Множество иррациональных чисел

Данная статья посвящена теме «Действительные числа». В статье дается определение действительных чисел, иллюстрируется их положение на координатной прямой, рассматриваются способы задания действительных чисел числовыми выражениями.

Определение действительных чисел

Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа. В свою очередь, рациональные и иррациональные числа составляют действительные числа. Как дать определение, что такое действительные числа?

Определение 1

Действительные числа — это рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается через R.

Данное определение можно записать иначе с учетом следующего:

  1. Рациональные числа можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
  2. Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби.

Определение 2

Действительные числа — числа, которые можно записать в виде конечной или бесконечной (периодической или непериодической) десятичной дроби.

Нуль также является действительным числом. Согласно определению, существуют как положительные, так и отрицательные действительные числа. Нуль является единственным действительным числом, которое не положительно и не отрицательно.

Еще одно название для действительных чисел — вещественные числа. Эти числа позволяют описывать значение непрерывно меняющейся величины без введения эталонного (единичного) значения этой величины.

Координатная прямая и действительные числа

Каждой точке не координатной прямой соответствует определенное и единственное действительное число. Иными словами, действительные числа занимают всю координатную прямую, а между точками кривой и числами присутствует взаимно-однозначное соответствие.

Представления действительных чисел

Под определение дейситвительных чисел попадают:

  1. Натуральные числа.
  2. Целые числа.
  3. Десятичные дроби.
  4. Обыкновенные дроби.
  5. Смешанные числа.

Также действительные числа часто представляются в виде выражений со степенями, корнями и логарифмами. Сумма, разность произведение и частное действительных чисел также являются действительными числами.

Значение любого выражения, составленного из действительных чисел, также будет являться действительным числом.

Например, значения выражений sin23π·e-285·10log32 и tg676693-8π32 — действительные числа.

Математика

Тестирование онлайн

  • Округление чисел

Натуральные числа

Это числа, которые используются при счете: 1, 2, 3… и т.д.

Ноль не является натуральным.

Натуральные числа принято обозначать символом N.

Целые числа. Положительные и отрицательные числа

Натуральные числа, противоположные им и ноль называют целыми числами. Множество целых чисел обозначают символом Z.

Рациональные числа

Это конечные дроби и бесконечные периодические дроби . Например,

Множество рациональных чисел обозначается Q. Все целые числа являются рациональными.

Иррациональные числа

Бесконечная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

Множество иррациональных чисел обозначается J.

Действительные числа

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных (вещественных) чисел.

Действительные числа обозначаются символом R.

Округление чисел

Рассмотрим число 8,759123… . Округлить до целой части означает записать лишь ту часть числа, которая находится до запятой. Округлить до десятых означает записать целую часть и после запятой одну цифру; округлить до сотых — после запятой две цифры; до тысячных — три цифры и т.д.

Округлить 8,759123… с точностью до целой части.

Округлить 8,759123… с точностью до десятой части.

Округлить 8,759123… с точностью до сотой части.

Округлить 8,759123… с точностью до тысячной части.

Числа. Иррациональные числа.

Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число. Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например, квадратный корень из двух – является числом иррациональным.

Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:

,

Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.

Свойства иррациональных чисел.

  • Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
  • Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
  • Всякое вещественное трансцендентное число — это иррациональное число.
  • Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
  • Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
  • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
  • Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
  • Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
  • Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
  • Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).

Множество целых, рациональных и иррациональных чисел

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7

Множество всех чисел, противоположных натуральным, называется множеством целых отрицательных чисел . Сами натуральные числа при этом называют целыми положительными числами. Множество целых отрицательных чисел, множество целых положительных чисел и число нуль вместе называются множеством целых чисел.

Это множество обозначается Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.Сами натуральные числа иногда записывают со знаком плюс (+) Z+, а им противоположные пишут со знаком минус (–) Z-. Знак минус перед целым отрицательным числом называется знаком количества в отличие от знака вычитания, который называется знаком действия.

Результаты сложения, вычитания и умножения целых чисел являются целыми числами, а Результат деления целых чисел не всегда является целым числом.

Множество рациональных чисел:

(2.1)
где m — целое число; n — натуральное число.

Рациональные числа — это числа, представимые в виде дроби . Все натуральные и целые числа — рациональные. Т.е. Множество целых чисел и множество натуральных чисел являются подмножествами множества рациональных чисел. Пример рационального множества можно привести: .

Множество иррациональных чисел это множество чисел, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными. Примеры иррациональных чисел — .

Множество действительных (вещественных) чисел: это объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел. Обозначается.

R = {a0, a1, a2, a3, a4, a5,… a0 Î Z, ak Î {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}}.

Любое действительное число можно отобразить на числовой прямой:

Для перечисленных выше множеств чисел справедливо следующее высказывание:

N Ì Z Ì Q Ì R

Числовой осью называется прямая, на которой изображаются действительные числа. Для превращения прямой в числовую ось необходимо:

· выбрать положительное направление — одно из двух возможных на прямой (обычно слева-направо);

· выбрать начало отсчёта О и точку А — конец единичного отрезка (единицу масштаба).

Тогда всякое действительное число будет изображаться точкой числовой оси по следующим правилам. Число 0 изображается точкой О, число а — точкой А. Если число x положительно, оно изображается точкой В, такой что она находится по ту же сторону от точки О, что и точка А. Если же число х отрицательно, оно изображается такой точкой С, которая находится по разные стороны от точки О с точкой А. Такое соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел взаимно однозначно. Поэтому часто понятия «точка числовой прямой» и «действительное число» не различаются, в частности, оба вышеупомянутых множества обозначаются одной и той же буквой R.

Иррациональное число

Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — e π {\displaystyle e^{\pi }} и π

Иррациона́льное число́ — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби ± m n {\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}} , где m , n {\displaystyle m,n} — натуральные числа. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

О существовании иррациональных чисел (точнее отрезков, несоизмеримых с отрезком единичной длины), знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .

К числу иррациональных чисел относятся отношение π окружности круга к его диаметру, число Эйлера e, золотое сечение φ и квадратный корень из двух; на самом деле все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов, иррациональны.

Иррациональные числа также могут рассматриваться через бесконечные непрерывные дроби. Следствием доказательства Кантора является то, что действительные числа неисчислимы, а рациональные счетны, отсюда следует, что почти все действительные числа иррациональны.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *