Уравнение нормали к поверхности

Как найти уравнения касательной плоскости и нормалик поверхности в заданной точке?

Сегодня на уроке я расскажу вам об одном популярном приложении дифференциального исчисления функции двух переменных, а именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий, которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1: касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость, содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2: нормаль к поверхности в точке – это прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение: если поверхность задана уравнением (т.е. неявно), то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно). При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных, то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент.

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:
– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:
– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии, – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ:

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

в точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой. А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

и по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

, и соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки). Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение: уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:
аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ:

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие). Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто 😉 Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)». Обратите внимание, как грамотно начата статья о Чебурашке в Википедии – с понятия, кто это такой.

Кроме того, в прикладных областях особую важность приобретает второй вопрос: ЗАЧЕМ ЭТО НУЖНО? Например, та или иная команда языка программирования. В подобных определениях должен обязательно содержаться ответ на этот вопрос.

Однако ответ желательно найти в любом случае. Ну, с нашими примерами всё понятно, Чебурашка нужен, чтобы развлекать детей, а касательные плоскости и нормали – чтобы радовать взрослых =)

Эту статью я написал за один-единственный день (величайшая редкость), и надеюсь, она вам понравилась!

Традиционные решения и ответы:

Пример 2: Решение: уравнение касательной плоскости к поверхности в точке составим по формуле:
Вычислим частные производные в точке :
Таким образом:
(умножили обе части на –5)
– уравнение искомой касательной плоскости.
Запишем уравнения нормали к поверхности в точке :
– канонические уравнения искомой нормали.
Ответ:

Пример 3: Решение: преобразуем уравнение:
Вычислим частные производные в точке :
Запишем уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке :
Запишем канонические уравнения нормали в точке :
Ответ: – уравнение искомой касательной плоскости;
– уравнения искомой нормали.

Пример 5: Решение: используем формулу:
Вычислим частные производные в точке :
Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :
Уравнения нормали:
Ответ:

Емелин Александр

ЕГЭ формулы, шпаргалки — Дифференциальная геометрия. Поверхности в трехмерном пространстве.

Поверхности в трехмерном пространстве.

Способы задания поверхности:

— явный — функцией z = f (x, y);

— неявный — в виде уравнения F (x, y, z) = 0;

— параметрический

  • в векторном виде: r = r (u, v),
  • в координатном виде: x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v), (1)

где u, v — гауссовы координаты поверхности.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной в параметрической форме, в неособой точке (u0; v0):

,

Уравнение нормали к поверхности, заданной в параметрической форме, в неособой точке (u0; v0):

.

Дифференциал радиус-вектора r вдоль параметрически заданной линии u = u(t), v = v(t), лежащей на поверхности r = r (u, v):

.

Квадрат дифференциала радиус-вектора: (первая квадратичная форма поверхности).

Коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

.

Длина дуги линии u = u(t), v = v(t) на поверхности, заданной в параметрической форме (1):

,

где Σ — область поверхности на плоскости u, v.

Площадь поверхности, заданной в явной форме z = f (x, y):

,

где Σ0 — проекция области Σ поверхности на плоскость x, y.

Единичный вектор нормали к поверхности, заданной в параметрической форме r = r (u, v):

,

где E, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы.

Вторая квадратичная форма поверхности r = r (u, v):

— (dr ⋅ dm) = L (u, v) du2 + 2M (u, v) du dv + N (u, v) dv2,

где L, M, и N — коэффициенты:

,

.

Нормальное сечение поверхности в точке (u0; v0) — кривая пересечения поверхности с нормальной плоскостью (плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке (u0; v0)).

Кривизна нормального сечения, проведенного в направлении du/dv:

.

Теорема Менье. Кривизна кривой γ, лежащей на поверхности, связана с кривизной нормального сечения формулой , где — угол между соприкасающейся плоскостью кривой γ и плоскостью нормального сечения.

В каждой точке поверхности существуют два главных нормальных сечения, для которых kN принимает наибольшее k1 и наименьшее k2 значения (главные кривизны), являющиеся корнями характеристического уравнения (кроме омбилических точек, в которых kN одно и то же для всех нормальных сечений) .

Направления касательных к главным сечениям в данной точке называются главными направлениями (они взаимно ортогональны).

Формула Эйлера. Кривизна произвольного нормального сечения выражается через главные кривизны k1, k2 и угол между касательным вектором к нормальному сечению и первым главным направлением: .

Средняя кривизна поверхности: .

Гауссова кривизна (полная кривизна) поверхности: .

Значения k1, k2, H, K не зависят от выбора криволинейных координат.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Высшая математика » Функции нескольких переменных » Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

\begin{equation} F_{x}^{‘}(M_0)\cdot(x-x_0)+F_{y}^{‘}(M_0)\cdot(y-y_0)+F_{z}^{‘}(M_0)\cdot(z-z_0)=0 \end{equation}

Уравнение нормали имеет вид:

\begin{equation} \frac{x-x_0}{F_{x}^{‘}(M_0)}=\frac{y-y_0}{F_{y}^{‘}(M_0)}=\frac{z-z_0}{F_{z}^{‘}(M_0)} \end{equation}

Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:

\begin{equation} f_{x}^{‘}(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_{y}^{‘}(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)-(z-z_0)=0 \end{equation}

Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:

\begin{equation} \frac{x-x_0}{f_{x}^{‘}(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_{y}^{‘}(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1} \end{equation}

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Пример №1

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.

Решение

$$ z_0=3x_{0}^{2}y_{0}^{4}-6x_0y_{0}^{3}+5x_0-4y_0+10=3\cdot (-2)^2\cdot 1^4-6\cdot (-2)\cdot 1^3-4\cdot 1+10=12+12-4=20. $$

Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_{x}^{‘}$ и $z_{y}^{‘}$:

$$ z_{x}^{‘}=6xy^4-6y^3+5;\\ z_{y}^{‘}=12x^2y^3-18xy^2-4. $$ $$ z_{x}^{‘} \left(x_0, y_0\right)=6x_0y_{0}^{4}-6y_{0}^{3}+5=-12-6+5=-13;\\ z_{y}^{‘}\left(x_0, y_0\right)=12x_{0}^{2}y_{0}^{3}-18x_0y_{0}^{2}-4=48-(-36)-4=80. $$

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_{x}^{‘} \left(x_0, y_0\right)=-13$, $z_{y}^{‘} \left(x_0, y_0\right)=80$ в формулу (3) получим уравнение касательной плоскости:

$$ -13\cdot(x-(-2))+80\cdot(y-1)-(z-20)=0;\\ -13x+80y-z-86=0. $$

Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_{x}^{‘} \left(x_0, y_0\right)=-13$, $z_{y}^{‘} \left(x_0, y_0\right)=80$ в формулу (4) получим уравнение нормали:

$$ \frac{x-(-2)}{-13}=\frac{y-1}{80}=\frac{z-20}{-1}; \frac{x+2}{-13}=\frac{y-1}{80}=\frac{z-20}{-1}. $$

Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $\frac{x+2}{-13}=\frac{y-1}{80}=\frac{z-20}{-1}$.

Пример №2

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5\sqrt{x^2+y^2}-2xy-39$ в точке $M_0(3;-4;z_0)$.

Решение

$$ z_0=5\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}-2x_0y_0-39=5\sqrt{25}+24-39=10. $$ $$ z_{x}^{‘}=\frac{10x}{\sqrt{x^2+y^2}}-2y; z_{x}^{‘} \left(x_0, y_0\right)=\frac{10\cdot 3}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}-2\cdot(-4)=11;\\ z_{y}^{‘}=\frac{10y}{\sqrt{x^2+y^2}}-2x; z_{y}^{‘} \left(x_0, y_0\right)=\frac{10\cdot (-4)}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}-2\cdot 3=-10.\\ $$ $$ 11\cdot(x-3)+(-10)\cdot(y-(-4))-(z-10)=0; 11x-10y-z-63=0; \\ \frac{x-3}{11}=\frac{y-(-4)}{-10}=\frac{z-10}{-1}; \frac{x-3}{11}=\frac{y+4}{-10}=\frac{z-10}{-1}. $$

Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $\frac{x-3}{11}=\frac{y+4}{-10}=\frac{z-10}{-1}$.

Пример №3

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.

Решение

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

$$ 3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1=0. $$ $$ 3x_0y_{0}^{2}z_0+5x_0y_0+z_{0}^{2}-10x_0z_0+2y_0-1=36-10+9-30-4-1=0. $$ \begin{aligned} & F_{x}^{‘}=3y^2z+5y-10z;\\ & F_{y}^{‘}=6xyz+5x+2; \\ & F_{z}^{‘}=3xy^2+2z-10x. \end{aligned} \begin{aligned} & F_{x}^{‘}(M_0)=3y_{0}^{2}z_0+5y_0-10z_0=-4;\\ & F_{y}^{‘}(M_0)=6x_0y_0z_0+5x_0+2=-29; \\ & F_{z}^{‘}(M_0)=3x_0y_{0}^{2}+2z_0-10x_0=8. \end{aligned} $$ -4\cdot(x-1)-29\cdot(y-(-2))+8(z-3)=0; -4x-29y+8z-78=0.\\ \frac{x-1}{-4}=\frac{y-(-2)}{-29}=\frac{z-3}{8}; \frac{x-1}{-4}=\frac{y+2}{-29}=\frac{z-3}{8}. $$

Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $\frac{x-1}{-4}=\frac{y+2}{-29}=\frac{z-3}{8}$.

Пример №4

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.

Решение

$$ z_{0}^{3}+4x_0y_0z_0=-3x_{0}^{2}+5y_0+7;\\ z_{0}^{3}=-15+7; z_{0}^{3}=-8; z_0=-2. $$

Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:

$$ z^3+4xyz+3x^2-5y-7=0. $$ \begin{aligned} & F_{x}^{‘}=4yz+6x; \; F_{x}^{‘}(M_0)=4y_0z_0+6x_0=-24;\\ & F_{y}^{‘}=4xz-5; \; F_{y}^{‘}(M_0)=4x_0z_0-5=-5;\\ & F_{z}^{‘}=3z^2+4xy; \; F_{z}^{‘}(M_0)=3z_{0}^{2}+4x_0y_0=12. \end{aligned}

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

  • •Белкоопсоюз
  • •Пояснительная записка
  • •Программа курса
  • •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
  • •2.9. Определенный интеграл
  • •2.10. Кратные интегралы
  • •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
  • •2.12. Ряды
  • •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
  • •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
  • •Ответы на тестовые задания
  • •Прямая линия
  • •Ответы на тестовые задания
  • •Кривые второго порядка
  • •Ответы на тестовые задания
  • •Парабола
  • •Ответы на тестовые задания
  • •1.2. Векторная алгебра
  • •Линейные операции над векторами
  • •Векторный базис на плоскости и в пространстве
  • •Скалярное произведение векторов
  • •Операции над векторами в координатной форме
  • •Ответы на тестовые задания
  • •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
  • •Прямая в пространстве
  • •Прямая и плоскость в пространстве r3
  • •Ответы на тестовые задания
  • •1.4. Матрицы
  • •Ответы на тестовые задания
  • •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
  • •Ответы на тестовые задания
  • •1.6. Комплексные числа
  • •Ответы на тестовые задания
  • •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
  • •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
  • •Числовые последовательности
  • •Предел числовой последовательности
  • •Свойства сходящихся последовательностей
  • •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.2. Предел функции одной переменной
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.3. Непрерывные функции одной переменной
  • •Критерий непрерывности функции
  • •Точки разрыва функции и их классификация
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
  • •Правила дифференцирования и таблица производных
  • •Производная сложной функции
  • •Производная обратной функции
  • •Логарифмическое дифференцирование
  • •Дифференцирование неявных функций
  • •Производная высших порядков
  • •Применение производной в экономике
  • •Дифференциал функции
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
  • •Теорема Ролля
  • •Теорема Лагранжа
  • •Теорема Коши
  • •Правило Лопиталя
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
  • •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
  • •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
  • •Асимптоты графика функции
  • •Общая схема исследования функции и построения графика
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
  • •Решение
  • •Решение
  • •Непрерывность функции двух переменных
  • •Частные производные и дифференциал функции
  • •Решение
  • •Частные производные и дифференциалы высших порядков
  • •Решение
  • •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  • •Производная по направлению. Градиент
  • •Решение
  • •Решение
  • •Необходимые условия экстремума
  • •Достаточные условия экстремума
  • •Условный экстремум
  • •Решение
  • •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
  • •Решение
  • •Эмпирические формулы
  • •Решение
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
  • •Интегрирование способом подстановки
  • •Интегрирование по частям
  • •Ответы на тестовые задания
  • •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
  • •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
  • •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
  • •Применение определенного интеграла в экономике
  • •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла

Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем на ней точку .

Определение. Касательной плоскостью к поверхности Q в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

Если уравнение поверхности Q задано неявной функцией

, то:

, .

Подставим значения частных производных в уравнение касательной:

Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке в случае неявного задания функции имеет вид

Определение. Точка, в которой или хотя бы одна из этих производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.

Определение. Нормалью к поверхности Q в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Запишем уравнения нормали к поверхности в точке , пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости:

Если поверхность Q задана неявно функцией то уравнения нормали принимают вид

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано явной функцией. Вычислим частные производные функции в точке :

, ,

, .

Тогда уравнение касательной плоскости примет вид

Найдем уравнения нормали:

Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке

, , ,

, , .

Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид

Находим уравнения нормали

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *