Энергетический смысл основного уравнения гидростатики

2.4.1. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики

  • •Г.И. Скоморохов
  • •Введение
  • •Основные физические свойства жидкостей
  • •1.1. Определение жидкости
  • •1.2. Классификация сил, действующих в жидкости
  • •1.3. Основные физические свойства жидкостей
  • •Гидростатика
  • •2.1. Основные понятия гидростатики
  • •2.1.2. Давление абсолютное, избыточное, вакуум
  • •2.1.3. Свойства гидростатического давления
  • •2.1.4. Основное уравнение гидростатики. Закон Паскаля
  • •2.1.5. Поверхности уровня
  • •2.2. Дифференциальные уравнения гидростатики
  • •2.2.2. Основное дифференциальное уравнение гидростатики
  • •2.2.3. Дифференциальное уравнение поверхности
  • •2.3. Основные задачи гидростатики
  • •2.4. Основное уравнение гидростатики из уравнений Эйлера. Закон распределения давления
  • •2.4.1. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики
  • •2.4.2. Энергетическая интерпретация основного уравнения гидростатики
  • •2.5. Применение закона Паскаля в технике
  • •2.5.1. Приборы для измерения давления
  • •2.5.2. Простейшие гидравлические машины.
  • •2.5.1. Приборы для измерения давления
  • •2.5.2. Простейшие гидравлические машины. Гидравлический пресс. Мультипликатор
  • •2.6. Сила давления на плоскую стенку. Гидравлический парадокс
  • •2.7. Центр давления
  • •2.8. Сила давления жидкости на криволинейные стенки
  • •2.9. Закон Архимеда
  • •2.10. Относительное равновесие жидкости
  • •2.10.1. Движение сосуда с жидкостью прямолинейно в произвольном направлении с постоянным ускорением
  • •2.10.2. Движение сосуда с жидкостью вертикально вниз с постоянным ускорением
  • •2.10.3. Равномерное вращение цилиндрического сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси
  • •2.10.4. Равновесие жидкости в поле центробежных сил при нулевой или слабой гравитация
  • •2.11. Формы поверхностей раздела между жидкостью и газом (паром) в условиях динамической невесомости
  • •3. Гидродинамика
  • •3.2. Виды движения жидкости
  • •3.3. Линия тока и траектория частицы, элементарная струйка
  • •3.4. Закон сохранения массы. Расход. Уравнение неразрывности
  • •3.5. Живое сечение. Смоченный периметр. Гидравлический радиус
  • •3.6. Уравнение количества движения для потока жидкости
  • •3.7. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в форме уравнений Эйлера
  • •3.8. Основное дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости
  • •3.9. Уравнение Бернулли для струйки идеальной несжимаемой жидкости
  • •3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли.
  • •3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли
  • •3.9.1. Геометрический смысл уравнения Бернулли. Трубка Пито
  • •3.9.2. Энергетический смысл уравнения Бернулли
  • •3.10. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости
  • •3.11. Уравнение Бернулли для потока вязкой несжимаемой жидкости
  • •3.12. Классификация гидравлических потерь. Гидравлический и пьезометрический уклоны
  • •3.13. Применение уравнения Бернулли в технике
  • •3.14. Основы гидродинамического подобия
  • •3.15. Режимы течения жидкости
  • •3.16. Критерий Рейнольдса и гидравлический радиус
  • •4. Ламинарное течение жидкости
  • •4.2. Расход при ламинарном режиме в круглой трубе. Формула Пуазейля. Коэффициент Кориолиса 
  • •4.3. Потери на трение. Формула Дарси-Вейсбаха
  • •4.4. Влияние теплообмена на профиль скоростей и потери по длине
  • •4.5. Начальный участок ламинарного потока
  • •4.6. Потери на трение при ламинарном течении в каналах некруглой формы
  • •4.7. Ламинарное течение в зазорах
  • •4.7.1. Течение через зазор между параллельными стенками под действием умеренного перепада давлений
  • •4.7.2. Течение через зазор при больших перепадах давления
  • •5. Турбулентное движение жидкости
  • •5.1. Пульсация местной скорости в турбулентном потоке
  • •5.2. Распределение осреднённых местных скоростей в турбулентном потоке
  • •5.3. Гидравлически гладкие и шероховатые трубы
  • •5.4. Потери по длине в гидравлически гладких трубах
  • •5.6. Влияние шероховатости на потери. График Никурадзе
  • •Заключение
  • •Библиографический список
  • •Оглавление

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЯ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ГИДРОСТАТИКИ

Преобразуем уравнение (2.2), записав значение (рис. 2.6).

Для любой точки, например т. А,

где z — координата т. A; — координата свободной поверхности.

Получим

Разделим обе части полученного уравнения на величину и сделаем перестановки слагаемых:

(2.3)

Рис. 2.6. Геометрическое пояснение основного уравнения гидростатики

Уравнение (2.3) также носит название основного уравнения гидростатики, но оно представлено в другой форме записи.

Каждый член этого уравнения имеет размерность метр: м; м. Значит, уравнение (2.3) можно представить как уравнение высот, в котором

— высота положения точки (геометрический напор);

— высота, соответствующая давлению (напор).

Так как и для рассматриваемого резервуара — величины конкретные, можно записать

(2.4)

Величину Н называют гидростатическим (потенциальным) напором. Эта величина одинакова для любой точки жидкости, находящейся в рассматриваемом резервуаре с постоянными и .

Плоскость xOz называют плоскостью сравнения или начальной плоскостью.

Но уравнение (2.3) легко выразить в единицах энергии, для этого достаточно умножить каждый член уравнения на 1 Н (ньютон), тогда все слагаемые будут выражены в единицах энергии (Дж=Н м). Значит, каждое слагаемое уравнения (2.3) представляет собой вид потенциальной энергии, так как жидкость находится в покое:

— удельная потенциальная энергия положения;

— удельная потенциальная энергия давления;

Н — полный запас удельной потенциальной энергии.

Слово «удельная» означает энергию, приходящуюся на единицу веса жидкости (на 1 Н). Следует отметить, что в гидравлике слово «напор» означает удельную энергию жидкости и может применяться наряду со словом «высота», так как имеет ту же размерность .

Гидростатический напор и энергетический закон для жидкости, находящейся в равновесии

При выводе основного уравнения гидростатики выше (см. параграф 3.6) было получено дифференциальное уравнение вида

Прежде чем интегрировать это уравнение, представим его в следующем виде:

или

Проинтегрировав, получим

Величинапредставляет ту высоту, на которую поднялась бы жидкость в пьезометре, если бы верхний конец его находился под нулевым давлением р = 0 (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Схема к определению гидростатического и пьезометрического напора

Таким образом, это есть высота, соответствующая абсолютному давлению в жидкости. Она называется приведенной (высота h2). A z = z2 – геометрическая высота выбранной точки над условной плоскостью сравнения 0–0. Отсюда

(3.22)

Уравнение (3.22) показывает, что сумма двух высот z2 и p/γ для любой точки жидкости остается постоянной. Эта сумма называется абсолютным (полным) гидростатическим напором.

Если конец пьезометра соединить с атмосферой при давлении В, то уравнение (3.22) примет вид

(3.23)

Сумма z1 и (р-В)/γ называется гидростатическим напором, а величина– пьезометрическим напором.

Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте Нр, называется плоскостью гидростатического, или пьезометрического, напора, a Hs – плоскостью абсолютного (полного) напора. Очевидно, что Нр < Hs.

Выражениям (3.22) и (3.23) можно придать простой энергетический смысл. Рассмотрим частицу жидкости массой т. Ее потенциальная энергия относительно плоскости 0–0 будет mgz. Кроме того, под действием давления р частица может подняться на высоту , т.е. обладает потенциальной энергией давления, равной

Таким образом, полный запас потенциальной энергии частицы будет

Разделив последнее соотношение на mg, получим

где

Отсюда следует, что высота г есть удельная потенциальная энергия положения частицы, а р/γ – удельная потенциальная энергия давления.

Величина

является полной удельной потенциальной энергией частицы.

Последнее соотношение называется энергетическим законом для жидкости, находящейся в равновесии.

Для всех точек данного объема покоящейся жидкости удельная потенциальная энергия одинакова. Это утверждение справедливо как для полного (Hs), так и для пьезометрического (Нp) напоров.

Интегрирование уравнений Эйлера для случая относительного покоя жидкости

Пусть жидкость находится в емкости, которая движется прямолинейно и равноускоренно но горизонтальной плоскости с ускорением а (рис. 3.13).

Жидкость при движении находится под действием массовой силы тяжести и силы инерции от горизонтального перемещения. Соответствующие проекции массовых сил будут равны X = -a; Y = 0; Z = -g.

Уравнение (3.14), учитывая массовые силы, примет вид

Рис. 3.13. Схема сил, действующих на жидкость, при движении емкости по горизонтальной плоскости

Переменные в уравнении разделены. Интегрируя его, получаем

(3.24)

где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий, которые в данном случае имеют вид р = p0 при х = 0 и z = 0. Отсюда

(3.25)

Подставляя равенство (3.25) в соотношение (3.24), находим

(3.26)

Уравнение (3.26) для свободной поверхности, где р = р0, примет вид

Отсюда

(3.27)

Так как отношение a/g является константой, уравнение (3.27) будет уравнением прямой линии. Это означает, что плоскость, проведенная через оси х и z, будет пересекать наружную поверхность жидкости по линии АВ.

Отношение a/g представляет тангенс угла наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости:

Отсюда

Запишем уравнение (3.26) для некоторой точки М в виде

или

(3.28)

Согласно равенству (3.27) первый член в правой части уравнения (3.28) будет , так как точка М’ находится на поверхности.

Отсюда, учитывая, что, а zM=-b, получаем

или

(3.29)

Соотношение (3.29) представляет формулу гидростатического давления (3.21). Таким образом, давление в любой точке жидкости, движущейся вместе с емкостью прямолинейно и равноускоренно, определяется по формуле гидростатического давления, где h – глубина погружения точки под поверхностью жидкости. Например, давление в точке D будет

Рассмотрим жидкость, находящуюся в цилиндрической емкости, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (рис. 3.14).

Центробежная сила на единицу массы

где V – окружная скорость; r – расстояние от оси цилиндра до точки А.

Проекции массовых сил на соответствующие оси координат будут

Рис. 3.14. Схема сил, действующих на жидкость, при вращении емкости вокруг вертикальной оси

Подставляя их значения в соотношение , получаем

Интегрируя, находим

где С – постоянная интегрирования. Так как при х=0, у=0, z=0 р=p0, то С=р0. Учитывая, что х2 + у2 = г2, находим

(3.30)

По формуле (3.30) можно найти давление в любой точке М жидкости по глубине емкости. Для нахождения поверхностей равного давления положим dp = 0, тогда будем иметь

Интегрируя, получаем

Отсюда

Следовательно, поверхности равного давления представляют собой параболоиды вращения.

При r = 0, z = 0 получаем С = 0 для уравнения свободной поверхности. Тогда уравнение свободной поверхности будет

Найдем давление в некоторой точке М, расположенной на глубине h от поверхности. Обозначив аппликату свободной поверхности через z0 (точка М’), получим

Подставляя это выражение в формулу (3.30), находим

или

где h = z0 + b. Таким образом, вновь получили формулу гидростатического давления (3.21).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *