Собственный вектор

Содержание

Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений

Задание. Найти общее решение и ФСР однородной системы

Решение. Приведем систему к ступенчатому виду с помощью метода Гаусса. Для этого записываем матрицу системы (в данном случае, так как система однородная, то ее правые части равны нулю, в этом случае столбец свободных коэффициентов можно не выписывать, так как при любых элементарных преобразованиях в правых частях будут получаться нули):

с помощью элементарных преобразований приводим данную матрицу к ступенчатому виду. От второй строки отнимаем первую, от третьей — четыре первых, от четвертой — две первых:

Обнуляем элементы второго столбца, стоящие под главной диагональю, для этого от третьей строки отнимаем три вторых, к четвертой прибавляем вторую:

От четвертой строки отнимем третьей и третью строку умножим на :

Нулевые строки можно далее не рассматривать, тогда получаем, что

Далее делаем нули над главной диагональю, для этого от первой строки отнимаем третью, а ко второй строке прибавляем третью:

то есть получаем систему, соответствующую данной матрице:

Или, выразив одни переменные через другие, будем иметь:

Здесь — независимые (или свободные) переменные (это те переменные, через которые мы выражаем остальные переменные), — зависимые (связанные) переменные (то есть те, которые выражаются через свободные). Количество свободных переменных равно разности общего количества переменных (в рассматриваемом примере , так как система зависит от пяти переменных) и ранга матрицы (в этом случае получили, что — количество ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду):

Так как ранг матрицы , а количество неизвестных системы , то тогда количество решений в ФСР (для проверки, это число должно равняться количеству свободных переменных).

Для нахождения ФСР составляем таблицу, количество столбцов которой соответствует количеству неизвестных (то есть для рассматриваемого примера равно 5), а количество строк равно количеству решений ФСР (то есть имеем две строки). В заголовке таблицы выписываются переменные, свободные переменные отмечаются стрелкой. Далее свободным переменным придаются любые, одновременно не равные нулю значений и из зависимости между свободными и связанными переменными находятся значения остальных переменных. Для рассматриваемой задачи эта зависимость имеет вид:

Тогда придавая в первом случае, например, независимым переменным значения , получаем, что . Полученные значения записываем в первую строку таблицы. Аналогично, беря , , будем иметь, что , что и определяет второе решение ФСР. В итоге получаем следующую таблицу:

Эти две строчки и есть фундаментальным решением заданной однородной СЛАУ. Частное решение системы:

Общее решение является линейной комбинацией частных решений:

где коэффициенты не равны нулю одновременно. Или запишем общее решение в таком виде:

Фундаментальная система решений.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Фундаментальная система решений представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e1 , e2 , …, en-r образуют ее фундаментальную систему решений (Aei =0, i=1,2, …, n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c1 e1 + c2 e2 + … + cn-r en-r ,

где c1 , c2 , …, cn-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Ранг матрицы. Лемма о базисном миноре.

Теорема о ранге матрицы (Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов или строк).

Теорема 4.1. Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

Доказательство (для строк).

1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.

2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.

Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу:

Поскольку является базисным минором, поэтому, разделив полученное равенство на , найдем, что

для всех j=1,2,…,n, где . Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана.

Вычисление ранга методом Гаусса.

Следующие преобразования матрицы называют элементарными:

перестановка местами строк (или столбцов) матрицы;

умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, отличное от нуля;

прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца) матрицы, умноженных на произвольное число k.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы основано на утверждении: если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

Для чего это делается? Ранг матриц такого вида очень легко найти. Он равен количеству строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент. А так как ранг матрицы при проведении элементарных преобразований не изменяется, то полученное значение будет рангом исходной матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли.

Решение системы уравнений методом Гаусса.

См. 7

Векторы в трехмерном пространстве. Операции над векторами.

Проекция вектора на прямую. Проекция суммы векторов и произведения вектора на число

Прямоугольная система координат. Орты.

Разложение вектора по ортам, единственность, координаты вектора.

Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности.

Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству

Координаты суммы, разности, произведения на число.

Скалярное произведение. Свойства скалярного произведения.

Выражение скалярного произведения через координаты векторов.

Угол между векторами. Условие ортогональности векторов

Векторное произведение и его свойства.

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Смешанное произведение и его свойства.

Геометрический смысл смешанного произведения.

⇐ Предыдущая123

Рекомендуемые страницы:

Собственные значения (числа) и собственные векторы.Примеры решений

Будь собой

Второй урок о линейных преобразованиях будет посвящён собственным числам и собственным значениям их матриц, и для более интересного чтения я рекомендую ознакомиться с первой статьёй. Однако если у вас совсем нет времени/сил/желания, то задачи этой страницы можно освоить и чисто формально. С небольшой художественной формальности я, собственно, и начну:

Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например, . И умножим данную матрицу справа на какой-нибудь подходящий столбец. Мне пришёл в голову вектор :

Вроде ничего примечательного – умножили матрицу на вектор-столбец и получили другой вектор-столбец . Обычная векторная жизнь. Но в обществе таких векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты.

Умножим ту же матрицу на :

На последнем шаге вынесли константу. Что произошло? В результате умножения матрицы на вектор , данный вектор птицей Феникс возродился с числовым коэффициентом :

Определение: ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором матрицы . Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы.

Поскольку каждой квадратной матрице соответствует определенное линейное преобразование (в некотором базисе), то, исходя из содержательного смысла, часто говорят о собственных значениях и собственных векторах линейного преобразования.
В Википедии есть удачный геометрический пример (взгляните!), иллюстрирующий рассматриваемые понятия – на репродукции Джоконды синий вектор не меняется в результате перекоса плоскости, а значит, является собственным вектором данного линейного преобразования с коэффициентом . И из комментария к иллюстрации можно сразу узнать, что любой коллинеарный ему вектор – тоже будет собственным вектором данного линейного преобразования. Я скуп на внешние ссылки, но здесь не удержался, пожалуйста, сообщите, если эту картинку вдруг удалят.

Примеры ещё будут, примеры интересные, ну а пока что продолжаем:

В первых абзацах статьи собственный вектор был выставлен «главным действующим лицом», но на самом деле всё немного не так: говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению . И в практических заданиях сначала разыскиваются собственные числа и только потом соответствующие им собственные векторы.

Как найти собственные значения и собственные векторы матрицы?

Проведём исследование и получим алгоритм, по которому нужно решать данную задачу. Люди, которые не очень хорошо разбираются в математике (да и которые хорошо) обычно в страхе или отвращении захлопывают учебник, когда речь заходит о каком-либо доказательстве или выводе какой-нибудь формулы. Но это не тот случай – всё будет понятно даже полному чайнику:

Пример 1

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Перед вами та же матрица, у которой я уже выдал одно собственное значение и один собственный вектор. Давайте научимся добывать их самостоятельно!

Обозначим через неизвестный собственный вектор. Тогда матричное уравнение запишется следующим образом:

В левой части по обычному правилу проведём матричное умножение, в правой части – внесём «лямбду»:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравниваем соответствующие элементы векторов-столбцов и получаем однородную систему линейных уравнений:

Перенесём всё налево:

В первом уравнении за скобки вынесем «икс», во втором уравнении – «игрек»:

По определению, собственный вектор не может быть нулевым , поэтому нас не устраивает тривиальное решение системы. Следовательно, уравнения линейно зависимы и определитель матрицы системы равен нулю:

Это так называемое характеристическое уравнение матрицы , корни которого являются собственными числами данной матрицы.

На практике, как правило, не нужно расписывать подробный вывод формулы – вполне достаточно руководствоваться формальным алгоритмом, и решение задачи можно начать примерно так:

Сначала найдём собственные значения

Составим характеристическое уравнение. Смотрим на исходную матрицу и записываем её определитель, вычитая при этом «лямбду» из чисел главной диагонали:

Раскроем определитель и решим квадратное уравнение:

Таким образом, собственные значения:

Желательно располагать их в порядке возрастания, хотя это не принципиально.

Теперь найдём собственные векторы

В данном примере получены различные собственные числа и каждому из них соответствует свои собственные векторы.

1) Рассмотрим собственное число и подставим значение в однородную систему уравнений :

Для записи системы целесообразно запомнить формальный приём: мысленно либо на черновике подставляем в определитель :
– это и есть коэффициенты системы.

Из обоих уравнений следует:

Если в ходе решения выяснилось, что линейной зависимости нет (т.е. получается только тривиальное решение, в данном примере ) – ищите ошибку! Этот признак касается всех задач рассматриваемого типа.

Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и, придавая переменной «игрек» (либо «икс») произвольные значения, мы получаем бесконечно много собственных векторов . Все они будут коллинеарны друг другу, и поэтому нам достаточно указать один из них. Обычно стараются выбрать «красивый» вектор – чтобы его «иксовая» координата была положительной, целой и минимальной, а «игрек» не дробным.Этому эстетическому критерию соответствует значение , тогда:

Теперь обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы:

Таким образом: – первый собственный вектор.

2) Найдём собственные векторы, соответствующие числу . Для этого мысленно либо на черновике подставим его в определитель и запишем вторую однородную систему:

Из обоих уравнений следует, что .

Положим , тогда: .

В результате: – второй собственный вектор.

Повторим важные моменты решения:
– полученная система непременно имеет общее решение (уравнения линейно зависимы);

– «игрек» подбираем таким образом, чтобы он был целым и первая «иксовая» координата – целой, положительной и как можно меньше.

– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .

Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.

В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать векторы-столбцы.

Возможно, решение показалась вам очень длинным, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример.

Пример 2

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Тренируемся самостоятельно! Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно:

записать каноническое разложение матрицы

Что это такое?

Если собственные векторы матрицы образуют базис, то она представима в виде:

, где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица с соответствующими собственными числами.

Такое разложение матрицы называют каноническим или диагональным.

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны) и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:
– ещё раз подчёркиваю важность порядка: «двойка» соответствует 1-му вектору и посему располагается в 1-м столбце, «тройка» – 2-му вектору.

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана находим . Нет, это не опечатка! – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Осталось записать каноническое разложение матрицы :

Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно .

Разрешив матричное уравнение относительно диагональной матрицы, можно получить другое соотношение:

Диагональную матрицу также называют матрицей линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Если не очень понятно, то давайте вспомним заключительную часть урока о линейных преобразованиях. В ней мы выяснили, что одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы (в частности, матрицы и в нашем примере). И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов (в случае его существования).

Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования в одном и том же векторном пространстве имеют один и то же характеристический многочлен, из-за чего характеристическое уравнение, вероятно, и получило своё название.

Так, легко убедиться, что характеристическое уравнение матрицы :
– совпадает с характеристическим уравнением матрицы , которое мы получили в 1-м примере.

Однако такой удобный базис существует далеко не всегда:

Пример 3

Найти каноническое разложение матрицы

Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены кратные собственные числа.

Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Вторая координата принудительно равна нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что . Не ленимся, и проверяем, что эта пара значений удовлетворяет каждому уравнению системы!

Таким образом, кратным собственным числам соответствует одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов в «лице» вектора , и поэтому канонического разложения матрицы не существует.

Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

У рассмотренного примера есть простое геометрическое объяснение: матрица определяет не что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов, которые это линейное преобразование переводит в коллинеарные исходным, причём равные векторы (коль скоро, )

Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах. Кстати, об условии – его могут сформулировать и коварно: записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Коварство состоит в том, что здесь можно найти собственные числа и машинально дать нелегальный ответ . Но базиса-то не существует!

И сейчас назрели важные вопросы:

Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?

Ну, во-первых (вроде не говорил), эти понятия определены только для квадратных матриц.

И с собственными числами всё просто:

у матрицы существует ровно собственных значений.

Могут ли они быть комплексными? Запросто. Простейший пример: – матрица поворота декартовой системы координат против часовой стрелки на угол , отличный от 180 и 360 градусов. Возьмём «школьный» угол в 30 градусов, запишем соответствующую матрицу поворота и составим характеристическое уравнение:
Оно имеет сопряжённые комплексные корни , и дальнейшее решение показывает, что у рассматриваемого преобразования нет действительных собственных векторов. И это очевидно – при повороте на 30 градусов любой ненулевой вектор отображается в неколлинеарный ему вектор.

Случай второй, самый распространённый. Собственные числа матрицы действительны и различны (как, например, в Примерах 1, 2). Такое линейное преобразование имеет ровно собственных линейно независимых векторов, и его недиагональную матрицу всегда можно записать в виде .

Случай третий, самый интересный. Среди собственных чисел есть кратные, или же только кратные, как в Примере 3. В этих случаях неколлинеарных собственных векторов может оказаться… сколько угодно! Меньше, чем собственных чисел (Пример 3). Может оказаться ровно штук, и тогда будет существовать разложение .

А может – вообще бесконечно много! Например, при повороте плоскости на 180 градусов. Ему соответствует матрица с характеристическим уравнением с кратными собственными числами ; и, продолжая стандартное решение, мы приходим к симпатичной системе , которой удовлетворяют координаты вообще любого вектора. Таким образом, любой ненулевой вектор этого преобразования является собственным! Оно и неудивительно – ведь при повороте на 180 градусов любой ненулевой вектор отображается в коллинеарный и противоположно направленный вектор, например:
, и, вынося собственное число из столбца: , мы окончательно убеждаемся, что – есть собственный вектор.

Следует отметить, что этот поворот – частный случай преобразования подобия, и у подобия, к слову, тоже любой ненулевой вектор собственный. Коэффициент же подобия – есть не что иное, как соответствующее собственное значение, в частности, при все геометрические объекты сохраняют свои размеры неизменными

Однако не будем слишком увлекаться геометрией – ведь в термины вектор, базис и др. вкладывается, прежде всего, алгебраический смысл. Собственные векторы и собственные значения используются во многих математических задачах, моделях, но мы не будем увлекаться и ими 🙂 – сейчас важно освоить техническую сторону вопроса.

И задачи с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Пример 4

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Решение: такая формулировка задачи смущать не должна – ведь это и есть «генеральная линия партии». Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером № 1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.

По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.

Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-й степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере № 1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:
Выполненное действие не привело к заметному результату.

Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение, получаем .

Таким образом:

Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:

Найдем собственные векторы:

1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система.

Компактные координаты даёт значение

Собственный вектор:

И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .

Пусть

Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение:

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим , тогда:

Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор

Ответ: собственные векторы:

Геометрически эти векторы задают три различных пространственных направления («туда-обратно»), по которым линейное преобразование переводит ненулевые векторы (собственные векторы) в коллинеарные им векторы.

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение , то здесь это возможно, т.к. различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы. Составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу .

Если же по условию нужно записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов, то ответ даём в виде . Разница есть, и разница существенная! Ибо оная матрица – есть матрица «дэ».

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнее представить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:

Пример 6

Найти собственные числа и собственные векторы

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:

И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:

В результате получены собственные числа , два из которых кратны.

Найдем собственные векторы:

1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:

Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:

Лучшей комбинации не найти:
Собственный вектор:

2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений:

Собственные векторы – это в точности векторы
фундаментальной системы решений

Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений, будут вынуждены вкурить её сейчас.

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.
– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два.

Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).

В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:

Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:

Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор представляет собой линейную комбинацию векторов фундаментальной системы.

Ответ: собственные числа: , собственные векторы:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти собственные числа и собственные векторы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых собственных векторов, и поэтому исходная матрица представима в каноническом разложении . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:

Пример 8

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение: составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:
– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1) С корнем затруднений не возникает:

Не удивляйтесь, помимо комплекта в ходу также переменные – разницы тут никакой.

Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:

Из обоих уравнений следует:

Пусть , тогда:

2-3) Для кратных значений получаем систему .

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.

(2) Последние две строки одинаковы, одну из них удалили.

(3) Дальше пошла уместная доводка матрицы методом Гаусса-Жордана: к первой строке прибавили вторую строку.

(4) У первой строки сменили знак.

Переменные – базисные, переменная – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы: , и, задавая свободной переменной значение , получаем нашего героя:

Ответ: собственные числа: , собственные векторы: .

Здесь матрицу нельзя представить виде – по той простой причине, что «собственного» базиса не существует – хоть трёхмерные векторы-столбцы и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор.

Шестое чувство мне подсказывает, что многие воодушевились на задание повышенной сложности:

Пример 9

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
Можно ли записать каноническое разложение этой матрицы?

Не беда, если дело застопорилось, в психотерапевтических целях отложите тетрадь с решением на чёрный день. Когда заест скука – самое то =)

Успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:
– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1)
Пусть
– собственный вектор.
2)
Пусть
– собственный вектор.
Ответ: собственные значения: , собственные векторы: .

Пример 5: Решение: сначала найдем собственные числа. Составим и решим характеристическое уравнение:
Определитель раскроем по первой строке:
– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1)
Пусть
2)
Пусть
3)
Пусть
Ответ: собственные векторы:

Пример 7: Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
– собственные значения.
Найдем собственные векторы:
1-2)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
Выразим базисную переменную через свободные переменные: и запишем общее решение: . Найдём векторы фундаментальной системы, которые в данной задаче являются собственными векторами матрицы:
Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:
Примечание: в качестве решения системы линейных уравнений данного пункта напрашивается тройка , но столбец линейно выражается через векторы фундаментальной системы. Использование такого и подобных ему решений в качестве одного из собственных векторов корректно, но нестандартно.
3)
Пусть
Ответ: собственные числа: , собственные векторы:

Пример 9: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель вычислим понижением порядка. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –1. К четвёртой строке прибавим вторую строку, умноженную на :
Разложим определитель по 4-му столбцу:
К третьей строке прибавим первую строку:
Собственные значения:

Найдем собственные векторы:
1)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) Первую и третью строку поменяли местами.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и –2 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на 2.
(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. У первой строки сменили знак, вторую строку умножили на 2.
(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(7) У первой строки сменили знак, последние две строки разделили на 2.
Выразив базисные переменные через свободную, запишем общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор
2-3)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) Первая и четвёртая строки одинаковы. Вторая и третья строки одинаковы. Первую и вторую строку удалили из матрицы.
Выразим базисные переменные через свободные переменные :
Таким образом, общее решение: .
Фундаментальная система состоит из двух векторов:
при получаем ;
при получаем .

4)
Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:
(1) Первую и третью строку поменяли местами.
(2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и 2 соответственно.
(3) Вторую строку разделили на 2.
(4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку.
(5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. Вторую строку умножили на –2.
(6) К первой и второй строкам прибавили третью строку.
(7) Последние две строки разделили на 2.
Общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор .

Ответ: собственные значения: , собственные векторы:
. Перечисленные четыре четырехмерных вектора линейно независимы, и поэтому матрицу линейного преобразования можно записать в виде . Но не нужно =)

Емелин Александр

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР

СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР

оператора- ненулевой вектор из векторногопространства L, к-рый переводится данным оператором в пропорциональныйему вектор, т. е.

где вещественное либо комплексное число наз. собственным значением оператора А. С. в. операторов, собственными функциями.

Для линейного оператора А множество всех С. в., отвечающих одному и тому же собств. значению ,образует линейное подпространство, к-рое наз. собств. подпространством А. Если пространство L конечномерно (n -мерно), а матрицапреобразования А эрмитова, то у неё имеется ровно п различныхС. в., отвечающих вещественным собств. значениям.

Наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах — явлениедовольно редкое, хотя для физ. приложений существенно, что операторы спец. пространство l2 векторов f, g вида (a1,a2,…), (b1, b2,…) со скалярнымпроизведением (черта означает комплексное сопряжение) и соответствующей конечной нормой .Это пространство изоморфно пространству квадратично интегрируемых ф-ций и обладает всеми свойствами последнего.

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой n-мерной матрицы . имеетсяхотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению ,а если к тому же матрица А невырождена,, то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Этосправедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольныйвектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А. Этазадача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленномуиз С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводитсяк умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение .В бесконечномерном случае аналогом этой процедуры диагонализации являетсят. н. спектральное разложение.

Лит. см. при ст. Собственные функции. Л. О. Чехов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

Собственный вектор

Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации (преобразовании) не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению . Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Понятия собственного вектора и собственного числа являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Множество всех собственных векторов линейного преобразования называется собственным подпространством, множество всех собственных значений матрицы или линейного преобразования — спектром матрицы или преобразования.

Определения

Пусть — линейное пространство над полем , — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор , который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа

Если является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то называется высотой корневого вектора .

Корневым подпространством линейного преобразования для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования (-инвариантным подпространством), если

.

  • Собственные подпространства , корневые подпространства и подпространства линейного оператора являются -инвариантными.
  • Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): ;
  • Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

  • Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

если .

  • Метод поиска собственных значений для самосопряженных операторов, и поиска сингулярных чисел для нормального оператора дает теорема Куранта — Фишера.

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в -мерном линейном пространстве , можно сопоставить линейному преобразованию квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

.

  • Характеристический многочлен не зависит от базиса в . Его коэффициенты являются инвариантами оператора . В частности, , не зависят от выбора базиса.
  • Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
  • Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
  • Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
  • Для положительно определённой симметричной матрицы процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение линейных множителей

где — собственные значения; некоторые из могут быть равны. Кратность собственного значения — это число множителей равных в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

  • Размерность корневого пространства равна кратности собственного значения.
  • Векторное пространство разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

где суммирование производится по всем — собственным числам .

  • Геометрическая кратность собственного значения — это размерность соответствующего собственного подпространства ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор , коммутирующий со своим сопряжённым :

.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (), антиэрмитовы операторы () и унитарные операторы (), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

  • Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.
  • Собственные векторы нормального оператора , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если , и , то . (Для произвольного оператора это неверно.)
  • Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.
  • Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.
  • Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности .
  • В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

где суммирование производится по всем — собственным числам , а взаимно ортогональны для различных .

  • Последнее свойство для нормального оператора над является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица называется положительной, если все её элементы положительны: .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона — Фробениуса): Положительная квадратная матрица имеет положительное собственное значение , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению соответствует собственный вектор , все координаты которого строго положительны. Вектор — единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор с положительными координатами. Положим:

Последовательность сходится к нормированному собственному вектору .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Неравенства для собственных значений

  • Неравенство Шура Пусть — собственные значения матрицы .

Тогда

, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда — нормальная матрица.

  • Пусть — собственные значения матрицы , где матрицы эрмитовы. Тогда:

и

  • Пусть — эрмитовы матрицы, . Упорядочим собственные значения этих матриц в порядке возрастания: . Тогда при и при

См. также

  • Алгоритм вычисления собственных значений

Примечания

  1. Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 206
  2. 2,0 2,1 Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 207

Литература

Для улучшения этой статьи желательно:

  • Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

Источник — «http://wp.wiki-wiki.ru/wp/index.php?title=Собственный_вектор&oldid=119767»

  • Последнее изменение этой страницы: 01:20, 12 апреля 2016.
  • Политика конфиденциальности
  • Описание Википедии
  • Отказ от ответственности
  • Копия Википедии на технологической базе проекта ВикиЗнание

Навигация

Гость

Персональные инструменты
  • Создать учётную запись
  • Войти
Пространства имён
  • Статья
  • Обсуждение
Варианты
Просмотры
  • Просмотр
  • Править
  • История
Действия
Векторы и матрицы
Векторы
Основные понятия
Виды векторов

Единичный вектор • Аксиальный вектор • Изотропный вектор • Нормаль • Коллинеарность • Нулевой вектор • Радиус-вектор • Собственный вектор

Операции над векторами
Типы пространств
Матрицы
Основные понятия
Специальные матрицы

Единичная матрица • Нулевая матрица • Диагональная матрица • Лямбда-матрицы • …

Разложения матриц
Другое

Векторное исчисление •</span> Система линейных алгебраических уравнений • Векторная функция • Билинейная форма • Квадратичная форма</td></tr></table>

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *