Потенциал гравитационного поля формула

МОДУЛЬ 1. Основы механики

Содержание

Тема 1.8. Всемирное тяготение

1.8.1. Закон всемирного тяготения

1.8.2. Сила тяжести, вес тела

1.8.3. Гравитационное поле — напряженность и потенциал

1.8.4. Гравитационное поле материальной точки

1.8.5. Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью гравитационного поля

1.8.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

1.8.7. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции

1.8.1. Закон всемирного тяготения

Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу. Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения: две любые материальные точки массами m1 и m2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:

, (1.8.1)

где — гравитационная постоянная. Из формулы видно, что величина гравитационного взаимодействия не зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие тела, гравитационное взаимодействие существует и в вакууме. На рисунке1.8.1 изображено направление сил гравитационного взаимодействия двух материальных точек.


Рис. 1.8.1.

1.8.2. Сила тяжести, вес тела

Земля не является «материальной точкой» для тел, расположенных на ее поверхности. Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.

В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная

, (1.8.2.)

где R — радиус Земли, в месте расположения точки. Выражение (1.8.2.) можно переписать в виде:

, (1.8.3.)

где g — имеет смысл ускорения, с которым движутся под действием силы тяжести все материальные тела у поверхности Земли.

Согласно фундаментальному физическому закону — обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли, с одной стороны, и сплюснутостью Земли — с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падания, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2.

Пусть тело расположено на расстоянии (±h) от поверхности Земли (знак плюс — над поверхностью, знак минус — под поверхностью), тогда сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается, а при приближении к центру Земли — увеличивается:

. (1.8.4.)

Вес тела — сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес, удерживающую тело от свободного падения.

Вес тела проявляется, когда тело движется с ускорением отличным от ускорения свободного падения (g), т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением , то к этому телу приложена дополнительная сила , удовлетворяющая условию:

Тогда вес тела

. (1.8.5.)

Вес тела, движущегося с ускорением равен произведению массы тела на геометрическую разность ускорения свободного падения и ускорения тела.

Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:

, . (1.8.6.)

Например,

1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести () в лифте вертикально вниз;

2) космический корабль движется по орбите, при этом его центростремительное ускорение , направлено так же как ускорение силы тяжести вдоль радиуса к центру Земли, и вес всех тел находящихся в корабле равен нулю.

1.8.3. Гравитационное поле — напряженность и потенциал

Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.

Гравитационное поле — это особый вид материи, который создается вокруг любого тела обладающего массой, главное свойство гравитационного поля — действовать на тела, обладающие массой. Как и любое поле — гравитационное поле характеризуется с помощью двух физических величин:

1.Напряженность гравитационного поля (), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):

. (1.8.7)

Единица измерения напряженности гравитационного поля =м/с2.

Линия напряженности гравитационного поля — линия, касательные, к каждой точке которой совпадает с вектором напряженности.

На всякое тело массой m, внесенное в поле, действует сила тяготения или сила тяжести, равная произведению массы тела на напряженность гравитационного поля в месте расположения тела:

. (1.8.9)

Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ()

2. Потенциал гравитационного поля (φ) — энергетическая характеристика поля, скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля:

. (1.8.10)

Единица измерения =Дж/кг.

Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:

. (1.8.11)

Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2 равна:

,

. (1.8.12)

Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.

Эквипотенциальные поверхности — поверхности, образованные точками поля, потенциал которых одинаков. Работа гравитационного поля при движении тела вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Можно дать второе определение потенциала поля тяготения — это работа по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.

1.8.4. Гравитационное поле материальной точки

В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.

1. Напряженность гравитационного поля материальной точки массой (M) прямо пропорциональна массе точки, и убывает по величине обратно пропорционально расстоянию от этой точки (r), направлена вдоль лучей, сходящихся в точке — источнике поля:

. (1.8.13)

2. Потенциал гравитационного поля материальной точки массой (M) — прямо пропорционален массе материальной точки, создающей поле и убывает обратно пропорционально расстоянию от источника поля:

. (1.8.14)

Из формулы (1.8.11) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом, т.е. эквипотенциальные поверхности данного поля — это сферические поверхности.

Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).

Рис. 1.8.2.

Потенциальная энергия тела массой (m), находящегося на расстоянии r от источника гравитационного поля — тела массой (M):

Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

,

где R — радиус Земли. Так как

, и, учитывая, что h<<R, получаем

Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли, равна:

. (1.8.15)

1.8.5. Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью гравитационного поля

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом и напряженностью поля тяготения.

Элементарная работа, совершаемая полем при малом перемещении тела массой (m), равна

С другой стороны ,

где dl — элементарное перемещение.

Следовательно, , или .

Величина dφ/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения, это ничто иное, как градиент потенциала.

Таким образом, напряженность гравитационного поля численно равна градиенту потенциала гравитационного поля и направлена в сторону его уменьшения:

. (1.8.16)

1.8.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

На Земле приблизительно инерциальными являются системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно точек на поверхности Земли.

Системы отсчета, движущиеся с ускорением, относительно ИСО — это неинерциальные системы отсчета. В них возникают силы инерции, которые требуют корректировки второго закона Ньютона.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции должны быть такими, чтобы вместе с силами , обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение , каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета:

Так как ( — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

. (1.8.17)

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, рассматривают три варианта проявления этих сил.

1. Сила инерции возникает при ускоренном поступательном движении системы отсчета и направлена против вектора ускорения неинерциальной системы отсчета :

. (1.8.18)

Вы испытываете на себе действие силы инерции каждый раз когда автомобиль, в котором вы находитесь, разгоняется — и вас прижимает к спинке сиденья, и наоборот, когда тормозит — вы удаляетесь от спинки сиденья. Система отсчета, связанная с автомобилем движется с ускорением, вы неподвижны в этой системе отсчета и на вас действует сила инерции направленная противоположно ускорению автомобиля.

2. Центробежная сила инерции — сила инерции, действующая на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета:

, (1.8.19)

где ω — угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета; — радиус-вектор, характеризующий положение тела относительно оси вращения системы; центробежная сила направлена вдоль радиус-вектора в сторону от оси вращения системы.

Действию центробежной силы инерции подвергаются пассажиры в движущемся транспорте на поворотах; летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах, где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.

3. Сила Кориолиса — сила инерции, действующая на тело, поступательно движущееся со скоростью , во вращающейся с угловой скоростью системе отсчета:

, (1.8.20)

равна произведению удвоенной массы тела на векторное произведение скорости поступательного движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости вращения системы отсчета. Эта сила направлена перпендикулярно векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы в соответствии с правилом правого винта.

Рис. 1.8.3.

Пусть шарик массой m движется с постоянной скорость ν вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (рис.1.8.3). Если диск не вращается, то шарик движется вдоль радиуса и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ, причем его скорость ν относительно диска изменяет свое направление. Это возможно, если на шарик действует сила перпендикулярная скорости ν — это и есть сила Кориолиса.

Рис. 1.8.4.

Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета и действие силы Кориолиса объясняет ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис.1.8.4), то сила Кориолиса будет направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на восток. Если тело движется в юг, то сила Кориолиса также направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции):

. (1.8.21)

Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета, поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Два основных положения механики: 1) ускорение всегда вызывается силой; 2) сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в неинерциальных системах отсчета одновременно не выполняются.

Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах отсчета таких сил не существует.

1.8.7. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции

Все тела независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции, действующие на тела неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия.

При некоторых условиях силы тяготения и силы инерции невозможно различить. Например, представьте себе груз, подвешенный на пружине в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести — на груз действует сила тяжести и он растягивает пружину.

Пусть лифт настолько удален от Земли и прочих небесных тел, что он не испытывает гравитационных воздействий. Пусть кто-то тянет за трос лифта, сообщая ему постоянное ускорение (). Гравитационного поля в лифте нет, но зато есть сила инерции (). Груз, подвешенный на пружине растянет ее, как если бы он обладал весом .

Все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести.

Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.

Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.

Принципа эквивалентности Эйнштейна: все физические явления в поле сил тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.

Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции можно рассматривать как принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс тела.

Физика поля

Теперь, мой друг, мы подошли к понятию «ПОТЕНЦИАЛ». Этот параметр характеризует физическое силовое поле (гравитационное поле – гравитационный потенциал, электрическое – электрический потенциал).
Чтобы выяснить физический смысл гравитационного потенциала, необходимо вспомнить третий Закон Кеплера:
R3/T2 = GM/4π2 = const,
где: R – радиус орбиты (при эллиптической орбите – большая полуось эллипса), м;
Т – период обращения по орбите, с.
Умножим обе части этого уравнения на 4π2 (константа возрастёт, но останется константой) и в результате получим:
4π2R2/T2 = v2R = GM = const,
где v = 2πR/T – орбитальная скорость движения, м/с.
Если это уравнение поделить на радиус (R), то получим квадрат орбитальной скорости
v2 = GM/R.
Этот параметр и называется гравитационным потенциалом данной точки поля. Измеряется в Дж/кг или (м2/с2).
Физический смысл – удельная потенциальная энергия (энергия, отнесённая к единице массы: v2 = W/m, Дж/кг), численно равная работе, необходимой для перемещения одного килограмма массы из данной точки поля за его пределы.
Эта величина скалярная, ибо характеризует поле только по величине. Здесь важно помнить, что гравитационный потенциал всегда имеет только отрицательное значение.
Коллега, мы вновь сталкиваемся с отрицательным значением, но теперь уже – гравитационного потенциала.
И не только гравитационного, но и электрического потенциала. Потенциал, мой друг, как и потенциальная энергия, имеет только отрицательное значение. И в этом нет ничего странного. Ведь с удалением от центра потенциального поля потенциал (как и потенциальная энергия) действительно увеличивается и в пределе становится равным нулю. А всё, что меньше нуля, имеет отрицательное значение.
В подтверждение этому в разделе «Тяготение» БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) дословно сказано:
«…потенциал поля тяготения (читай гравитационный потенциал) частицы массы (M) может быть записан в виде: φ = –GM/R».
Там же, чуть дальше читаем:
«Скорость, до которой разгоняется тело, свободно падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо малую скорость) до некоторой точки, равна по порядку величины корню квадратному из модуля гравитационного потенциала φ; в этой точке (на бесконечности φ; считается равным нулю)».
Следовательно, φ = v2 = – GM/R.
Еще чуть дальше оговаривается и предел применения теории Ньютона, которую:
«…можно применять только в том случае, если |φ| << c2».
Здесь указан модуль гравитационного потенциала, ибо его значение отрицательно, а скорость света в квадрате представлена, как предельное значение этого модуля:
с2 = — 8,9876*1016 Дж/кг.
Это значение (по модулю) определяется из соотношения: μoεoc2 = 1,
где: μo = 4π*10-7 Дж/(м*А2) – магнитная постоянная (определяет размер ампера и кулона);
εo = 8,854187817*10-12 Кл2/(Дж*м) – электрическая постоянная (измеряется в эксперименте с конденсатором).
Вывод: гравитационный потенциал (v2) может изменять свое значение от минус c2 (минимум) до нуля (максимум):
— c2 < v2 < 0.
Градиентом гравитационного потенциала является напряжённость гравитационного поля:
g = – grad v2. Этот параметр известен школьникам как ускорение свободного падения. Фактически это есть удельная сила (сила, отнесённая к единице массы: g = F/m, Н/кг или м/с2).
Аналогично электрический потенциал (U) тоже является скалярной энергетической характеристикой электрического поля. Он равен отношению потенциальной энергии (W) взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда (q):
U = W/q, Дж/Кл.
Напряжённость электрического поля (Е) и его потенциал (U) связаны соотношением:
Е = – grad U.
Итак, сила (F, Дж/м или Н), действующая на единичную массу (m, кг) в гравитационном поле или на единичный электрический заряд (q, Кл) в электрическом поле, называется напряженностью поля (для гравитационного поля g = F/m, для электрического E = F/q).
Поверхность, все точки которой имеют один и тот же потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью (поверхность одинакового потенциала). Силовые линии в потенциальном поле всегда нормальны (перпендикулярны) к эквипотенциальной поверхности.
На главную

Гравитационный потенциал

У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал.

Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, характеризующая гравитационное поле в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой . Гравитационный потенциал равен отношению потенциальной энергии материальной точки, помещённой в рассматриваемую точку гравитационного поля, к массе этой точки. Впервые понятие гравитационного потенциала ввёл в науку Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века.

  • В современных теориях гравитации роль гравитационного потенциала играют обычно тензорные поля. Так, в стандартной в наше время теории гравитации — общей теории относительности — роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.

Гравитационный потенциал и уравнения движения

Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:

, где: — масса частицы, — координата частицы, — потенциал гравитационного поля.

Подставляя выражение для лагранжиана L в уравнения Лагранжа:

,

получаем уравнения движения

.

Гравитационный потенциал и принцип эквивалентности

Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Это является выражением основного свойства гравитационного поля — принципа эквивалентности.

Гравитационный потенциал точечной частицы и произвольного тела

Гравитационный потенциал точечной частицы равен: , где — гравитационная постоянная, — масса частицы, — расстояние от частицы. Эта же формула справедлива и для гравитационного потенциала любого тела со сферически-симметричным распределением плотности массы внутри него.

Для тела с произвольным распределением плотности массы гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона: , где — оператор Лапласа, — объёмная плотность распределения массы в рассматриваемой точке. Общее решение этого уравнения имеет вид: где r — расстояние от элемента объёма dV до рассматриваемой точки поля, а интегрирование производится по всему объёму тел, создающих поле. Гравитационный потенциал симметричного тела симметричен.

Гравитационный потенциал и потенциальная энергия

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна ее массе, умноженной на потенциал поля. Для потенциальной энергии любого распределения масс справедливо выражение:

где — плотность массы тела, — гравитационный потенциал, — объём тела.

Гравитационный потенциал постоянного гравитационного поля

Формула для гравитационного потенциала произвольного тела имеет вид:

где — полная масса системы, а величины:

можно назвать тензором квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

очевидными соотношениями

Гравитационный потенциал планет

Гравитационный потенциал и гравитационная энергия тела

Гравитационная энергия тела получается интегрированием выражения (1) по объёму тела с использованием выражения для потенциала (2). Для шара массы m, радиусом a, с равномерным распределением плотности масс, получается значение U гравитационной энергии тела:

Гравитационный потенциал и общая теория относительности

В общей теории относительности для случая слабых стационарных гравитационных полей устанавливается связь между компонентом метрического тензора пространства-времени и значением гравитационного потенциала Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.

См. также

  • Классическая теория тяготения Ньютона

Литература

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *