Ядро линейного оператора

Линейные операторы

1. Понятие линейного оператора

Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S. Для этого отображения будем использовать обозначение y=A(x) или y=Ax.

Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения

  1. A(x1+x2)=Ax1+Ax2.
  2. A(λx)=λAx.

Если пространство S совпадает с пространством R, то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R.

Пусть заданы два векторных пространства n-мерный R и m-мерный S, и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение

y=Ax, (1)

где A — m×n -матрица с коэффициентами из поля K. Тогда каждому элементу из R соответствует элемент y=Ax из S. Отображение (1) определяет оператор A. Покажем, что этот оператор обладает свойством линейности. Действительно, учитывая свойства умножения матриц, можно записать:

, (2)
.

Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A, отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K, что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x.

Пусть x − произвольный элемент в R. Тогда

(3)

является разложением x в по базису .

Применим оператор A к базисным векторам :

(4)

где aij − координаты полученного вектора в базисе .

Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем

(5)

Сделаем следующее обозначение:

(6)

Тогда равенство (5) примет следующий вид:

(7)

Построим матрицу A с элементами aij:

(8)

Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:

y=Ax. (9)

Матрица A называется матрицей линейного оператора в заданных базисах и .

2. Сложение линейных операторов

Пусть A и B два линейных оператора действующих из R в S и пусть A и B — mxn − матрицы соответствующие этим операторам.

Определение 2. Суммой линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый равенством

Cx=Ax+Bx, x∈R, (10)

где x∈R означает, что x принадлежит пространстве R.

Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B. Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.

Применим оператор C к базисному вектору ej, тогда:

Cej=Aej+Bej= n (aij+bij)ej
j=1

Следовательно оператору C отвечает матрица ,где i=1,2,…m, j=1,2,…n, т.е.

C=A+B. (11)

3. Умножение линейных операторов

Пусть заданы три линейных пространства R, S и T. Пусть линейный оператор B отображает R в S, а линейный оператор A отображает S в T.

Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=A(Bx), x∈R. (12)

Произведение линейных операторов обозначается C=AB. Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.

Таким образом оператор C отображает пространство R в T. Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A, B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A, B, C

y=Bx, z=Ay, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Bx, z=Ay, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=A(Bx)=(AB)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=AB. (13)

Следовательно произведению операторов C=AB соответствует матричное произведение C=AB.

4. Умножение линейного оператора на число

Пусть задан линейный оператор A отображающий R в S и некоторое число λ из поля K.

Определение 4. Произведением оператора A на число λ называется оператор C, для которого выполняется следующее равенство при любом x из R:

Cx=λ(Ax) (14)

Таким образом оператор C отображает пространство R в S. Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства

y=Ax, z=λy, z=Cx

можно записать в виде матричных равенств

y=Ax, z=λy, z=Cx

где x, y, z − векторы x, y, z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда

Cx=λ(Ax)=(λA)x.

Учитывая произвольность х, получим

C=λA. (15)

Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ.

5. Нулевой оператор

Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O. Действие нулевого оператора можно записать так:

Ox=0.

6. Противоположный оператор

Противоположным оператору A называется оператор −A удовлетворяющий равенству:

−A=(−1)A.

7. Ядро линейного оператора

Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R, для которых выполняется следующее равенство: Ax=0.

Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A.

8. Образ линейного оператора

Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R, для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R.

Образ линейного оператора обозначается символом im A.

9. Ранг линейного оператора

Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A, т.е.: rang A=dim(im A).

52. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора. Собственные вектора и собственные числа линейных операторов.

Опр.1. Отображением А из линейного пространства L в линейное пространство L΄ называется правило по которому к каждому элементу х из L сопоставляется элемент y из L΄.

Опр.2. Отображение А:L→ L΄ из линейного пространства L в линейное пространство Ľ называется линейным отображением или линейным оператором, если выполнены следующие условия: а) А(х+у)=А(х)+А(у) для любых векторов х,у€ L;

б)А(λх)=λА(х) для любого вектора х€ L и любого числа λ€R

Линейный оператор А:L→L΄, который осуществляет отображение линейного пространства L в себя, называют линейным преобразованием, и говорят что линейный оператор А действует в линейном пространстве L.

Для того чтобы доказать линейность какого-либо отображения линейных пространств, нужно проверить условия а),б) определения 2.Линейный оператор переводит нулевой вектор снова в нулевой, и это свойство может рассматриваться как необходимое условие линейности (но не достаточное).

Пример 1.

зададим линейное отображение по правилу Â(х)=Ах, т.е. Ах=

Â: ,

  1. Â(х+у)=А==+=

=Â(х)+ Â(у)

  1. Â(λх)=А=λА=λÂ(х)

Пример 2. Отображение А:R→R n-мерного линейного арифметического пространства в себя, которое задается формулой Ах=а+х, где а≠0 – некоторый фиксированный вектор, не является линейным, т.к., например, образом нулевого вектора является вектор а.

Следствие.Любая матрица порядка m×n определяет линейное отображение из L в Ľ.

Опр. 3. Каждому линейному оператору А:L→ L΄ соответствуют:

  • его ядро kerA- множество тех векторов х € L, для которых Ах= 0΄ , где 0΄- нулевой вектор в L΄;

  • его образ imA – множество векторов у € L΄, являющихся значениями этого оператора.

Теорема1.Для любого линейного оператора А:L→ L΄его ядро kerA является линейным подпространством в L,а его образ imA- линейным подпространством в L΄.

◄Доказательство сводится к проверке условий определения линейного подпространства. Пусть векторы х1 и х2 принадлежат множеству kerA, т.е. Ах1= 0΄, Ах2= 0΄. Тогда согласно условию а) определения 2,

А(х1+х2)=Ах1+Ах2= 0΄+ 0΄= 0΄,

т.е.вектор х1+х2 принадлежит множеству kerA, а, согласно условию б) того же определения, для любого действительного числа λ

А(λх1)= λ(Ах1)= λ 0΄= 0΄,

т.е. и вектор λх1 принадлежат kerA. Как видим, множество kerA замкнуто относительно линейных операций и потому является линейным подпространством.

Если векторы у1 и у2 принадлежат множеству imA, то существуют такие векторы х1,х2 € L, что у1=Ах1,у2=Ах2. Но тогда, согласно условию а) определения2,

у1+у2=Ах1+Ах2=А(х1+х2),

т.е. вектор у1+у2 является значением оператора А и, следовательно, принадлежат imA. Аналогично вектор λу1= λ(ах1)=А(λх1) также входит в множество imA для любого λ €R. Приходим к выводу, что и imA является линейным подпространством, но уже в лин. пространстве L΄.►

Размерность ядра и образа – важнейшие характеристики линейного оператора. Число dim(kerA) называют дефектом линейного оператора А, а число dim(imA) – его рангом.

Среди линейных операторов, отображающих линейное пространство L в себя есть два важных частных случая: тождественный оператор I, который каждый вектор переводит в себя (Ix=x), и нулевой оператор Θ,который каждый вектор отображает в нулевой (Θх=0). Эти два оператора являются предельными с точки зрения дефекта и ранга. Нулевой оператор имеет максимальный дефект (равный dimL) и минимальный ранг (нулевой). Тождественный оператор, наоборот, имеет минимальный дефект (нулевой) и максимальный ранг (равный dimL).Оператор максимального дефекта определен однозначно, а операторов минимального дефекта и максимального ранга бесконечно много.

Отображение, при котором различные векторы имеют различные образы, называется инъективным отображением.

Отображение инъективно тогда и только тогда, когда его ядро – нулевое подпространство.

Матрица линейного оператора.

Пусть А- линейный оператор. А(х)=у, х€L, у€L´,

е1,…,еn- базис в L, а h1,…,hm – базис в L´

,

е1,…,еn относятся в h1,…,hm , А(е1) €L´,

………………………………

рассмотрим матрицу линейного оператора а(х):

Замечание1. i – столбец А есть координаты А(ei) в базисе L´

= =

=

=

…………………………

Замечание2. Линейный оператор А(х) действует по правилу А(х)=Ах, где А – матрица линейного оператора.

Замечание 3. Каждый линейный оператор А можно сопоставить матрицу А: А(х)=Ах с другой стороны каждая матрица А m×n соответствует линейному оператору А(х)=Ах из L

Т.о. между линейным оператором из L в L´ и матрицы m×n существует взаимнооднозначное соответствие в базисах е1,…,еn, h1,…,hm, т.е. если есть лин.оператор.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *