Базисом на плоскости называется

В статье о n-мерных векторах мы пришли к понятию линейного пространства, порождаемого множеством n-мерных векторов. Теперь нам предстоит рассмотреть не менее важные понятия, такие как размерность и базис векторного пространства. Они напрямую связаны с понятием линейно независимой системы векторов, так что дополнительно рекомендуется напомнить себе основы и этой темы.

Введем некоторые определения.

Определение 1

Размерность векторного пространства – число, соответствующее максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение 2

Базис векторного пространства – совокупность линейно независимых векторов, упорядоченная и в своей численности равная размерности пространства.

Рассмотрим некое пространство n-векторов. Размерность его соответственно равна n. Возьмем систему из n-единичных векторов:

e(1)=(1, 0,…,0)e(2)=(0, 1,…,0)e(n)=(0, 0,…,1)

Используем эти векторы в качестве составляющих матрицы A: она будет являться единичной с размерностью n на n. Ранг этой матрицы равен n. Следовательно, векторная система e(1), e(2),…, e(n) является линейно независимой. При этом к системе невозможно добавить ни одного вектора, не нарушив ее линейной независимости.

Из полученного определения сделаем вывод: любая система n-мерных векторов, в которой число векторов меньше n, не является базисом пространства.

Если мы поменяем местами первый и второй вектор, получим систему векторов e(2), e(1),…, e(n). Она также будет являться базисом n-мерного векторного пространства. Составим матрицу, взяв за ее строки векторы полученной системы. Матрица может быть получена из единичной матрицы перестановкой местами первых двух строк, ранг ее будет равен n. Система e(2), e(1),…, e(n) линейно независима и является базисом n-мерного векторного пространства.

Переставив местами в исходной системе другие векторы, получим еще один базис.

Мы можем взять линейно независимую систему неединичных векторов, и она также будет представлять собой базис n-мерного векторного пространства.

Определение 3

Векторное пространство с размерностью n имеет столько базисов, сколько существует линейно независимых систем из n-мерных векторов числом n.

Плоскость является двумерным пространством – ее базисом будут два любых неколлинеарных вектора. Базисом трехмерного пространства послужат три любых некомпланарных вектора.

Рассмотрим применение данной теории на конкретных примерах.

Пример 1

Исходные данные: векторы

a=(3, -2, 1)b=(2, 1, 2)c=(3, -1, -2)

Необходимо определить, являются ли указанные векторы базисом трехмерного векторного пространства.

Решение

Для решения поставленной задачи исследуем заданную систему векторов на линейную зависимость. Составим матрицу, где строки – координаты векторов. Определим ранг матрицы.

A=323-21-112-2A=3-212123-1-2=3·1·(-2)+(-2)·2·3+1·2·(-1)-1·1·3-(-2)·2·(-2)-3·2·(-1)==-25≠0⇒Rank(A)=3

Следовательно, заданные условием задачи векторы линейно независимы, и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом векторного пространства.

Ответ: указанные векторы являются базисом векторного пространства.

Пример 2

Исходные данные: векторы

a=(3, -2, 1)b=(2, 1, 2)c=(3, -1, -2)d=(0, 1, 2)

Необходимо определить, может ли указанная система векторов являться базисом трехмерного пространства.

Решение

Указанная в условии задачи система векторов является линейно зависимой, т.к. максимальное число линейно независимых векторов равно 3. Таким образом, указанная система векторов не может служить базисом трехмерного векторного пространства. Но стоит отметить, что подсистема исходной системы a=(3, -2, 1), b=(2, 1, 2), c=(3, -1, -2) является базисом.

Ответ: указанная система векторов не является базисом.

Пример 3

Исходные данные: векторы

a=(1, 2, 3, 3)b=(2, 5, 6, 8)c=(1, 3, 2, 4)d=(2, 5, 4, 7)

Могут ли они являться базисом четырехмерного пространства?

Решение

Cоставим матрицу, используя в качестве строк координаты заданных векторов

A=1233256813242547

По методу Гаусса определим ранг матрицы:

A=1233256813242547~1233010201-1101-21~~1233010200-1-100-2-1~1233010200-1-10001⇒⇒Rank(A)=4

Следовательно, система заданных векторов линейно независима и их численность равна размерности векторного пространства – они являются базисом четырехмерного векторного пространства.

Ответ: заданные векторы являются базисом четырехмерного пространства.

Пример 4

Исходные данные: векторы

a(1)=(1, 2, -1, -2)a(2)=(0, 2, 1, -3)a(3)=(1, 0, 0, 5)

Составляют ли они базис пространства размерностью 4?

Решение

Исходная система векторов линейно независима, но численность векторов в ней недостаточна, чтобы стать базисом четырехмерного пространства.

Ответ: нет, не составляют.

Разложение вектора по базису

Примем, что произвольные векторы e(1), e(2),…, e(n) являются базисом векторного n-мерного пространства. Добавим к ним некий n-мерный вектор x→: полученная система векторов станет линейно зависимой. Свойства линейной зависимости гласят, что хотя бы один из векторов такой системы может линейно выражаться через остальные. Переформулируя это утверждение, можно говорить о том, что хотя бы один из векторов линейно зависимой системы может раскладываться по остальным векторам.

Таким образом, мы пришли к формулировке важнейшей теоремы:

Определение 4

Любой вектор n-мерного векторного пространства единственным образом раскладывается по базису.

Доказательство 1

Докажем эту теорему:

x=x1·e(1)+x2·e(2)+…+xn·e(n) , где x1, x2,…, xn — некоторые числа.

Теперь докажем, что такое разложение является единственным. Предположим, что это не так и существует еще одно подобное разложение:

x=x~1e(1)+x2~e(2)+…+x~ne(n), где x~1, x~2,…, x~n — некие числа.

0=(x~1-x1)·e(1)+(x~2-x2)·e(2)+…(x~n-xn)·e(2)

При этом коэффициенты x1, x2,…, xn называются координатами вектора x→ в базисе e(1), e(2),…, e(n).

Доказанная теория делает понятным выражение «задан n-мерный вектор x=(x1, x2,…, xn)»: рассматривается вектор x→ n-мерного векторного пространства, и его координаты заданы в некотором базисе. При этом также понятно, что этот же вектор в другом базисе n-мерного пространства будет иметь другие координаты.

Рассмотрим следующий пример: допустим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства задана система из n линейно независимых векторов

e(1)=(e1(1), e2(1),…, en(1))e(2)=(e1(2), e2(2),…, en(2))⋮e(n)=(e1(n), e2(n),…, en(n))

а также задан вектор x=(x1, x2,…, xn).

Векторы e1(1), e2(2),…, en(n) в этом случае также являются базисом этого векторного пространства.

Предположим, что необходимо определить координаты вектора x→ в базисе e1(1), e2(2),…, en(n), обозначаемые как x~1, x~2,…, x~n.

Вектор x→ будет представлен следующим образом:

x=x~1·e(1)+x~2·e(2)+…+x~n·e(n)

Запишем это выражение в координатной форме:

(x1, x2,…, xn)=x~1·(e(1)1, e(1)2,…, e(1)n)+x~2·(e(2)1, e(2)2,…, e(2)n)+…++x~n·(e(n)1, e(n)2,…, e(n)n)==(x~1e1(1)+x~2e1(2)+…+x~ne1(n), x~1e2(1)+x~2e2(2)++…+x~ne2(n), …, x~1en(1)+x~2en(2)+…+x~nen(n))

Полученное равенство равносильно системе из n линейных алгебраических выражений с n неизвестными линейными переменными x~1, x~2,…, x~n:

x1=x~1e11+x~2e12+…+x~ne1nx2=x~1e21+x~2e22+…+x~ne2n⋮xn=x~1en1+x~2en2+…+x~nenn

Матрица этой системы будет иметь следующий вид:

e1(1)e1(2)⋯e1(n)e2(1)e2(2)⋯e2(n)⋮⋮⋮⋮en(1)en(2)⋯en(n)

Применим рассмотренную теорию на конкретном примере.

Пример 6

Исходные данные: в базисе трехмерного пространства заданы векторы

e(1)=(1,-1,1)e(2)=(3, 2, -5)e(3)=(2, 1, -3)x=(6, 2, -7)

Необходимо подтвердить факт, что система векторов e(1), e(2), e(3) также служит базисом заданного пространства, а также определить координаты вектора х в заданном базисе.

Решение

Используем метод Гаусса:

A=1-1132-521-3~1-1105-803-5~1-1105-800-15

Rank (A) = 3. Таким образом, система векторов e(1), e(2), e(3) линейно независима и является базисом.

Пусть в базисе вектор x→ имеет координаты x~1, x~2, x~3. Связь этих координат определяется уравнением:

x1=x~1e1(1)+x~2e1(2)+x~3e1(3)x2=x~1e2(1)+x~2e2(2)+x~3e2(3)x3=x~1e3(1)+x~2e3(2)+x~3e3(3)

Применим значения согласно условиям задачи:

x~1+3x~2+2x~3=6-x~1+2x~2+x~3=2x~1-5x~2-3×3=-7

Решим систему уравнений методом Крамера:

∆=132-1211-5-3=-1∆x~1=632221-7-5-3=-1, x~1=∆x~1∆=-1-1=1∆x~2=162-1211-7-3=-1, x~2=∆x~2∆=-1-1=1∆x~3=136-1221-5-7=-1, x~3=∆x~3∆=-1-1=1

Так, вектор x→ в базисе e(1), e(2), e(3) имеет координаты x~1=1, x~2=1, x~3=1.

Ответ: x=(1,1,1)

Связь между базисами

Предположим, что в некотором базисе n-мерного векторного пространства даны две линейно независимые системы векторов:

c(1)=(c1(1), c2(1),…, cn(1))c(2)=(c1(2), c2(2),…, cn(2))⋮c(n)=(c1(n), e2(n),…, cn(n))

И

e(1)=(e1(1), e2(1),…, en(1))e(2)=(e1(2), e2(2),…, en(2))⋮e(n)=(e1(n), e2(n),…, en(n))

Указанные системы являются также базисами заданного пространства.

В виде матрицы систему можно отобразить так:

(c1(1), c2(1),…, cn(1))=(c~1(1), c~2(1),…, c~n(1))·e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)

Сделаем по аналогии такую же запись для вектора c(2):

(c1(2), c2(2),…, cn(2))=(c~1(2), c~2(2),…, c~n(2))·e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)

И, далее действуя по тому же принципу, получаем:

(c1(n), c2(n),…, cn(n))=(c~1(n), c~2(n),…, c~n(n))·e1(1)e2(1)…en(1)e1(2)e2(2)…en(2)⋮⋮⋮⋮e1(n)e2(n)…en(n)

Матричные равенства объединим в одно выражение:

Оно и будет определять связь векторов двух различных базисов.

Используя тот же принцип, возможно выразить все векторы базиса e(1), e(2),…, e(3) через базис c(1), c(2),…, c(n):

Дадим следующие определения:

Определение 5

Матрица c~1(1)c~2(1)⋯c~n(1)c~1(2)c~2(2)⋯c~n(2)⋮⋮⋮⋮c~1(n)c~2(n)⋯c~n(n) является матрицей перехода от базиса e(1), e(2),…, e(3)

к базису c(1), c(2),…, c(n).

Определение 6

Матрица e~1(1)e~2(1)⋯e~n(1)e~1(2)e~2(2)⋯e~n(2)⋮⋮⋮⋮e~1(n)e~2(n)⋯e~n(n) является матрицей перехода от базиса c(1), c(2),…, c(n)

к базису e(1), e(2),…, e(3).

Из этих равенств очевидно, что

т.е. матрицы перехода взаимообратны.

Рассмотрим теорию на конкретном примере.

Пример 7

Исходные данные: необходимо найти матрицу перехода от базиса

c(1)=(1, 2, 1)c(2)=(2, 3, 3)c(3)=(3, 7, 1)

к базису

e(1)=(3, 1, 4)e(2)=(5, 2, 1)e(3)=(1, 1, -6)

Также нужно указать связь координат произвольного вектора x→ в заданных базисах.

Решение

1. Пусть T – матрица перехода, тогда верным будет равенство:

314521111=T·121233371

Умножим обе части равенства на

и получим:

T=31452111-6·121233371-1

2. Определим матрицу перехода:

T=31452111-6·121233371-1==31452111-6·-18537-2-15-1-1=-2794-712012-4198

3. Определим связь координат вектора x→:

допустим, что в базисе c(1), c(2),…, c(n) вектор x→ имеет координаты x1,x2,x3, тогда:

x=(x1,x2,x3)·121233371,

а в базисе e(1), e(2),…, e(3) имеет координаты x~1,x~2,x~3, тогда:

x=(x~1,x~2,x~3)·31452111-6

Т.к. равны левые части этих равенств, мы можем приравнять и правые:

(x1,x2,x3)·121233371=(x~1,x~2,x~3)·31452111-6

Умножим обе части справа на

и получим:

(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3)·31452111-6·121233371-1⇔⇔(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3)·T⇔⇔(x1,x2,x3)=(x~1,x~2,x~3)·-2794-712012-4198

С другой стороны

Базис на плоскости и в пространстве

Определение. Базисом на плоскости называются два любых линейно независимых вектора.

Из теоремы 2 (см. п. 4) следует, что два любых неколлинеарных вектора образуют базис. Пусть любой вектор на плоскости, а векторы и образуют базис. Так как на плоскости всякие три вектора линейно зависимы, то вектор линейно выражается через векторы базиса, т. е. выполняется соотношение

.

Если вектор представлен в виде (3), то говорят, что он разложен по базису образованному векторами и . Числа и называют координатами вектора на плоскости относительно базиса и

1 . Разложение вектора по и является единственным

Доказательство. Допустим, что наряду с разложением (3) имеет место разложение

Покажем, что в этом случае Действительно, вычитая равенство (4) из равенства (3), получаем соотношение

(Возможность почленного вычитания равенств (4) и (3) и производимой группировки членов вытекает из свойств линейных операций над векторами (см. п. 2).) Так как векторы базиса , линейно независимы, то и . Отсюда , т.е. разложение вектора по базису , единственно.

Определение. Базисом в пространстве называются три любых линейно независимых вектора.

Из теоремы 2 (см. п. 5) следует, что три любых некомпланарных вектора образуют базис. Как и в случае плоскости, устанавливается, что любой вектор разлагается по векторам , и

причем это разложение единственное.

Числа , , называют координатами вектора в пространстве относительно базиса , и .

Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами — координатами этих векторов.

Теорема . При сложении двух_векторов и их координаты (относительно любого базиса и или любого базиса , и ) складываются. При умножении вектора на любое число, а все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть, например,

Тогда в силу свойств линейных операций (см. п. 2)

В силу единственности разложения по базису , , теорема для этого базиса доказана.

Линейные комбинации векторов в пространстве

Определение 1. Линейной комбинацией1) векторов называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражения вида

,

где — любые вещественные числа.

Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми2), если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов с этими числами обращается в нуль3), то есть имеет место равенство:

.

Определение 3. Векторы называются линейно независимыми4), если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Предложение 1. Если хотя бы один из векторов нулевой, то эти векторы являются линейно зависимыми.

Предложение 2. Если среди векторов какие-либо 5) векторов являются линейно зависимыми, то и все векторов являются линейно зависимыми.

Предложение 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них представим в виде линейной комбинации остальных.

Обобщение понятия «линейная зависимость» можно посмотреть в соответствующей статье.

  • Главная
  • Избранное
  • Популярное
  • Новые добавления
  • Случайная статья

Векторная алгебра

Вектор в декартовой системе координат

Определение. Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Если , , то вектор имеет координаты .

Вектор в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде

, где тройка называется координатами вектора. Векторы – единичные векторы (орты), направленные в положительную сторону координатных осей Ox, Oy и Oz, соответственно. Длиной (модулем) вектора называется число .

Линейные операции с векторами

Сложение векторов определяется по правилу параллелограмма: вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис.1а).

Разность двух векторов и определяется по формуле , где – вектор той же длины, что и вектор , но противоположно направленный. Чтобы найти вектор-разность нужно отложить векторы и из общей точки, соединить концы векторов вектором, направленным от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (то есть от к ) (рис.1б). Построенный вектор и будет искомой разностью.

При сложении нескольких векторов каждая координата суммы есть сумма соответствующих координат слагаемых векторов, при умножении вектора на данное число на это же число умножаются и координаты вектора:

а) ;

б) , где – скалярный множитель.

Несколько векторов называются коллинеарными (компланарными), если они параллельны одной и той же прямой (плоскости). Векторы и параллельны (коллинеарны), то есть соответствующие координаты этих векторов пропорциональны с одним и тем же коэффициентом пропорциональности: .

Базис на плоскости и в пространстве

Определение. Базисом на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная пара (тройка) неколлинеарных (некомпланарных) векторов. Любой вектор однозначным образом раскладывается по базису. Коэффициенты разложения называются координатами этого вектора относительно данного базиса. Векторы образуют базис в декартовом координатном пространстве Oxyz.

Пример 1.

Даны векторы . Показать, что векторы и образуют базис на плоскости и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если два вектора неколлинеарны ( ), то они образуют базис на плоскости. Так как , то векторы и неколлинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид , или в координатной форме

или

Решив полученную систему уравнений каким-либо образом, получим, что .

Значит . Таким образом, в базисе вектор имеет координаты .

Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, определяемое равенством:

,

где – угол между векторами и . Если , то .

Зная скалярное произведение, можно определить угол между двумя векторами по формуле: .

Условие перпендикулярности ненулевых векторов (угол между ними равен 90°) имеет вид: , или , а условие их коллинеарности: , или .

Свойства скалярного произведения:

1) ; 2) ; 3) ; 4) , причем .

Пример 2. Найти угол между векторами и , если , , , .

Решение. Используем формулу . Определим координаты векторов и , учитывая, что при сложении векторов мы складываем одноименные координаты, а при умножении вектора на число – умножаем на это число каждую координату этого вектора, а: , .

Найдем скалярное произведение векторов и и их длины. , , . Подставив в формулу, получим . Отсюда .

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор (другое обозначение ), который:

а) имеет длину , где – угол между векторами и ;

б) перпендикулярен векторам и ( ) (то есть, перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и );

в) направлен так, что векторы , , образуют правую тройку векторов, то есть из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки (рис.2).

Координаты векторного произведения вектора на вектор определяются по формуле:

Геометрический смысл векторного произведения: модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Свойства векторного произведения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) и коллинеарны.

Пример 3. Параллелограмм построен на векторах и , где , , . Вычислить длину диагоналей этого параллелограмма, угол между диагоналями и площадь параллелограмма.

Решение.

, ,

Угол между диагоналями обозначим буквой , тогда

Следовательно, .

Используя свойства векторного произведения, вычислим площадь параллелограмма:

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется скалярное произведение вектора на вектор :

Если то смешанное произведение можно вычислить по формуле:

Свойства смешанного произведения:

1) При перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак;

2) ; 3) ;

4) компланарны .

Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, построенного на векторах , , (рис.4), а объем образованной ими треугольной пирамиды находятся по формулам .

Пример 4. Компланарны ли векторы , , ?

Решение. Если векторы компланарны, то по свойству 4) их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов, вычислив определитель:

векторы , , некомпланарны.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть отрезок в пространстве Oxyz задан точками и . Если он разделен точкой в отношении , то координаты точки следующие:

Пример 5. Найти точку , делящую отрезок в отношении , если .

Решение. Определим координаты точки :

. Таким образом, .

Аналитическая геометрия.

Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид: , , где – нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярный плоскости), а коэффициент пропорционален расстоянию от начала координат до плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и имеет вид:

Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и , определяется как угол между векторами и по формуле:

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле .

Пример 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислим определитель

, или – искомое уравнение плоскости.

Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: , где – нормальный вектор прямой (перпендикулярный прямой), а коэффициент пропорционален расстоянию от начала координат до прямой.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку , имеет вид

или .

В другом виде , где – тангенс угла, образованного прямой и положительным направлением оси Ox, называемый угловым коэффициентом, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , имеет вид

Угол между двумя прямыми и определяется формулой

Расстояние от точки до прямой находится по формуле

Пример 7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения

остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

Решение. Сделаем схематический чертеж (Рис.6). Перепишем данные уравнения в виде: , , . Так как угловые коэффициенты прямых, задающих стороны прямоугольника, одинаковы , то эти уравнения задают параллельные прямые, то есть стороны, на них лежащие, противоположны. Найдем точки пересечения данной диагонали с этими сторонами. Пусть это будут точки и . Для этого приравняем сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения:

; . Таким образом, .

Неизвестные стороны параллельны между собой и перпендикулярны данным (так как это прямоугольник).

Замечание. Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых и связаны соотношением .

Таким образом, уравнения неизвестных сторон прямоугольника таковы:

. Подставив в первое уравнение координаты точки , во второе – точки , получим, что и, следовательно, , .

Найдем координаты точек и , приравняв уравнения соответствующих сторон:

, то есть ;

, то есть .

Уравнение диагонали получим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

или .

Уравнения прямой в пространстве. Прямая в пространстве Oxyz определяется как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой в пространстве).

Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

,

где – точка, через которую проходит прямая, а вектор , параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.

Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и имеют вид

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами и определяется по формуле

Пример 8. Пирамида задана координатами своих вершин , , . Требуется найти:

1) длины ребер и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани, содержащей вершины ; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых и ;

6) уравнение высоты , опущенной из вершины на плоскость ;

7) расстояние от вершины до плоскости ; 8) угол между ребром и гранью, содержащей вершины .

Решение.1) Длины ребер и определим как модуль векторов и по формулам ;

2) Найдем координаты векторов и :

Длины этих векторов, т.е. длины ребер и , таковы: ,

. Косинус угла между ребрами и вычислим по формуле ;

3) Площадь грани (треугольника) равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половина модуля векторного произведения этих векторов, которое равно

Тогда, (кв. ед);

4) Объем пирамиды равен .

(куб. ед);

5) Уравнения прямых и найдем как уравнения прямых, проходящих через две данные точки:

( ): ,

( ): (абсциссы точек и одинаковые);

6) Направляющим вектором высоты является нормальный вектор плоскости . Получим уравнение плоскости :

,

– уравнение плоскости . Тогда нормальный вектор плоскости имеет координаты . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид: ;

7) Для вычисления расстояния от вершины до плоскости воспользуемся формулой . В нашем случае – уравнение плоскости и . Итак, ;

8) Угол между прямой и плоскостью находят по формуле:

, где – нормальный вектор плоскости . и (см. п.7) . Таким образом, ,

Кривые второго порядка

Определение. Параболой называется множество точек плоскости (см. рис.7а), для каждой из которых расстояние до данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до некоторой данной прямой (директрисы). Расстояние от фокуса параболы до директрисы называется параметром параболы. Парабола – симметричная кривая; точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы.

Каноническое уравнение параболы в декартовой системе координат: .

Определение. Эллипс есть множество точек плоскости (см. рис.7б), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и (фокусов) постоянна и равна .

Отрезок называется фокусным расстоянием и обозначается через . Середина есть центр эллипса. Прямая, на которой лежат фокусы эллипса, называется первой осью эллипса. Прямая, проходящая через центр эллипса перпендикулярно его первой оси, называется второй осью эллипса. Оси эллипса являются его осями симметрии. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами. – большая ось эллипса, – малая ось.

Директрисой эллипса, соответствующей данному фокусу , называется прямая , перпендикулярная первой оси и отстоящая от центра эллипса на расстояние , где – эксцентриситет эллипса.

Каноническое уравнение эллипса в декартовой системе координат: , где и – большая и малая полуоси эллипса, соответственно.

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости (см. рис.8) , модуль разности расстояний которых до двух данных точек и (фокусов гиперболы) постоянен и равен . Фокусное расстояние обозначают через . Прямая, на которой лежат фокусы, называется действительной (или фокальной осью) гиперболы. Прямая, проходящая через центр гиперболы , перпендикулярно к действительной оси, называется

мнимой осью.

Директрисой гиперболы, соответствующей данному фокусу , называется прямая , перпендикулярная к действительной оси, отстоящая от центра на расстояние и лежащая от центра по одну сторону с фокусом, где – эксцентриситет.

Гипербола имеет две асимптоты, заданные уравнениями .

Каноническое уравнение гиперболы в декартовой системе координат: ,

где и – половины сторон основного прямоугольника гиперболы.

Пример 9. Определить вид линии второго порядка, заданной уравнением

Решение. Выделим полные квадраты по х и по у, получим:

,

,

,

т.е. имеем гиперболу, центр которой лежит в точке , .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *