Критерий лапласа

Критерий недостаточного основания (критерий Лапласа).

  • Если ни одно из возможных последствий принимаемых решений нельзя назвать более вероятным, чем другие, т.е. если они являются приблизительно равновероятными, то решение можно принимать с помощью критерия Лапласа следующего вида: (2.8) На основании приведенной формулы оптимальным надо считать то решение,…
    (Анализ и оценка рисков в бизнесе)
  • Критерий Лапласа.

    Если ни одно из возможных последствий принимаемых решений нельзя назвать более вероятным, чем другие, т.е. если они являются приблизительно равновероятными, то решение можно принимать с помощью критерия Лапласа следующего вида: На основании приведенной формулы оптимальным надо считать то решение, которому…
    (АНАЛИЗ И ОЦЕНКА РИСКОВ В БИЗНЕСЕ)

  • Принцип оптимальности Бернулли — Лапласа (недостаточного основания)

    В условиях полной неопределенности, не имея возможность оценить, с какой вероятностью реализуется то или иное состояние среды, их можно полагать равновероятными Согласно принципу Бернулли — Лапласа полезность альтернативы х е X определяется как среднее значение оценок по всем состояниям среды…
    (ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ. ТОМ 2)

  • Критерий и метод Байеса — Лапласа

    Для построения оценочной функции данного критерия используется априорная информация о вероятностях ц} появления внешних условий Ру Тем самым данная вероятностная модель учитывает каждое из возможных последствий. Пусть — вероятность появления внешнего состояния (условия) Ру Тогда…
    (Моделирование систем и процессов)

  • Минимаксный критерий и метод Байеса — Лапласа

    Метод позволяет лучше адаптироваться к ситуации за счет введения составных частей, логически унаследованных от других критериев (см. табл. 2.8). На первом этапе формирования критерия фиксируется опорное значение 2тт, задаваемое минимаксным критерием. Затем задается допустимый риск 5д0|| >0…
    (Моделирование систем и процессов)

  • Критерий решения Лапласа

    Критерий Лапласа, или байесов критерий, гласит, что если вероятности состояния среды неизвестны, то они должны приниматься как равные. В этом случае выбирается стратегия, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа позволяет сводить…
    (Методы принятия управленческих решений)

  • Критерии, или основания, типологии культуры

    Мы не раз говорили о том, что культура – явление сложное, многоуровневое, многообразное, обладает множеством характеристик, интерпретируется в большом числе определений, авторы которых организуют их вокруг тех или иных культурных атрибутов. Неудивительно, что и типологий культуры существует почти бесконечное…
    (Культурология)

  • На основании каких критериев устанавливаются гарантии для работников, совмещающих работу с обучением?

    При ответе на этот вопрос надо учитывать, что гарантии работникам, совмещающим работу с обучением, предоставляются только в том случае, если они обучаются в образовательных учреждениях, имеющих государственную аккредитацию (ст. 173–176 ТК). Помимо этого важно помнить, что гарантии в связи с получением…
    (Трудовое законодательство)

  • В судебной практике возникают сложные вопросы, связанные с изменением предмета или (и) основания иска. Есть ли критерии, которыми можно руководствоваться в процессе, если возникает необходимость корректировки предмета или основания иска?

    Одним из проявлений распорядительных прав сторон является возможность в ходе рассмотрения дела изменить предмет или основание иска (ст. 49 АПК). Одновременное изменение предмета и основания иска АПК не допускает (п. 3 постановления Пленума ВАС РФ от 31.10.1996 № 13 «О применении Арбитражного процессуального…
    (Практика применения Арбитражного процессуального кодекса Российской Федерации)

Критерий Лапласа;

Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» Si, i = 1,n полагаются равновероятными. В соответствии с этим прин­ципом каждому состоянию Si, ставится вероятность qi определяе­мая по формуле

(25)

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие Rj, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каж­дого действия Rj вычисляют среднее арифметическое значение вы­игрыша:

(26)

Среди Mj(R) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии Rj.

Другими словами, находится действие Rj , соответствующее

(27)

Если в исходной задаче матрица возможных результатов пред­ставлена матрицей рисков ||rji||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

(28)

Пример 4. Одно из транспортных предприятий должно опре­делить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовле­творить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует на­илучший уровень провозных возможностей транспортного пред­приятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превы­шения провозных возможностей над спросом (из-за простоя по­движного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей:

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Решение

Согласно условию задачи, имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S1, S2, S3, S4. Известны также четыре стратегии разви­тия провозных возможностей транспортного предприятия: R1, R2, R3, R4 Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре Si и Rj заданы следующей матрицей (таблицей):

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с критерием Лапласа будет R2.

2. Критерий Вальда (минимаксный или максиминный крите­рий). Применение данного критерия не требует знания вероятнос­тей состояний Si. Этот критерий опирается на принцип наиболь­шей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилуч­шей из наихудших стратегий Rj.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат Vij представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии Rj необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max{Vij}, а затем выбирается действие Rj (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. дейст­вие, определяющее результат, равный

(29)

Если в исходной матрице по условию задачи результат Vij пред­ставляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный кри­терий.

Для определения оптимальной стратегии Rj в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min {Vij} , а затем выбирается действие Rj (строка j), которому будут соответство­вать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

(30)

Пример 5. Рассмотрим пример 4. Так как Vij в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таб­лице:

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R3.

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогич­ным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пес­симистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

(31)

Это означает, что rij есть разность между наилучшим значени­ем в столбце i и значениями Vji при том же i. Неза­висимо от того, является ли Vji доходом (выигрышем) или потеря­ми (затратами), rji в обоих случаях определяет величину потерь ли­ца, принимающего решение. Следовательно, можно применять к rji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекоменду­ет в условиях неопределенности выбирать ту стратегию Rj, при ко­торой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Полученные результаты вычислений с использованием крите­рия минимального риска Сэвиджа оформим в следующей таблице:

Введение величины риска rji, привело к выбору первой страте­гии R1, обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой не­благоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями из­бежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

4. Критерий Гурвицаоснован на следующих двух предположе­ниях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 — α) и в самом выгодном состоянии с вероятно­стью α, где α — коэффициент доверия. Если результат Vji — прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записыва­ется так:

Когда Vji представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее

Если α = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если α = 1, то приходим к решающему правилу вида max max Vji, или к так называемой стратегии «здорового оптими­ста», т. е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями край­него пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 — α) и α, где 0≤α≤1. Значение α от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности α = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример 7. Критерий Гурвица используем в примере 4. Поло­жим α = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены ниже:

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа — выбор стратегии R2,

по критерию Вальда — выбор стратегии R3;

по критерию Сэвиджа — выбор стратегии R1;

по критерию Гурвица при α = 0,5 — выбор стратегии R1, а ес­ли лицо, принимающее решение, — пессимист (α = 0), то выбор стратегии R3.

Это определяется выбором соответствующего критерия (Лапла­са, Вальда, Сэвиджа или Гурвица).

Выбор критерия принятия решений в условиях неопределенно­сти является наиболее сложным и ответственным этапом в иссле­довании операций. При этом не существует каких-либо общих со­ветов или рекомендаций. Выбор критерия должно производить ли­цо, принимающее решение (ЛПР), с учетом конкретной специфи­ки решаемой задачи и в соответствии со своими целями, а также опираясь на прошлый опыт и собственную интуицию.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то сле­дует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое пред­приятие столько средств, чтобы потом оно не сожалело, что вложе­но слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.

1. Критерий Лапласа.

Этот критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» Si, i = 1,n полагаются равновероятными. В соответствии с этим прин­ципом каждому состоянию Si, ставится вероятность qi определяе­мая по формуле

При этом исходной может рассматриваться задача принятия решения в условиях риска, когда выбирается действие Rj, дающее наибольший ожидаемый выигрыш. Для принятия решения для каж­дого действия Rj вычисляют среднее арифметическое значение вы­игрыша:

Среди Mj(R) выбирают максимальное значение, которое будет соответствовать оптимальной стратегии Rj.

Другими словами, находится действие Rj , соответствующее

Если в исходной задаче матрица возможных результатов пред­ставлена матрицей рисков ||rji||, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

Пример 4. Одно из транспортных предприятий должно опре­делить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовле­творить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует на­илучший уровень провозных возможностей транспортного пред­приятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превы­шения провозных возможностей над спросом (из-за простоя по­движного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей:

Таблица 10- прогнозируемые затраты на развитие провозных воз­можностей

Варианты провозных возможностей транспортного предприятия

Варианты спроса на транспортные

услуги

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Решение:

Согласно условию задачи, имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S1, S2, S3, S4. Известны также четыре стратегии разви­тия провозных возможностей транспортного предприятия: R1, R2, R3, R4 Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре Si и Rj заданы следующей матрицей (таблицей):

Рисунок 4-матрица для принятия решения

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с критерием Лапласа будет R2.

2. Критерий Вальда (минимаксный или максиминный крите­рий).

Применение данного критерия не требует знания вероятнос­тей состояний Si. Этот критерий опирается на принцип наиболь­шей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилуч­шей из наихудших стратегий Rj.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат Vij представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии Rj необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент max{Vij}, а затем выбирается действие Rj (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. дейст­вие, определяющее результат, равный

. (29)

j i

Если в исходной матрице по условию задачи результат Vij пред­ставляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный кри­терий.

Для определения оптимальной стратегии Rj в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент min {Vij} , а затем выбирается действие Rj (строка j), которому будут соответство­вать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

j i

Пример 5. Рассмотрим пример 4. Так как Vij в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таб­лице:

Таблица 11-

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных воз­можностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R3.

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогич­ным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пес­симистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

Критерий Лапласа

Этот критерий опирается на известный принцип недостаточного обоснования. Поскольку вероятности состояний q1, q2, …, qn не известны, необходимая информация для вывода, что эти вероятности различны, отсутствует. В противном случае можно было бы определить эти вероятности и ситуацию уже не следовало рассматривать как принятие решения в условиях неопределенности. Так как принцип недостаточно обоснования утверждает противоположное, то состояния q1, q2, …, qn имеют равные вероятности. Если согласится с приведенными доводами, то исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решения в условиях риска, когда выбирается ai, дающие наибольший ожидаемый выигрыш. Другими словами, находится действие , соответствующее

, где — вероятности реализации состояния q­­­­­j­(j=1, 2, …, n)

Пример 3. Одно из предприятий должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течении предстоящих праздников. Точное число клиентов не известно, но ожидается, что оно может принять одно из четырех значений: 200, 250, 300 или 350 клиентов. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (с точки зрения возможных затрат). Отклонение от этих уровней приводит к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения на спросом, либо из-за не полного удовлетворения спроса.

Ниже приводится таблица, определяющая потери в тысячах ф. ст.

Принцип Лапласа предполагает, что q1­, q2, q­3­ и q­4­ равновероятны. Следовательно,

P{q=q­j­}=1/4, j=1,2,3,4, и ожидаемые потери при различных действиях a1­, a2, a3 и a4 составляют.

Критерий Вальда или пессимизма

Основные критерии применяемые в процессе принятия решений в условиях неопределённости и риска, а также в игре с природой

Критерий среднего выигрыша

Формула критерия среднего выигрыша

Формула оптимального решения

Пример

Пусть даны вероятности, p1=0.2 p2=0.1 p3=0.3 p4=0.2, тогда получаем

В итоги оптимальным вариантом выбора программы по критерию среднего выигрыша является вариант первой программы.

Формула критерия Вальда или максимина

Формула оптимального решения по критерию Лапласа

Пример

K(a1)=min(0.4;0.5;0.3;0.4)=0.3
K(a2)=min(0.3;0.2;0.3;0.5)=0.2
K(a3)=min(0.6;0.3;0.3;0.2)=0.2
K(a4)=min(0.4;0.5;0.2;0.3)=0.2
Kопт=max{0.3; 0.2; 0.2; 0.2}=0.3

По критерию Вальда оптимальным решением является выбор первой программы.

Критерий максимакса или оптимизма

Формула критерия максимакса

Формула оптимального решения по критерию максимакса

Пример

K(a1)=max(0.4;0.5;0.3;0.4)=0.5
K(a2)= max (0.3;0.2;0.3;0.5)=0.5
K(a3)= max (0.6;0.3;0.3;0.2)=0.6
K(a4)= max (0.4;0.5;0.2;0.3)=0.5
Kопт=max{0.5; 0.5; 0.6; 0.5}=0.6

По критерию максимакса оптимальным решением является выбор третьей программы.

Формула критерия Лапласа

Формула оптимального решения по критерию Лапласа

Пример

Решение
K(a1)=0.25*(0.4+0.5+0.3+0.4)=0.4
K(a2)=0.25*(0.3+0.2+0.3+0.5)=0.325
K(a3)=0.25*(0.6+0.3+0.3+0.2)=0.35
K(a4)=0.25*(0.4+0.5+0.2+0.3)=0.35
Kопт=max{0.4; 0.325; 0.35; 0.35}=0.4

По критерию Лапласа оптимальным решением является выбор первой программы.

Критерий Гурвица

Пример

Формула критерия Гурвица

Формула оптимального решения по Гурвица критерию

Коэффициент α принимает значения от 0 до 1. Если α стремится к 1, то критерий Гурвица приближается к критерию Вальда, а при α стремящемуся к 0, то критерий Гурвица приближается к критерию максимакса.

Пусть α=0.7

K(a1)= 0.7* 0.5+(1-0.7)*0.3=0.44
K(a2)= 0.7* 0.5+(1-0.7)*0.2=0.41
K(a3)= 0.7* 0.6+(1-0.7)*0.2=0.48
K(a4)= 0.7* 0.5+(1-0.7)*0.2=0.41
Kопт=max{0.44; 0.41; 0.48; 0.41}=0.48

По критерию Гурвица оптимальным решением является выбор третьей программы.

Критерий Сэвиджа или минимакса (критерий потерь)

Формула критерия Сэвиджа для построения матрицы потерь

Формула для выбора максимального значения из матрицы потерь

Формула оптимального решения по критерию Сэвиджа

Для примера

Строим матрицу потерь по столбцам выбираем максимальное значение и поочередно вычитаем значения каждой ячейки соответствующего столбца согласно формуле, в итоге получим матрицу вида

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *