Вывод закона ома

Дифференциальная форма закона Ома

Если проводник неоднороден по своему составу и/или имеет неодинаковое сечение, то для характеристики тока в различных частях проводника используют закон Ома в дифференциальной форме. Для его вывода выделим внутри проводника элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору плотности тока . Если выделенный объем достаточно мал, его можно считать однородным и применить к нему закон Ома:

, где

, откуда

Или в векторном виде:

Величина называется коэффициентом электропроводности или проводимостью материала. Единицей измерения σ в СИ является (Ом?м)-1 = См (сименс).

Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля – Ленца.

При протекании по проводнику электрического тока проводник нагревается. Нагревание происходит за счет работы, совершаемой силами поля над носителями заряда:

,

Джоуль (Joule J., 1818-1889) и независимо от него Э.Х. Ленц (1804-1865) установили экспериментально, что количество теплоты, выделяющейся в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени протекания тока:

Если сила тока изменяется со временем, то за промежуток времени Δt = t2 – t1 выделится теплота:

Написанные соотношения выражают собой закон Джоуля – Ленца.

Если теплоту измерять в калориях, то: .

Количество теплоты, выделяющееся в единице объема проводника за единицу времени, называется удельной мощностью:

, где — плотность тока.

Это соотношение представляет собой закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:

Работа, производимая током за единицу времени, называется мощностью:

Размерность мощности в СИ: (ватт).

Методические указания к лабораторной работе №23

1) Закон Ома – это экспериментальный закон, согласно которому сила тока, текущего по проводнику, пропорциональна напряжению на концах проводника и обратно пропорциональна его сопротивлению.

.

(13)

Соотношение (13) иначе называют законом Ома в интегральной форме записи. Это соотношение можно распространить на отдельные участки и всю замкнутую электрическую цепь, учитывая формулы (10), (11), (12) и внутреннее сопротивление источника тока r. При этом получим частные случаи закона Ома:

а) неоднородный участок цепи (рис. 2):

.

(14)

Формулу (14) называют обобщённым законом Ома в интегральной форме записи;

б) однородный участок цепи (рис. 3):

;

(15)

в) цепь замкнута (рис. 4):

.

(16)

Электрическое сопротивление (R) характеризует противодействие проводника электрическому току и зависит от формы, размеров и материала проводника. Измеряется сопротивление R в омах (Ом).

Для однородного цилиндрического проводника длиной l и поперечным сечением S:

,

(17)

где ρ – удельное сопротивление проводника. Оно зависит от материала проводника и условий протекания тока, в частности, от температуры. Для большинства металлов при температурах, близких к комнатной, удельное сопротивление изменяется пропорционально температуре T:

,

(18)

где ρ0 – удельное сопротивление проводника при 0ºС (T = 273 К). Удельное сопротивление ρ измеряется в ом-метрах (Ом·м).

Закон Ома в дифференциальной форме записи можно получить, если рассмотреть бесконечно малый участок проводника длиной dl и поперечным сечением dS (рис. 5).

Рис. 5. К выводу закона Ома в дифференциальной форме записи (обозначения в тексте)

Сопротивление этого участка:

.

(19)

Напряжение на концах проводника dU, совпадающее с разностью потенциалов, связано с напряжённостью E электрического поля соотношением:

.

(20)

Через сечение dS течёт ток, плотность которого согласно соотношению (4):

.

(21)

Подставляя значения R и U по формулам (19) и (20) в закон Ома (13), получаем:

,

откуда:

,

или, с учётом соотношения (21),

,

(22)

где – удельная проводимость проводника.

Учитывая, что направления и совпадают, соотношение (22) можно записать в векторном виде:

.

(23)

Это и есть дифференциальная форма записи закона Ома для однородного участка проводника. На неоднородном участке, кроме электростатического поля с напряжённостью , действует поле сторонних сил, напряжённость которого – стор; в этом случае:

.

(24)

Соотношение (24) является законом Ома в дифференциальной форме записи для неоднородного участка проводника.

2) Закон Джоуля-Ленца характеризует тепловое действие тока. При протекании электрического тока проводник нагревается, при этом выделяется количество теплоты Qт, определяемое соотношениями:

.

(25)

3) Правила Кирхгофа значительно упрощают расчёт разветвлённых электрических цепей. Пример такой цепи показан на рис. 6.

Рис. 6. Разветвлённая электрическая цепь

Правил Кирхгофа два:

а) I правило Кирхгофа относится к узлам электрической цепи.

Узлом цепи называется точка, в которой сходится не менее трёх проводни­ков. В схеме на рис. 6 два узла – В и К.

Согласно I правилу Кирхгофа алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.

(26)

Прежде чем применять I правило Кирхгофа, необходимо проставить направления токов и значения сил токов в различных ветвях электрической цепи (ветвь – участок цепи, соединяющий узлы). Если трудно указать истинное направление тока, его проставляют произвольно. Если направление тока на каком-то участке проставлено неверно, то значение силы тока на этом участке в результате решения задачи получается отрицательным. Условились считать, что токи, входящие в узел (текущие к узлу), считаются положительными, и при записи соотношения (26) берутся со знаком «+», а токи, выходящие из узла, – со знаком «–». Например, для узла К соотношение (26) примет вид:

.

(27)

I правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда для цепей постоянного электрического тока. В случае постоянного тока заряды в узлах накапливаться не должны, и количество зарядов, входящих в узел, должно равняться количеству зарядов, выходящих из узла. Если в цепи N узлов, то линейно независимых уравнений можно записать только для (N–1) узла, уравнение для N-ого узла будет следствием предыдущих. Например, уравнение для узла В (рис. 6) будет повторением уравнения (27);

б) II правило Кирхгофа является следствием закона Ома и относится к любому выделенному в разветвлённой цепи замкнутому контуру.

Согласно этому правилу сумма падений напряжений равна сумме действующих в контуре ЭДС:

.

(28)

Так как по закону Ома , то соотношение (28) можно записать так:

.

(29)

Прежде чем применять II правило Кирхгофа к какому-либо контуру, в нём совершенно произвольно выбирается направление обхода (например, по часовой стрелке). При этом напряжение считается положительным и берётся в уравнении (29) со знаком «+», если ток на данном сопротивлении совпадает с направлением обхода контура. ЭДС источника берётся в уравнении (29) со знаком «+», если источник создаёт ток (при условии, что других источников тока нет) в направлении обхода контура. Например, II правило Кирхгофа для контура АМКВ (рис. 6) будет иметь следующий вид:

.

(30)

Видим, что удобнее было бы взять направление обхода контура в противоположную сторону.

Для контура ВКДС соотношение (29) запишется так:

.

(31)

Уравнение (29) может быть составлено для всех замкнутых контуров, которые можно выделить в разветвлённой цепи (на рис. 6 их три: АМКВ, ВКДС, АМДС). Однако независимыми будут уравнения только для тех контуров, которые нельзя получить наложением других, уже использованных (например, контур АМДС является суммой контуров АМКВ и ВКДС). Оказывается, что количество независимых уравнений, составленных в соответствии с I и II правилами Кирхгофа, равно числу различных токов, текущих в разветвлённой электрической цепи. Решая совместно уравнения (27), (30), (31), можно найти любые три неизвестные характеристики электрической цепи, показанной на рис. 6.

18.2. Вывод закона Ома в дифференциальной форме в классической электронной теории

  • •Contents
  • •1.1. Радиус-вектор материальной точки
  • •1.2.Кинематические уравнения движения материальной точки
  • •1.3. Траектория материальной точки
  • •1.4.Вектор перемещения
  • •1.5. Скорость
  • •1.6. Ускорение
  • •1.7. Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения
  • •1.8. Методические указания к решению задач по кинематике
  • •2. Кинематика вращательного движения. Введение
  • •2.1. Угол поворота твердого тела
  • •2.2. Угловая скорость
  • •2.3. Период и частота обращения
  • •2.4. Угловое ускорение
  • •2.5. Связь угловых и линейных величин
  • •3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
  • •3.1. Первый закон Ньютона
  • •3.2. Понятие о силе
  • •3.3. Масса. Второй закон Ньютона
  • •3.4. Принцип независимости действия сил
  • •3.5.Третий закон Ньютона
  • •3.6 Преобразование координат Галилея и механический принцип относительности
  • •3.7.Основное уравнение динамики поступательного движения материальной точки. Импульс материальной точки
  • •3.8. Центр инерции системы
  • •3.9. Универсальная форма второго закона Ньютона, выраженная через импульс системы
  • •3.10. Основное уравнение динамики поступательного движения твердого тела
  • •3.11.Изолированная (замкнутая) система. Закон сохранения импульса
  • •3.12. Методические указания к решению задач по динамике
  • •4. Энергия и работа
  • •4.1. Основные понятия об энергии механической системы
  • •4.2. Работа
  • •4.3. Консервативные силы. Условие потенциальности силового поля
  • •4.4. Мощность
  • •4.5 Кинетическая энергия
  • •4.6.Потенциальная энергия
  • •4.7. Закон сохранения и превращения энергии
  • •4.8. Связь между потенциальной энергией и силой
  • •5.6. Момент импульса материальной точки и твердого тела
  • •7.2. Колебания под действием упругой силы (пружинный маятник)
  • •7.3. Энергия колеблющегося тела
  • •7.4. Основное уравнение гармонических свободных колебаний. (Дифференциальное уравнение гармонических колебаний)
  • •7.5. Математический и физический маятники
  • •7.6. Сложение механических колебаний
  • •7.7.Затухающие колебания
  • •7.8. Вынужденные колебания
  • •8.1. Распространение волн в упругой среде
  • •8.2. Уравнение плоской одномерной волны
  • •8.3. Фазовая скорость
  • •8.4.Волновая поверхность, фронт волны
  • •8.5. Уравнение плоской волны распространяющейся в произвольном направлении
  • •8.6. Волновое уравнение
  • •8.7. Энергия волны
  • •8.8. Объемная плотность энергии волны
  • •8.9. Плотность потока энергии. Вектор Умова
  • •8.10. Стоячие волны
  • •9. Основы термодинамики.Термодинамический и молекулярно – кинетический метод исследования явлений природы
  • •9.1. Термодинамическое состояние тела
  • •9.2 Внутренняя энергия
  • •9.3 Работа газа
  • •9.4 Первый закон (начало) термодинамики
  • •9.5. Основные понятия о теплоемкости вещества
  • •9.7 Изобарический процесс
  • •9.8 Изотермический процесс
  • •9.9 Адиабатический процесс
  • •9.10. Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс
  • •9.11 Цикл Карно
  • •9.12. Второе начало термодинамики
  • •9.13 Приведенная теплота. Равенство (неравенство) Клаузиуса
  • •9.14 Теорема Клаузиуса
  • •9.15 Энтропия
  • •9.16 Свойства энтропии
  • •9.17 Физический смысл энтропии
  • •10. Основы молекулярно-кинетической теории газов. Введение
  • •10.1 Основное уравнение м.К.Т. Идеальных газов. Температура
  • •10.2 Распределение энергии по степеням свободы молекулы
  • •10.3 Внутренняя энергия идеального газа
  • •11. Статистические распределения
  • •11.1 Распределение молекул по скоростям
  • •11.2 Закон распределения молекул идеального газа во внешнем силовом поле
  • •11.3. Распределение давления по высоте
  • •11.4. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
  • •12. Явления переноса. Введение
  • •12.1 Диффузия
  • •12.2 Теплопроводность
  • •12.3. Внутреннее трение
  • •13. Основы электростатики
  • •13.1. Взаимодействие зарядов Закон Кулона
  • •13.2. Электрический диполь
  • •13.3. Электростатическое поле. Напряженность поля
  • •13.4. Силовые линии электрического поля
  • •13.5. Принцип суперпозиции электрических полей
  • •13.6. Поток вектора напряженности электростатического поля
  • •13.7. Теорема Остроградского — Гаусса
  • •13.8. Примеры применения теоремы Гаусса
  • •13.9. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда
  • •13.10. Потенциальная энергия электростатического поля
  • •13.11. Циркуляция вектора напряженности
  • •13.12. Потенциал электростатического поля
  • •13.13. Эквипотенциальные поверхности
  • •13.14. Связь между напряженностью и потенциалом
  • •13.15.Вычисление потенциала простейших электрических полей
  • •14. Электрическое поле в диэлектриках. Введение
  • •14.1. Поляризация диэлектриков
  • •14.2. Напряженность электрического поля в диэлектрике
  • •14.3. Электрическое смещение
  • •14.4. Поле на границах раздела диэлектрика
  • •15. Проводники в электрическом поле
  • •15.1. Равновесие зарядов на проводнике
  • •15.2. Напряженность электростатического поля вблизи заряженной поверхности проводника
  • •15.3. Проводники во внешнем электрическом поле
  • •15.4. Электроемкость проводников
  • •15.5. Конденсаторы
  • •16. Энергия электрического поля
  • •16.1. Энергия системы зарядов
  • •16.2. Энергия заряженного уединенного проводника и конденсатора
  • •16.3. Объемная плотность энергии электростатического поля
  • •17. Электропроводность металлов
  • •17.1. Электрический ток
  • •17.2. Электродвижущая сила
  • •17.3. Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников
  • •17.4. Закон Ома в интегральной форме
  • •17.5 Закон Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах
  • •17.6. Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа
  • •18. Классическая теория электропроводности
  • •6.4.1. Закон Ома. Закон Джоуля-Ленца.
  • •6.4.2. Эффект Холла.
  • •6.4.3. Высокочастотная электропроводность металлов.
  • •6.4.4. Высокочастотная диэлектрическая проницаемость металлов.
  • •18.1. Основы классической электронной теории электропроводности металлов
  • •18.2. Вывод закона Ома в дифференциальной форме в классической электронной теории
  • •18.3. Вывод закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме в классической теории электропроводности
  • •18.4. Связь между теплопроводностью и электропроводностью металлов (закон Видемана-Франца)
  • •18.5. Недостатки классической электронной теории проводимости металлов
  • •18.6. Работа выхода из металла. Термоэлектронная эмиссия
  • •19. Электрический ток в газах
  • •19.2. Несамостоятельный газовый разряд
  • •19.3. Самостоятельный газовый разряд

Закон Ома в дифференциальной форме

Обычно для расчётов электрического тока пользуются законом Ома для участка цепи: I=U/R, где I – ток в цепи, U – напряжение, R – суммарное сопротивление. Ток в этой цепи может протекать через различные участки из разных проводов. Поэтому для расчётов силы тока в определённом участке проводника лучше применить закон Ома в дифференциальной форме. Так как плотность тока Ī – векторная величина, то формула закона имеет вид: Ī = γĒ, где γ – удельная проводимость, обратная удельному сопротивлению γ=1/R, а Ē – напряжённость электрического поля. Может выражаться закон Ома также в интегральных формах.

Закон Ома

Действие электродвижущих сил

Электродвижущая сила (ЭДС) является скалярной величиной, характеризующей работу не электрических сил, заставляющих производить разность потенциалов на выходе.

Дополнительная информация. Скалярная величина – это когда она может быть выражена только определённым значением. В отличие от векторной величины, которая определяется не только значением, но и направлением.

Используется ЭДС в генераторах, преобразующих какую либо работу А (джоуль) в электрическую. Для этого могут быть использованы такие виды энергии по их происхождению:

  • Механическая индукционная. Вывод ЭДС возникает при пересечении проводником линий магнитного поля;
  • Механическая пьезоэлектрическая. Возникновение ЭДС происходит при деформации некоторых веществ;
  • Световая энергия. Здесь ЭДС появляется в полупроводниках при действии на них световых лучей;
  • Термическая энергия. ЭДС образуется, когда контакты из разнородных проводников находятся под разными температурами;
  • Химическая энергия. Возникновение ЭДС происходит вследствие химических реакций.

В зависимости от характера энергии и устройства генератора ЭДС может возникать как переменная, так и постоянная. Переменная может быть как синусоидальная (магнитные индукционные генераторы), так и импульсная (пьезозажигалки). Постоянную ЭДС преобразуют в основном из химической (элементы питания, аккумуляторы), световой (фотоэлементы) энергий и температуры (элементы Пельтье).

Генераторы тока

ЭДС образует на разноименных проводниках разность потенциалов. Если не соединять проводником клеммы, на которых имеется разность потенциалов, то тока в цепи не будет. Следовательно, никакой энергии не будет израсходовано. На клеммах будет оставаться разность потенциалов. Работу для поддержания этой разности совершать не надо.

Если к клеммам с разностью потенциалов подключить проводник с нагрузкой, то через него будет протекать электрический ток, выполняя работу в нагрузке. При этом разность потенциалов на клеммах будет стремиться к 0, что приведёт к падению тока до 0. Для поддержания разности потенциалов стабильной величиной необходимо, чтобы ЭДС получала энергию. Эта энергия затрачивает работу, равную той, которая совершается в нагрузке.

Движение тока по неоднородным проводникам

Разность потенциалов, вызванная ЭДС, будет производить напряжение на клеммах генератора. ЭДС – это скалярная величина. При подключении к клеммам проводника через него потечёт ток, плотность которого выражается, например, Ī. Это уже векторная величина. Если ток создан только разностью потенциалов на клеммах, то векторы потенциала и плотности тока будут совпадать. Такой проводник называют однородным. Закон Ома для однородного участка цепи:

I=U/R.

Вектор напряжённости

Неоднородный проводник, кроме сил, которые образованы разностями потенциалов, имеет сторонние силы. Для определения плотности тока Ī пользуются законом Ома в дифференциальной форме для неоднородных проводников:

Ī=γ(E+Ē₁+ Ē₂+ Ēn).

Векторы и каждый участок проводника складываются, E – напряжённость, созданная разностью потенциалов на клеммах проводника (скалярная величина). Ē₁, Ē₂, Ēn – векторные величины напряжённости первой, второй и энной сторонних сил.

Так как γ – удельная проводимость проводника, обратная сопротивлению, ϕ₁ – потенциал на 1-ой точке, ϕ₂ – потенциал на 2-ой точке, то закон Ома для неоднородного участка цепи от 1-ой до 2-ой точки будет записываться так:

Ī =(ϕ₁ – ϕ₂+ Ē)/R.

Для ознакомления металлы и их удельное сопротивление:

Трактовка и пределы применимости закона Ома

Если необходимо определить одну из величин: ток, напряжение или сопротивление для однородной цепи, то пользуются формулой, формулировка которой изображена на рисунке.

Закон Ома в треугольнике

Для удобства решения тождества величины изображены в треугольнике. Теперь, пользуясь первой формулой, зная сопротивление цепи и ток, можно высчитать напряжение, которое действует на замкнутый контур. Зная напряжение и сопротивление цепи, можно определить ток по 2-ой формуле. По 3-ей формуле высчитывают сопротивление нагрузки, зная напряжение и ток.

Существуют исключения, когда закон Ома не соблюдается. Примеры:

  • В переменных ЭДС, если нагрузка имеет индукционный или ёмкостный характер. При повышении частоты из-за инерционности носителей заряда вступают в силу законы электродинамики. Конденсаторы и катушки индуктивности в качестве сопротивления для переменного тока, колебательный контур.
  • Для веществ, обладающих сверхпроводимостью при низких температурах. Датчики измерительных приборов высокой точности, сверхпроводящие соленоиды, сверхпроводящие кабели с током 5 000 А.
  • При высоких температурах, когда проводник начинает проявлять нелинейную характеристику сопротивления. Вольфрамовая нить лампы накаливания, спирали нагревательных элементов.
  • При высоких напряжениях, когда происходит пробой диэлектрика. Свечи зажигания карбюраторных двигателей, наконечники для защиты от тлеющего разряда высоковольтных ЛЭП.
  • В наполненных газом люминесцентных и вакуумных лампах. Люминесцентные лампы, вакуумные индикаторы, индикаторы тлеющего разряда.
  • В полупроводниковых приборах с p-n переходами и в нелинейных полупроводниках. Это светодиоды, стабилитроны, транзисторы, электронные приборы.

Интересно. Используется закон Ома в дифференциальной форме, когда имеется несколько ЭДС, или цепь проводников находится под воздействием сторонних сил. К примеру, при зарядке аккумуляторов солнечными батареями или другими ЭДС, также в генераторах с обмотками возбуждения, если их дифференцировать.

Измерительный мост

Материалы проводников, к которым применяется закон Ома, названы оммическими или линейными проводниками. Те, у которых сопротивление имеет функциональную зависимость от интенсивности тока, – нелинейными. Так могут вести себя металлы при крайне низких или высоких температурах.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *