Сечение конуса плоскостью общего положения

Сечение поверхности конуса плоскостью общего положения

При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности.

Ниже мы рассмотрим задачу, в которой требуется построить проекции и натуральную величину сечения конуса ω плоскостью α . Начальные данные представлены на рисунке ниже.

Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.

Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П2. Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали fγ. Точки 1 и 2 пересечения fγ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.

Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно h0α введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.

Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса

Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали hδ. Строим горизонтальные проекции окружности и прямой hδ. Их пересечение определяет точки 5′ и 6′ малого диаметра эллипса.

Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7′ и 8′ определяются аналогично 5′ и 6′, как это показано на рисунке.

Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.

Построение натуральной величины сечения методом совмещения

Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью. В качестве оси вращения будем использовать след h0α. Его положение в процессе преобразований останется неизменным.

Построение начинается с определения направления фронтального следа f1α. На прямой f0α возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E’. Из E’ опустим перпендикуляр к h0α. Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом XαE» определяет положение точки E’1. Через Xα и E’1 проводим f1α.

Сечение прямого кругового конуса

В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка — окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.

Сечение прямого кругового конуса

Сечение прямого кругового конуса дает — окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Сечение прямого кругового конуса дает — эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Построим эллиптическое сечение прямого кругового конуса ω плоскостью α, занимающей общее положение.

Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Сечение прямого кругового конуса

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное — фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω. Сечение прямого кругового конуса плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка. На следе плоскости αV берем произвольную точку 3″ замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V1, получая точку 3″1. Через нее и пройдет след αV1. Линия сечения конуса ω — точки A»1, E»1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V1 ее след γ3V1. Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω. Фронтальные проекции искомых точек C» и K» построим как точки принадлежащие секущей плоскости α.

Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ5H и находим горизонтальную проекцию F`искомой точки. Также, плоскость γ5H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f»). Пересечение f» с линией связи дает точку F». Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G — одну из характерных точек линии пересечения. Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.

Сечение прямого кругового конуса дает — параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.

При построении проекций кривых — конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD).

Сечение прямого кругового конуса

В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A»). Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S`. По известному =RS` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R.

Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:

Сечение прямого кругового конуса

— с помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ1H и γ2H.

Сначала определятся фронтальные проекции точек F», G» — на пересечении образующих S»1″, S»2″ и следа секущей плоскости αV. На пересечении линий связи с γ1H и γ2H определяться F`, G`.

Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D», E» и D`, E`.

— с помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ3V и γ4V.

Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H, будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.

Сечение прямого кругового конуса дает — гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Сечение прямого кругового конуса +

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *