Упругие свойства твердых тел

Деформации твердого тела

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация называетсяупругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называютсяпластическими(илиостаточными). Реальные тела под действием внешних сил, как правило, испытывают упругие и пластические деформации пластические, так как они после прекращения действия внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если остаточные деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать лишь упругие деформации, что мы и будем делать.

В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис. 34), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силыи , в результате чего длина стержня меняется на величину . Естественно, что при растяжении положительно, а при сжатии — отрицательно.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называетсянапряжением:

(21.1)

Если сила направлена по нормали к поверхности,напряжение называетсянормальным, если же по касательной к поверхности —тангенциальным.

Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является егоотносительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

, (21.2)

относительное поперечное растяжение (сжатие)

где d — диаметр стержня.

Деформации и всегда имеют разные знаки. Из опыта вытекает их взаимосвязь:

где — положительный коэффициент, зависящий от свойств материала, называемыйкоэффициентом Пуассона(С. Пуассон (1781—1840) — французский ученый).

Английский физик Р. Гук (1635— 1703) экспериментально установил, что для малых деформаций относительное удлинение и напряжение прямо пропорциональны друг другу:

(21.3)

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга (Т. Юнг (1773—1829) — английский ученый).

или

(21.4)

где k —коэффициент упругости. Выражение (21.4) также задает закон Гука, согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

Деформации твердых тел подчиняются закону Гука лишь в очень узких пределах (до предела пропорциональности ). При дальнейшем увеличении напряжения зависимость уже нелинейна, хотя деформация еще упругая вплоть допредела упругости ( ) и остаточные деформации не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации, т.е. тело в первоначальное состояние после прекращения действия силы не возвращается. Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (» 0,2 %), называетсяпределом текучести ( ). При этом деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называетсяобластью текучести (илиобластью пластических деформаций). Материалы, для которых область текучести значительна, называютсявязкими, а для которых область текучести практически отсутствует— хрупкими. При дальнейшем растяжении тела происходит его разрушение. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называетсяпределом прочности ( ).

Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил проявлять себя как хрупкое, а при длительных, но слабых силах является текучим.

Вычислим потенциальную энергию упругорастянутого (сжатого) стержня, которая равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

где х — абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0до . Согласно закону Гука (21.4), . Поэтому

т. е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадрату деформации .

Рис. 36

Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу (рис.36), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы

где — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; h — расстояние между слоями (для малых углов ).

Контрольные вопросы

· Что такое момент инерции тела?

· Какова роль момента инерции во вращательном движении? Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и как ее вывести?

· Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

· Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

· В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В каких системах он выполняется? Приведите примеры.

· Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона сохранения момента импульса?

· Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.

· Что такое свободные оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми? Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?

· Сформулируйте закон Гука. Когда он справедлив?

· Что такое пределы пропорциональности, упругости и прочности? Каков физический смысл модуля Юнга?

Задачи

4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) их отношение в данный момент времени.

4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F =100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М=2 Н м. Определить массу т диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 12 рад/с2

4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m = 1 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами = 1 кг и = 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение грузов; 2) отношения сил натяжения нити.

4.5. Человек массой m = 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M = 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.

4.6. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа 621 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа.

3. Деформацию, которая возрастает без увеличения напряжения;

4. Отношение абсолютной деформации к первоначальной длине;

5. Отдельных слоев биологических тканей смещаться с некоторой скоростью относительно других ее слоев.

Задача №2. Пределом прочности биологических тканей называют …

1. Механическое напряжение, при котором происходит разрушение;

2. Механическое напряжение, ниже которого деформация сохраняет упругий характер;

3. Механическое напряжение, начиная с которого деформация становится текучей;

4. Механическое напряжение, при котором исчезает прямая связь между механическим напряжением и деформацией;

5. Механическое напряжение, при котором биологическая ткань резко увеличивается в размерах.

Задача №3. По какой формуле можно найти относительную деформацию?

  1.  = F ∙S;

  2. ε =  / l0;

  3.  = l – l0;

  4.  = F /S;

  5.  = ∙E/

Задача №4. Какая сила вызвала механическое напряжение 24 МПа, если она была приложена к площади равной 5 мм2?

1. 0,21 Н;

2. 4,8 Н;

3. 29 Н;

4. 19 Н;

5. 120 Н.

Задача №5. Какой модуль Юнга сухожилия длиной 0,12 м и площадью поперечного сечения 2 мм2, если под действием силы 68,8 Н оно удлинилось на 2,9 мм?

  1. 3,44108 Па ;

  2. 2,4∙108 Па;

  3. 1,42∙109 Па;

  4. 1,62∙108 Па;

  5. 1,25∙108 Па.

Задача №6. Во сколько раз относительное удлинение артерии больше, чем вены, при одинаковом напряжении в них, если модуль упругости артерии 5104 Па, а модуль упругости вены равен 8,5∙105 Па?

  1. 0,59;

  2. 42,5;

  3. 3,5;

  4. 13,5.

Задача №7. Какое механическое напряжение в стенках сосуда возникает при среднем артериальном давлении 11 кПа, если отношение радиуса просвета к толщине стенки сосуда равно 6?

  1. 1,83 кПа;

  2. 66 кПа;

  3. 0,54 кПа;

  4. 17 кПа;

  5. 5 кПа.

Задача №8. Какая допустима максимальная сила, вызывающая деформацию сжатия бедренной кости штангиста массой 80 кг, при поднятии им штанги, если диаметр бедренной кости 30 мм, а допустимое напряжение равно 15107 Па и g = 10 м/с2?

  1. 105,175 кН;

  2. 800,125 кН;

  3. 30,134 кН;

  4. 80,723 кН;

  5. 92,325 кН.

Задача №9. Моделью упругого тела является пружина, подчиняющаяся закону Гука, особенностью которой является то, что…

1. Деформация нарастает линейно до некоторого значения, а после прекращения действия силы перестает меняться;

2. Деформация мгновенно появляется при воздействии силы и мгновенно исчезает после ее прекращения;

3. При воздействии силы пружина мгновенно растягивается, а затем начинается линейное нарастание деформации;

4. Деформация возрастает линейно пропорционально воздействующей силе;

5. Деформация возникает с задержкой во времени, а затем возрастает линейно пропорционально воздействующей силе.

Задача №10. Сосудистая ткань представляет собой …

1.армированный композиционный материал, половину объема которого составляет гидроксилапатит;

2.гетерогенную ткань, состоящую из 3-х наложенных друг на друга слоев: эпидермиса, дермы и подкожной клетчатки ;

3.совокупность мышечных клеток и внеклеточного вещества, состоящего из коллагена и эластина;

4. волокна коллагена, эластина и основного вещества — матрицы;

В твердых телах – аморфных и кристаллических – частицы (молекулы, атомы, ионы) совершают тепловые колебания около положений равновесия, в которых энергия их взаимодействия минимальна. При увеличении расстояния между частицами возникают силы притяжения, а при уменьшении – силы отталкивания. Силы взаимодействия между частицами обусловливают механические свойства твердых тел.

Деформация твердого тела является результатом изменения под действием внешних сил взаимного расположения частиц, из которых состоит тело, и расстояний между ними.

Существует несколько видов деформаций твердых тел. Некоторые из них представлены на рис. 3.7.1.

Рисунок 3.7.1.

Некоторые виды деформаций твердых тел: 1 – деформация растяжения; 2 – деформация сдвига; 3 – деформация всестороннего сжатия

Простейшим видом деформации является деформация растяжения или сжатия. Ее можно характеризовать абсолютным удлинением Δl, возникающим под действием внешней силы Связь между Δl и F зависит не только от механических свойств вещества, но и от геометрических размеров тела (его толщины и длины).

Отношение абсолютного удлинения Δl к первоначальной длине l образца называется относительным удлинением или относительной деформацией ε:

При растяжении ε > 0, при сжатии ε < 0.

Если принять направление внешней силы, стремящейся удлинить образец, за положительное, то F > 0 при деформации растяжения и F < 0 – при сжатии. Отношение модуля внешней силы F к площади S сечения тела называется механическим напряжением σ:

За единицу механического напряжения в СИ принят паскаль (Па). Механическое напряжение измеряется в единицах давления.

Зависимость между ε и σ является одной из важнейших характеристик механических свойств твердых тел. Графическое изображение этой зависимости называется диаграммой растяжения. По оси абсцисс откладывается относительное удлинение ε, а по оси ординат – механическое напряжение σ. Типичный пример диаграммы растяжения для металлов (таких как медь или мягкое железо) представлен на рис. 3.7.2.

Рисунок 3.7.2.

Типичная диаграмма растяжения для пластичного материала. Голубая полоса – область упругих деформаций

При малых деформациях (обычно существенно меньших 1 %) связь между σ и ε оказывается линейной (участок Oa на диаграмме). При этом при снятии напряжения деформация исчезает. Такая деформация называется упругой. Максимальное значение σ = σпр, при котором сохраняется линейная связь между σ и ε, называется пределом пропорциональности (точка a). На линейном участке выполняется закон Гука:

Коэффициент E в этом соотношении называется модулем Юнга.

При дальнейшем увеличении напряжения связь между σ и ε становится нелинейной (участок ab). Однако при снятии напряжения деформация практически полностью исчезает, т. е. восстанавливаются размеры тела. Максимальное напряжение на этом участке называется пределом упругости .

Если σ > σупр, образец после снятия напряжения уже не восстанавливает свои первоначальные размеры и у тела сохраняется остаточная деформация εост. Такие деформации называются пластическими (участки bc, cd и de). На участке bc деформация происходит почти без увеличения напряжения. Это явление называется текучестью материала. В точке d достигается наибольшее напряжение σmax, которое способен выдержать материал без разрушения (предел прочности). В точке e происходит разрушение материала.

Материалы, у которых диаграмма растяжения имеет вид, показанный на рис. 3.7.2, называются пластичными. У таких материалов обычно деформация εmax, при которой происходит разрушение, в десятки раз превосходит ширину области упругих деформаций. К таким материалам относятся многие металлы.

Материалы, у которых разрушение происходит при деформациях, лишь незначительно превышающих область упругих деформаций, называются хрупкими (стекло, фарфор, чугун).

Аналогичным закономерностям подчиняется и деформация сдвига (рис. 3.7.1 (2)). В этом случае вектор силы направлен по касательной к поверхности образца. Относительная деформация определяется безразмерным отношением Δx / l, а напряжение – отношением F / S (сила, действующая на единицу площади поверхности). При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности G в этом отношении называется модулем сдвига. Модуль сдвига для большинства твердых материалов в 2–3 раза меньше модуля Юнга. Например, у меди E = 1,1·1011 Н/м2, G = 0,42·1011 Н/м2. Следует помнить, что у жидких и газообразных веществ модуль сдвига равен нулю.

На рис. 3.7.1 (3) показана деформация всестороннего сжатия твердого тела, погруженного в жидкость. В этом случае механическое напряжение совпадает с давлением p в жидкости. Относительная деформация определяется как отношение изменения объема ΔV к первоначальному объему V тела. При малых деформациях

Коэффициент пропорциональности B в этой формуле называется модулем всестороннего сжатия.

Всестороннему сжатию могут подвергаться не только твердые тела, но и жидкости и газы. У воды B = 2,2·109 Н/м2, у стали B = 1,6·1011 Н/м2. На дне Тихого океана, на глубине порядка 4 км, давление p приблизительно равно 4·107 Н/м2. В этих условиях относительное изменение ΔV / V объема воды составляет 1,8 %, в то время как для стального тела оно составляет всего лишь 0,025 %, т. е. в 70 раз меньше. Твердые тела с их жесткой кристаллической решеткой значительно менее сжимаемы по сравнению с жидкостями, атомы и молекулы которых не так сильно связаны со своими соседями. Сжимаемость газов на много порядков выше, чем у жидкостей и твердых тел.

Величина модуля всестороннего сжатия определяет скорость звука в данном веществе

Изменение размеров и формы тел под действием приложенных сил называется деформацией. Если после прекращения действия сил, вызвавших де­формацию, тело принимает первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации происходят в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит неко­торый, определенный для каждого конкретного тела предел. При превышении этого предела тело получает остаточные (пластические) деформации, т.е. такие деформации, которые сохраняются и после прекращения действия силы. Все возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум основным: растяжению-сжатию и сдвигу.

Диаграмма деформации. Качественное поведение функциональной связи между относительной деформацией ε и напряжением σ представлено графически на рис. 16. При малых деформациях (прямая линия 0-П) наблюдается область пропорциональной упругой деформации. Здесь выполняется закон Гука. В области П-У деформация – также упругая, но закон Гука не справедлив. Начиная с точки У, вплоть до точки Т наблюдается область остаточных неупругих деформаций. Интервалу Т-Р соответствует область текучести, когда приложение незначительного усилия приводит к повышенной необратимой деформации. Вблизи точки Р текучесть прекращается, и для дальнейшего деформирования тела требуется приложение повышенного усилия. Однако это дополнительное усилие приводит к разрушению тела. Ниже перечислены названия особых точек и областей деформации:

П – предельная точка пропорциональной деформации,

У – предел упругости,

0-У – область упругих деформаций,

Т – предел текучести,

У-Т – область остаточных деформаций,

Т-Р – область текучести,

Р – предел прочности, точка разрыва.

Рис. 16

Продольное растяжение-сжатие (рис. 17 и 18). Если к концам однородного стержня постоянного сече­ния приложить направленные вдоль его оси силы F1 и F2, действие которых равномерно рас­пределено по всему сечению, причем F1 = – F2, то первоначальная длина стержня l0 полу­чит положительное (при растяжении), либо отрицатель­ное (при сжатии) приращение Δl = l – l0 и станет равной l. При этом каждый произвольно выбранный элемент длины стержня δl получает приращение Δ(δl), пропорциональное его длине, так что для всех элементов стержня отношение Δ(δl)/δl оказывается одним и тем же. Естественно поэтому в качестве величины, характеризующей деформацию стерж­ня, взять относительное изменение его длины: ε = Δl/l0. Относительное удли­нение ε является безразмерной величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия отрица­тельно.

Закон Гука для стержней из однородного материала – относительное удлинение при упругой деформации про­порционально силе, приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:

ε = a∙F / S = a∙s .

Коэффициент пропорциональности a называется коэф­фициентом упругости (упругой податливости). Он зависит только от свойств материала стержня. Величина s, равная отношению силы F к величине по­верхности S, на которую сила действует, называется напряжением F / S = s. Если сила направлена по нормали к поверх­ности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена по касательной к поверхности, на ко­торую она действует, напряжение называется тангенциальным (или касательным). (Нормальное напряжение принято обозначать символом s, тангенциальное – τ). Итак, относительное удлинение оказывается пропорциональным нормальному напряжению, и коэффициент упругости a численно равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.

Наряду с коэффициентом упругости a для характе­ристики упругих свойств материала пользуются обрат­ной ему величиной Е = 1/ɑ, которая называется модулем Юнга. Заменяя ɑ через Е в формуле ε= ɑ∙s, получим другую форму закона Гука:

 = (1/Е) ∙s.

Рис. 17 Рис. 18 Рис. 19

Следовательно, модуль Юнга равен нормальному напряжению, при котором относительное удлине­ние равно единице (т. е. приращение длины Δl равно первоначальной длине l0, если бы столь большие упругие деформации были доступны). На са­мом деле, при значительно меньших напряжениях про­исходит разрыв стержня, а пре­дел упругости достигается еще раньше.

С учетом формул s = F / S и  = Δl / l0 из закона Гука  = s / Е следует формула упругой силы:

F = (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl,

где k – постоянный для данного стержня коэффициент, который для пружин называется жесткостью пружины.

Изменение длины стержня при деформации сопро­вождается изменением относительным поперечным расширением или сжатием:

ε’ = Δ d / d.

Обычно ε и ε’ имеют противоположные знаки: при растяжении ε положительно, a ε’ отрицательно, при сжатии  отрицательно, a ’ положительно. Опыт дает, что в области упругих деформаций ε’ пропорционален ε :

 ε’ = – μ.∙ε,

где μ – коэффициент поперечного сжатия или коэффи­циент Пуассона (положительный коэффициент, зависящий только от свойств материала).

Деформация сдвига (рис. 19). Возьмем однородное тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням силы и ( = – ), направленные параллельно этим граням. Если действие сил будет равномерно распределено по всей поверхности соответствующей грани S, то в любом сече­нии, параллельном этим граням, возникнет тангенциаль­ное напряжение τ = F / S. Под действием напряжения тело деформируется та­к, что одна грань смещается относительно другой грани на некоторое расстояние а. Если тело мысленно разбить на элементарные гори­зонтальные слои, то каждый слой окажется сдвинутым относитель­но соседних с ним слоев.

При деформации сдвига любая прямая, первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый угол j. Следовательно, отношение сдвига δа двух произвольно взятых слоев к расстоянию между этими слоями δb будет одинаково для любой пары слоев. Это отношение естественно взять в качестве характери­стики деформации сдвига : .

Величина g называется относительным сдвигом. В силу малости угла j можно положить tg j ≈ j. Сле­довательно, относительный сдвиг g оказывается равным углу сдвига j (выраженному в радианах). Опыт показывает, что для малых деформаций относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:

Коэффициент G зависит только от свойств материа­ла и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказался бы равным 45° (tg j = 1), если бы при столь больших деформациях не был превзойден предел упру­гости.

Кручение круглого стержня (рис. 20). Если круглый стержень закрепить одним концом неподвижно, а к другому концу приложить враща­тельный момент (момент пары сил) , имеющий

направ­ление вдольоси стержня, то стержень получит такую деформа­цию, при которой одно основа­ние повернется по отношению к другому на некоторый угол j.

Деформация кручения – это пример неоднородного сдвига. Действительно, если мыс­ленно разбить стержень на элементар­ные слои, перпендикулярные к его оси, то закручивание приведет к сдвигу каждого из таких слоев по риотношению к соседним слоям. Правда, этот сдвиг Рис. 20

будет неоднороден: участок слоя ΔS получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня. Угол

закручивания стержня определяется следующим выражением: Рис. 48

,

где l – длина стержня, R – радиус его сечения, G – модуль сдви­га, М – вращательный момент (момент сил).

Энергия упругой деформации. Упруго деформирован­ное тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в начальное состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над внешними телами, т.е. обладает некоторым запасом энергии. Поскольку эта энергия обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представ­ляет собой потенциальную энергию WП. Запас энергии де­формированного тела равен работе, которая совершается внешними силами при деформации WП = A. Вычислим энергию упруго растянутого стержня. При растяжении на стержень необходимо дей­ствовать силой, модуль которой определяется выраже­нием F = k∙Δl. Работа этой силы равна: , где буквой х обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации изменяется от 0 до Δl. Сила F, соответствующая удлинению х, согласно формуле F = (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl, равна

F = k∙x = (Е∙S / l0)× x.

Следовательно,

Умножая числитель и знаменатель полученного выра­жения на l0, заменяя затем отношение Δl / l0 относитель­ным удлинением e = Δl / l0 и учитывая, наконец, что произведение S∙l равно объему стержня V, получим:

.

Введем в рассмотрение плотность энергии w, кото­рую определим как отношение энергии ΔW к тому объ­ему ΔV, в котором она заключена. Поскольку в нашем случае стержень однороден и де­формация является равномерной, т. е. одинаковой в раз­ных точках стержня, энергия распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно считать, что выражение

определяет плотность энергии упругой де­формации при растяжении (или при сжатии). Аналогич­ным образом можно получить, что плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна:

.

В области пропорциональной деформации справедливы также эквивалентные формулы:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *