Длина вектора в ортонормированном базисе

Содержание

Скалярное произведение, длина вектора и координаты вектора в ортонормированном базисе

Получим формулу для вычисления скалярного произведения по координатам сомножителей в ортонормированном базисе.

Если векторы в ортонормированном базисе заданы своими координатами , , то скалярное произведение равно:

Длина вектора a ( ) заданного координатами в ортонормированном базисе , , вычисляется по формуле

Координаты вектора в ортонормированном базисе:

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Метод ортогонализации Шмидта

Для справки:

Множество векторов называется ортогональной системой векторов (или системой попарно ортогональных векторов), если любые два ее вектора ортогональны (относительно данного скалярного произведения).

Всякая упорядоченная ортогональная система из n ненулевых векторов n-мерного евклидова векторного пространства образует его базис. Такой базис называется ортогональным.

Базис евклидово векторного пространства < V, g > называется ортонормированным, если все его векторы — попарно ортогональные орты (относительно скалярного произведения g).

Ответ:

— евклидово пространство;

a1…an – произвольный базис.

Положим вектор: , ;

Система координат. Ортонормированный базис. Длина вектора в ортонормированном базисе.

Система координат.

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D1 =

D2 =

D3 =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

  1. Деление вектора в заданном отношении. Операции над векторами, заданными своими координатами.

Вычисления в ортонормированном базисе

Использование ортонормированных базисов облегчает вычисление скалярного произведения по координатам векторов. Пусть в евклидовом пространстве Ε задан некоторый базис е = (e1 … еn). Рассмотрим два произвольных вектора х и у в этом пространстве. Эти векторы представляются в базисе е своими координатами:

х = x1e1 + … + хnеn, у = y1e1 + … + ynen.

Запишем эти разложения векторов по базису в матричной форме:

Скалярное произведение векторов х и у может быть выражено через скалярные произведения векторов базиса:

Составив из скалярных произведений базисных векторов ква-дратную матрицу Г = ((ei,ej)) порядка n, мы можем записать скалярное произведение заданных векторов в матричной форме:

(x,y) = xTГy.

Матрица Г является симметрической в силу коммутативности операции скалярного умножения. Ее называют матрицей Грама системы векторов e1, …, еn.

Пусть базис е является ортонормированным. Тогда скалярное произведение (еi, еj) при несовпадающих i и j равно нулю, а скалярные квадраты базисных векторов равны e2i = ||еi||2 = 1. Это значит, что для ортонормированного базиса матрица Г является единичной. Поэтому

(x, у) = хTЕу = xTу = x1y1 + x2y2 + … + xnуn.

В частности, в ортонормированием базисе норма вектора х, которая выражается через скалярный квадрат этого вектора, может быть вычислена по формуле

||x|| = √(х,х) = √(х21 + … + х2n) = √(xTx), (3.7)

а для косинуса угла φ между ненулевыми векторами х и у получаем выражение

(х, еi) = xi, i = 1,n.

Пример 3.13. В евклидовом арифметическом пространстве R4 найдем угол между векторами а = (-1, 1, 0, 2) и b = (2, -1, 1, 0). Согласно формуле (3.8),

  1. Линейные операции над векторами

  2. Базис. Cкалярное произведение

  3. Векторное и смешанное произведения векторов

  4. Декартова система координат. прямая на плоскости

  5. Плоскость в пространстве

  6. Прямая в пространстве

  7. Кривые второго порядка — I

  8. Кривые второго порядка — II

  9. Поверхности второго порядка

  10. Матрицы и операции с ними

  11. Обратная матрица

  12. Ранг матрицы

  13. Системы линейных алгебраических уравнений

  14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ

Векторное произведение

Проекция вектора

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекцией вектора на направление вектора называется скалярная величина , φ – угол между векторами.

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка OA0.

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой – проекция отрицательна, если угол φ прямой – проекция равна нулю.

При ортогональной проекции угол между отрезками OA0 и AA0 прямой. Существуют проекции, у которых этот угол отличен от прямого.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

1. (проекция суммы равна сумме проекций);

2. (проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения .

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базиса на плоскости угол φ, тогда .

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с векторами , и ортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис. 5), тогда . Причем . Величины cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора

Скалярное произведение
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через . Если φ — угол между векторами и , то .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

1. (коммутативность).

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

3. Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой.

4. .

5. .

6. .

Векторное произведение

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной (правой), если после приложения к общему началу из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левоориентированной (левой).

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1. где φ – угол между векторами и ;

2. вектор ортогонален вектору , вектор ортогонален вектору ;

3. упорядоченная тройка векторов является правой.

Если один из векторов нулевой, то векторное произведение есть нулевой вектор.

Векторное произведение вектора на вектор обозначается {либо }.

Теорема: Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Теорема: Длина (модуль) векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.

Пример: Если – правый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Если – левый ортонормированный базис, то , , .

Пример: Пусть, а ортогонален к . Тогда получается из вектора поворотом вокруг вектора на по часовой стрелке (если смотреть из конца вектора ).

Пример: Если дан вектор , то каждый вектор можно представить в виде суммы , где – ортогонален , а – коллинеарен . Легко видеть, что .

Действительно, можно заметить, что . Вектор компланарен векторам и , а потому и коллинеарны. Легко видеть (рис. 12), что они одинаково направлены.

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. (антикоммутативность);

Действительно, из определения следует, что модуль векторного произведения не зависит от порядка сомножителей. Точно так же вектор коллинеарен вектору . Однако, переставляя сомножители, мы должны изменить направление произведения, чтобы было выполнено условие 3) определения. Действительно, если , , — правая тройка, то , , — левая, а , , — снова правая тройка.

2. ;

Если φ — угол между векторами и , то . Векторы, стоящие в обеих частях доказываемого равенства, лежат на прямой, перпендикулярной и . При λ > 0 и вектор и вектор направлены так же, как . Если λ < 0, то кратчайший поворот от к производится навстречу кратчайшему повороту от к . Поэтому и противоположно направлены. Очевидно, что противоположно направлены также и векторы и . Таким образом, при λ ≠ 0 векторы и направлены всегда одинаково, и равенство доказано. При λ = 0 равенство очевидно.

3. ;

Если , то доказываемое очевидно. Если , то разложим и в суммы и , где и ортогональны , а и коллинеарны . Поскольку , и вектор ортогонален , а коллинеарен , нам достаточно доказать равенство и (в силу свойства 2) даже равенство , где . Длина вектора равна 1. Выше, в примере, мы видели, что в этом случае умножение на сводится к повороту (ортогонального к ) первого сомножителя на угол 90°. Но при повороте параллелограмм, построенный на и , поворачивается целиком вместе с диагональю. Тем самым равенство доказано.

4. .

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда

или

Справедливость теоремы следует из предыдущих формул при учете примеров в начале раздела. Чтобы избежать постоянных замечаний об ориентации базиса, мы будем считать, что базис выбирается всегда правый.

Векторное произведение используется в основном для решения двух задач:

1. Нахождения вектора перпендикулярного плоскости, в которой расположены два заданных вектора.

2. Вычисление площади S параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. В ортонормированном базисе

В планиметрии векторное произведение не определено. Но ничто не мешает считать, что изучаемая плоскость помещена в пространство и третий базисный вектор выбран единичным и перпендикулярным плоскости. Тогда векторное произведение имеет одну ненулевую компоненту, а именно третью, и площадь параллелограмма в ортонормированном базисе на плоскости выражается формулой

§1.6. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi, где a и b – действительные числа, – мнимая единица. Число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Rez, число b – мнимой частью z: b = Imz.

Два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны, если a1 = a2 и b1 = b2.

Комплексные числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными.

Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru


п.4. Линейные операции с векторами в координатной форме записи.

Пусть – базис пространства и – два его произвольных вектора. Пусть и – запись этих векторов в координатной форме. Пусть, далее, – произвольное действительное число. В этих обозначениях имеет место следующая теорема.

Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)

1) ;

2) .

Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.

Доказательство. Так как по условию теоремы , , то используя аксиомы векторного пространства, которым подчиняются операции сложения векторов и умножения вектора на число, получаем:

Отсюда следует .

Аналогично доказывается второе равенство.

Теорема доказана.

п.5. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу, т.е. .

Обозначение: – векторы и ортогональны.

Определение. Тройка векторов называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны друг другу, т.е. , .

Определение. Тройка векторов называется ортонормированной, если она ортогональная и длины всех векторов равны единице: .

Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.

Определение. Упорядоченная некомпланарная тройка векторов , отложенных от одной точки, называется правой (правоориентированной), если при наблюдении с конца третьего вектора на плоскость, в которой лежат первые два вектора и , кратчайший поворот первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (левоориентированной).

рис.6.

Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :

рис.7.

Определение. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если ортонормированная тройка векторов.

Обозначение. В дальнейшем мы будем пользоваться правым ортонормированным базисом , см. следующий рисунок:

Длина вектора в ортонормированном базисе равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора. Например, если то . – проекция вектора на вектор

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Координаты вектора находят, вычитая из координат точки , являющейся концом вектора, соответствующие координаты точки , являющейся началом вектора.

= .

Косинус угла между векторами и равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению длин этих векторов: .

Скалярное произведение двух векторов в ортонормированном (декартовом) базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: если , то .

В ортонормированном базисе векторное произведениенаходят, раскладывая определитель, в первой строке которого – орты декартовой системы координат, во второй строке – координаты левого из перемножаемых векторов, а в третьей строке – координаты правого из перемножаемых векторов.

Например, , тогда векторное произведение этих векторов в декартовой системе координат можно найти так: Свойства векторного произведения

Геометрический смысл векторного произведения. Модульвекторного произведениячисленно равенплощади параллелограмма,построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах. Обычно векторы приводят к общему началу. Половина модулявекторного произведениячисленно равнаплощади треугольника,построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах этого треугольника. Обычно векторы приводят к общему началу.
Определение и условие компланарности векторов. Векторы, лежащие в одной или параллельных плоскостях, называются компланарными. Смешанноепроизведение ненулевых компланарныхвекторов равно нулю.

Смешанное произведение трех векторовполучают, умножая векторное произведение двух векторов на третий вектор скалярно.

В ортонормированном базисе смешанное произведениеравно определителю, строками или столбцами которого являются координаты перемножаемых векторов. Обычно первой строкой определителя записывают координаты первого вектора, второй строкой – координаты второго вектора, а третьей строкой – координаты третьего вектора, если считать векторы слева направо.

Полезно помнить такие свойствасмешанного произведения: 1) при перестановке двух любых соседних векторов смешанное произведение меняет знак на противоположный; 2) при циклической перестановке (последний вектор ставится впереди первого) смешанное произведение не изменяется, поскольку при этом два раза переставляются соседние векторы.

Геометрический смысл смешанного произведения. Деление отрезка в отношении λ. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Обычно векторы приводят к общему началу. Объём пирамиды, построенной на векторах , и , равен одной шестой объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах как на ребрах : .

ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Уравнения плоскости Р в трехмерном пространстве R3 и уравнения прямой L
в двухмерном пространстве R2

Таблица 1

Уравнения прямой L в трехмерном пространстве R3 и в двухмерном пространстве R2

Таблица 2

таблица 2а (продолжение таблицы 2)

Взаимное расположение плоскостей P в трёхмерном пространстве R3
и прямых L в двухмерном пространстве R2

ТАБЛИЦА 3

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *