Критерии устойчивости Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова является геометрической интерпретацией принципа аргумента. При изменении частотыот до конец вектора характеристического уравнения на комплексной плоскости описывает кривую, которая называется характеристической кривой или годографом Михайлова. Для того, чтобы получить уравнение годографа Михайлова, надо в характеристическое уравнение подставить

и выделить вещественную и мнимую части.

Пусть характеристическое уравнение.

Подставим

— является четной функции частоты ,т.е . — является нечетной функцией частоты ,т.е. Таким образом, годограф будет симметричен относительно вещественной оси.

Это означает, что при его построении достаточно менять частоту от 0 до . При этом аргумент (угол поворота вектора характеристического уравнения) уменьшается в 2 раза и для устойчивой системы он будет равен . То есть годограф Михайлова устойчивой системы должен проходить квадрантов.

САУ устойчивая, если при , годограф Михайлова начинается на положительной части действительной оси и обходит в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, последовательно квадрантов

Годограф начинается со свободного члена характеристического уравнения.

Если годографы соответствуют устойчивым системам, то это означает, что корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если годограф Михайлова проходит через начало координат , то САУ находится на границе устойчивости и хотя бы один корень расположен на мнимой оси.

Критерий устойчивости Найквиста.

Все рассмотренные выше критерии устойчивости позволяют определить устойчивость замкнутой системы по характеристическому уравнению замкнутой системы.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет по поведению амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, определить устойчивость замкнутой системы, если она замкнута единичной отрицательной обратной связью. Этот критерий удобен тем, что АФЧХ разомкнутой системы может быть получена экспериментально. Хотя АФЧХ может быть рассчитана и теоретически.

Пусть имеем замкнутую систему с единичной отрицательной обратной свяэью.

Пусть

Будем считать, что разомкнутая система устойчива.

Передаточная функция замкнутой системы

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы

Подставим сюда и применим принцип аргумента

Порядок равен порядку и равен Следовательно,

=т.к (по условию, что разомкнутая система устойчива, следовательно )

определяется полиномом +. Порядок полинома меньше порядка полинома . Поэтому порядок имеет порядок , т.е Поэтому =И -=0

Если изобразить на комплексной плоскости годограф , то вектор при возрастании от до +должен в сумме описать угол, равный нулю. Это будет лишь в том случае, когда этот годограф не будет охватывать начало координат. Изобразим этот годограф при изменении от до +

От годографа можно перейти к годографу т.е. к АФЧХ разомкнутой системы, которая представляет собой ту же кривую, но сдвинутую на 1 влево( тот же результат можно получить, если сдвинуть мнимую ось на 1 вправо)

Критерий устойчивости Найквиста

1.Пусть разомкнутая система асимптотически устойчива, тогда для устойчивости системы , замкнутой единичной обратной связью, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывало точку с координатами

Статич.сист

2.Пусть разомкнутая система неустойчива и ее характеристическое уравнение имеет m правых корней. Тогда для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы огибала точку (-1,j0) раз в положительном направлении (если m нечетная, то дробь. Это означает, что АФЧХ начинается левее точки (-1,j0)

(0,5 раза) и один раз пересекает ее.

Примеры

Система устойчива в разомкнутом и в замкнутом состояниях

Система устойчива в разомкнутом состоянии и неустойчива в замкнутом.

Система неустойчива в разомкнутом и устойчива в замкнутом состояниях.

Этот критерий удобен еще и тем, что устойчивость разомкнутой системы легко определить.

разомкнутой системы есть произведения — передаточных функций элементов САУ не выше второго порядка , включенных последовательно. Поэтому устойчивость разомкнутой системы определить просто – надо найти корни сомножителей знаменателя передаточной функции разомкнутой системы (это просто, т.к. это уравнения первого или второго порядка)

Этот прием нельзя применять для замкнутых систем.

Построение границы области устойчивости в пространстве параметров САУ

(D-разбиение пространства параметров САУ)

В процессе эксплуатации САУ параметры объекта регулирования и регулятора могут изменяться, а, следовательно, изменяются и динамические свойства замкнутой САУ. Кроме того, ряд таких параметров как запаздывание в системе вообще бывает оценить трудно. Поэтому для разработчика САУ важно знать, как далеко находится система от границы области устойчивости или иначе каков запас устойчивости.

Для этой цели представляет интерес нанести в пространстве параметров границу устойчивости данной системы. Такими параметрами могут быть, например, коэффициент усиления и постоянная времени

Построение области устойчивости можно производить ,в принципе, любым из рассмотренных выше критериев устойчивости, проведя ряд построений при различных сочетаниях параметров. Можно также получить уравнение границы устойчивости из критерия Гурвица. Однако уже при возникают значительные трудности при непосредственном определении границы устойчивости по этим критериям.

Неймарком в 1948 году был предложен метод выделения устойчивости в плоскости параметров системы – метод Д- разбиения.

Выделим в плоскости параметров А1 –А2 системы области с одинаковым расположением корней характеристического уравнения.

Область — n — «левых» корней

0 — «правых» корней

Область имеет n-1 левых и один правый корень

Область имеет n-2 левых и 2 правых корней

Разбиение плоскости (пространства) на области с одинаковыми индексами называется D-разбиением плоскости (пространства) параметров.

Среди выделенных областей нас интересует область устойчивости, т.е. область . Границей области устойчивости является мнимая ось. Таким образом, границу области можно рассматривать как проекцию мнимой оси на плоскость параметров системы.

Система будет находиться на границе устойчивости, если хотя бы один ее корень расположен на мнимой оси. Уравнение корня, лежащего на мнимой оси, .

Подставив этот корень в характеристическое уравнение, мы можем для каждой найти такие значения коэффициентов характеристического уравнения, при которых это характеристическое уравнение обращается в ноль. Эти коэффициенты определяют в плоскости параметров системы точку, лежащую на границе устойчивости, т.е. на границе D-разбиения. Можно сказать, что граница D-разбиения является проекцией мнимой оси на плоскость параметров системы.

Таким образом, изменяя от до можно выделить границу устойчивости системы. Однако выделенная область будет областью с минимальным количеством правых корней. Для того чтобы убедится, что она будет областью устойчивости, нужно взять любую точку из этой области, подставить ее координаты в характеристическое уравнение и проверить полученное характеристическое уравнение на устойчивость. Если окажется, что в этой точке САУ устойчива, следовательно, вся выделенная область является областью устойчивости.

D – разбиение проводится в плоскости одного, двух или в пространстве параметров.

Выделение области устойчивости в плоскости коэффициента усиления системы.

Коэффициент усиления K- один из наиболее важных параметров системы. От него в значительной степени зависит устойчивость системы и качество процессов управления.

Для того, чтобы выделить область устойчивости в плоскости К нужно в характеристическом уравнении выделить члены, содержащие, и не содержащие К. Как правило, К содержит свободный член характеристического уравнения.

Поэтому запишем характеристическое уравнение в виде:

Подставим в него

и разрешим это уравнение относительно К

Изменяя от до , построим границу области, претендующей на устойчивость.

Для того чтобы определить область , претендующую на устойчивость, воспользуемся правилом штриховки.

Если мы передвигаемся по мнимой оси от к , то область устойчивости остается слева, поэтому, передвигаясь по выделенной границе от к ,штрихуем левую сторону

кривой. Полностью заштрихованная область есть область, претендующая на устойчивость.

Чтобы проверить, будет эта область областью устойчивости, возьмем любую точку из этой области, подставим в ее в характеристическое уравнение и проверим САУ на устойчивость. Если в данной точке система устойчива, значит выделенная область является областью устойчивости. Т.к. К – вещественная, положительная величина, то система устойчива от 0 до

Пример.

=

Строим годограф.

Р1 Р2
-10
-1
-2 -10

Строим годограф. Он пересекает вещественную ось при

(Р1=0, Р2=0) и при (Р1=30, Р2=0)

Проверяем выделенную область на устойчивость. Берем К=1.

Подставляем в характеристическое уравнение:

По критерию Гурвица Следовательно, выделенная область является областью устойчивости.

САУ устойчива при изменении К от 0 до 30.

D – разбиение в плоскости 2-х параметров.

Для того, чтобы можно было провести D – разбиение в плоскости 2-х параметров, нужно, чтобы эти параметры входили в характеристическое уравнение линейно-независимо.

Пусть параметры, в плоскости которых хотим выделить область устойчивости, будут и .

Выделим в характеристическом уравнении, члены содержащие и , и не содержащие ни того, ни другого.

Тогда характеристическое уравнение запишется

(1)

Т.к. границами устойчивости являются мнимая ось и уравнение корня, лежащего на ней . Подставим значения этого корня в характеристическое уравнение.

( 2)

Выделим в каждом члене уравнения (2) действительную и мнимую части.

(3)

Тогда уравнение перепишется в виде

(4)

Уравнение (4) комплексное число. Оно равно нулю, если равны нулю вещественная и мнимая части

Вещественная: (5)

Мнимая:

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Решим их относительно и , воспользовавшись правилом Крамера.

(6)

С помощью уравнения (6), мнимая ось отображается на плоскость параметров регулятора -.

Если , то каждому значению соответствуют определенные значения и .

При непрерывном изменении на плоскости — вычерчивается кривая, которая представляет собой границу области с одинаковым распределением корней.

Проанализируем

— четные функции частоты

— нечетные функции частоты

— нечетные функции частоты.

Следовательно, и — четные функции частоты, т.е. полиномы, определяющие и , содержат только четные функции от Т.о значениям и соответствует одна и та же точка кривой. Таким образом, при изменении от до, кривая границы устойчивости пробегается дважды в противоположных направлениях и одна из сторон в выделенной области оказывается заштрихованной дважды.

Область устойчивости в плоскости K1,-K2 при возрастании от 0 до , при будет расположена слева, а при справа.

Т.к. является непрерывной функцией частоты, то знак его может поменяться только при переходе через 0. При этом момент прохождения через 0, может соответствовать двум случаям:

1) (в этом случае и обращаются в и переход через 0 происходит в бесконечно удаленной точке границы устойчивости, а на всем протяжении границы — знак не меняет)

2) В этом случае, уравнения (5) являются одно следствием другого и отличаются они лишь постоянными множителями.

В этом случае при частоте , где вместо одной точки, получаем бесконечную совокупность точек, лежащих на одной прямой. Эта прямая называется особой прямой . Она будет либо пересекать границу устойчивости, либо проходить через ее начало. В большинстве случаев особые прямые соответствуют или

Особые прямые бывают в тех случаях, когда один из параметров К1 или К2 входит в свободный член характеристического уравнения.

Особые прямые штрихуются одинарными штрихами.

Выделенная область должна быть проверена на устойчивость по любому из критериев.

Пример.

Подставим в это характеристическое уравнение корень, лежащий на мнимой оси,

Разобьем на действительную и мнимую части

Таким образом, вещественная часть (только коэффициенты)

Получили систему

Таким образом

При будет особая прямая.

Построим эту границу

Особая прямая — , при этом она штрихуется навстречу выделенной границы.

Проверим на устойчивость

Гурвиц:

1)

2)

Т.к. в данной точке САУ устойчива, то выделенная область является областью устойчивости.

Иногда выделить область устойчивости в плоскости 2-х параметров можно даже, если они входят в характеристическое уравнение линейно независимо.

Пример.

Пусть характеристическое уравнение:

Хотим провести D – разбиение в плоскости и

Проводим D – разбиение в плоскости а-в рассмотренным выше способом, т.к. они входят в уравнение линейно независимо.

Качество систем автоматического управления.

Устойчивость является необходимым, но не единственным требованием, предъявляемым к системам управления. Устойчивость гарантирует сходимость переходного процесса к заданному значению регулируемой величины, а как быстро это происходит, насколько велики выбросы, какова точность, т.е. каково качество переходного процесса – эти вопросы остаются без ответа.

Однако к качеству переходного процесса часто предъявляет очень жесткие требования. Качество переходного процесса оценивается по реакции системы на типовые воздействия, такие как скачок, линейно возрастающее воздействие( т.е. воздействие, возрастающее с постоянной скоростью), парабола ( т.е. воздействие, изменяющееся с постоянным ускорением).

Реакция системы на единичное скачкообразное воздействие называется переходной функцией и по ней чаще всего оценивают качество переходного процесса.

Качество оценивается по показателям качества.

Наиболее распространенными показателями качества являются:

1) динамическая ошибка – разность и

в данный момент времени

2) максимальное значение регулируемой величины

3) установившееся значение регулируемой величины

4) статическая ошибка

5) перерегулирование — превышение (выброс) над установившемся значением.

6) время переходного процесса — время от момента подачи воздействия до момента, когда переходный процесс входит в зону заданной точности управления и больше из нее не выходит. от (обычно) Для того, чтобы оценить качество переходного процесса нужно построить переходный процесс.

Методы построения переходного процесса.

(способы решения дифференциальных уравнений)

1. Непосредственное решение дифференциальных уравнений по корням характеристического уравнения.

2. Использование преобразований Фурье, Лапласа (Карсона-Хевисайда)

3. Использование вычислительных машин для решения дифференциальных уравнений. При этом используются аналоговые вычислительные машины (АВМ) и цифровые вычислительные машины (ЦВМ) При использовании АВМ строится электронный аналог математической модели САУ. Это означает, что на усилителях постоянного тока набираются типовые элементарные звенья, входящие в математическую модель САУ

Из таких блоков состоит структурная схема САУ . Изменение напряжения на выходе системы будет аналогом изменения регулируемой величины. Решение дифференциальных уравнений на АВМ происходит непрерывно. Точность решения невысокая.

В ЦВМ при решении дифференциальных уравнений используются приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Точность решения дифференциальных уравнений высокая.

Кроме оценки качества по переходным процессам применяются косвенные методы оценки качества:

1. По корням характеристического уравнения.

2. По частотным характеристикам.

3. Интегральные оценки качества.

Оценка качества по распределению корней характеристического уравнения.

Из курса математики известно, что решение неоднородного дифференциального уравнения

, (1)

удовлетворяющего любым начальным условиям, в общем случае состоит из суммы двух слагаемых:

1) частного решения неоднородного уравнения, правая часть которого отлична от нуля и которое характеризует вынужденные колеба­ния системы под действием возмущающих сил;

2) общего решения однородного уравнения

(2)

определяющего свободные (собственные) колебания системы после исчезнове­ния возмущающих сил.

Уравнению (2) соответствует характеристическое уравнение:

(3)

При исследовании устойчивости систем нас интересуют только свободные колебания, так как вся теория устойчивости основана на использовании понятия кратковременных возмущающих сил типа дельта функции .

Общее решение однородного дифференциального уравнения, вызванное отклонением начальных условий от нулевых начальных условий, записывается

— постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями

— корни характеристического уравнения (3)

Отсюда видно, что характер переходного процесса зависит от расположения корней характеристического уравнения.

1) Пусть вещественные корни

Если корни расположены на мнимой оси, то процесс никогда не затухает, так как Чем ближе к мнимой оси расположен корень, тем дольше длится процесс. Таким образом, наибольший вес в общем решении имеют те составляющие решения, корни которых ближе расположены к мнимой оси. Если корень расположен в правой полуплоскости, то решение будет неограниченно возрастать.

Степенью устойчивости асимптотически устойчивой системы называется расстояние от мнимой оси до ближайшего корня.

Зная ,можно приближенно оценить время переходного процесса , считая, что когда общие решения от других, более далеких от мнимой оси корней затухнут, общее решение будет определяться корнем :

Можно показать, что

Отсюда

Действительно, если , то

Т.о. за время процесс уменьшится на 95%.

Можно по другому:

Положив в конце переходного процесса где , полагая, что прошло 99-95% процентов переходного процесса, можем записать

, , ,

2) Корни комплексно сопряженные

Вспомним формулу Эйлера

Если в системе комплексно- сопряженные корни, то будет колебательный переходный процесс.

Если корни на мнимой оси, то колебательный процесс никогда не затухнет.

=

Если увеличивается , то колебательность возрастает.

Чем больше , тем больше колебания в системе.

Если колебание никогда не затухнет

Если колебаний не будет, таким образом, по расположению корней характеристического уравнения можно оценить качество переходного процесса.

Диаграмма Вышнеградского

Оценка качества системы по корням характеристического уравнения третьего порядка.

Область устойчивости делится на 3 части.

Определяем рабочую точку, какое расположение корней, такой и будет переходный процесс.где

По заданным коэффициентам находим

Определяем рабочую точку (). В какую область эта точка попала, такой переходный процесс и будет.

Частотные критерии оценки качества.

Переходные функции и частотные характеристики связаны между собой через преобразование Фурье.

Обратное преобразование Фурье

, Если то Тогда и

Таким образом, по поведению частотных характеристик можно судить о характере протекания переходной функции.

Наиболее удобной для оценки качества переходных процессов является амплитудно-частотная характеристика (АЧХ). Косвенным показателем качества переходного процесса является полоса пропускания АЧХ

Используя предельные соотношения преобразований Лапласа и Фурье, получим

Т.е. установившееся значение выходной величины САУ равно значению АЧХ при . Чем больше срезано низких частот, тем меньше установившееся значение выходной величины.

С другой стороны

т.е. начало переходного процесса (поведение переходного процесса вблизи нуля) определяется высокочастотными составляющими спектра.

Чем больше в спектре высоких частот, тем круче, быстрее идет переходный процесс. Следовательно, чем шире полоса пропускания в АЧХ, тем быстрее будет идти переходный процесс.

Если в АЧХ появляется выброс, это говорит о том, что переходный процесс – колебательный, таким образом, по виду АЧХ можно оценивать качество переходных процессов.

Интегральные критерии оценки качества.

Здесь при оценке качества переходного процесса в качестве критерия оценки используют интеграл от переходного процесса.

Интегральные критерии оценки качества относятся к косвенным оценкам качества лишь исторически, т.к. раньше их считали по передаточным функциям по специальным формулам. Сейчас, при наличии персонального компьютера, интегральные оценки считаются по переходному процессу.

При монотонном переходном процессе в качестве интегральных оценок обычно используют линейные интегрированные оценки.

Такие интегральные оценки используются для монотонных и апериодических переходных процессов.

Чем больше , тем лучше переходный процесс.

Чем меньше , тем лучше переходный процесс

Для колебательных переходных процессов используют

или

В случае необходимости в интегральной оценке можно учитывать и скорость протекания переходного процесса, добавляя в подынтегральное выражение производную от выходной величины.

Минимум этой оценки соответствует приближению переходного процесса к экспоненциальному.

Интегральные оценки – относительные. Например, если , нельзя оценить , хороший этот процесс или плохой. Если при других параметрах САУ мы получим , то можно утверждать, что при этих параметрах переходный процесс лучше.

Критерий устойчивости Михайлова

Критерий был сформулирован А. В. Михайловым в 1938 г. и базируется на принципе аргумента функции комплексной переменной.

Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс F(j(o), который получается из характеристического полинома

заменой р наусо и имеет вид

Выделим в комплексе (4.17) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу:

При изменении со от 0 до оо конец вектора F(jco) выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом

Рис. 4.8. Пример годографа Михайлова

Михайлова (рис. 4.8). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (4.17), в точке с координатами («,;/)).

Формулировка критерия Михайлова: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении о) от 0 до 00 начинался на вещественной оси в точке а, и проходил последовательно против часовой стрелки п квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к оо » п-м квадранте.

С целью доказательства критерия проанализируем, как связаны корни характеристического уравнения с видом годографа Михайлова. Поскольку полином (4.16) можно представить как произведение простых сомножителей

характеристический комплекс (4.17) также принимает вид

Его можно представить в форме

Из выражений (4.18) и (4.21) следует, что

Если характеристическое уравнение системы содержит комплексно-сопряженные корни с нулевой вещественной частью, то при определенном значении частоты со = (о0 один из сомножителей в выражении (4.20) обратится в нуль. Следовательно, ЛДсо) = 0 и F(ja> = 0. В случае устойчивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть чисто мнимыми, следовательно, в нуль годограф Михайлова не обращается.

Определим теперь угол поворота вектора F(ja> при изменении частоты от 0 до Предварительно рассмотрим отдельные сомножители выражения (4.20) и угол поворота соответствующего вектора. При этом выделим несколько вариантов корней.

Рис. 4.9. Элементарный вектор, соответствующий устойчивому вещественному корню

Следовательно, устойчивому вещественному корню соответствует угол поворота элементарного вектора ср, = +л/2.

Рис. 4.10. Векторы, соответствующие устойчивым комплексно-сопряженным корням

Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно-сопряженных корней равен +л.

Если комплексно-сопряженные корни имеют положительную вещественную часть, то суммарный угол поворота равен -л.

Таким образом, в устойчивой системе каждый из п корней даст приращение фазы ср, = +л/2, а общий угол поворота /’(/со) согласно соотношению (4.23) равен +(со/2)», что и требовалось доказать. Вид годографа Михайлова для устойчивой и неустойчивой систем третьего порядка приведен на рис. 4.11.

Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты со = со0. Аналитически это условие можно записать в виде

Рис. 4.11. Годографы Михайлова устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем, п = 3

Здесь «м0 — частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости.

Пример 4.5. Проверит!» устойчивость системы, структурная схема которой представлена на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Структурная схема исследуемой системы

Решение

Здесь

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Запишем ее характеристический полином:

Заменой р на /со перейдем к выражению для годографа Михайлова:

Представим его в форме

С целью построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой частей при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу.

СО

1,22

1,41

СО

ЯД

—оо

/Дсо)

0,61

-оо

По данным таблицы построим годограф Михайлова (рис. 4.13).

Как видим, годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в нуль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива.

Рис. 4.13. Годограф Михайлова для примера 4.5

Пример 4.6. Проверить устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рис. 4.14. Данная система представляет собой упрощенную модель одного из сочленений руки робота-манипулятора. Исполнительным механизмом является двигатель постоянного тока (см. пример 2.4), а соединение с рукой осуществляется через редуктор.

Рис. 4.14. Структурная схема руки робота

Здесь ия — напряжение, подаваемое на якорь двигателя; со — угловая скорость вращения двигателя; 0, — угол поворота вала двигателя; 02 — угол поворота руки.

Решение

При отсутствии возмущений взаимосвязь между скоростью вращения двигателя со и входным напряжением (/„ определяет передаточная функция (см. пример 2.8)

а угол поворота вала двигателя 0, связан с его угловой скоростью вращения за-

висимостыо со = 0,. Ей соответствует на схеме вторая передаточная функция -.

Р

Редуктор представляет собой безынерционное звено с передаточной функцией 1

Wp(p) = где г — передаточное отношение редуктора.

Проверим устойчивость системы при следующих значениях параметров пе- редаточ пых фуикс си й:

Определим общую передаточную функцию сочленения руки робота:

Запишем характеристический полином:

Заменив р на /со, перейдем к выражению для годографа Михайлова которое представим в форме

Поскольку при со = 0 вещественная и мнимая части F(jw) одновременно обращаются в нуль, то годограф Михайлова начинается в начале координат. Это означает, что система находится на границе устойчивости.

Лабораторная работа № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РАЗОМКНУТЫХ

И ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Цель работы: рассмотреть структурную схему (рис. 1).

1. Для звена с передаточной функцией W3(p), выбираемого из табл. 1 прил. 3, построить переходной процесс и сделать заключения об устойчивости объекта; сделать заключение об устойчивости объекта по коэффициентам и корням характеристического уравнения; построить годограф Михайлова и сделать заключение об устойчивости объекта по критерию Михайлова; построить амплитудно-фазовую характеристику объекта без обратной связи и по критерию Найквиста оценить устойчивость замкнутой системы; определить запас устойчивости по амплитуде и фазе.


Рисунок 1. Структурная схема системы исследуемой системы

2. Провести анализ устойчивости разомкнутой и замкнутой систем (см. рис. 1), содержащих в прямой цепи, подключенные параллельно два звена, с передаточными функциями W1(p) и W2(p) соответственно, и последовательно соединенное с ними звено, с передаточной функцией W3(p), выбираемых из табл. 1 прил. 3. Проанализировать влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость системы (рис. 2).

4.1 Теоретические сведения

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Под устойчивостью понимают способность системы восстанавливать исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения.


Рисунок 2. Устойчивость систем: t1 – время внесения возмущения;

xв(t) – вынужденное движение системы;

xс(t) – свободное движение системы

Различают три типа систем:

1) устойчивые системы, которые, будучи выведены из состояния равновесия каким-либо внешним возмущением, после снятия этого возмущения возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные системы, которые после снятия возмущения приходят в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые системы, в которых не устанавливается равновесия после снятия возмущения.

Пусть система находилась в равновесии (см. рис. 2). В момент времени t1 под действием внешнего возмущения система была выведена из этого состояния. Движение системы под действием возмущения называют вынужденным xв(t). Затем, в некоторый момент времени t = 0 (принятое за начало отсчета), возмущение было снято или скомпенсировано. Начинается свободное движение системы xc(t). Переходный процесс h(t) = xв(t) + + xc(t). Причем, если – система устойчивая, – система нейтральная, – система неустойчивая.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработан ряд специальных методов, которые получили название критериев устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные – графоаналитическими. Но все они базируются на критерии Ляпунова.

Критерий Ляпунова.
Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является условие, когда все вещественные корни характеристического уравнения системы, а также действительные части комплексных корней, отрицательны. Если один из корней положителен – система неустойчива; если равен 0 – система находится на границе устойчивости (рис. 3). Мнимая ось является границей устойчивости.

Однако пользоваться этим условием на практике для оценки устойчивости реальных систем оказывается достаточно сложно, так как реальные промышленные системы описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, или содержат звенья чистого запаздывания, так что нахождение корней характеристического уравнения представляет трудную задачу.

Для таких систем применяются следующие критерии устойчивости: алгебраический критерий Рауса-Гурвица; частотный критерий Михайлова; амплитудно-фазо- частотный критерий Найквиста.

Алгебраический критерий устойчивости (Критерий Рауса-Гурвица) является наиболее распространенным алгебраическим критерием и применяется для определения устойчивости системы, когда известно характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение – знаменатель передаточной функции.

Формулировка критерия. Необходимое условие устойчивости линейной системы – все коэффициенты характеристического уравнения положительны; достаточное условие устойчивости линейной системы – все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны. Если хотя бы один из определителей равен 0 – система находится на границе устойчивости. Если какой-либо из определителей меньше 0 – система не устойчива.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид

.

Необходимое условие устойчивости: A0 > 0, A1 > 0, …, An-1 > 0, An > 0. Достаточное условие устойчивости:

Правило составления определителей. В главную диагональ определителя n-го порядка записываются все коэффициенты, начиная с первого. Столбцы матрицы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами с порядковыми номерами по возрастанию индексов, вниз – по убыванию индексов. Все элементы определителя, индексы которых больше порядка характеристического уравнения и меньше 0, заполняют нулями.

Пример. Исследовать устойчивость системы, характеристическое уравнение которого имеет вид: 3p4 + 4p3 + 4p2 + 2p + 1= = 0.

Необходимое условие устойчивости: A0= 3 >0, A1= 4 >0, A2= =4 >0, A3= 2 >0, A4= 1 >0.

Достаточное условие устойчивости:

Вывод. Все условия выполнены, система устойчива.

Частотный критерий Михайлова так же, как и алгебраический критерий, применяется в тех случаях, когда задано характеристическое уравнение системы:

.

Обозначим полином, стоящий в левой части характеристического уравнения, через D(p), т.е.

.

Заменим p на jw. Получим вектор характеристического полинома:

При изменении w от 0 до ¥ вектор D(jw) опишет кривую, называемую годограф Михайлова.

Формулировка критерия. Система устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ¥ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости, проходит последовательно против часовой стрелки n квадрантов плоскости, нигде не обращается в 0 и не проходит через начало координат (n – порядок характеристического уравнения системы). Если годограф проходит через начало координат комплексной плоскости, то система находится на границе устойчивости, если нарушается, хотя бы одно из условий критерия – система неустойчива. На рис. 4 приведены примеры годографов Михайлова D(jw).


а б

Рисунок 4. Годограф Михайлова: а — системы устойчивые;

б — системы неустойчивые

Пример. Определить устойчивость системы, характеристический полином которой имеет вид: D(p) = 2p3 + 9p2 + 13p + 6.

Заменяем р на jw, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

D(jw) = 2(jw)3 + 9(jw)2 + +13(jw) + 6 = –2jw3 – 9w2 + +13jw + 6 = (6 – 9w2) + j(13w – 2w3).

Выделяем действительную и мнимую части: Re(w) = 6–9w2; Im(w) =13w – 2w3.

Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥), строим годограф Михайлова (рис. 5):

1) w = 0, Re = 6, Im = 0 – годограф начинается на положительной части действительной оси Re;

2) Re = 0 Þ 6 – 9×w2 =0 Þ

– годограф начинает поворачиваться против часовой стрелки и пересекает мнимую ось Im;

Вывод. Все условия критерия Михайлова соблюдены, система устойчива.

Амплитудно-фазовый критерий Найквиста служит для определения устойчивости замкнутой системы, охваченной отрицательной статической обратной связью, по АФЧХ разомкнутой системы (рис. 6).


Статическая отрицательная обратная связь имеет передаточную функцию Wос = – 1.

Формулировка критерия. Замкнутая система устойчива, если разомкнутая система устойчива, и ее амплитудно-фазовая частотная характеристика не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (–1; j0). Если АФЧХ проходит через эту точку, то система находится на границе устойчивости, если охватывает – система неустойчивая (рис. 7).


У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, амплитудно-фазовой частотной характеристики не образуют замкнутого контура. При частоте w = 0 частотная передаточная функция астатической системы обращается в ¥, а ее амплитудно-фазовая частотная характеристика претерпевает разрыв. Поэтому в этом случае трудно решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как неясно, охватывает ли амплитудно-фазовая частотная характеристика W(jw) точку (–1; j0).

Для определения устойчивости систем с астатизмом любого порядка n достаточно построить одну ветвь амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы, соответствующую положительным частотам. Дополнить ее дугой окружности бесконечно большого радиуса, чтобы замкнуть АФЧХ на действительную ось. Затем применить критерий устойчивости Найквиста.

На рис. 8 приведена характеристика разомкнутой системы с астатизмом второго порядка n = 2. Замкнутая система в этом случае будет неустойчива, так как АФЧХ, дополненная дугой бесконечно большого радиуса, всегда охватывает точку с координатой (–1; j0) в отрицательном направлении (по часовой стрелке).


Удаление АФЧХ разомкнутой системы W(jw) от точки (–1; j0) определяет запас устойчивости, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла j = p – (y(wс)) для частоты wс, при которой ½W(wс)½=1; запас устойчивости по амплитуде определяется как величину отрезка оси абсцисс h, заключенного между критической точкой (–1; j0) и АФЧХ (рис. 9).


Правила записи передаточной функции системы, состоящей из нескольких звеньев, соединенных различными способами (см. теоретический материал к лабораторной работе № 2).

4.2 Алгоритм выполнения работы

1. Для звена W3(p) (см. рис. 1) построить переходной процесс при единичном ступенчатом воздействии, по которому определить его устойчивость.

2. Провести оценку устойчивости объекта по алгебраическим критериям: корневому и Рауса-Гурвица.

3. Провести оценку устойчивости объекта по частотному критерию Михайлова. Построить амплитудно-фазовую характеристику объекта без обратной связи и по критерию Найквиста, оценить устойчивость замкнутой системы. Если рассматриваемое звено устойчиво, определить запас устойчивости по амплитуде и фазе.

4. Аналогичным образом проанализировать устойчивость разомкнутой системы, состоящей из трех звеньев (см. рис. 1).

5. Аналогичным образом проанализировать устойчивость замкнутой системы, а также провести оценку устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста.

6. Проанализировать влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость замкнутой системы, используя один из критериев.

4.3 Примеры расчета

Пример 1. Для звена заданного передаточной функцией:

,

1) построить переходной процесс, сделать заключения об устойчивости объекта;

2) сделать заключение об устойчивости объекта по коэффициентам и корням характеристического уравнения;

3) построить годограф Михайлова, сделать заключение об устойчивости объекта по критерию Михайлова;

4) построить амплитудно-фазовую характеристику объекта без обратной связи и по критерию Найквиста, оценить устойчивость замкнутой системы, определить запас устойчивости по амплитуде и фазе.

Решение

1. Передаточная функция колебательного звена:

, откуда .

Передаточная функция для единичного ступенчатого воздействия имеет вид: .

Выполним обратное преобразование Лапласа (см. табл. 3, прил. 1) и получим переходной процесс для единичного ступенчатого воздействия:

.

Строим график переходного процесса при T = 25, x = 0,5, k = 8 (рис. 10)

Рисунок 10. Переходной процесс колебательного звена при T = 25, x = 0,5, k = 8

Из графика следует, что объект нейтрален.

2. Оценка устойчивости по алгебраическим критериям.

Корневой критерий Ляпунова

Характеристическое уравнение для передаточной функции колебательного звена: имеет 2 комплексных корня:, . Действительные части комплексных корней, отрицательны, следовательно объект является устойчивым.

Критерий Рауса-Гурвица

Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения:

, .

Так как все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны, объект является устойчивым.

3. Оценка устойчивости по частотным критериям.

Критерий Михайлова

В характеристическом полиноме D(p)=252·p2+2·0,5·25·p+1, заменяем р на jw, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

D(jw) = 625(jw)2 + 25(jw) + 1 = – 625w2 + 25jw + 1 == (1 – 625w2) + j×25w.


Рисунок 11. Годограф Михайлова для

Вывод. Годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ¥ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости при w = 0 Re = 1, Im = 0, проходит последовательно против часовой стрелки n квандрантов плоскости, нигде не обращается в 0 и не проходит через начало координат

(n = 2 – порядок характеристического уравнения системы). Следовательно, объект устойчив.

Критерий Найквиста

Для разомкнутой системы . Заменяем р на jw, освобождаемся от иррациональности в знаменателе и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

,

откуда

.

Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥[, строим АФЧХ колебательного звена (см. рис. 12).

Вывод. Разомкнутая система устойчива, а так как амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (–1; j0), следовательно замкнутая система будет тоже устойчива.


Рисунок 12. Амплитудно-фазовый частотный критерий Найквиста для консервативного звена

Запас устойчивости по фазе:

при wс = 0,116,

тогда

а j =p – (y(wс)) = 180 – 111,37 = 68,63 град.

Запас по амплитуде: h = 1 – отрезок, заключенный между критической точкой (–1; j0) и АФЧХ при пересечении ею оси абсцисс.

Решение

1. Передаточная функция разомкнутой системы:

.

2. Алгебраические критерии.

Корневой критерий Ляпунова

Характеристическое уравнение:

имеет 2 комплексных корня: , и один нулевой корень p3 = 0. Действительные части комплексных корней, отрицательны, следовательно, разомкнутая система находится на границе устойчивости.

Критерий Рауса-Гурвица

Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения

.

, ,

.

Так как один определитель (D3), составленный из коэффициентов характеристического уравнения нулевой, а два положительны, разомкнутая система находится на границе устойчивости.

3. Частотные критерии.

Критерий Михайлова

В характеристическом полиноме

D(p)=p×(252p2+2×0,5×25p+1),

заменяем р на jw, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

D(jw) = (625(jw)2 + 25(jw) + 1)×(jw) = – 625jw3 – 25w2 + 1jw = – 25w2 + j×(w – 625w3).

Выделяем действительную и мнимую части:

Re = – 25w2; Im = w – 625w3.

Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥[, строим годограф Михайлова (рис. 13).

Рисунок 13. Годограф Михайлова для

Годограф Михайлова при изменении w =[0; +¥) начинается в начале координат комплексной плоскости, проходит против часовой стрелки по квадрантам плоскости и уходит в бесконечность в третьей четверти. Следовательно, разомкнутая система находится на границе устойчивости.

4. Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной единичной обратной связью равна:

.

5. Алгебраические критерии.

Корневой критерий Ляпунова

Так как характеристическое уравнение исследуемой системы достаточно трудоемко в решении анализ устойчивости по корневому критерию проводить не будем, ограничившись критерием Рауса-Гурвица.

Критерий Рауса-Гурвица

Все коэффициенты характеристического уравнения положительны — необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения

,

,

Так как один определитель (D1), составленный из коэффициентов характеристического уравнения, положителен, а два отрицательны, замкнутая система неустойчива.

6. Частотные критерии.

Критерий Михайлова

В характеристическом полиноме

,

заменяем р на jw, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

D(jw) = 625(jw)3 + 25(jw)2 + 9(jw) + 4 = – 625jw3 – 25w2 + 9jw + 4 = (– 25w2 + 4) + j(w×(9 – 625w2).

Выделяем действительную и мнимую части:

Re = –25w2+ 4; Im = w×(9 – 625w2).

Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥[, строим годограф Михайлова (рис. 14):


Рисунок 14. Годограф Михайлова для

Годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ¥ начинается на положительной части действительной оси комплексной плоскости, не проходит последовательно против часовой стрелки 3 квадранта плоскости, обращается в 0 и уходит в бесконечность в третьей четверти.

Следовательно, замкнутая система неустойчива.

Критерий Найквиста

По амплитудно-фазовому критерию Найквиста устойчивости замкнутой системы, охваченной отрицательной статической обратной связью, определяется по АФЧХ разомкнутой системы. Для разомкнутой системы . Заменяем р на jw, освобождаемся от иррациональности в знаменателе и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

,

откуда

Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥), строим АФЧХ разомкнутой системы, а, поскольку, система содержит интегрирующее звено, то есть АФЧХ имеет разрыв, дополняем годограф дугой –p/2, начинающейся на положительной полуоси и проходящей по часовой стрелке до пересечения с годографом (пунктирная линия на рис. 15):

Рисунок 15. Годограф разомкнутой системы для анализа устойчивости по критерию Найквиста

Так как разомкнутая система находится на границе устойчивости и ее годограф не охватывает точку (–1; j0), то замкнутая система является неустойчивой.

7. Проанализируем влияние соотношения коэффициентов звеньев на устойчивость замкнутой системы, используя критерий Михайлова.

Характеристический полином исследуемой системы

.

Заменяем р на jw, избавляемся от старших степеней j и группируем слагаемые, содержащие и не содержащие j:

D(jw) = T2(jw)3 + 2×xT(jw)2 + (jw)×(1+kkп) + kkи = – T2jw3 – 2×xT w2 + (jw)×(1+kkп) + kkи = (–2×xT w2 + kkи) + j(w×((1+kkп) – T2w2).

Выделяем действительную и мнимую части:

Re(ω)= (–2×xTw2 + kkи); Im(ω) = (w×((1+kkп) – T2w2).

Задаваясь значениями частоты из интервала [0; ¥[, строим годографы Михайлова при изменении по отдельности каждого из коэффициентов (рис. 16):

Рисунок 16. Годограф Михайлова при различных значениях коэффициентов

При увеличении k годограф сдвигается по оси абсцисс вправо и наоборот. При уменьшении T годограф как бы раскручивается, при увеличении наоборот. При увеличении x наклон годографа к оси абсцисс уменьшается. При увеличении kп, становится больше выпуклость годографа, при уменьшении — годограф сглаживается. При увеличении kи наклон годографа к оси абсцисс увеличивается.

В результате варьирования коэффициентов звеньев получили устойчивую замкнутую систему. Подтвердим устойчивость системы методом Рауса-Гурвица. Так как все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то необходимое условие устойчивости объекта выполнено. Для проверки достаточного условия составим определители характеристического уравнения:

,,

Так как все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения положительны, то замкнутая система устойчива.

4.4 Контрольные вопросы и задания

1. Что такое устойчивость САР?

2. Определение устойчивости по временным характеристикам.

3. Какие методы используются для определения устойчивости САР?

1. Критерий Ляпунова.

2. Критерий Рауса-Гурвица.

3. Критерий Михайлова.

4. Критерий Найквиста.

5. Определение устойчивости систем с астатизмом по критерию Найквиста.

6. Что такое запас устойчивости? Как определить запас устойчивости?

Пример 1. Передаточная функция системы имеет вид:

Проверить систему на устойчивость. Исследовать устойчивость системы с помощью критерия Гурвица.

Решение:

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

Необходимое условие устойчивости системы автоматического управления: все корни характеристического уравнения должны быть левыми (располагаться во второй или третьей четвертях координатной плоскости). В данном случае необходимое условие выполняется.

Исследование устойчивости системы с помощью критерия Гурвица:

Составим определители Гурвица:

Все определители Гурвица больше нуля, следовательно система устойчива.

Пример 2. Определить устойчивость системы, представленной на рис. 6.12 с помощью критериев Найквиста и Михайлова.

Рис. 6.12. Структурная схема

Решение:

Находим корни характеристического уравнения :

p1=-1/6;

p2=-1/3;

Оба корня лежат по левую сторону от мнимой оси, значит разомкнутая система устойчива.

Критерий Найквиста:

Строим АФЧХ разомкнутой системы (рис. 6.13).

Рис. 6.13. АФЧХ

Вывод: чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами (-1; j0). На рис. 6.13 видно, что система не охватывает точку (-1; j0), значит система является устойчивой.

Критерий Михайлова:

Берем характеристическое уравнение системы:

Рис. 6.14. Годограф Михайлова

Вывод:

Для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении w от 0 до ? вектор Михайлова D(jw) повернулся на угол .

Полученный график соответствует устойчивому состоянию системы (рис. 6.7), так как при изменении w от 0 до ? вектор Михайлова повернулся на угол . В данном случае n=2 (порядок характеристического уравнения).

Пример 3. Колебательное звено с передаточной функцией

охвачено отрицательной обратной связью через интегрирующее звено (рис. 6.15). Определить устойчивость системы с помощью критериев Найквиста и Михайлова при следующих условиях:

Рис. 6.15. Структурная схема

Решение:

Передаточная функция системы:

Подставляем значения из условия задачи, получаем:

Критерий Найквиста:

Берем передаточную функцию разомкнутой системы , строим график АФЧХ (рис. 6.16).

Рис. 6.16. АФЧХ

Вывод: чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от нуля до бесконечности не охватывала точку с координатами (-1; j0). На рис. 6.16 видно, что система не охватывает точку (-1; j0), значит система является устойчивой.

Критерий Михайлова:

Запишем характеристическое уравнение системы:

Вводим функцию комплексной переменной, заменяя p на p=j?. Получаем:

На комплексной плоскости график мнимой части (Im) от реальной (Re) вектора H(jw) опишет при изменении w от 0 до ? кривую – годограф Михайлова (рис. 6.17).

Рис. 6.17. Годограф Михайлова

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Критерий устойчивости Михайлова относится к частотным критериям и используется для исследования устойчивости замкнутых систем. Рассмотрим замкнутую систему управления структурная схема которой имеет вид

Пусть передаточная функция разомкнутой системы равна

и пусть — степень полинома , — степень полинома .

Передаточная функция замкнутой системы

Полином — имеем степень -степень полинома

Составим характеристический полином замкнутой системы

Если подставим в , то получим комплексное число

В последнем равенстве выделим действительную и мнимую части комплексного числа:

,

На плоскости и комплексное число изображается вектором (см. рис. 2). При из изменении частоты от 0 до вектор изменяется по величине и направлению. Конец вектора в комплексной плоскости описывает некоторую кривую, которая называется годографом Михайлова.

Формулировка критерия Михайлова.

Для того, чтобы замкнутая система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинался при на вещественной положительной полуоси, обходил последовательно квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки, где — порядок характеристического полинома.

Заметим, что для устойчивых систем автоматического управления годограф Михайлова начинается при на вещественной положительной полуоси, поскольку, поскольку все коэффициенты характеристического полинома положительны и .

Кроме того, для устойчивых систем фаза с ростом частоты должна возрастать монотонно, т.е. вектор должен поворачиваться только против стрелки, поскольку с ростом частоты монотонно возрастают имеющие одинаковые знаки фазы элементарных векторов ,являющиеся слагаемыми вектора .

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда плавную спиралевидную форму, причём конец её () уходит в бесконечность в том квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического полинома.

Типовые кривые Михайлова для устойчивых систем, имеющих характеристический полином степеней , , , и представлены на рисунке 3 ( — во всех случаях приняты одинаковыми).

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньшим, чем

Примеры годографов Михайлова для неустойчивых систем:

Другая формулировка критерий устойчивости Михайлова.

Система автоматического управления устойчива тогда и только тогда, когда уравнения и имеют все действительные и перемежающиеся корни, причём общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения и при выполняется неравенства и .

Устойчивая система:

Неустойчивая система:

Это условие устойчивости системы получило также название условие перемежаемости корней.

Правило исследования устойчивости систем автоматического управления с помощью критерия Михайлова. Для исследования устойчивости линейных систем автоматического управления с помощью критерия Михайлова надо:

Преобразовать структурную схему исследуемой системы к расчётной структурной схеме

и определить передаточную функцию разомкнутой системы .

По передаточной функции разомкнутой системы получить передаточную функцию замкнутой системы

и вычислить характеристический полином замкнутой системы

3. В характеристическом полиноме подставить

и выделить в комплексном числе действительную и мнимую части

Используя полученные выражения для и строим годограф Михайлова, изменяя значения частоты от 0 до .

5. Используя критерий Михайлова, по построенному годографу определяем устойчивость системы управления.

Пример. С помощью критерия Михайлова определить устойчивость замкнутой системы с передаточной функцией

; , .

Решение. Характеристический полином замкнутой системы:

; .

; .

, .

Годограф Михайлова.

Условие перемежаемости корней:

Система устойчива.

Определение границ устойчивости.

Характеристический полином замкнутой системы автоматического управления

Система автоматического управления будет находиться на границе устойчивости, если характеристический полином замкнутой системы имеет пару чисто мнимых корней , , а остальные корня имеют отрицательные действительные части.

Подставим в характеристический полином и выделим действительную и мнимую части комплексного числа :

(т.к. , то считаем, что это корень характеристического уравнения).

Если система находится на границе устойчивости, то годограф Михайлова для системы проходит через начало координат (см. рис. 7).

Решение системы уравнений , позволяет установить взаимосвязь параметров замкнутой системы и частоты гармонических колебаний , для случая, когда система будет находиться на границе устойчивости. Если при изменении параметров годограф пойдёт так, как показано на рисунке (кривая 1), то система будет устойчивой, если так как на кривой 2 — то система будет неустойчивой.

Пример. С помощью критерия устойчивости Михайлова определить границу устойчивости для системы расчётная структурная схема которой показана на рисунке. устойчивость автоматический линейный постоянство

Решение. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Характеристическое уравнение

Полагая характеристическое уравнение приобретает вид:

,

,

Решение этой системы даёт уравнение границы устойчивости.

Уравнение границы устойчивости

Функция двух переменных и — параметров системы. Изменим значение коэффициента усиления на , т.е. , а значение оставим без изменения. Тогда для имеем

Т.к. (),

то в зависимости от знака годограф может занять одно из 2-х положений

Если , то годограф Михайлова охватывает начало координат и система устойчива. Если , то годограф Михайлова не охватывает начало координат, критерий Михайлова не выполняется и система устойчива. Это значит, что для обеспечения устойчивости системы коэффициент усиления системы должен удовлетворять неравенству . Таким образом, система устойчива, если

Критерии устойчивости Михайлова

Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечно­сти повернулся против часовой стрелки, начиная с вещественной оси, на число квадрантов равное порядку характеристического уравнения, последовательно проходя эти квадранты. Последовательность определения устойчивости:

в характеристическом уравнении заменяя оператор р на jω получают комплексный полином, представляющий собой вектор на комплексной плоскости;

разделяются вещественная и мнимая части вектора;

строится декартовая система координат. Ось абсцисс – вещественная часть вектора. Ось ординат — мнимая часть вектора;

в векторе задаются значения  от нуля до бecконечности и вычисляются отдельно вещественная и мнимая части этого вектора;

полученные значения вещественной и мнимой частей откладывают в виде точек на декартовой системе координат, соединяют плавной кривой и получают годограф вектора на комплексной плоскости или годограф Михайлова;

по виду прохождения годографа Михайлова судят об устойчивости данной системы.

Для устойчивости САУ годограф должен последовательно пройти все квадраты и в «n» уйти в бесконечность, где n-порядок характеристического уравнения.

ПРИМЕР 3. Определить устойчивость САУ с помощью критерия Михайлова по характеристическому уравнению примера 1.

Решение. 1. Получают вектор на комплексной плоскости:

2. Выделяют вещественную и мнимую части:

Все результаты вычисления показаны в таблице 2 и рис. 1.

Таблица 2

Значения U() иjV() при измененииот 0 до 10

Рис. 1. Годограф Михайлова к примеру 3

Ответ: годограф Михайлова системы пятого порядка при изменении часто­ты от нуля до бесконечности последовательно проходит против часовой стрелки по всем квадрантам, начиная с вещественной оси, и в пятом квадран­те при >1.85 уходит в бесконечность. Значит, данная САУ устойчива.

Годограф Михайлова проще построить по особым точкам. Особые точки — это пересечение годографа с осями координат. При пересечении с осью абсцисс мнимая часть характеристического вектора равна нулю. При пересечении с осью ординат вещественная часть вектора равна нулю. Оп­ределив эти точки пересечения, более просто строится годограф Михайлова. Причем, количество этих точек равно порядку характеристического уравне­ния. Так для системы пятого порядка определяется пять точек.

ПРИМЕР 4. Построить годограф Михайлова по особым точкам для вектора на комплексной плоскости примера 3.

Решение. 1. Определяют значение частот, при которых вещественная часть вектора на комплексной плоскости равна нулю.

U();

; ;

Примечание: для построения годографа Михайлова берут только положительное значение .

2. Вычисляют значение мнимой части вектора на комплексной плоскости при этих частотах.

3. Определяют значение частот, при которых мнимая часть вектора на комплексной плоскости равна 0 .

  1. Вычисляют значения вещественной части вектора на комплексной плоскости при этих частотах.

  1. Результаты вещественной и мнимой частей характеристического уравнения для особых точек показаны в таблице 3.

Таблица 3

Результаты вычисления U() иV() для особых точек

№ точки

0,39

0,76

1,47

1,84

U()

-0,7

V()

По результатам вычисления строят годограф Михайлова.

Рис. 2. Годограф Михайлова к примеру 4, построенный по особым точкам

Ответ: годограф Михайлова, построенный по особым точкам, полностью совпадает с годографом, построенным в примере 3. Система устойчивая.

Если определены частоты, при которых вещественная и мнимая части характеристического уравнения равны нулю, то нет необходимости строить годограф Михайлова для определения устойчивости данной системы. Можно использовать следствие из критерия Михайлова.

Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения вещественной и мнимой части характеристического уравнения с увеличением сочередовались.

Согласно этому следствию нет необходимости вычислять значение мнимой и вещественной частей характеристического уравнения при особых точках. Достаточно проанализировать полученные частоты, при которых вещественная или мнимая части уравнения равны нулю.

Примечание: если при определении частот, при которых вещественная или мнимая части характеристического уравнения равны нулю, получают комплексное число, то это значит, что система неустойчива.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *