем и реализацией (внедрением). Так, по данным ученых США, занимающихся моделированием, время проектирования модели распределяется следующим образом: 25 % — на постановку задачи, 20 % — на сбор и анализ данных, 30 % — на разработку модели и 25 % — на реализацию.

Чтобы разработанная модель могла найти применение при анализе и проектировании процессов других предприятий, материалы, связанные с моделированием, оформляют в виде документов: методик, сборников программ, инструкций.

На основе математической модели процесса определяются количественные оценки параметров и взаимодействия смежных операций. Чем удачнее подобрана математическая модель, чем лучше она отражает основные особенности процесса, тем успешнее будет исследование и полезнее вытекающие из него рекомендации. Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится, исходя из целенаправленности, задач анализа и управления процессом, с учетом точности как конечных результатов, так и исходных данных. В сложных случаях полезным оказывается исследовать один и тот же процесс на нескольких моделях. Если результаты от модели к модели меняются мало, это серьезный аргумент в пользу объективности исследования.

Математические модели, которые могут быть применены в задачах исследования процессов, в том числе и лесозаготовительных, можно условно подразделить на аналитические и статистические. Для первых характерно установление аналитических зависимостей между параметрами процесса, записанных в виде алгебраических формул, дифференциальных уравнений и т.п. С помощью аналитических моделей удается с удовлетворительной точностью описать сравнительно простые процессы.

Сложные процессы, в которых переплетается взаимодействие большого количества факторов, в том числе и случайных, целесообразно моделировать статистическими (вероятностными, стохастическими, имитационными) методами, используя для расчетов ЭВМ. Преимущество статистических методов перед аналитическими состоит в том, что они позволяют учесть большое число факторов и не требуют грубых упрощений. Однако результаты статистического моделирования труднее поддаются анализу, чем аналитические зависимости. Наилучшие результаты дает совместное применение аналитических и статистических моделей: простая аналитическая модель определяет основные закономерности процесса, а дальнейшее уточнение, оценка воздействия неучтенных факторов могут быть получены статистическим моделированием. Этот комплексный метод принят как основной при моделировании операций на лесозаготовках.

Невозможно доподлинно скопировать реальные объекты и процессы. Даже относительно простой технологический процесс включает множество элементов, различные взаимосвязи между ними, в которые входят многочисленные постоянные и переменные величины, ограничения и пр. Попытка включить в разрабатываемую модель все или почти все факторы и взаимоотношения, характеризующие реальный процесс, может существенно усложнить модель и ее решение. Вместе с тем стремление упростить модель и расчеты может привести к неверным результатам. Искусство моделирования и заключается в том, чтобы найти «золотую середину» — разработать несложную модель, охватывающую основные особенности реального процесса и обеспечивающую результаты приемлемой (заданной) точности. Но вместе с тем опасно упустить важное. Иначе неизбежно столкновение такой плохой модели с действительностью. Исследователю придется расплачиваться за «убийство прекрасной гипотезы отвратительным фактом».

Какие особенности более или менее существенные в моделируемом реальном процессе, что учитывать, а что отбросить, предопределяется целью исследования процесса. Так, моделирование процесса заготовки хлыстов на лесосеке с целью определения производительности системы лесосечных машин может не учитывать качество хлыстов, так как оно практически не влияет на производительность валочно- пакетирующей, трелевочной и сучкорезной машин. Однако, если бы производилась заготовка сортиментов, то качество хлыстов обязательно следовало учитывать, так как оно существенно сказывалось бы на производительности раскряжевочной машины, на количестве и качестве вырабатываемых лесоматериалов.

Оценивать значимость факторов должен прежде всего технолог, проектировщик или конструктор, исследующие или проектирующие процесс и машину. Если специалист отрасли не имеет представления о методах и возможностях моделирования, то он поставит (в угоду чрезмерной адекватности модели реальному процессу) неразрешимую задачу. Чтобы такое не произошло, инженер-специалист отрасли должен иметь достаточно четкое представление о методах и возможностях математического моделирования.

Основная трудность формирования модели — это необходимость совмещения двух антиподов: упрощения модели и точности результатов. Искусство моделирования состоит в способности анализировать процесс, выделять из него путем умозаключения наиболее существенные черты, обоснованно исключать из дальнейшего рассмотрения несущественные факторы, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до получения нужных результатов.

Упрощение модели обычно достигается следующими операциями: исключением некоторых переменных или превращением их в постоянные величины, по возможности заменой сложных зависимостей между переменными величинами линейными зависимостями, введением более жестких ограничений и граничных условий.

Разработка модели не ограничивается единственным вариантом. По мере достижения поставленных целей возможна корректировка модели для обеспечения ее большего соответствия реальному процессу. Соответствующее поэтапное усложнение модели оправданно. Оно позволяет всесторонне проанализировать результаты, количественно оценить влияние основных переменных факторов на эффективность функционирования процесса.

Не существует четких правил относительно того, как следует формулировать задачу в самом начале ее моделирования. Не существует каких-то особых формул и методов для выбора переменных и постоянных величин, функциональных зависимостей, ограничений и критериев оценки эффективности модели.

Хорошая модель должна удовлетворять следующим условиям. Она должна быть простой и понятной пользователю, целенаправленной, гарантированной от абсурдных ответов, достаточно полной с точки зрения возможностей решения основных задач, удобной и понятной в обращении, допускающей собственную корректировку и обновление.

Языки, применяемые для составления моделей, можно разделить на словесные описания, чертежи, логические блок-схемы и таблицы решений (или графы состояний), кривые, номограммы, математические описания (уравнения, формулы и алгоритмы).

Каждый из этих типов языков обладает определенными характеристиками, которые делают его более пригодным для использования в каких-либо конкретных случаях. Как видно из табл. 10.1, ни один из этих типов языков не является одинаково пригодным для любого назначения. При анализе технологического процесса и решении конкретных задач используются все типы языков моделирования. Однако основное внимание уделено математическому описанию процесса, так как этот метод обеспечивает широкие возможности для эффективного анализа и управления технологическими процессами.

Математическое моделирование лесозаготовительного процесса строится на методах исследования операций, которые располагают следующим арсеналом математических средств: теорией вероятностей, теорией массового обслуживания (ТМО), теорией надежности, теорией случайных процессов, математической статистикой, имитационным моделированием, теорией игр, методом Монте-Карло, линейным программированием, динамическим программированием, сетевым планированием, математическими методами оптимизации и др.

Не все математические методы в равном объеме применимы к рассматриваемым здесь задачам. Поэтому ниже характеризуются основные особенности лишь тех, которые наиболее широко использованы при решении задач.

Таблица 10.1

Характеристики языков моделей

Языки

моделей

Характеристики

Описательная

способность

Однозначность

языка

Пригодность к манипулированию (анализу)

Употребляемость

Основное

назначение

Словесное

описание

Хорошая

Весьма

неоднозначен

Отсутствует

Ограниченная

Описательные объяснения и указания

Чертежи и схемы

Хорошая

Однозначен

Отсутствует

Широкая

Проектирование

технологического

процесса

Логические блок-схемы и таблицы ре-

Довольно хорошая

Однозначен

Отсутствует

Широкая

Программирование для ЭВМ

шений

Кривые, таблицы, номограммы

То же

То же

Хорошая

Ограниченная

Выражение простых зависимостей между несколькими переменными

Математическое описание

Слабая

То же

Весьма

хорошая

Широкая

Решение задач и оптимизация

В век научно-технического прогресса условия человеческой деятельности и связанные с ней решения чрезвычайно усложнились. Рассчитывать при принятии решений только на опыт и интуицию уже невозможно.

Математическое моделирование производственных объектов и процессов

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 14

Термин «математическое моделирование» охватывает методологически малосвязанные разработку модели и ее использование. Иногда моделированием называется каждый из этих двух этапов в отдельности.

Изучение свойств объекта моделирования путем анализа аналогичных свойств его модели представляет собой процесс моделирования. В зависимости от характера и сложности тех или иных явлений при их изучении могут быть использованы соответствующие методы моделирования. Выбор методов определяется поставленной задачей.

Модель называется изоморфной (одинаковой по форме), если между нею и реальной системой наблюдается полное поэлементное соответствие. Такое соответствие имеется между негативом и полученным с него изображением, чертежом и изготовленной по нему деталью, между процессами в реальной системе и уравнением, описывающим поведение этой системы. Однако во многих случаях изоморфные модели оказываются сложными и неудобными для практического использования, поэтому более удобны модели, которые позволяют судить только о существенных аспектах поведения реальных систем без их детализации. Пример такой модели — географическая карта по отношению к изображенному на ней участку земной поверхности.

Модели, отдельные элементы которых соответствуют лишь крупным частям реальной системы, а полное поэлементное соотношение между моделью и системой отсутствует, называются гомоморфными.

Моделирование производственного процесса состоит в имитации выполнения на элементах производства (оборудовании, участках) операций над продуктами (полуфабрикатами, заготовками, сырьем и т.д.) путем изменения вычисляемых значений соответствующих параметров элементов или продуктов. Значения некоторых параметров могут быть функциями времени. Элементы производства характеризуются, кроме того, состояниями (занят, исправен и т.д.). Передача продукта от одного элемента к другому моделируется передачей информации о его параметрах и изменением состояний элементов.

Каждый элемент производства отображается отдельной частью математической модели, т.е. общая модель разбивается на блоки, которые могут совпадать с частной математической моделью одной из подсистем технического объекта или моделью некоторого физического или технико-экономического расчета. Блоки связаны сравнительно небольшим числом передаваемых параметров. Обычно технический объект расчленяется на конечное число блоков, и каждый из них первоначально моделируется независимо от остальных.

Частные модели блоков затем связываются на основе фактической иерархии технического объекта. Декомпозиция и связь блоков выполняются как в пространстве, так и во времени, и целиком зависят от задачи разработчика. Мерой качества полученной таким образом модели является в наиболее общем случае отсутствие в ней внутренних противоречий и согласованность полученных результатов с действительностью, часть которой они описывают. При создании основ такой модели необходимо придерживаться следующего принципа: чем меньше количество элементов, с помощью которых можно для решения поставленной задачи описать действительность, тем совершеннее модель.

Формальное определение модели, как правило, строится на теоретико-множественном языке: система называется математической моделью, если задано семейство задач со множеством решений ; для любого элемента и пара принадлежит системе в том и только в том случае, если существует элемент , который является решением задачи

Математическое моделирование напоминает физический эксперимент. В математической модели, как и в лабораторной установке, представлены составные части системы и окружающая ее среда. В ходе испытаний модели через некоторые интервалы времени выдается информация о поведении компонентов и показания приборов. При использовании современных технических средств моделирование на ЭВМ так же наглядно, как и физический опыт (особенно для относительно простых систем). Это позволяет быстро получить сведения о различных вариантах изучаемого процесса. При этом в относительно короткий срок можно найти оптимальные варианты математической модели, т.е. осуществить ее оптимизацию и, следовательно, оптимизировать сам процесс.

Математическое моделирование включает следующие этапы: составление математического описания процесса; создание алгоритма, моделирующего изучаемый процесс; проверка адекватности модели изучаемому процессу; использование модели

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *