Как найти центр треугольника

Центр треугольника

Центры треугольника

В треугольнике можно определить несколько понятий «центра». Это ортоцентр, инцентр и центр тяжести (или центроид).

Инцентр треугольника – это точка пересечения биссектрис треугольника. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника (рис. 1).

Ортоцентр треугольника – это точка пересечения трех высот треугольника или их продолжений (рис. 2). Ортоцентр может находиться внутри треугольника (для остроугольных треугольников), вне треугольника (для тупоугольных треугольников) или находиться в вершине прямого угла (для прямоугольных треугольников).

Центр тяжести (центроид) треугольника – точка пересечения медиан треугольника (рис. 3). Центр тяжести делит медиану в отношении , считая от вершины

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В равнобедренном треугольнике (), точка – ортоцентр. Высота см, а отрезок см. Найти площадь треугольника .
Решение Высота в равнобедренном треугольнике является медианой, т.е. . Из подобия треугольников и следует, что

откуда . Из прямоугольного треугольника

Из подобия треугольников и следует, что

или

откуда см.

Тогда площадь треугольника равна

Ответ см

ПРИМЕР 2

Задание Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами и .
Решение Рассмотрим треугольник . Найдем координаты середин сторон и соответственно:

Найдем уравнения медиан и :

Найдем точку пересечения этих прямых как решение системы уравнений

Таким образом, имеем точку .

Ответ

Как найти центр тяжести треугольника?

⇐ ПредыдущаяСтр 101 из 157

10) А что такое вообще центр тяжести плоской фигуры? Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться.

Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта №7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу? Можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо отношение

Нам известны точки .
По формулам деления отрезка в данном отношении:

Таким образом, центр тяжести треугольника:

Заключительный пункт урока:

11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Для понимания решения необходимо хорошо изучить статью Линейные неравенства. Системы линейных неравенств.

Для удобства перепишем найденные уравнения сторон:

Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:

Если не понятно, что к чему, пожалуйста, вернитесь к материалам про линейные неравенства.

Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство .

И, наконец, для прямой составим многочлен , в который подставим координаты точки : . Таким образом, получаем третье неравенство: .

Итак, треугольник определяется следующей системой линейных неравенств:

Приехали.

Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна. Пунктов решения будет, конечно, не одиннадцать, а меньше, причём встретиться они могут в самых различных комбинациях. В этой связи вам придётся самостоятельно протягивать логическую цепочку решения. А вообще, всё довольно однообразно.

Может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) Ненасытные читатели могут ознакомиться с решениями других задач по аналитической геометрии. Подходящий архив можно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения, которая освещена в самом начале урока. А теперь можно немного расслабиться, заданий для самостоятельного решения я не придумал. Кандидатур было много, но по основным приёмам решения все они до неприличия похожи на разобранные примеры.

Приятных треугольных сновидений!

Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Линии второго порядка.
Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность

После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка. Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея:

Date: 2015-04-23; view: 784; Нарушение авторских прав

Понравилась страница? Лайкни для друзей:

Центроид треугольника

Субтитры

Привет! Давайте быстренько повторим то, что мы знаем про медианы в треугольниках, и выучим их новое интересное свойство, которое нам пригодится в будущем для решения задач. Нарисуем произвольный треугольник. Вот так хорошо. Медиана треугольника (а вообще в треугольнике три медианы) – это линия, соединяющая вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Середина будет находиться примерно здесь. Эта половинка равна этой. Так что это медиана. Почти попала. Три вершины – три медианы. Возьмем эту вершину и соединим с серединой этой стороны (примерно здесь). Так что эта голубая линия – это наша вторая медиана. Она кривовата, но думаю, вы поняли. То же самое мы можем сделать здесь: рисуем прямую, соединяющую третью вершину с серединой противолежащей стороны. Ее середина лежит здесь… и рисуем линию… сейчас я перерисую ровнее… ладно, думаю, вы поняли. Итак, это все медианы треугольника. Что мы должны о них знать? Все три медианы всегда пересекаются в одной точке. Это и есть наше свойство: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется «центроид». И если бы это был реальный треугольник, сделанный, например, из металла, и вы бы его бросили… да и вообще, даже перед броском, эта точка была бы центром тяжести. Представим, что это все же металлический треугольник, у которого центроид находится здесь. Тогда его центр масс будет совпадать с центроидом при условии, что треугольник имеет однородную плотность. Так что, если вы его бросите, он будет вращаться вокруг этой точки (при условии, конечно, что ему было дано какое-то вращательное движение). Треугольник будет вращаться вокруг центроида, вокруг центра тяжести. Но сейчас наша цель – рассматривать не физические свойства металлического треугольника, а узнать о свойствах его медиан. Свойство состоит в том, что если мы возьмем любую медиану, то расстояние от центроида до середины противолежащей стороны (это расстояние) будет равно половине этого расстояния. Это расстояние равно а, а это равно 2а. Посмотрим на это иначе: это расстояние – 2/3 от длины медианы, а это – 1/3 от всей ее длины. Теперь давайте это докажем, не стоит принимать все на веру, да? Для этого давайте нарисуем наш двухмерный (плоский) произвольный треугольник в трехмерном пространстве, мне кажется, так будет немного проще. В целом, если у вас есть фигура в n-мерном пространстве, а вы ее рассмотрите в (n+1)-мерном пространстве, это вам немного облегчит задачу. Правда, в четырехмерном есть свои подводные камни. В нем сложнее все представить, поэтому мы не будем этого делать. Возвращаемся к нашему произвольному треугольнику. Пусть его вершины лежат здесь, здесь и здесь. Можно сделать, конечно, много предположений на этот счет, но я не буду говорить, что он равнобедренный или равносторонний. Это просто какой-то произвольный треугольник. Предположим, его угол находится здесь… это ось х, это ось у, а это – z. Иногда эти две меняют местами, но это не имеет значения. Итак, давайте координаты этого угла будут (а,0,0), т.е. а – длина по оси х. Координаты этого угла – (0,b,0), а этого вверху – (0,0,с). И если вы соедините эти вершины, то получите треугольник. Примерно вот такой. Теперь. Найти координаты центроида треугольника, особенно в трехмерном пространстве, – значит найти среднее значение координат вершин треугольника. Так что координаты центроида будут такими: для оси х – (0+0+а), т.е. у нас есть три координаты, в сумме они дают а, которую надо поделить на 3, а/3; для оси у – (b+0+0) разделить на 3, получаем b/3; и то же самое для оси z – среднее значение будет с/3. Мы сейчас это не доказываем, но вы можете сами проверить, что это будет именно среднее значение. Если вы вычислите, чему равна эта медиана, эта и эта, вы убедитесь, что это будет центроид, центр масс треугольника (если он обладает массой), и координаты центроида будут средним значением координат вершин треугольника. Теперь давайте используем эту информацию. Возьмем эти координаты и сравним… сравним длину этого оранжевого отрезка вверху с длиной желтого отрезка внизу. Помните, что эта нижняя сторона делится медианой, поэтому координаты этой точки будут средним значением координат двух нижних вершин. Итак, для оси х: (0+а)/2 – получаем а/2, для оси у: (b+0)/2 – получаем b/2, а координат по оси z нет, поэтому будет 0. (0+0)/2 будет 0. Теперь мы знаем координаты этой точки, этой и этой, поэтому можем вычислить желтый и оранжевый отрезки. Давайте посчитаем оранжевый, он будет равен корню квадратному из…из чего? Теперь нам надо взять разность каждой из этих координат в квадрате, т.е. ((а/3)-0)², что равно а²/9, плюс ((b/3)-0)², что равно b²/9, плюс ((с/3)-с)²=(-2с/3)²=4с²/9. Смотрите еще раз: с/3, т.е. (1/3)-1=-2/3, теперь -2с/3 возводим в квадрат и получаем 4с²/9. Теперь давайте немного упростим. Это то же самое, что и √((а²+b²+4с²)/3), т.к. √9=3. А сейчас сделаем то же самое для желтого отрезка. Он равен корню квадратному из… (а/2)-(а/3)… ½ минус ⅓ это то же самое что и 3/6 минус 2/6… получаем (а/6)²=а²/36… Теперь. b/2 минус b/3 – это (b/6)², т.е. плюс b²/36… и, наконец, 0-с/3 возводим в квадрат – с²/9, но нам нужен общий знаменатель, поэтому напишем 4с²/36. Мы можем переписать: √((а²+b²+4с²)/6). А теперь смотрим на желтый отрезок и видим, что, если оранжевый умножить на ½ (или же разделить на 2), мы получим желтый отрезок. Так что это расстояние всегда в два раза больше этого. И это единственный возможный вариант. Мы ничего не знаем об этом треугольнике. Итак, запомните это маленькое свойство: точка пересечения медиан называется центроидом и делит каждую медиану на два отрезка, один из которых в два раза больше второго. Для каждой медианы расстояние от вершины до центроида равно 2/3 ее длины, а от центроида до середины противолежащей стороны – 1/3 длины. Мы можем использовать это свойство для решения кучи задач! Надеюсь, вам было интересно!

Треугольник — наиболее распространенная форма деталей в сферах машиностроения и строительства. Точка пересечения 3-х медиан считается центром треугольника. На эту точку приходится также центр тяжести и центр симметрии предметов треугольной формы. При разработке дизайнерских, инженерных проектов очень важно точно рассчитать центр тяжести элементов металлической или бетонной конструкции.

Существует несколько понятий центра для треугольника.

Инцентр — точка пересечения его биссектрис. Это — центр описанной около треугольника окружности.

Ортоцентр — точка пересечения его высот.

Центр тяжести,центр масс или центроид (обозн. М) — точка пересечения медиан треугольника.

Рассмотрим треугольник. Определим середины его сторон и соединим их с противолежащими углами. Точка пересечения медиан и будет центром тяжести тр-ка. Медиана делится этой точкой в пропорции 2:1 , (считая от вершины тр-ка).

Как найти центр треугольника

Если известны координаты его вершин, найдем сумму трех значений координат «х» и трех значений координат «у». Поделим каждую сумму на 3, получим среднее значение сумм координат «х» и «у», что и будет координатами центра тяжести.

Центром равностороннего треугольника является точка пересечения высот, биссектрис и медиан.

Центр равностороннего треугольника является также центром вписанной и описанной окружности.

Центроид расположен на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности. Центроид делит отрезок 2:1.

Быстро найти центр треугольника G можно с помощью онлайн калькулятора. Для этого:

  • ввести в поле калькулятора координаты вершин треугольника;
  • нажать кнопку Вычислить. Калькулятор вычислит значение центра треугольника G.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *