Энергия гармонических колебаний

Энергия гармонических колебаний

Кинетическая и потенциальная энергия гармонических колебаний

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания:

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания (под действием квазиупругой силы):

Учитывая, что

можно записать:

Полная энергия гармонических колебаний

Полная энергия гармонических колебаний равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии:

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы, а с ней и амплитуда колебаний не меняются. При движении тела кинетическая и потенциальная энергия переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия потенциальная энергия достигает минимума, а кинетическая энергия (а с ней и скорость, импульс тела) максимальна.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание Материальная точка массой 10 г колеблется по закону . Найти полную энергию колеблющейся точки.
Решение Полная энергия колеблющейся точки определяется соотношением:

Из уравнения колебаний точки амплитуда колебаний м, циклическая частота рад/с.

Переведем единицы в систему СИ: масса материальной точки г кг.

Вычислим:

Дж

Ответ Полная энергия материальной точки Дж.

ПРИМЕР 2

Задание Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 0,3 мкДж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку будет действовать сила — 22,5 мкН?
Решение Запишем уравнение движения точки:

По второму закону Ньютона, сила, действующая на точку:

Ускорение точки найдем, дважды продифференцировав уравнение движения:

Тогда сила:

откуда:

Полная энергия колеблющейся точки определяется формулой:

откуда

и выражение для синуса перепишется в виде:

Тогда смещение материальной точки:

Переведем единицы в систему СИ: амплитуда колебаний см м; полная энергия колебаний мкДж Дж; сила мкН Н.

Вычислим:

Ответ Смещение материальной точки 1,5 см.

5.2. Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения

Кинетическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону, можно вычислить по известной фор­муле, используя выражение (5.12):

(5.24)

Потенциальную энергию колебательного движения найдем, исходя из общей формулы для потенциальной энергии упругойдеформации и используя выражение (5.8):

(5.25)

Суладывая кинетическую (5.24) и потенциальную (5.25) энергии, получаем полную механическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону:

(5.26)

При отсутствии сил трения полная механическая энергия сис­темы не изменяется:

(5.27)

Графически зависимости кинетической, потенциальной и пол­ной механической энергий колеблющейся системы от времени по­казаны на рис. 5.8.

5.3. Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может одновременно участвовать в несколь­ких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекто­рию результирующего движения, следует сложить колебания. Наи­более просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рас­смотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участву­ет в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Анали­тически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

Допустим, что частоты скла­дываемых колебаний одинаковы тогда результи­рующее смещение точки

Выполним такое сложение с по­мощью векторной диаграммы. Изо­бразим положение векторов ив начальный момент времени (рис. 5.9), углы между этими век­торами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний 01 и 02. Вектор — амплитуда результирующего колебания. Так как и вращаютсяс одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор — будет вращаться с той же угловой скоро­стью, т. е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой

(5.29)

Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу 1 через заданные значения Применяя теорему косинусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 5.9, получаем

Так как–cos= -cos = cos (02 — 01), то

(5.30)

Как видно из рис. 5.9, tg  равен отношению проекции на ось OY к проекции на ось ОХ, т. е. Ау /Ах. Учитывая, что проек­ция суммы равна сумме проекций, имеем

(5.31)

Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу резуль­тирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следую­щие частные случаи:

и тогда

т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме ампли­туд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу(рис. 5.10, а);

тогда

т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амп­литуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу  (рис. 5.10, б). В частности, при A1 = A2 имеем А = О, т. е. колебания нет (рис. 5.10,в). Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колеба­ниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна. Если частоты складываемых ко­лебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармо­ническим.

Интересен случай, когда частотыслагаемых колебаний мало отличают­ся друг от друга:

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медлен­но изменяющейся амплитудой (ампли­тудная модуляция). Такие колебанияназываются биениями (рис. 5.11).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует вдвух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

(5.34)

Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т. е.тогда

(5.35)

Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значенияt, то можно определить координатых иу, а сово­купность координат и есть траектория. Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимостиу = f(x), для получения ко­торой следует исключить время из уравнений (5.35). Произведя ма­тематические преобразования, получим уравнение эллипса:

(5.36)

Таким образом, при одновременном участии в двух взаим­но перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).

Из выражения (5.36) вытекают некоторые частные случаи:

(5.38)

тогда

(5.39)

и после преобразований

(5.40)

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А1 и А2, так и от отношения частот 1/2 и разности начальных фаз 01 —  02 слагаемых колебаний (рис. 5.15):

Кинетическая энергия. Потенциальная энергия. Примеры решения задач

Что такое энергия?

Тема урока посвящена энергии. Итак, что это такое?

Энергия – это универсальная количественная мера, характеризующая движение и взаимодействие тел. Энергия в механике может быть двух видов – потенциальная и кинетическая.

Потенциальная энергия тела над землей

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия. Потенциальная энергия тела, поднятого над землей, определяется массой тела, ускорением свободного падения и расположением тела относительно земли:

,

где масса тела, ; высота тела над землей, ; – ускорение свободного падения, .

Потенциальная энергия в общем случае зависит от выбранной системы отсчета. Ведь высоту мы можем отсчитывать не только от поверхности Земли, но и от условно выбранной какой-то точки или какого-либо уровня.

Рис. 1. Потенциальная энергия зависит от выбора системы отсчета

Дополнительная задача 1

Условие

Самолет массой 50 т летит на высоте 10 км со скоростью . Необходимо определить его полную механическую энергию.

Рис. 2. Иллюстрация к условию задачи

Решение

В первую очередь необходимо перевести исходные данные задачи в СИ. Тогда масса самолета будет , скорость – , а высота – .

Когда мы говорим об энергии, нужно помнить, что самолет обладает и потенциальной энергией, поскольку находится на некоторой высоте относительно Земли, и кинетической, так как он обладает еще и скоростью: , где потенциальная энергия , а кинетическая энергия . Тогда полная механическая энергия:

Подставив в формулу все необходимые значения, получим . Обычно ответ записывают сокращенно: , где .

Ответ: в рассмотренной системе отсчета полная механическая энергия равна .

Пример оформления решения

Дано:

СИ

Решение:

Ответ:

Если рассматривать движение самолета на высоте 10 км и считать, что 10 км – это нулевой уровень, самолет будет обладать только кинетической энергией .

Рис. 3. Решение задачи в другой системе отсчета

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия – энергия движения тела. Она определяет запас энергии тела, которое обладает скоростью.

,

где масса тела, ; – скорость тела, .

Так как скорость тела зависит от выбранной системы отсчета, то кинетическая энергия тоже зависит от того, в какой системе отсчета происходит движение тел.

Полученная формула для кинетической энергии справедлива лишь для скоростей, много меньших скорости света в вакууме (). При скоростях, близких к световой, в дело вступает теория относительности, созданная Эйнштейном, о чем мы поговорим в старших классах.

Потенциальная энергия деформированного тела

Поговорим о потенциальной энергии упруго деформированного тела. Когда мы деформируем тело, т. е. меняем его форму или объем, этому телу мы сообщаем некоторую энергию. Пример: мы растягиваем пружину или, наоборот, сжимаем, тем самым изменяя расстояние между атомами и молекулами, и создаем запас потенциальной энергии.

Рис. 4. Удлинение пружины

Для того чтобы вычислить потенциальную энергию деформированного тела, используют следующую формулу:

где жесткость пружины, ; – изменение длины пружины .

Рис. 5. Удлинение пружины под действием грузика,

Изменение длины пружины , где – это начальная длина пружины, длина пружины после растяжения.

Энергия деформированной пружины будет всегда положительной, так входит в формулу потенциальной энергии в квадрате. Даже если (при сжатии пружины), потенциальная энергия все равно останется положительной.

Рис. 6. Сжатие пружины,

Дополнительная задача 2

Условие

На гладкой поверхности располагается пружина, прикрепленная к стене. К пружине прикреплено некоторое тело. Под действием силы в 80 Н пружина растягивается. Жесткость пружины . Определить энергию, запасенную в пружине.

Рис. 6.1. Иллюстрация к задаче

Решение

Так как по условию сказано, что поверхность гладкая, это означает, что сила трения равна 0. Раз сила трения отсутствует, то нет потерь энергии. Когда под действием силы мы деформируем пружину, вся энергия сосредоточена именно в ней. Энергия пружины найдем по формуле:

Сила упругости определяется как произведение жесткости на изменение длины пружины . Тогда деформация пружины .

Подставим теперь выражение для деформации пружины в формулу вычисления энергии:

Подставив все необходимые значения в формулу, получим:

Ответ: энергия, запасенная в пружине равна 8 Дж.

Пример оформления решения

Дано:

Решение:

Ответ:

Полная энергия

Когда мы говорим об энергии, нужно помнить, что тело обладает несколькими видами энергий одновременно. Например, если мы рассмотрим летящий на большой высоте самолет, то можно говорить, что самолет обладает и потенциальной энергией, поскольку находится на некоторой высоте относительно Земли, и кинетической, когда он обладает еще и скоростью.

Рис. 7. Самолет обладает кинетической и потенциальной энергией

Это справедливо в такой системе отсчета, в которой уровень нулевой энергии – поверхность Земли. В других системах отсчета может быть другая энергия самолета (рис. 8).

Рис. 8 Зависимость потенциальной энергии от выбора системы отсчета

Качели обладают и кинетической, и потенциальной энергией. Так, в момент максимального отклонения качелей от положения равновесия: а , так как .

Рис. 9. В момент максимального отклонения качелей от положения равновесия потенциальная энергия качели будет максимальной, а кинетическая энергия будет равна 0

Когда качели будут проходить положение равновесия (рис. 10), то , так как скорость качелей в данный момент будет наибольшая, а , так как высота над землей будет минимальной.

Рис. 10. При прохождении положения равновесия , а

Если сложить два вида энергии, то мы получим т. н. полную механическую энергию тела.

Список литературы

Домашнее задание

  1. Груз на упругой пружине совершает вертикальные колебания. Определите, какова полная энергия колебаний груза, если коэффициент упругости пружины равен . Амплитуда колебаний равна 5 см.
  2. Человек качается на качели. Амплитуда ее колебаний 1 м, а за 1 минуту человек совершает 20 колебаний. Найдите кинетическую и потенциальную энергию через 1/12 периода от начала колебаний. Трением пренебречь.
  3. Ускорение гармонических колебаний – это первая и вторая производная по времени от каких величин?

Сжимая или растягивая пружину, отклоняя маятник, мы совершаем работу против тех или иных сил. Эта работа должна превращаться в потенциальную энергию колеблющегося тела.

Потенциальная энергия определяется работой силы, вызывающей смещение х, в направлении силы F

dA=dEп=-Fdx.

Учитывая, что F=-kx , получим dEп = kx dx,

Подставим x=Asin(ω0 t+φ0) в выражение для Еп

φ0).

Учитывая, что k=mω02, получим .

Кинетическая энергия колеблющегося тела

Полная энергия будет Е=Ек+Еп.

Математический и физический маятники

Математическим маятником называют идеализированную систему из нерастяжимой и невесомой нити с подвешенным на ней телом массойm, сосредоточенной в одной точке.

Тяжелый шарик, подвешенный на нити служит хорошим приближением к математическому маятнику (рис. 18). На отклоненный маятник будет действовать момент силы М

М=-mg ℓ sinφ.

Момент инерции шарика относительно точки подвеса J=ml2.

Запишем уравнение динамики вращательного движения:

, или — mgl sin.

Сделав преобразования, получим

Известно, что для малых углов sin . Введем обозначение:

Подставляя их в вышеприведенное равенство , получим дифференциальное уравнение колебаний математического маятника

Решение этого уравнения имеет вид:

и является уравнением гармонического колебания математического маятника.

Здесь А – амплитуда, т.е. наибольший угол отклонения, α0 – начальная фаза колебаний.

— период колебаний математического маятника.

Физическим маятником называют твердое тело, способное совершать колебания около неподвижной точки (оси), не совпадающей с его центром инерции .Вращающий моментM (рис.19)

M=-mgl sinφ

Уравнение динамики вращательного движе-

ния M=Jε :

-mgl sinφ=J.

Для малых углов считаем sin и тогда

-mglφ=J, или +=0.

Введем обозначение , и подставляя его в вышеприведенное равенство, получим дифференциальное уравнение колебаний физического маятника Решение этого уравнения: является уравнением гармонического колебания физического маятника. Период колебаний физического маятника

где l – расстояние между центром инерции и центром качания. Величину называют приведенной длиной физического маятника. С учетом этого, период колебаний физического маятника

Сложение гармонических колебаний. Векторная диаграмма гармонических колебанний

Возьмем на плоскости вектор А, который в момент времени t=0 составляет с горизонтальной осью угол α (рис.20).

Если этот вектор привести во вращение против часовой

стрелки с угловой скоростью ω0,то проекция этого вектора на вертикальную ось х будет изменяться по закону x=Asin (ω0t+α), т.е. по гармоническому закону в пределах от А до –А.

Следовательно, гармонические колебания можно представить в виде вращающегося вектора . Этим удобно пользоваться при рассмотрении сложения колебаний.

Сложение колебаний одинакового направления, одного периода, отличающихся начальной фазой и амплитудой .

Уравнения двух таких колебаний будут , .

На векторной диаграмме это будет выглядеть так, как показано на рис.21.

Результирующая амплитуда А будет определяться из выражения А2=A+A+2A1A2cos(α1–α2). Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых векторов, начальная фаза результирующих колебаний определится из ΔОВD:

Уравнение суммарного колебания будет

Проанализируем характеристики суммарного колебания:

  1. Если разность фаз слагаемых колебаний

Вследствие небольшой разности периодов в некоторый момент времени колебания почти совпадают по фазе и амплитуды суммируются,

т.е. А1 +А2=2А.

При постепенном увеличении разности фаз наступает момент, когда колебания будут происходить в противофазе и А=А1–А2=0. Период биений, т.е. период огибающей (рис.22) определяется разностью частот слагаемых колебаний

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

1. Колебания имеют одинаковую фазу и частоту, но различные амплитуды.

Уравнения таких колебаний: x=A1sin ωt. y=A2sin ωt.

Разделим почленно левые и правые части уравнений и преобразуем полученное равенство

Получили уравнение прямой, проходящей через начало координат. Следовательно, результирующее движение осуществляется вдоль прямой, наклоненной к оси координат под углом α (рис.23), который определяется из условия

Результирующее колебание будет также гармоническим, т.к. смещение s определяется уравнением

  1. Частоты колебаний равны, а фазы слагаемых колебаний отличаются на.

Уравнения таких колебаний имеют вид: x=A1sin ωt, y=A2sin(ωt+ )=A2cos ωt.

Решим совместно эти уравнения .

Получили уравнения эллипса с осями А1 и А2 (рис. 24), т.е. траектория суммарного колебания представляет собой эллипс. При равенстве амплитуд траектория суммарного колебания представляет собой окружность. В общем случае сложение взаимоперпендикулярных колебаний траектория движения представляет собой фигуры Лиссажу.

Гармонические колебания.

Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина меняется во времени по синусоидальному закону:

.

где х — значение колеблющейся величины в момент времени t, А — амплитуда, ω — круговая частота, φ — начальная фаза колебаний, (φt + φ) — полная фаза колебаний. При этом величины А, ω и φ — постоянные.

Для механических колебаний колеблющейся величиной х являются, в частности, смещение и скорость, для электрических колебаний — напряжение и сила тока.

Гармонические колебания занимают особое место среди всех видов колебаний, т. к. это единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую однородную среду, т. е. волны, распространяющиеся от источника гармонических колебаний, также будут гармоническими. Любое негармоническое колебание может быть представлено в виде сумм (интеграла) различных гармонических колебаний (в виде спектра гармонических колебаний).

Превращения энергии при гармонических колебаниях.

В процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии Wp в кинетическую Wk и наоборот. В положении максимального отклонения от положения равновесия потенциальная энергия максимальна, кинетическая равна нулю. По мере возвращения к положению равновесия скорость колеблющегося тела растет, а вместе с ней растет и кинетическая энергия, достигая максимума в положении равновесия. Потенциальная энергия при этом падает до нуля. Дальней­шее движение происходит с уменьшением скорости, которая падает до нуля, когда отклонение достигает своего второго максимума. Потенциальная энергия здесь увеличивается до своего перво­начального (максимального) значения (при отсутствии трения). Таким образом, колебания кинетической и потенциальной энергий происходят с удвоенной (по сравнению с колебаниями самого маятника) частотой и находятся в противофазе (т. е. между ними существует сдвиг фаз, равный π). Полная энергия колебаний W остается неизменной. Для тела, колеблющегося под действием силы упругости, она равна:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *