Метод d разбиения

D-разбиение по двум параметрам

В ряде случаев необходимо выяснить влияние на устойчи­вость системы не одного параметра, а двух. Предположим, что эти параметры линейно входят в характеристическое уравнение и ему можно придать вид

(2.3.5)

где , , — полиномы от p; τ и ν — варьируемые параметры.

Граница D-разбиения в плоскости τ и ν согласно (2.3.1) определяется уравнением

(2.3.6)

Обозначим

(2.3.7)

тогда уравнение (2.3.6) можно разбить на два уравнения, при­равняв раздельно вещественную и мнимую части нулю:

(2.3.8)

(2.3.9)

Решая систему уравнений (2.3.8) и (2.3.9) относительно τ и ν, получим

(2.3.10)

(2.3.11)

где

(2.3.12)

(2.3.13)

(2.3.14)

При для каждого значения ω по уравнениям (2.3.10)–(2.3.14) можно определить величины τ и ν и, таким образом, в пло­скости τ и ν построить границу D-разбиения.

Рассмотрим случай, когда при некотором значении ω опре­делитель равен нулю ( ). Тогда, если при этом значе­нии ω определители и не равны нулю, то точка границы D-разбиения в плоскости τ и ν уходит в бесконечность. Если же при этом значении ω определители и также будут равны нулю, то τ и ν согласно (2.3.10) и (2.3.11) будут неопре­делёнными. Это соответствует тому, что уравнения (2.3.8) и (2.3.9) становятся эквивалентными и определяют собой прямую в пло­скости τ и ν, т.е. для рассматриваемого значения ω (при котором ) получим в плоскости τ и ν не точку, а прямую, называемую особой прямой.

В большинстве практических задач особые прямые отвечают значению и . В этом случае коэффициенты, соответствующие свободному и старшему членам характеристиче­ского уравнения, зависят от τ и ν, и для получения уравнений этих особых прямых необходимо указанные коэффициенты приравнять нулю. Первый коэффициент (свободный член) дает прямую для , второй — для .

1) и ,

2) и ,

3) и .

В первом случае точка пересечения прямых 1 и 2 опреде­ляет значения τ и ν для заданного значения ω; во втором случае прямые 1 и 2 параллельны и определяют значения τ и ν, равные бесконечности; в третьем случае прямые 1 и 2 слива­ются друг с другом, и, таким образом, для заданного значе­ния ω получается прямая, а не одна точка.

Рисунок 2.3.3 – Особые прямые

Правила штриховки границы D-разбиения. Граница D-разбиения штрихуется слева при обходе в сторону возрастающих ω, если главный определитель , и справа, если . Так как граница D-разбиения для положительных и отрицательных значений ω совпадает (величины τ и ν — чёт­ные функции ω, а — нечётная функция), то она штрихуется дважды с одной и той же стороны (рисунок 2.3.4).

При всегда , и через точку, соответствующую (и ), чаще всего, как указывалось, проходят особые прямые. Штриховка этих особых прямых ординарная и производится так, чтобы вблизи точки сопряжения прямой и кривой заштрихованные и незаштрихованные стороны прямой и кривой были направлены друг к другу (рисунок 2.3.4, а, б, в).

В тех случаях, когда при , а проходит через нуль и меняет знак (это сравнительно редкий случай), появ­ляется особая прямая; она штрихуется в этом случае по сформулированному выше правилу, но двойной штриховкой (рисунок 2.3.4, г).

Если же при , а проходя через нуль, не меняет знака, то особая прямая не штрихуется и выбрасывается из рассмотрения (рисунок 2.3.4, д).

При построении границы D-разбиения по двум параметрам следует правильно ориентировать оси. Для проведенной выше записи уравнений τ следует откладывать по оси абсцисс, ν — по оси ординат. В случае перемены местами осей τ и ν соответственно изменяется ориентация штриховки относительно правой и левой сторон.

Рисунок 2.3.4 – Штриховка границы D-разбиения

Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 1988;

Метод D-разбиения

При создании реальной системы управления бывает необходимо знать нс только запас устойчивости, который можно оценить с помощью какого- либо критерия, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D-разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим суть метода D-разбиения по одному параметру D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

Заменив в уравнении (4.37) р па^со, получим уравнение

соответствующее границе устойчивости согласно критерию Михайлова (условие (4.24)). Разрешим его относительно D:

Получили комплексное представление параметра D, что позволяет изобразить его в виде вектора на комплексной плоскости. Конкретное числовое значение частоты определяет положение вектора D(/co). При изменении со в диапазоне от -оо до +оо его конец выписывает на комплексной плоскости кривую D-разбиеним, представляющую собой границу устойчивости (ее также можно рассматривать как отображение мнимой оси плоскости корней).

Кривая D-разбиения симметрична относительно вещественной оси (рис. 4.31), поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую половину получить отображением относительно вещественной оси.

Рис. 4.31. Иллюстрация построения кривой D-разбиения:

1—3 — подобласти с различным распределением корней

Отметим, что эта кривая разбивает комплексную плоскость на несколько подобластей с различным соотношением корней. Для определения области устойчивости необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при конкретном значении D, то она будет устойчива и при всех его значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и г.д.), который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D(yco) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D-разбиения можно применять и для построения области устойчивости по двум параметрам Dt и D.?, которые входят линейно в характеристическое уравнение

В этом случае уравнение границы устойчивости имеет вид

и распадается на два независимых уравнения:

Эти два уравнения параметрически задают кривую D-разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случаю одного параметра D.

Пример 4.9. Определить область устойчивости системы (рис. 4.32) по коэффициенту усиления.

Рис. 4.32. Структурная схема системы к примеру 4.8

Решение

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Запишем ее характеристическое уравнение:

Здесь k — параметр, по которому строится область устойчивости, поэтому обозначим его через D. Разрешим характеристическое уравнение относительно D и заменим р —? 7со. В результате получим уравнение для кривой D-разбиения

Вычислим значения вещественной и мнимой части D(/co) при конкретных положительных значениях частоты и занесем их в таблицу.

0)

ReD(w)

Im0((o)

Для построения всей кривой D-разбиения полученную половину D(/co) отобразим относительно оси абсцисс (рис. 4.33).

Рис. 4.33. Кривая D-разбиения для исследуемой системы

Как видим, кривая D-разбиения разделила плоскость параметра на две подобласти (1 и 2). Выбираем по одному вещественному значению D в каждой из них и оцениваем устойчивость. Исследуемая система имеет второй порядок, поэтому необходимым и достаточным условием устойчивости ее является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Следовательно, первая область есть область устойчивости (-1 k

Метод Д-разбиения

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8

Замкнутой системе автоматического управления ставится в соответствие ее характеристическое уравнение .

.

Путем решения данного уравнения находятся корни и убеждаются, что из n корней m1- правых, n — m1 — левых.

Можно представить, что в гиперпространстве n+1-го порядка n+1 осей, по которым откладываются значения коэффициентов характеристического уравнения . Тогда каждому сочетанию этих конкретных параметров соответствует точка в гиперпространстве, а в плоскости корней характеристического уравнения в тоже время их конкретное расположение.

Если изменить один или несколько коэффициентов уравнения, точка в пространстве займет новое положение, корни в плоскости корней также сместятся. При непрерывном изменении коэффициентов корни будут выписывать годограф. И при каком-то сочетании коэффициентов уравнения один из корней попадет в начало координат, либо два корня на мнимую ось. Когда это случится, то уравнение превратится в тождество : , потому как вещественная часть S в станет равна 0.

При дальнейшем изменении параметров может случиться, что еще какие-то корни «выедут» на мнимую ось. Этот случай также будет соответствовать уравнению .

Таким образом, условие представляет собой уравнение гиперповерхности в гиперпространстве, пересечение которой соответствует приобретению или потере характеристическим уравнением одного вещественного или двух комплексных правых корней.

На практике используется Д-разбиение по одному (не очень интересно), либо по двум параметрам.

Предположим, что нужно выяснить влияние на устойчивость системы двух параметров: m и h, которые входят в характеристическое уравнение замкнутой системы линейно. Тогда данное уравнение может быть приведено к виду

После замены в уравнении s на jw получается система уравнений:

так как ,

решение которой, например, по правилу Крамера, позволяет получить m и h как функции w:

, , .

Следовательно можно построить однопараметрические зависимости и и отобразить их на плоскости параметров . Полученная кривая при изменении w от до является кривой Д-разбиения плоскости где m откладывается по оси абсцисс, а h — ординат. При движении по кривой Д-разбиения в сторону возрастания w штриховку наносят слева, если определитель положителен. Точка по кривой пробегает дважды: первый раз при изменении w от до 0, второй — при изменении w от 0 до . Однако при w=0 определитель меняет знак, поэтому кривую оба раза штрихуют с одной стороны. Получается одна кривая с двойной штриховкой, соответствующая изменению w от 0 до . При некотором значении определитель может обратиться в ноль. Если при этом соответствующие миноры не обращаются одновременно в ноль, то точка уходит в бесконечность. Если же одновременно с определителем обращаются в ноль и миноры, то рассматривается уравнение прямой линии

,

называемой особой прямой. Всем ее точкам соответствует одно и тоже значение w.

Особые прямые получаются также из уравнения при и из уравнения при , если в эти уравнения входит хотя бы один из параметров h или m.

Правила штриховки следующие:

· Если особая прямая и кривая Д-разбиения сближаются асимптотически — штриховка особой прямой однократная, направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения.

· если особая прямая имеет общую точку с кривой Д-разбиения, но не пересекает ее — штриховка особой прямой однократная и около общей точки направлена к заштрихованной стороне Д-разбиения.

· если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения в двух точках — штриховка особой прямой двойная и направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения около той точки пересечения, в которой определитель меняет знак, около второй точки пересечения определитель знака не меняет и штриховку особой прямой не изменяют.

· если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения, но знак определителя не меняется — особую прямую не штрихуют.

После того, как кривая Д-разбиения и особые прямые построены, и на них нанесена штриховка, отыскивается область, внутрь которой направлена штриховка ее границ. Это область потенциальной устойчивости. С помощью любого критерия устойчивости проверяется, является ли система в какой-либо точке данной области устойчивой. Тогда рассматриваемая область принимается в качестве области устойчивости. Возможны случаи, когда области устойчивости отсутствуют.

Методом Д-разбиения плоскости по двум параметрам иногда можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра, который входит в характеристическое уравнение нелинейным образом.

Пример.Имеется система, передаточная функция которой

Требуется произвести D –разбиение по T1 и К. Обозначим .

Характеристическое уравнение замкнутой системы

После преобразований

Для построения границы области устойчивости рассмотрим уравнение

,

которое, после разделения на мнимую и комплексную части, преобразуется в систему

; или .

Вычисляя соответствующие определитель и миноры

, ,

, находим параметрические зависимости .

В точке определитель обращается в ноль. Соответствующие кривые t(w), К(w) и К(t) терпят разрыв.

Особые прямые получаются из уравнений и , которые для данного примера имеют вид: К+1=0 и t×Т2×Т3=0 соответственно.

Уравнения особых прямых:

К = -1; t = 0.

Ниже на рисунке приведены зависимости t(w), К(w) и построена область устойчивости системы.

Получили две области потенциальной устойчивости D(0). Для проверки возьмем точку из верхней области (К=0, t >0). Подставим эти значения в характеристическое уравнение: . В данной точке система будет устойчива, так все корни уравнения отрицательны. Аналогично проверяется и вторая область.

Область устойчивости, находящаяся в первом квадранте — рабочая область. Область устойчивости, находящаяся в третьем квадранте — область математически устойчивых решений (не рабочая).

11.1. Теоретическое обоснование метода D-разбиений

Изменение параметров САУ, например, с целью оптимизации, приведет к изменению коэффициентов уравнения динамики. Останется ли при этом САУ устойчивой — неизвестно. Критерии устойчивости об этом ничего не говорят. Рассмотрим метод определения границ допустимых изменений параметров, при которых САУ не теряет устойчивости.

Приведем характеристическое уравнение замкнутой САУ к виду:

D(p) = pn + c1 pn -1 + c2 pn-2 + … + cn = 0,

Dн(p) = pn + cн1 pn -1 + cн2 pn -2 + … + cнn = 0.

Каждый уникальный набору коэффициентов c1 ,c2 ,…,cn можно изобразить точкой в пространстве коэффициентов, по осям которого откладываются значения коэффициентов c1 ,c2 ,…,cn . Так уравнению третьей степени соответствует трехмерное пространство коэффициентов (рис.82).

Пусть точка N с координатами (cN1 ,cN2,cN3) соответствует уравнению, имеющему решение (pN1,pN2,pN3), точка M с координатами (cM1 ,cM2 ,cM3) соответствует уравнению, имеющему решение (pM1 ,pM2 ,pM3). При изменении какого-либо параметра САУ коэффициенты характеристического уравнения будут изменяться, при этом точка в пространстве коэффициентов, соответствующая данному уравнению будет перемещаться по некоторой траектории, например из положения N в положение M. Этому перемещению будет соответствовать и перемещение корней (pN1,pN2,pN3) на комплексной плоскости в положение (pM1 ,pM2 ,pM3) (аналогично рис.81).

При этом движении некоторые корни будут переходить через мнимую ось комплексной плоскости из левой полуплоскости в правую и наоборот. В момент перехода такой k-й корень примет значение pK = jK, а коэффициенты уравнения будут иметь определенные значения cK1,cK2,cK3, определяющие в пространстве коэффициентов точку K. Подставим корень pK в характеристическое уравнение, получим тождество:

D(pK ) = (jK)3 + cK1(jK)2 + cK2 (jK ) + cK3 = 0

Меняя w от — до + , и находя при каждой частоте все возможные сочетания коэффициентов c1 ,c2 ,…,cn , удовлетворяющих уравнению

D(j) = (j)n + c1 (j)n-1 + c2 (j)n-2 + … + cn = 0,

можно построить в n-мерном пространстве коэффициентов сложную поверхность S, разделяющую его на области, называемое D-областями. Полученное уравнение называется уравнением границы D-разбиения.

Переход из одной D-области в другую через поверхность S соответствует переходу одного или нескольких корней через мнимую ось в плоскости корней. То есть каждая точка внутри определенной D-области соответствует уравнению с определенным количеством левых и правых корней. Поэтому области обозначают D(m) по числу m правых корней.

Достаточно взять любую точку в пространстве коэффициентов и найти для нее число правых корней. Затем, двигаясь по пространству коэффициентов через границу S, можно выявить обозначения всех других областей. Особый интерес представляет область D(0), которой соответствуют уравнения с полным отсутствием правых корней, называемая областью устойчивости. Описанный метод определения областей устойчивости называется методом D-разбиений.

Не обязательно строить сложную n-мерную картину D-разбиения, можно изменять значения, например, только двух коэффициентов, оставляя другие коэффициенты постоянными. Границу D-разбиения S можно строить не только также и в пространстве конкретных параметров системы, от которых зависят данные коэффициенты.

11.2. D-разбиение по одному параметру

Пусть необходимо выявить влияние на устойчивоять САУ, например, коэффициента усиления K. Приведем характеристическое уравнение к виду D(p) = S(p) + KN(p), выделив члены, не зависящие от K в полином S(p), а в остальных членах, линейно зависящих от K, вынесем его за скобки. Граница D-разбиения задается уравнением

D(j) = S(j) + KN(j) = 0, => K = -S(j)/N(j) = X() + jY().

Изменяя w от — до + , будем вычислять X() и Y() и по ним строить точки границы D-разбиения. Пространство коэффициентов представляется системой координат X-Y (рис.83а). Обычно строят только половину кривой ( = [0, + ), другую половину достраивают симметрично относительно вещественной оси.

Если в плоскости корней двигаться вдоль мнимой оси от — до + и штриховать ее слева (рис.83б), то это будет соответствовать движению вдоль линии D-разбиения при изменении w от — до + и штриховке ее также слева. Переходу корня в плоскости корней из штрихованной полуплоскости в нештрихованную вдоль стрелки 1 соответствует аналогичный переход через границу D-разбиения вдоль стрелки 1, и наоборот. Если пересекается область с двойной штриховкой (точки A, В, C), то в плоскости корней мнимую ось пересекает пара комплексно сопряженных корней.

Если известно количество правых корней, соответствующее хотя бы одной D-области, то двигаясь от нее через границы с учетом штриховок, можно обозначить все остальные области. Область с наибольшим количеством штриховок является претендентом на область устойчивости. Нужно взять любую точку из этой области и при соответствующем значении K проверить систему на устойчивость любым методом.

Есть одна особенность. Так как K — вещественное число, то Y() = 0, поэтому нас интересует не вся область устойчивости, а лишь отрезок вещественной оси в этой области, то есть K = X().

11.3. Прямые методы оценки качества управления

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием для ее эффективного функционирования. Важное значение имеет качество управления, то есть степень удовлетворения совокупности требований к форме кривой переходного процесса, которая определяет пригодность системы для конкретных условий работы.

Для сравнения качества различных САУ исследуется их реакция на типовые воздействия. Обычно это ступенчатая (толчковая) функция, как один из наиболее неблагоприятных видов возмущений. Для систем, работающих с периодическими возмущениями, целесообразно оценивать качество управления при гармоническом воздействии. Все остальные возмущения можно разложить на ступенчатые воздействия с использованием интеграла Дюамеля, либо в ряд Фурье.

Все современные методы анализа качества управления можно разделить на прямые методы анализа по кривой переходного процесса или по частотным характеристикам, и косвенные методы, позволяющие, не решая дифференциального уравнения, определить некоторые показатели качества процесса управления; к ним, в частности, относятся корневые, интегральные и частотные методы.

11.3.1. Оценка переходного процесса при ступенчатом воздействии.

Пусть САР (рис.84) при t = 0 воздействует возмущающий фактор f в виде единичной ступенчатой функции. При нулевых начальных условиях динамический режим описывается переходной характеристикой h(t) = y(t) = y(t) — y0 = -e(t) (рис.85). По ней можно определить все наиболее важные показатели качества управления.

1. Статическая ошибка eуст = y0 — yуст = -hуст — это разность между предписанным и действительным значением управляемой величины в установившемся режиме. Для статических систем статическая ошибка отлична от нуля (рис.85а) и пропорциональна величине возмущающего фактора f (в линейных САУ) и коэффициенту передачи системы по данному возмущению, а для астатических — равна нулю (рис.85б).

2. Время переходного процесса tпп — это время от момента воздействия, начиная с которого колебания управляемой величины не превышают некоторого наперед заданного значения, то есть |h(t)-hуст| . Обычно принимают = 0.05hуст.

3. Перерегулирование s — это максимальное отклонение управляемой величины от установившегося значения, выраженное в относительных единицах: s = . Здесь hmax1 — значение первого максимума переходной характеристики. При больших перерегулированиях могут возникнуть значительные динамические усилия в механической части системы, электрические перенапряжения и т.п. Допустимое значение s определяется из опыта эксплуатации. обычно оно составляет 0.1…0.3, иногда допускается до 0.7.

4. Частота колебаний = 2/T, где T — период колебаний.

5. Число колебаний n за время tпп.

6. Декремент затухания k, равный отношению двух смежных перерегулирований: .

При создании САУ допустимые значения показателей качества оговариваются техническими условиями, что можно представить в виде диаграммы показателей качества. Это область, за границы которой не должна выходить переходная характеристика (рис.86).

11.3.2. Оценка качества управления при периодических возмущениях

Периодические возмущения можно разложить в ряд Фурье, поэтому их воздействие удобно анализировать по частотным характеристикам, показывающим, как звено преобразует гармонический сигнал.

Обычно используют АЧХ замкнутой САУ (рис.87), которую легко построить по АФЧХ разомкнутой САУ Wp(j), по формуле

Aз = .

По этой кривой можно получить ряд показателей качества.

1. Показатель колебательности M — это отношение максимального значения АЧХ замкнутой САУ к ее значению при = 0, то есть M = Aзmax()/Aз(0). Так как

Aз(0) = 1,

при Kp >> 1, то M Aзmax(). Он характеризует склонность системы к колебаниям и не должен превышать 1.5.

2. Резонансная частота системы p — это частота, при которой колебания проходят через систему с наибольшим усилением, а АЧХ достигает максимума.

3. Полоса пропускания системы — это интервал частот от = 0 до = 0, на котором выполняется условие Aз(0) 0.707. Если она высокая, то система будет воспроизводить высокочастотные помехи.

4. Частота среза ср — при которой АЧХ замкнутой САУ принимает значение, равное единице. По ней можно судить о длительности переходного процесса tпп(1..2)2/ср.

5. Склонность САУ к колебаниям характеризуют также ее запасы устойчивости по модулю (допускается от 6 до 20дб) и по фазе (допускается от 30 до 60 градусов).

Вопросы

  1. Как параметры САУ влияют на вид уравнения динамики?
  2. Что происходит с корнями характеристического полинома САУ при изменении ее параметров?
  3. Что такое пространство коэффициентов и плоскость корней?
  4. Что такое граница D-разбиений? Как найти ее уравнение? Как ее построить?
  5. Что такое D-области и как они нумеруются?
  6. Что такое область устойчивости?
  7. Как формулируется правило штриховки в случае D-разбиения по одному параметру?
  8. Как пронумеровать D-области в случае D-разбиения по одному параметру?
  9. Что называется качеством управления и зачем его оценивать?
  10. Что относится к прямым оценкам качества управления?
  11. Что называется косвенными методами оценки качества управления?
  12. Когда используются оценки качества управления при ступенчатом воздействии, и когда при периодическом?
  13. Перечислите прямые оценки качества управления при ступенчатом воздействии?
  14. Перечислите прямые оценки качества управления при периодическом воздействии?
  15. Что называется диаграммой показателей качества?

Метод Д-разбиения. – Ягудина

Метод Д-разбиения— способ построении области устойчивости линейной системы автоматического управления по некоторому параметру, т.е. определение границ допустимых изменений параметров, при которых система автоматического управления не теряет устойчивости.

Для линейной системы требуется определить диапазон изменения некоторого параметра k, в котором система сохраняет устойчивость. Дополнительно предполагается, что этот параметр входит в характеристический полином системы линейно. В качестве исследуемого параметра может выступать коэффициент усиления, постоянная времени, коэффициент полинома передаточной функции.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического управления (САУ) :

ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0 (1)

Его можно записать в следующем виде:

D(s) = sn + cn sn -1 + cn-1s n-2 + … + c1= 0, (2)

где cn = an-1/an cn-1 = an-2/an…c1 = a0/an.

Известный метод оценки устойчивости по корням заключается в определении знака вещественной части корня si :

— если α>0, имеют место колебания с нарастающей амплитудой, т.е. движение неустойчиво;

— если α=0, получаем незатухающие колебания, т.е. система находится на границе устойчивости

— если α<0, амплитуда колебаний с течением времени уменьшается и колебания затухают.

В частном случае вещественного корня, т.е. при равенстве нулю коэффициента при мнимой части β=0 можно выделить:

— если α>0, движение апериодическое и неустойчивое;

— если α=0, движение нейтральное;

— если α<0, движение апериодическое и устойчивое;

Таким образом, корневое условие устойчивости динамической системы формулируется следующим образом:

если все вещественные части корней характеристического уравнения отрицательны, то динамическая система устойчива, если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, то система неустойчива.

При изменении параметров САУ изменятся и коэффициенты характеристического полинома ci, а значит, и корни si. На практике используется Д-разбиение по одному (не очень интересно), либо по двум параметрам.

Правила штриховки следующие:

— Если особая прямая и кривая Д-разбиения сближаются асимптотически — штриховка особой прямой однократная, направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения.

— если особая прямая имеет общую точку с кривой Д-разбиения, но не пересекает ее — штриховка особой прямой однократная и около общей точки направлена к заштрихованной стороне Д-разбиения.

— если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения в двух точках — штриховка особой прямой двойная и направлена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения около той точки пересечения, в которой определитель меняет знак, около второй точки пересечения определитель знака не меняет и штриховку особой прямой не изменяют.

— если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения, но знак определителя не меняется — особую прямую не штрихуют.

После того, как кривая Д-разбиения и особые прямые построены, и на них нанесена штриховка, отыскивается область, внутрь которой направлена штриховка ее границ. Это область потенциальной устойчивости. С помощью любого критерия устойчивости проверяется, является ли система в какой-либо точке данной области устойчивой. Тогда рассматриваемая область принимается в качестве области устойчивости. Возможны случаи, когда области устойчивости отсутствуют.

Методом Д-разбиения плоскости по двум параметрам иногда можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра, который входит в характеристическое уравнение нелинейным образом.

Область устойчивости, находящаяся в первом квадранте — рабочая область. Область устойчивости, находящаяся в третьем квадранте — область математически устойчивых решений (не рабочая).

Разделы:

В п. 6.7 было рассмотрено построение областей устойчивости с использованием критерия Гурвица и в качестве примера построена гипербола Вышнеградского. На практике используются другие бо­лее общие методы исследования влияния различных параметров системы — на ее устойчивость, т. е. разработаны следующие специальные методы построения областей устойчивости:

1) путем анализа перемещения корней характеристического уравнения в плоскости корней — метод корневого годографа;

2) путем анализа числа корней характеристического уравнения, лежащих в правой полуплоскости, в пространстве параметров системы — метод Д-разбивания пространства параметров, который был предложен и разработан в 1948 г. Неймарком.

6.9.1 ПОНЯТИЕ Д-РАЗБИЕНИЯ

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы может быть приведено к виду:

n-го порядка, которое всегда

D(s) = sn + ax sn-1 + … + an = 0 (ao = 1).

(6.57)

Представим себе координатное пространство, осями которого являются коэффициенты уравнения, оно получило название пространство коэффициентов. Каждой точке этого пространства соответствуют конкретные численные значения коэффициентов уравнения и соответствующий им полином n-й степе­ни, который имеет n корней, зависящих от численных значений коэффициентов а/. Если изменять эти коэффициенты, то корни будут перемещаться в комплексной плоскости корней этого уравнения

и соответствующее ему пространство коэффициентов аі, а2, а3 (рис. 6.41).

Каждой точке пространства соответствует вполне определенный полином и вполне определенные три корня.

Например, точка М имеет координаты {а1М, а2М, а3М}, и следовательно, характеристический поли­ном записывается в виде

D(s) = s3 + аім s2 + а2м s2 + аЪм

и имеет корни Sim, S2M, Sm.

Когда один из корней равен 0 или +/со, тогда точка пространства будет удовлетворять уравнению

D(i(o) = (/со)3 + а1(/ш)2 + а2(/со) + а3 = 0.

При -оо < со < оо этому уравнению соответствует некоторая поверхность Q. Если корни мнимые, то точка в пространстве коэффициентов попадает на эту поверхность Q. При

пересечении ее корни переходят из одной полуплоскости в другую.

Таким образом, поверхность Q разделяет все пространство на области с равным количеством пра­вых и левых корней, их обозначают D(m), где m — число правых корней характеристического уравнения. Разбиение пространства параметров на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой об­ласти и выделение среди полученных областей области устойчивости называется методом Д-разбиения.

Для уравнения третьего порядка можно выделить 4 области D(3), D(2), D(1), D(0), последняя будет областью устойчивости.

Если изменяются не все коэффициенты, а часть из них, например, а1 и а2, при а3 = сопві, то вместо поверхности получим линию, которая является сечением поверхности Q и разделяет плоскость коэф­фициентов а1, а2 на области с одинаковым числом правых корней (рис. 6.42).

Уравнение границы Д-разбиения получают из характеристического уравнения системы заменой s

/с .

D(/co) = (/со)» + «1 (/со)» 1 + … + an = 0.

(6.59)

Границу Д-разбиения можно строить не только в пространстве коэффициентов дифференциального уравнения, но и в пространстве параметров системы.

6.9.2 Д-РАЗБИЕНИЕ ПО ОДНОМУ ПАРАМЕТРУ

Пусть требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра v, линейно входящего в характеристическое уравнение. Это уравнение можно привести к виду

D(s) = M(s) + v N(s) = 0. Граница Д-разбиения определится как

(6.60)

откуда

D(/ro) = M(jro) + v N(/ro) = 0,

n (/ro)

(6.61)

(6.62)

Если в плоскости комплексных корней двигаться по мнимой оси при изменении с от -о до о и штриховать ее слева, то в плоскости параметра v этому движению будет соответствовать движение по границе Д-разбиения, которую также штрихуют слева. Если же в плоскости v пересекать границу Д-разбиения по направлению штриховки (1) (рис. 6.43), то этому соответствует переход корня из правой полуплоскости в левую, если же против штриховки — то корень переходит из левой полуплоскости в правую. Если штриховка двойная, то мнимую ось пересекают два корня.

/ го,

го < 0

1

Для определения области устойчивости достаточно знать распределение корней при каком-либо одном значении параметра v. Переходя в плоскости v от одного параметра к другому, по числу пересе­чений границы Д-разбиения, направлению и числу штриховок можно определить значение D(m).

Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая соответствует области с наибольшим числом левых корней. В выбранной области берется значе­ние параметра v и по любому из критериев система проверяется на устойчивость.

Так как v — вещественное число, то из полученной области выделяют только отрезок вещественной оси, лежащей в области устойчивости, например, отрезок AB.

6.9.3 Д-РАЗБИЕНИЕ ПО ДВУМ ПАРАМЕТРАМ

На практике часто требуется выяснить влияние на устойчивость двух, а не одного параметра.

Характеристическое уравнение в этом случае приводится к виду:

D(s) = vN(s) + xM(s) + L(s) = 0,

(6.63)

подставляя s = /со, получают уравнение для границы Д-разбиения

D(/co) = vN(io) + тМ(/ш) + L(i&) = 0.

(6.64)

Если обозначить

N (im) = Nj(ro) + iN 2(ш); М (im) = Mj (ш) + /М 2 (со);

(6.65)

то уравнение для границы можно разбить на два:

vNi (ш) + тМ, (со) + Li (ш) = 0; vN2 (ш) + тМ2 (ш) + L2 (ш) = 0.

(6.66)

v = «Г; т =»Г, (6 67)

Ni(m) М1(ш) N2(m) М2(ш)\

Задавая различные значения частоты со от -оо до да, для каждого из ее значений по параметриче­ским уравнениям определяются величины v и т и строится граница Д-разбиения. При этом возможны следующие три случая.

При некотором значении шк все определители равны нулю, тогда v и т становятся неопреде­ленными. Прямые 1 и 2 сливаются друг с другом, в этом случае получают не точку, а, так называемую, особую прямую (рис. 6.44, в), уравнение которой:

(6.68)

Особая прямая не относится к кривой Д-разбиения, так как всем ее точкам соответствует одно и то же значение частоты, и направление движения по ней установить невозможно.

После построения границы Д-разбиения и особых прямых необходимо их заштриховать, пользуясь следующим правилом: при возрастании ш от -о до о граница Д-разбиения штрихуется слева, если А > 0, и справа, если А < 0.

Так как v и т являются четными функциями со, то границы Д-разбиения для положитель-

ных и отрицательных частот совпадают, поэтому кривую Д-разбиения обходят дважды, и она всегда штрихуется двойной штриховкой.

Штриховка особых линий, как правило, одинарная и штрихуется так, чтобы в местах сопряжения с Д-границей заштрихованные и незаштрихованные стороны прямой и кривой были направлены друг к другу (рис. 6.45 а, б).

В тех случаях, когда особая прямая имеет место при некотором конечном значении частоты со = сок Ф 0 и при этом А проходит через нуль и меняет знак, особая прямая штрихуется согласно правилу, но двойной штриховкой (рис. 6.45, в). Если же А не меняет знак, то особая прямая не штрихуется и из рас­смотрения выбрасывается (рис. 6.45, г).

по двум параметрам:

а, б — одинарная штриховка; в — двойная штриховка; г — не штрихуется После нанесения штриховки определяют область, претендующую на область устойчивости, т.е. об­ласть, внутрь которой направлена штриховка.

Пересечение границы Д-разбиения из заштрихованной зоны в незаштрихованную соответствует пе­реходу двух комплексно-сопряжен-ных корней из левой полуплоскости корней в правую, и наоборот. Пересечение особой прямой с одной штриховкой соответствует переходу одного корня.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *