Законы распределения непрерывных случайных величин

Цели:

1. Формирование представление о случайной величине, дискретных и непрерывных случайных величинах.

2. Знакомство с законом распределения дискретной случайной величины, функцией распределения и плотностью распределения непрерывной случайной величины, числовых характеристиках случайных величин.

План:

1. Виды случайных величин.

2. Закон распределения дискретной случайной величины.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины.

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

5. Математическое ожидание.

6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

1. Виды случайных величин.

Случайной величиной называется такая величина, которая случайно принимает какое-то значение из множества возможных значений.

Случайные величины обозначаются: X, Y, Z,… Значения, которые они принимают: x,y,z.

По множеству возможных значений различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретными называются случайные величины, значениями которых являются только отдельные точки числовой оси. (Число их может быть как конечно, так и бесконечно).

Пример: Число родившихся девочек среди ста новорожденных за последний месяц- это дискретная случайная величина, которая может принимать значения 1,2,3,…

Непрерывными называются случайные величины, которые могут принимать все значения из некоторого числового промежутка.

Пример: Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле- это непрерывная случайная величина, значения которой принадлежат некоторому промежутку .

2. Закон распределения дискретной случайной величины.

Дискретную случайную величину Х можно характеризовать законом распределения .

Закон распределения дискретной случайной величины- это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически, графически.

При задании закона распределения таблично, в первую строку таблицы вносятся возможные значения случайно величины, а во вторую- их вероятности.

х

x1

x2

xn

р

p1

p2

pn

Пример: Монету подбросили 3 раза. Запишите закон распределения числа выпадения «герба».

Возможные значения данной случайной величины: 0, 1, 2, 3.

Найдем вероятность того, что «герб» не появится (0 раз).

Найдем вероятность того, что «герб» появится 1 раз.

Найдем вероятность того, что «герб» появится 2 раза.

Найдем вероятность того, что «герб» появится 3 раза.

Сделаем проверку:

Тогда закон распределения данной дискретной случайной величины можно представить таблицей:

х

0

1

2

3

р

0,125

0,375

0,375

0,125

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi ; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

Однако, такой способ задания (перечисление всех возможных значений случайной величины и их вероятностей) не подходит для непрерывных случайных величин. Составить перечень их возможных значений невозможно.

3. Функция распределения вероятностей случайной величины.

Дадим новый способ задания любых типов случайных величин. С этой целью введем функцию распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее х, т.е. F(x)<P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) –есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Иногда вместо термина «функция распределения» используется термин «интегральная функция».

Свойства функции распределения:

Свойство 1: Значения функции распределения принадлежат интервалу : .

Свойство 2:F(x)- неубывающая функция, т.е. при .

Следствие 1: Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Пример: Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0; 2).

Решение:

Следствие 2:

Следствие: Если возможные значения непрерывной случайной величины распределены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.

График расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (1 свойство).

4. При возрастании значения х в интервале (a; b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график растет вверх (2 свойство).

5. При ординаты графика равны 0, при ординаты графика равны 1 (3 свойство).

Замечание: График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Пример: Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

х

1

4

8

р

0,3

0,1

0,6

Найдите функцию распределения и постройте ее график.

Итак, функция распределения имеет следующий вид:

4. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (дифференциальной функцией).

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x)- первую производную от функции распределения F(x).

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a;b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b.

Пример: Задана плотность вероятностей случайной величины Х.

Найдите вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5; 1).

Решение: .

Свойства плотности распределения вероятностей:

Свойство 1: Плотность распределения- неотрицательная функция: f(x) > 0.

Свойство 2: Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от равен 1: .

Геометрический смысл этого свойства заключается в следующем: площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ и кривой распределения, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то .

Часто, для того чтобы характеризовать случайную величину используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины. К числу важнейших числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.

5. Математическое ожидание.

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и следовательно стреляет лучше.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х- это величина , где xi- значения случайной величины, pi- их вероятности, n- число возможных значений случайной величины.

Пример: Найдите математическое ожидание, зная закон распределения дискретной случайной величины.

х

3

5

2

р

0,1

0,6

0,3

Решение: М(Х)=

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х – это величина, где f(x)- плотность распределения вероятностей.

Пример: Случайная величина Х задана своей плотностью распределения. Найдите ее математическое ожидание.

Решение:

CСлучайные величины Х и У называются независимыми, если закон распределении каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая случайная величина.

Свойства математического ожидания.

Свойство 1: Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине. М(с)=с.

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания. М(сХ)=сМ(Х).

Свойство 3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Свойство 4: Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых.

Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей, когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша или математическое ожидание выигрыша.

Пример: Найдите математическое ожидание случайной величины Z=3Х-2У, если Х и У заданы следующими законами распределения:

Х: У:

х

1

2

р

0,4

0,6

х

0

1

3

р

0,2

0,3

0,5

Решение: М(Х)=1*0,4+2*0,6=1,6. М(У)=0*0,2+1*0,3+3*0,5=1,8.

М(Z)=3M(X)-2M(Y)=3*1,6-2*1,8=1,2.

6. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия показывает, как рассеяны возможные значения случайной величины около ее математического ожидания.

Отклонением случайной величины называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения Х от ее математического ожидания.

Теорема: Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.

Если Х- дискретная случайная величина, то , где xi- значения случайной величины, pi- их вероятности, n-число возможных значений случайной величины.

Если Х- непрерывная случайная величина, то, где f(x)- плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Пример: Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

х

1

2

р

0,2

0,8

Найдите дисперсию случайной величины двумя способами и результаты сравните.

Решение:

1 способ: M(X)= 10,2+20,8=1,8

D(X)=(=(1-1,8*0,2+(2-1,8*0,8)2=0,16

2 способ: М(Х)=1,8; М(X2)==;

Пример: Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей. Найдите дисперсию случайной величины двумя способами и результаты сравните.

Решение:

1 способ: М(Х)=2/3; М(X2)=.

Тогда .

2 способ:

D(X)=

Свойства дисперсии.

Свойство 1: Дисперсия постоянной величины равна 0. D(X)=0.

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

Свойство 3: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. D(X+Y)=D(X)+D(Y).

Свойство 4: Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. D(X-Y)=D(X)-D(Y).

Пример: Дисперсии случайных величин X и Y равны соответственно 1 и 2. Найдите дисперсию случайной величины Z=4X-3Y.

Решение: D(Z)=D(4X-3Y)=D(4X)+D(3Y)=16D(X)+9D(Y)=16*1+9*2=34.

Среднеквадратическим отклонением случайной величины Х называется величина .

Пример: Случайная величина Х задана законом распределения.

§ 15. Законы распределения непрерывных случайных величин Равномерный закон распределения

Определение 15.1. Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке, если ее плотность вероятностипостоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

График функции имеет вид (рис. 15.1).

Рис. 15.1

Теорема 15.1. Функция распределения случайной величины, распределенной по равномерному закону, имеет вид

Числовые характеристики равны:

График функцииимеет вид (рис. 15.2).

Рис. 15.2

Показательный или экспоненциальный закон распределения

Определение 15.2. Непрерывная случайная величинаимеет показательный закон распределения с параметром, если ее плотность вероятности имеет вид

График функции имеет вид (рис. 15.3).

Рис. 15.3

Теорема 15.2. Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, имеет вид

Числовые характеристики равны:

График функцииимеет вид (рис. 15.4).

Рис. 15.4

§ 16. Нормальное распределение непрерывной случайной величины

К случайным величинам, имеющим нормальный закон распределения, относятся случайные величины, на формирование которых влияет большое число факторов, причем влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими. В результате влияния каждого из этих факторов рождается ничтожная случайная ошибка. Поскольку число этих факторов велико, то совокупное их действие порождает суммарную ошибку. Эту суммарную ошибку можно рассматривать как сумму большого числа взаимно независимых ошибок, т.е. суммарную ошибку можно рассматривать как случайную величину, которая распределена по закону, близкому к нормальному.

Определение 16.1. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, если ее функция плотности вероятностей имеет вид

,

где и   параметры распределения.

Методами интегрального исчисления можно проверить, что эта функция удовлетворяет следующим условиям:

, (16.1)

, (16.2)

. (16.3)

Значит, параметр  есть математическое ожидание данной случайной величины , т.е. центр рассеяния случайной величины распределенной нормально, а параметр  есть её среднее квадратическое отклонение, которыми полностью определяют нормальное распределение.

А величина есть нормированная случайная величина, у которой

; .

Определение 16.2. График функцииназывается кривой нормального распределения, это колоколообразная кривая или кривая Гаусса.

Методами дифференциального исчисления можно исследовать функцию

Рис. 16.1

Влияние параметров распределения а и  на форму нормальной кривой. Изменение величины параметра не изменяет формы кривой, а только сдвигает её вдоль осивправо, есливозрастает, и влево, еслиубывает, при неизмененном значении (рис. 16.2).

Рис. 16.2

Форма кривой изменяется с изменением параметра   среднего квадратического отклонения. С возрастанием  ордината максимума функции уменьшается, т.е.убывает и кривая становится более пологой и растянутой вдоль оси. Чем ближе значенияк, тем больше плотность вероятностис уменьшением, т.е. максимальная ордината функции возрастает, и график функциисжимается к прямойпараллельной, т.е. растягивается вдоль прямойпараллельной, т.е. кривая становится более «островершинной». Малые отклонения случайной величины от её среднего значения встречаются более часто, чем большие; аS – площадь фигуры, ограниченной кривой и осью, всегда равна 1.

Рис. 16.3 Рис. 16.4

Рис. 16.5

Определение 16.3. Если , то нормальное распределение называется нормированным и функция плотности или дифференциальная функция имеет вид

– это функция Лапласа (рис. 16.6).

Рис. 16.6

Нормальное распределение имеет в теории вероятностей большое значение, так как оно рассматривается как приближение многих других распределений. Так, биномиальное распределение близко к нормальному при . Распределение Пуассона близко к нормальному распределению, когда достаточно велико, т.е. мало, а  велико.

Пример 16.1. Случайная величина распределена нормально.;. Написать дифференциальный закон распределения случайной величины.

; .

Пример 16.2. Дифференциальная функция распределения случайной величиныимеет вид

Найти параметры заданного распределения.

Ответ: ;.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал (; ). Известна формула, которая позволяет рассчитать вероятность попадания значений случайной величины непрерывного типа в заданный интервал (; ):

,

где  заданная дифференциальная функция распределения, характеризующая величину ;  левая;   правая границы заданного интервала. Для нормального распределения случайной величины имеем

Методами интегрального исчисления можно получить формулу

Графически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной нормальной кривой, прямыми ;и осью.

Пример 16.3. Случайная величина распределена нормально сиНайти вероятность того, чтопримет значение из интервала (10; 25).

Легко видеть, что и тогда

Ответ. С вероятностью 95,2% можно ожидать, что случайная величина , распределенная нормально, примет любое значение из интервала (10; 25).

Пример 16.4. Средний диаметр стволов деревьев на обследуемом участке равен 30 см; среднее квадратическое отклонение  5 см. Считая, что диаметр ствола  величина случайная, распределенная нормально, определить вероятность того, что:

1) диаметр ствола наугад выбранного, дерева попадает в интервал (25 см; 37 см);

2) диаметр ствола будет не менее 25 см;

3) диаметр ствола дерева не превысит 36 см;

4) определить величину, которую не превзойдет диаметр ствола наугад выбранного дерева с вероятностью 0,95.

Случайная величина диаметр ствола дерева распределена нормально; см;см.

1)

Это значит, что 76% стволов деревьев имеют диаметры от 25 до 37 см.

2) Событие, состоящее в том, что диаметр ствола дерева будет не менее 25 см, определяется неравенством значит надо найти

3) Событие состоящее в том, что диаметр ствола дерева будет не более 36 см, определяется неравенством а значит:

Итак, 84,1% стволов деревьев на участке будут иметь диаметры не менее 25 см и 88,5%  не более 36 см.

4) Надо найти правую границу  по заданной вероятности Левую границу принимаем равной 0.

(см).

Таким образом, диаметр ствола выбранного наугад дерева на некотором участке, не будет превышать 38,2 см с вероятностью 0,95, или 95% деревьев на участке будут иметь диаметры не более 38,2 см.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной нормально, в интервал, симметричный относительно центра рассеяния. Надо найти вероятность неравенства , где величина, распределенная нормально, ;  любое положительное число.

Если то имеет место (рис. 16.7).

Рис. 16.7

В результате вычислений получим формулу:

Пример 16.5. Длина детали, изготовляемой в цехе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с мм имм. Найти: 1) вероятность того, что длина готовой детали отклоняется от номинального размера не более чем на 0,02 мм; 2) какую точность изготовления длины детали можно ожидать с вероятностью 0,99?

Случайная величина мм длина детали, распределенная нормально: мм;мм;мм.

1) Найдём

Значит, примерно 26% деталей имеют длину (11,98; 12,02) мм.

С увеличением величины отклонения  , т.е. с понижением точности изготовления детали, возрастает вероятность осуществления неравенства .

2) По условию задачи мм, поэтому(мм).

Ответ. Примерно 99% деталей имеют длину (11,85; 12,15) мм. Как и следовало ожидать, с увеличением вероятности отклонениявеличина отклонения возросла, что привело к снижению точности изготовления детали.

Правило трёх сигм. В формуле

,

полагаем

т.к.

Определение 16.4. Вероятность того, что отклонение случайной величины отпо абсолютной величине не превысит, близка к 1 (рис. 6), т.е. неравенствопрактически достоверно.

Это значит, что случайная величина, распределенная нормально, практически не может отклониться от своего математического ожидания более чем на три средних квадратических отклонения. На практике при испытаниях значения с.в., распределенной нормально, будут принадлежать интервалус вероятностью, близкой к единице (рис. 16.8, 16.9). В самом деле,

Рис. 16.8

Правило трех сигм, например, может быть применено в статистическом контроле качества изделий.

Рис. 16.9

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *