Оператор импульса в координатном представлении

Операторы координаты и импульса: уравнения на собственные значения и собственные функции, разложения, координатное и импульсное представления волновой функции

Халипов В.Ф. Власть. Основы кратологии. — М., 1995 г.

10. Шварценбергер Дж. Политическая власть. Изучение мирового общества. – Социально-политический журнал. – 1997. №6.

11. Шпакова Р.П. Легитимность и демократия (Уроки Вебера) // Полис. – 1994. — № 2.

Найдем оператор координаты в -представлении, то есть найдем, как действует этот оператор на произвольное состояние :

С одной стороны, согласно квантовомеханической формуле для средних

(1)

где — неизвестный пока оператор координаты. С другой стороны, поскольку есть вероятность того, что частица имеет координату в интервале

(2)

А поскольку волновая функция — произвольна, сравнение (1) и (2) дает — это действие оператора . Найдем собственные функции этого оператора.

Пусть — собственная функция оператора в -представлении, — собственное значение (фиксированное), — аргумент функции — переменная. Функция удовлетворяет уравнению

(3)

Или, так как , то

(4)

или

(5)

Получили:

(6)

Таким образом, функция — удовлетворяет нашему соотношению, и для нее выполняется условие нормировки:

Аналогично доказывается, что оператор любой физической величины, которая является функцией координаты, например, потенциальной энергии есть умножение на эту функцию, то есть .

Здесь мы нигде не использовали, что — координата поэтому для любой физической величины в -представлении имеем .

Исследуем теперь преобразование волновой функции при параллельном переносе системы координат и установим оператор импульса.

— однозначная функция точки пространства.

— волновая функция в другой системе отсчета.

— полностью описывает состояние системы. Тогда: , если .

Если имеется несколько частиц, и описывает их состояние, тогда

Подставим связь между координатами:

Производим замену переменных:

Любой параллельный перенос системы координат можно разбить на много бесконечно малых перенос. Рассмотрим бесконечно малый параллельный перенос:

(7)

Введем — оператор бесконечно малой трансляции, так, что . Из формулы (7) следует, что . Согласно основным физическим принципам оператор, связанный с трансляциями есть оператор импульса. Поэтому следует считать, что

(8)

оператор импульса системы, а — оператор импульса -той частицы. В другой форме записи: .

Рассмотрим свойства оператора импульса.

1) — эрмитов оператор, что следует из цепочки формул:

(9)

Первое слагаемое равно нулю, в противном случае нормировочный интеграл для функций и не сходился бы. Поэтому . Поэтому эрмитов и оператор (т.к. переменные не отличаются друг от друга). Заметим, что если бы в определении не было , то оператор был бы антиэрмитовым.

2) Операторы — коммутируют друг с другом (очевидно) они измеримы одновременно и имеют полную общую систему собственных функций.

(10)

Найдем собственные функции и собственные значения оператора импульса. Пусть — общая собственная функция операторов , а числа — их собственные значения (соответственно). Тогда

(11)

Очевидно, этим уравнениям удовлетворяет функция , где могут быть любыми действительными (в силу эрмитовости оператора ) числами. Если бы они были комплексными, была бы неограничена при (а мы ищем только ограниченные волновые функции). Таким образом, спектр оператора непрерывен: .

Функции ненормируемые (так как спектр непрерывен), их можно нормировать на -функцию. Выберем собственные функции так: (нормировочный коэффициент равен 1). Тогда:

(12)

Собственные функции оператора импульса, как и любого эрмитова оператора, образуют полную систему функций или базис в пространстве «хороших» функций координат. Волновую функцию любого состояния можно разложить по этому базису, причем это разложение в интеграл, поскольку собственные функции оператора импульса образуют непрерывный базис. Это разложение имеет вид

(13)

где — «коэффициенты» разложения, представляющие собой функцию непрерывной переменной . Нетрудно видеть, что разложение (13) – это разложение в интеграл Фурье по гармоникам . «Коэффициенты» разложения – функция — может быть найдена следующим образом

(14)

Согласно постулатам квантовой механики квадрат функции представляет собой плотность вероятности обнаружения различных значений импульса

(15)

Сравнивая формулу (15) с определением волновой функции в координатном представлении заключаем, что функция также имеет смысл волновой функции, но определяющей вероятности различных значений импульса. Она называется волновой функцией в импульсном представлении. С математической точки зрения формула (14) — это обращение преобразования Фурье (а функция – Фурье-образ функции )).

Мы знаем, что в координатном представлении операторы имеют следующий вид:. В импульсном представлении: . Найдем теперь оператор координаты в импульсном представлении.

Основная идея этого нахождения заключается в сравнении «прямого» (13) и «обратного» (14) разложения волновой функции. Поскольку обе этих формулы должны представлять собой разложение волновой функции в координатном представлении по собственным функциям оператора импульса, и волновой функции в импульсном представлении по собственным функциям оператора координаты, заключаем, что функция как функция есть собственная функция оператора координаты в импульсном представлении, поэтому:

(16)

причем оператор здесь действует на импульс. Отсюда получаем

Операторы координаты и импульса не коммутируют. Это видно из следующей цепочки формул

Поэтому , и, следовательно, операторы не коммутируют. По этой причине операторы координаты и импульса не имеют общих собственных функций (это, впрочем, видно и из явных выражений для собственных функций этих операторов).

Подведем итоги. Любое состояние частицы однозначно характеризуется как волновой функцией , так и «коэффициентами» разложения функции по собственным функциям оператора импульса , причем согласно постулатам квантовой механики функция определяет вероятности различных значений импульса и называется волновой функцией в импульсном представлении. Свойства функций и похожи. Благодаря линейной связи, для функций справедлив принцип суперпозиции: если возможны состояния, которые описываются (в указанном выше смысле вероятностей импульсов) функциями или , то возможно и состояние, в котором вероятности различных значений импульса определяются линейной комбинацией . Можно определить операторы физических величин, действующие в пространстве функций, зависящих от импульса (операторы в импульсном представлении), причем операторы одной и той же величины в разных представлениях имеют одни и те же собственные значения, а собственные функции любых операторов в разных представлениях связаны, как и любые другие функции.

Проведенное рассмотрение показывает, что для анализа любой квантовомеханической задачи можно использовать не только координатное, но и импульсное представление, причем последнее обладает теми же свойствами, что и первое. При этом и многие формулы координатного и импульсного представления (например, операторы координаты в импульсном представлении и импульса в координатном) очень «симметричны». Последнее аналогично известному из классической механики подобию координаты и импульса, причем, как и в случае классических уравнений Гамильтона, отличие импульсов от координат сводится к разным знакам.

В заключение отметим, что можно построить и волновые функции состояний физических систем и операторы физических величин в представлении любой физической величины. Аргументами таких функций являются все возможные значения рассматриваемой величины (то есть все собственные значения ее оператора), а значения волновых функций при каждом значении аргумента определяют вероятность этого значения аргумента. При этом волновые функции в представлении величин, обладающих дискретным спектром собственных значений, должны быть отличны от нуля только при таких значениях аргумента, которые совпадают с одним из собственных значений оператора этой величины (так как вероятности обнаружить другие значения этой величины равны нулю). Поэтому такие функции зависят от дискретной переменной и, фактически, представляют собой счетное множество чисел (конечное или бесконечное в зависимости от числа собственных функций оператора), представляющих собой коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям оператора этой физической величины.

Оператор момента импульса частицы

16. Условие одновременной измеримости динамических переменных Из постулатов квантовой механики следует, что при измерении некоторой физической величины получается определённое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описывающая систему, является собственной функцией оператора измеряемой величины. В общем случае различные операторы имеют различные собственные функции, то есть описываемые ими физические величины не могут одновременно иметь точно определённые значения, но в некоторых случаях это возможно. Необходимым и достаточным условием того, чтобы две физические величины имели одновременно определённые значения, является коммутативность операторов, описывающих эти величины. Докажем это утверждение. Необходимость. Пусть операторы имеют общую собственную функцию, а значит описываемые ими физические величины, одновременно имеют определённые значения Умножим эти выражения на соответств.: Так как по условию функция не нулевая, то , то есть операторы коммутирующие. Операторы имеют общую собственную функцию , и поэтому соответствующие им динамические переменные являются одновременно измеримыми с какой угодно степенью точности. Проверим, являются ли одновременно измеримыми проекция импульса на координату и сама эта координата: . Найдём их коммутатор: Подействуем этим оператором на функцию f : То есть оператор коммутатора не равен нулю. Значит операторы не коммутирующие. Значит, координата и проекция импульса не могут одновременно иметь определённые значения. Соотношение между дисперсией координаты и импульсом частицы было установлено Гейзенбергом (1927 г.) и получило в последствии название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Найдём его. По определению дисперсии мы можем записать . Аналогично для импульса: . Выберем такую систему координат, в которой <x>=0 и <p>=0. В этой системе координат дисперсия координаты и импульса будет Для нахождения связи между неопределённостью координаты и неопределённостью импульса, Гейзенберг предложил рас/ть ∫ вида: Раскроем теперь скобки и приведём подобные члены. Причём, запишем полученное выражение как многочлен относительно степеней :. Так как подынтегральное выражение являлось квадратом модуля, то интегральная функция будет положительно определена: (1). Запишем теперь выражения для коэффициентов Беря полученный интеграл по частям, запишем: . Первое слагаемое здесь равно нулю, а второе 1 в силу условия нормировки. Запишем теперь условие положительной определённости (1): дискриминант (1) должен быть меньше либо равен нулю: Подставляя в последнее выражение значения A,B и С, получим: Возвращаясь к определению дисперсии в выбранной нами Данное соотношение носит название соотношения неопределённостей Гейзенберга. Оно показывает, что импульс и координаты частицы не могут быть одновременно определены (измерены) со сколь угодно большой точностью, хотя любая из этих величин по отдельности измерима с любой точностью. До измерения частица не имела определённых значений динамических переменных. Определённые значения динамические переменные квантовой системы принимают только в процессе измерения. Под процессом измерения в квантовой физике понимается процесс взаимодействия с любым классическим объектом (прибором). Наличие же наблюдателя вовсе не обязательно. Таким образом, измерения объективны. Для других сопряженных величин – энергии E и времени tсоотношения неопределенностей,имеет вид: . Это означает, что при характерном времени эволюции системы Δt , погрешность определения ее энергии не может быть меньше чем . Из этого соотношения следует возможность возникновения из ничего, так называемых, виртуальных частиц на промежуток времени меньший, чем и обладающих энергией ΔE. При этом закон сохранения энергии не будет нарушен. Поэтому по современным представлениям вакуум это не пустота, в которой отсутствуют поля и частицы, а физическая сущность, в которой постоянно возникают и исчезают виртуальные частицы.Одним из Если в классической физике измерение не возмущало сам объект, то в квантовой механике каждое измерение разрушает объект, уничтожая его волновую функцию. Для нового измерения объект нужно готовить заново. В этой связи Н. Бор выдвинул принцип дополнительности, суть которого в том, что для полного описания объектов микромира необходимо использование, двух противоположных, но дополняющих друг друга представлений.

16. Частица в прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве. В частности движение электрона в кулоновском потенциале ядра есть движение в потенциальной яме. Рассмотрим простейший случай одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками. Её можно описать следующими уравнениями: Так как энергия частицы внутри ямы нулевая, то существует только вероятность нахождения частицы внутри ямы, так как она не может преодолеть стенки ямы: . Так как волновая функция имеет смысл плотности вероятности нахождения частицы в той или иной точке пространства, то и. функцию только внутри ямы. Стационарное уравнение Здесь E – энергия частицы. Запишем граничные условия: Решением данного уравнения является функция Применим теперь второе граничное условие: . То есть . Получается, что k зависит от n. Тогда . Очевидно, что k принимает дискретные значения. Вспоминая, что , получим с учётом последнего выражения: . Отсюда , причём минимальная энергия равна: . Таким образом, энергию движущейся частицы внутри потенциальной ямы мы можем представить в виде энергетических уровней. Волновая функция такой частицы имеет вид: . Волновая функция основного состояния . Эта функция внутри ямы изменяется и с уменьшением размера ямы энергия возрастает. Найдём константу A из условия нормировки: вероятность нахождения частицы внутри ямы равна 1: . . Отсюда и для волновой функции имеем: .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *