Теорема инвариантности формул интегрирования

Содержание

Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

.

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. В самом деле:

.

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс постоянная.

.

Из второго и третьего свойств следует, что символы дифференциала и неопределенного интеграла уничтожают друг друга, будучи примененными последовательно (если отвлечься от постоянного слагаемого в последней формуле).

Свойство 4. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

где u, υ,…,ω – функции независимой переменной х.

Свойство 5. Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак интеграла, т.е.:

где С – константа.

Теорема. (Об инвариантности формул интегрирования). Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

то и

где t = φ(x) – любая дифференцируемая функция от х.

В силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от нее.

1.2.2. Таблица интегралов

2а.

2б.

16. или

Таблица интегралов для элементарных функций выписана в предположении, что t может быть как независимой переменной, так и любой дифференцируемой функцией от х, т.е. t = φ(x).

Легко понять, что табличные интегралы можно было бы писать и в виде

3. 5. 6. и т.п.

Сказанное делает понятным назначение множителя dx. Он указывает на переменную интегрирования: x, t, z, u, y.

Задача отыскания первообразной по заданной производной значительно труднее, чем нахождения производной от заданной функции. В основе всех приемов лежит одна цель — свести интеграл к табличному.

1.2.3. Непосредственное интегрирование

Суть непосредственного интегрирования состоит в том, что не определенный интеграл вычисляют с применением:

1) таблицы основных интегралов;

2) свойств интегралов;

3) тождественных элементарных преобразований подынтегрального выражения.

Пример 3.Найти интеграл

Решение. Воспользуемся свойством 5 неопределенного интеграла и формулой 2 таблицей основных интегралов:

= .

Пример 4.Найти интеграл

Решение. Используя формулу 4 таблицы основных интегралов и теорему об инвариантности формул интегрирования, находим

Пример 5.Найти интеграл .

Решение. Применяя свойства 4 и 5, имеем

= .

Используя, соответственно формулы 6,1,2 таблицы основных интегралов, находим

Таким образом,

= .

Обычно все произвольные постоянные суммируются, результат обозначают одной буквой: с=5с1+2с2+3с3, поэтому окончательно получаем

= .

Пример 6.Найти интеграл .

Решение. Интеграл табличный, поэтому можно переходить к не посредственному интегрированию по формуле 14, где а= =4, получаем

Пример 7.Найти интеграл .

Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Разделим числитель почленно на знаменатель и применим свойства 4 и 5.

= = +

+ = =

= .

Использован табличный интеграл , n¹–1.

Пример 8.Найти интеграл .

Решение. Интеграл не табличный. Воспользуемся тригонометрической формулой , а затем свойством 4

= .

Применены табличные интегралы 8 и 1.

Задачи для самостоятельного решения.Найти интегралы:

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
17. ; 18. ;
19. ; 20. ;
21. ; 22. ;
23. ; 24. ;
25. ; 26. ;
27. ; 28. ;
29. ; 30. ;
31. ; 32. ;
33. ; 34. ;
35. ; 36. ;
37. ; 38. ;
39. ; 40. ;
41. .

1.2.4. Интегрирование подведение под знак дифференциала

Применение теоремы об инвариантности формул интегрирования к нахождению первообразной называют методом подведения под знак дифференциала.

Этот метод применяют, когда под знаком интеграла стоит произведение двух функций, причем одна из них является производной от второй или её промежуточного аргумента. В этот случаи за переменную интегрирования можно взять функцию, производная от которой стоит под знаком интеграла, преобразовав соответственно дифференциал. Подведение производной под знак дифференциала и интегрирование по функции значительно расширяет основную таблицу интегралов.

Пример 1.Найти интеграл .

Решение. Интеграл не табличный. Заменим dx на , т.е. внесем под знак дифференциала множитель 3 и разделим на него интеграл. В результате получаем

= = .

Пример 2.Найти интеграл .

Решение. Интеграл не табличный.Преобразуем подынтегральную функцию

= = .

Так как dx=d(x+5) интеграл свелся к табличному от степенной функции

= = = .

Пример 3.Найти интеграл .

Решение. Интеграл не табличный. Заменим dx на d(2x–5). Получим

= .

Использован табличный интеграл 9.

Пример 4.Найти интеграл

Решение. Заменим dx на 4d( +1)u

Воспользуемся табличным интегралом 10.

= .

Пример 5.Найти интеграл .

Решение. Заметим, что 3cosx – есть производная от 3sinx, т.е. . Поэтому целесообразно ввести новую переменную 3sinx=u, тогда du=3cosxdx.

Итак, получим:

= =

= = .

Использован табличный интеграл 5.

Пример 6.Найти интеграл .

Решение. Заметим, что есть дифференциал от lnx, т.е. d(lnx) = . Введем новую переменную u = lnx, тогда du = . Получим

= = = =

= .

Использован табличный интеграл 16.

Пример 7.Найти интеграл .

Решение. Заметим, что . Введем новую переменную u= , тогда du= .

Получим

= = .

Использован табличный интеграл 5.

Пример 8.Найти интеграл .

Решение. Заметим, что . Обозначим , du= . Подставим эти выражения в интеграл и учтем, что = (ex)2 = u2.

= = .

Использован табличный интеграл 17.

Пример 9.Найти интеграл .

Решение.

= = = .

Пример 10.Вычислить .

Решения.

= = = =

= .

Использован табличный интеграл 4.

Пример 11.Вычислить .

Решения.

= = =

= = .

1.2.5. Замена переменной (метод подстановки)

Если подынтегральная функция такова, что трудно выделить производную от какого либо промежуточного аргумента или его просто нет, то в этом случае переменную интегрирования лучше заменить некоторой другой функцией, полагая х = y(t); dx = y'(t)dt, (предполагается, что y(t) и y'(t) непрерывны). Тогда

Если последний интеграл в результате такой замены свелся к табличному и равен F(t) + C, то исходный интеграл определяют путем возвращения к переменной х, т.е. из уравнения х = y(t) надо найти обратную функцию t = φ(х), и заменить t на φ(х).

С помощью подстановок такого рода удается избавится от корня, упростить подынтегральную функцию и свести интеграл к табличному. Однако, общего рецепта для выбора функции y(t) нет. В каждом конкретном случае её подбирают индивидуально по виду подынтегрального выражения. Все дальнейшее изложение темы «Неопределенный интеграл» будет состоять в основном из рассмотрения различных подстановок. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Найти В данном интеграле нужно избавится от корня. Положим , тогда х = t2+1; dx=2tdt, интеграл примет вид

Заменяя t выражением , окончательно получим

Пример 2. Найти Положим

В результате такой замены интеграл сводится к табличному.

где Заменяя t выражением , окончательно получим

(можно было сделать подстановку х = tgt).

Пример 3. Вычислить В данном интеграле также нужно избавиться от корня. Для этого оказывается удобной замена

Выражение преобразуется так:

Интеграл примет вид:

где возвращаясь к переменной х, получим:

Задачи для самостоятельного решения.Вычислить

Практическое занятие 1.3. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям следует из дифференцирования произведения двух функций. Известно, что

откуда

Интегрируя обе части последнего равенства, получим:

или

(1.3.1)

Выражение (1.3.1) является формулой интегрирования по частям.

Данный метод состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)·dx представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей u и dυ. Множитель u, стоящий в левом интеграле, при переходе к правому интегралу заменяется на du, т.е. дифференцируется. Другой сомножитель dυ из левого интеграла заменяется на υ, т.е. интегрируется. Надо так подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей, чтобы обе операции составили в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла На практике чаще упрощение обусловлено дифференцированием множителя u.

Если в составе подынтегрального выражения имеется множитель, упрощающийся от дифференцирования, то его следует взять за «u», а все остальное (включая dx!) за «dυ».

Пример 1. Вычислить Ясно, что за «u» надо взять множитель х, так как при дифференцировании он «исчезает»

u = x, du = dx, и

Чтобы найти сделаем замену z = sinx; dz = cosxdx, тогда

Когда применяют интегрирование по частям и по dυ находят υ, то произвольной постоянной не вводят, присоединяя ее к произвольной постоянной второго, незавершенного интегрирования в правой части равенства (1.3.1).

Применяя формулу (1.3.1), получим:

Пример 2. Вычислить Здесь за «u» следует взять arctgx, тогда dυ =dx. Составим таблицу:

u = arctgx
dυ =dx

применяя формулу интегрирования по частям (1.3.1) получим:

Пример 3. Вычислить интеграл За «u» принимаем х, тогда

u = х du = dx

Применяя формулу (1.3.1) получим

Иногда интегрирование по частям приходиться применять несколько раз.

Пример 4. Вычислить

Разобьем подынтегральное выражение на части

u = х2 du = 2xdx
dυ = cosxdx υ = sinx

Тогда

В последнем равенстве интеграл – проще исходного (то, что cosx заменился на sinx не изменяет сути решения, а вместо х2 появился более простой множитель х).

К интегралу I1 – снова применим интегрирование по частям, полагая

u = х du = dx
dυ = sinxdx

Это дает

Заменяя I1 найденным выражением, окончательно получим

Практика показывает, что многократным интегрированием по частям можно найти интегралы следующих двух групп.

К первой группе относятся интегралы:

1. 2. 3. 4.

где Р(х) – многочлен некоторой степени, который и берется за функцию u. При многократном дифференцировании он «исчезает».

Ко второй группе относятся следующие интегралы:

1. 2. 3. 4.

Здесь нужно избавится от трансцендентных функций arcsinx, arccosx, arctgx и lnx, поэтому ихпринимают за «u».

Пример 5. Вычислить Так как интеграл из первой группы, то

u = 2х + 3 du = 2dx

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

Пример 6. Найти Интеграл второй группы, следовательно

По формуле (1.3.1) находим

Повторное интегрирование по частям иногда приводит к первоначальному интегралу, и тогда получается или ничего не дающее тождество (был сделан неправильный выбор множителей u и dυ) или такое равенство, из которого удается найти выражение для искомого интеграла.

Пример 7. Вычислить интеграл Подынтегральное выражение содержит единственную функцию coslnx, поэтому

u = coslnx
dυ = dx υ = x

По формуле (1.3.1) получим Ко второму интегралу еще раз применим интегрирование по частям

u = sinlnx
dυ = dx υ = x

Тогда

Двойное интегрирование по частям привело к исходному интегралу т.е.

I = x(coslnx + sinlnx) – I.

Перенесем его в левую часть последнего равенства

2I = x(coslnx + sinlnx),

отсюда исходный интеграл будет равен

Таким же способом вычисляют интегралы и некоторые другие, они получили название циклических. Последние два интеграла можно занести в таблицу интегралов. Для них найдены следующие формулы.

Пример 8. Найти Здесь a = –2; b = 3, применяя первое равенство, получим

Задачи для самостоятельного решения.Вычислить

100. ; 101. ;
102. ; 103. ;
104. ; 105. ;
106. ; 107. ;
108. ; 109. ;
110. ; 111. ;
112. ; 113. ;
114. ; 115. ;
116. ; 117. ;
118. ; 119. ;
120. ; 121. ;
122. ; 123. ;
124. ; 125. ;
126. ; 127. ;
128. ; 129. ;
130. ; 131. ;

Практическое занятие 1.4. Многочлены и их свойства. Разложение на множители. Разложение рациональной функции на простейшие дроби

Сумму конечного числа степенных функций вида:

,

где n-целое положительное число, называют многочленом степени n;

– коэффициенты многочлена, они могут быть как действительными, так и комплексными числами, причем ,

х – независимая переменная, также может принимать действительные и комплексные значения. Степень многочлена определяет по старшей степени, входящих в него степенных функций.

Например – многочлен третьей степени с действительными коэффициентами .

– многочлен второй степени с действительными коэффициентами.

Числа: 3, 1, 2+i – многочлены нулевой степени.

Многочлен тождественно равен нулю, если все его коэффициенты равны нулю.

Число 0 – является многочленом, степень которого неопределенна.

Метод непосредственного интегрирования. Теорема об инвариантности формул интегрирования.

Метод интегрирования, при котором интеграл путём тождественных преобразований подинтегральной функции (или выражения) и применения свойств неопределённого интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Теорема об инвариантности формул интегрирования: Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции

Метод замены переменных в неопределенном интеграле.

Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x=g(u) — подстановка. Соответственно, обратная функция u=g-1(x) описывает зависимость новой переменной от старой.

Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу.

Формула интегрирования по частям следующая

.

Простейшие дроби и их интегрирование.

виды простейших дробей:

Дробь первого порядка

Дробь второго порядка

Дробь третьего порядка

Дробь четвертого порядка

Дробно-рациональные функции, правильные и неправильные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Дробно-рациональное выражение – это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены с рациональными (целыми) коэффициентами.

Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если наоборот

СМ (10)

Любую рациональную функцию можно представить в виде где S, P, Q — многочлены, степень P < степени Q.

После разложения P(x)/Q(x) на элементарные дроби интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию простейших рациональных функций.

Интегрирование выражений, зависящих от тригонометрических функций. Универсальная подстановка.

При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов:

Использование тригонометрических формул

Понижение степени подынтегральной функции

Метод замены переменной

Универсальная тригонометрическая подстановка

Интегрирование простейших иррациональных функций.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Теорема существования.

Задачи, приводимые к определенному интегралу. Геометрический смысл определенного интеграла.

Задача о пройденном пути. Требуется найти путь, пройденный движущейся по прямой точкой за отрезок времени , если известен закон изменения мгновенной скорости v=v(t).

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть требуется найти площадь плоской фигуры ,ограниченной графиком функции у=f(х), непрерывной и неотрицательной на отрезке , и отрезками прямых .

Непосредственное интегрирование

Приступим теперь к изучению методов интегрирования. Первый метод – метод непосредственного интегрирования основывается на таблице интегралов, свойствах интегралов и следующей теореме.

Об инвариантности формул интегрирования.Каждая формула интегрирования сохраняет свой вид, если в нее вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию этой переменной. То есть, если

,

то

,

где – дифференцируемая функция переменной x.

Рассмотрим такие примеры.

Пример:Найти .

Решение. Чтобы воспользоваться табличным интегралом 6: , нужно под знаком дифференциала получить 3x. Так как , то умножим и разделим подынтегральное выражение на 3. Получим

Использовав свойства интеграла и введя новую переменную , найдем

Пример:Найти .

Решение. Воспользуемся табличной формулой 2. Так как , то, умножив и разделив подынтегральное выражение на 2 и введя новую переменную , получим:

В дальнейшем переменную u можно не писать.

Пример:Найти .

Решение. Воспользуемся табличной формулой 4. Так как , то имеем:

Пример:Найти .

Решение. Так как , то используя табличную формулу 1 при , получим:

Пример:Найти .

Решение. Воспользуемся табличным интегралом 1 при и формулой . Получим:

Пример:Найти .

Решение.

Пример:Найти .

Решение.

Полученную формулу

следует запомнить, как табличную.

Пример:Найти .

Решение.

Полученную формулу

также следует запомнить, как табличную.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Примеры решений

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений, где я объяснил в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

– Подведение функции под знак дифференциала;
– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.

Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:

То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: . Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?
Подводим функцию под знак дифференциала:

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:

Фактически и – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: ? Почему так, а не иначе?

Формула (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной , но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ ( – в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл . Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу . Но у меня сложный аргумент и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу , тогда . Но в исходном интеграле множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на «. В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

Теперь можно пользоваться табличной формулой :

Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение .

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ:

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции . По сути дела подведение функции под знак дифференциала и – это два взаимно обратных правила.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: .

Подводим функцию под знак дифференциала:

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: . Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на .
Далее используем табличную формулу :

Проверка:
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

И так далее.

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная входит с единичным коэффициентом, например:

Строго говоря, решение должно выглядеть так:

Как видите, подведение функции под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что . Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла в таблице вообще-то нет.

Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл.

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула , и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается:
Вторая по популярности буква для замены – это буква .
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак:
Но при замене у нас остаётся ! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной , то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву , и дифференциалу там совсем не место.
Следует логичный вывод, что нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от .

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере, , нам нужно найти дифференциал . С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как , то

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко:
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам :

В итоге:
Таким образом:
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл (таблица интегралов, естественно, справедлива и для переменной ).

В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что .

Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:

Проведем замену:

Значок не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

Также всем рекомендую использовать математический знак вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче.
Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.

Проведем замену: (другую замену здесь трудно придумать)

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены – упростить интеграл.

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл.

Замена:
Осталось выяснить, во что превратится
Хорошо, мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: мы выразим из той же замены !

Готово.

Пример 9

Найти неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл.

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция и её производная : (функции , могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за знаменатель, то велики шансы, что числитель превратится во что-нибудь хорошее.

Замена:

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:

Следует отметить, что для дробей вроде, такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены). Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.

Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения из той же оперы:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл.

Пример 12

Найти неопределенный интеграл.

Решения в конце урока.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл.

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: . У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило:
За обозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: . Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения .

В этом примере нахождение я распишу подробно поскольку – сложная функция.

Или короче:
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток:

Таким образом:

Вот здесь подвести функцию под знак дифференциала уже не так-то просто.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл.

Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Примеры решений.

Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:

Пример 4: Решение:

Пример 7: Решение:

Пример 9: Решение:
Замена:

Пример 11: Решение:
Проведем замену:

Пример 12: Решение:
Проведем замену:

Пример 14: Решение:
Проведем замену:

Я выполнил проверку, а Вы? 😉

Емелин Александр

Метод замены переменной в неопределённом интеграле

  • Суть метода замены переменной
  • Применяем замену переменной вместе
  • Применить замену переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение
  • Снова применяем замену переменной вместе

Суть метода замены переменной

Во многих случаях подынтегральное выражение не позволяет сразу же найти интеграл по таблице. Тогда введение новой переменной интегрирования помогает свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

Вводится новая переменная, назовём её t. Например,

  • в интеграле можем ввести новую переменную ;
  • в интеграле можем ввести новую переменную ;
  • в интеграле можем ввести новую переменную .

Далее dx определеяем как дифференциал по переменной t. После этого интеграл можно найти по таблице интегралов. Заменив обратно t на функцию от x, находим данный интеграл окончательно.

Прежде чем перейти к подробным решениям примеров, следует привести теорему, в которой обобщаются перечисленные выше действия.

Теорема. Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

(1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Метод замены переменной обычно применяется, когда подынтегральное выражение представляет собой независимую переменную, умноженную на многочлен от этой переменной, или на тригонометрическую функцию от этой переменной или на степенную функцию (в том числе корень) от этой переменной.

Применяем замену переменной вместе

Надо полагать, вы уже держите перед собой домашние задания и готовы применять к ним приёмы по аналогии с теми, которые мы ниже рассмотрим. При этом не обойтись без преобразований выражений. Для этого потребуется открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 1. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Производим замену x − 1 = t; тогда x = t + 1. Отсюда dx = dt. По формуле (1)

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Замечание. При замене переменной в неопределённом интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию от x.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Пример 2. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Положим . Отсюда
.
По формуле (1)

Возвращаясь к переменной x, окончательно получаем

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Если трудно уследить, куда в процессе решения примера 2 делись и , это признак того, что нужно повторить действия со степенями из элементарной (школьной) математики.

Пример 3. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Положим , откуда и .

Тогда , в свою очередь .

Заменяем переменную и получаем:

,

где степени при t складываются. Продолжаем преобразования и получаем:

Приводим дроби к общему знаменателю и возвращаемся к переменной x. Решаем и получаем ответ:

Применить замену переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 5. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 6. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Посмотреть правильное решение и ответ.

Снова применяем замену переменной вместе

Пример 7. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Положим , откуда , , .

Тогда
(не забываем о правиле дифференцирования сложной функции).

Заменяем переменную и получаем:

Возвращаясь к переменной х, получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 8. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Положим , откуда , .

Заменяем переменную и получаем:

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Кому лишь смутно понятно или совсем не понятно, как преобразуются выражения в примере 5, пожалуйста, повторите из курса элементарной (школьной) математики действия с корнями, степенями и дробями!

И если вы ещё не открыли в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями, то сделайте это сейчас!

Пример 9. Найти неопределённый интеграл методом замены переменной:

Решение. Положим , тогда
.

Заменяем переменную и получаем:

Решение с переменной t получено с использованием формулы 21 из таблицы интегралов.

Подставляя вместо t его выражение через x получаем ответ:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Начало темы «Интеграл» Продолжение темы «Интеграл»

Поделиться с друзьями

Интегрирование методом замены переменной

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x, переходим к другой переменной, которую обозначим как t. При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t), или t = t(x). Например, x = ln t, x = sin t, t = 2x + 1, и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t, чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx: . Пусть мы переходим к новой переменной t, выбрав некоторое соотношение x = x(t). Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t.

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t, нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t).

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt.

Тогда
.

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x). Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′(x) – это производная t по x, то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x – это функция от t.
(2) ,
где t – это функция от x.

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x. Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x, дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x2 + x. Тогда
;
;
.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x)′ = cos x. Тогда
.
Здесь мы применили подстановку t = sin x.

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда
.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x.

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда
. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x2 + 1.

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b,
где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции.
.
ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.
.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.
.

D) Найти интеграл
.
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
.
Интегрируем, применяя метод замены переменной .
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

E) Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса.
;
.
Интегрируем и делаем подстановки.
.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Замена переменной в неопределённом интеграле.

Итак, друзья, продолжаем наше знакомство с базовыми методами интегрирования! В прошлых уроках мы порешали простенькие интегралы на прямое применение таблицы, а также познакомились с первым базовым методом интегрирования – подведением функции под знак дифференциала. С этого урока уже начнётся серьёзное интегрирование и не менее серьёзные примеры. Так что, у кого пока проблемы с простыми интегралами – читайте предыдущие темы, пока не поздно. 🙂 Почему? А потому, что в этом уроке мы резко расширяем наши возможности! А именно – знакомимся с одним из самых мощных методов интегрирования – методом замены переменной.

И в чём же заключается могущество сего метода? А в том, что в подавляющем большинстве случаев именно он позволяет превращать многие ужасные, на первый взгляд, примеры в белые и пушистые.) Например, интеграл с каким-нибудь страшным корнем или арксинусом после удачной замены может свестись к безобидному многочлену. Или к рациональной функции, которая всяко проще для интегрирования. Имеет смысл разобраться!

Итак, начнём.)

Суть замены переменной. Простейшие примеры.

Процедура замены переменной знакома всем вам ещё со школы. Например, решая жуткое тригонометрическое уравнение

sin2x – 2sin x – 3 = 0,

что вы обычно делаете? Правильно! Вы заменяете выражение sin x новой буквой – y, z, t – какой хотите. И дальше работаете уже с более простым квадратным уравнением – дискриминант считаете, тыры-пыры…

Всё то же самое и с интегралами.) Принцип тот же. Основная идея любой замены состоит в том, чтобы выражение, которое нам не нравится, заменить новой буквой. И все остальные части примера также выразить через эту самую новую букву. Тогда, если после всех преобразований пример упрощается, то, значит, основная цель данной замены выполнена. 🙂

На прошлом уроке я уже говорил, что метод подведения функции под знак дифференциала – это простейший частный случай более общего метода замены переменной. Теперь настал черёд посмотреть, почему же это именно так и как работает сама процедура замены. Примеров в данном уроке будет не так много, но все они будут разобраны максимально подробно. Чтобы суть уловить.) Рассмотрим все проблемные места, исследуем каждую тонкость.

Начнём сразу с примера. Чтобы далеко не ходить, давайте вернёмся к нашему самому первому примеру из прошлого урока.

Пример 1

Что мы делали в прошлый раз, когда решали этот пример? Сначала мы добивались равенства выражений в показателе экспоненты и под дифференциалом. Для этого мы сначала выражали новый дифференциал d(3x) через старый dx, а уже в самом конце вводили новую переменную 3х = t и сводили наш интеграл к табличному.

Всё решение примера выглядело вот так:

d(3x) = (3x)’dx = 3dx

dx = d(3x)/3

Вспомнили? Отлично!

А теперь подойдём к данному примеру немного с другой стороны. Для начала вопрос: что вам больше всего не нравится в данном примере? 99 человек из 100 скажут: три икс! И будут правы. ) Вот и будем от этого самого 3х избавляться. Безопасно для самого примера.)

Для этого поступаем просто и элегантно. Нам ведь в примере не нравится 3х, верно? Вот и заменяем это самое 3х новой буквой! Да-да! Прямо сразу! Безо всяких дифференциалов. Дифференциалы будут потом.)

Так прямо и пишем:

3x = t

В результате данной замены наша подынтегральная функция превращается в простенькую табличную функцию et. И наш пример становится уже вот таким:

Но для применения табличной формулы этого пока мало. Почему? А потому, что, раз уж мы ввели новую переменную t, то, ясное дело, и весь пример целиком также должен быть выражен через t! А у нас в примере пока что торчит старый дифференциал dx. Надо бы его тоже как-то превратить в dt. Как? Очень просто!

Чтобы понять, во что же у нас превратится дифференциал dx, самым логичным было бы сначала выразить сам икс через новую переменную t. Здесь это проще простого. Для этого берём наше равенство 3x = t и выражаем из него икс через t. Вот так:

Отлично. Полдела сделано.) И теперь, чтобы выразить интересующий нас дифференциал dx через букву t, просто берём дифференциалы от обеих частей нашего равенства. Думаю, для этой процедуры комментарии уже излишни:

dx = d(t/3)

Вот и всё. Вставляем теперь в наш пример вместо dx выражение dt/3, выносим дробь 1/3 за знак интеграла и дорешиваем по таблице. Чистовое оформление примера теперь выглядит немного по-другому. Вот так:

Как видите, ответ получился тем же самым. Что вполне логично.)

Разберём ещё один пример с непосредственной заменой линейной конструкции. На закрепление.)

Пример 2

Напрашивается табличная формула с синусом:

Только э-э-э… в формуле стоит просто икс, а в нашем примере под синусом стоит сложный аргумент 11х+5. Неувязочка… А что, если заменить этот сложный аргумент 11х+5 новой буквой? Ведь именно это выражение нам и не нравится! Посмотрим…

На черновике так прямо и пишем вот такую заготовку:

А теперь посмотрим на решение того же примера методом подведения выражения 11х+5 под дифференциал:

Получили тот же самый ответ, но оформление всё же немного другое. Почувствовали разницу?

В чём сходство этих двух способов? В том, что и там и тут мы заменяем новой буквой одно и то же выражение (в наших примерах это 3х и 11х+5). А отличие этих двух способов состоит лишь в том, на каком этапе решения вводится сама замена. Здесь мы сразу заменяем новой буквой то, что нам не нравится, потом связываем переменные старую с новой, а уж потом, в самом конце, находим связь и между их дифференциалами. А в методе подведения мы сначала связываем сами дифференциалы, а уже потом вводим замену. Или даже вообще не вводим, если уже «руку набили».:)

Как видите, и так и сяк решать можно. Тем, кто крепко дружит с дифференциалами, рекомендую сразу решать подобные интегралы методом подведения. Ибо такое решение гораздо короче. А этот способ, с изначальной заменой, хорош для тех студентов, кто с дифференциалами пока того… не очень…) Или если пример достаточно накрученный. Но зато этот способ более понятен, универсален и надёжен! Спасает в любой ситуации. Если, конечно, удачно выбрана сама замена.)

Это были самые простые примеры, где заменялась линейная конструкция – так, для разминки. Суть ясна, я думаю.)

А теперь разберём примеры посерьёзнее. Такие, где надо заменять не линейные, а более сложные выражения и подвести функцию под дифференциал уже не так-то просто, хоть и возможно. Как и в прошлом уроке, суть этой группы примеров будет заключаться в выделении из подынтегральной функции f(x) какой-то вспомогательной функции g(x) и её производной g’(x). И последующей замене g(x) = t. Здесь уже надо уметь чувствовать и узнавать в функциях производные других функций. В лицо! Зачем? А чтобы удачно подобрать замену! Ведь можно и неудачно подобрать, да. Особенно если плохо знать таблицу производных. Об этом мы уже подробно поговорили на прошлом уроке.)

Пример 3

Внимательно осматриваем пример и ищем в подынтегральной функции конструкцию, которая нам больше всего не нравится. Вот тут, в отличие от предыдущих примеров, уже возможны варианты. Кому-то не понравится корень, кому-то сам по себе корень будет по душе, но не понравится выражение 5х2+1, стоящее под корнем. Отдельным индивидуумам может не понравиться множитель x… Что именно заменять – пока не знаем. Всматриваемся дальше. У нас есть подкоренная конструкция 5х2+1 и есть множитель х, отдалённо похожий на её производную, так как

(5х2+1)’ = 10х

Именно это равенство и должно служить ключевой зацепкой!

А не попробовать ли заменить наше сложное подкоренное выражение 5х2+1 новой буквой? Что ж, попробуем и посмотрим, к чему это приведёт. Итак, делаем замену:

5х2+1 = t

Тогда наш корень после такой замены превратится в безобидную степенную конструкцию:

Так, с корнем расправились. Но, помимо корня, под интегралом у нас ещё осталось произведение xdx, которое тоже надо выразить через новую букву t, да.

Для этого немного схитрим. Не будем выражать «в лоб» икс через t, а затем искать dx. Это можно, но не нужно. Почему – объясню позже. Давайте сразу продифференцируем наше равенство для замены! Да-да! Целиком! Обе части. Вот так:

5х2+1 = t (это равенство — наша замена)

d(5х2+1) = dt (дифференцируем обе части)

(5х2+1)’dx = dt (раскрываем дифференциалы)

10xdx = dt

И что нам даёт эта запись? А то, что из неё теперь легко выражается нужная нам конструкция xdx:

Всё. Начинка интеграла теперь полностью выражена через t. Продолжаем наши игры.)

Подставляем теперь все данные в наш пример и получаем простенький табличный интеграл от степенной функции (n = 1/3, n+1 = 4/3):

Вот и все дела.) Пример разложили по полочкам. А можно ли решить данный интеграл через подведение под значок d? Можно! В одну строчку!

Другое дело, что догадаться, какую именно конструкцию надо подводить под дифференциал, уже гораздо сложнее: легко запутаться в коэффициентах. И под силу не каждому студенту. Поэтому те, кто пока не наловчился в подведении функции под дифференциал – решаем подобные примеры сразу через замену. Аккуратно. Чуть длиннее, зато надёжнее.)

А теперь ответ на вопрос, почему я не стал в явном виде выражать икс через t и затем находить dx. Не стал я этого делать по той причине, что наличие х2 в подкоренном выражении резко усложняет эту процедуру из-за того, что возникают корни.

Смотрите сами:

Тогда для дифференциала этого самого икса мы получим:

И, если теперь подставить в наш пример отдельные выражения для x и dx, то наши нехорошие корни благополучно сократятся и мы придём к тому же самому интегралу:

Как видите, получили всё то же самое, только выкладки более громоздкие. Поэтому, по возможности, сокращаем объём работы: ошибок меньше будет. 🙂

Иногда встречаются и сюрпризы, когда замену переменной приходится проделывать более одного раза. Ничего страшного! Просто аккуратно заменяем неудобную конструкцию и последовательно упрощаем пример, шаг за шагом добираясь до табличного интеграла. И, конечно, после получения результата корректно осуществляем обратную замену. От новой переменной к предыдущей.)

Пример 4

Что, внушает? Минутку смотрим на пример, ужасаемся, после чего берём себя в руки и вспоминаем золотое правило всей математики:

Не знаешь, что нужно – делай, что можно!

И размышляем. Примерно так:

«Под интегралом нехорошая дробь. Сплошные синусы, аргументы разные – x и 2x. Да ещё и число «пи» затесалось… Кошмар! Но, очевидно, что чем больше одинаковых значков в примере и меньше разных, тем лучше. Поэтому первым делом упрощу-ка я синус двойного угла. По школьной формуле sin 2x = 2sin x·cos x. Поможет ли нам такое преобразование или нет – неясно. Но начинаем-то с самого простого! А там — видно будет.»

Если вы мыслите примерно так, то вы движетесь правильным курсом. Да! Сводим всё подынтегральное выражение к одному аргументу – к иксу. Два икс тут явно ни к чему.

Ну вот, уже лучше. В аргументах остались только иксы. А теперь снова пытаемся выявить родственные функции, опираясь на таблицу производных. Сразу же видно, что в получившейся дроби везде тусуются синусы, а в числителе в качестве множителя затесался косинус. Но косинус – ближайший родственник синуса! Родственник по производной. Ибо таблица производных гласит, что:

cos x = (sin x)’ .

Поэтому вводим напрашивающуюся замену sin x = t и продолжаем упрощать наш злой пример:

Отлично. Все синусы пропали напрочь, при этом суть примера не изменилась.

А дальше что делать с этой дробью? Таблица-то не катит! Нету пока подходящей формулы… Тупик? Вовсе нет! Опять внимательно осматриваем нашу дробь, выявляя родню по производной/дифференциалу, и… радостно замечаем, что в числителе стоит дифференциал знаменателя!

Вот так:

Мы же понимаем, что под дифференциал мы имеем право спрятать любую константу! В том числе и «пи».)

А вот теперь снова вводим замену! Да-да!

Тогда вообще красота получится!

Вот и всё. И нету больше никакого «пи»! Спряталось оно под дифференциал. Как и любая константа, да… А ведь как испугало в самом начале! 🙂 Пример становится всё лучше и лучше:

Вот мы и свели ужасную дробь к безобидному табличному интегралу. По шагам, через две замены.) Но радоваться ещё рано, так как это ещё не ответ: нам икс нужен, а не z или t. Поэтому теперь последовательно проводим обратную замену. Тоже по шагам:

z = t2+π, где t = sin x

Итого z = sin2x + π.

Всё. Теперь со спокойной душой записываем окончательный ответ нашего злого примера:

Готово!

С опытом необходимость так подробно всё расписывать отпадёт сама собой. За ненадобностью. И особо продвинутые студенты этот интеграл легко вычислят в одну строчку вообще без замены! С помощью подведения под дифференциал, ага:

Быстро, правда? И вы тоже так сможете! Причём опыт нарабатывается достаточно скоро. Тренировка — залог успеха.)

Ну как, прониклись? Замена переменной (вкупе с подведением под дифференциал) – оч-чень мощный инструмент для интегрирования! И золотой ключик к успешному решению самых разнообразных примеров. 🙂 Это было начальное знакомство с самой сутью замены, чтобы прочувствовать, как именно она работает.

А со следующего урока мы уже начнём копать глубже и познакомимся с отдельными специфическими видами замен – степенной заменой и тригонометрической заменой. И типовые примеры тоже обязательно порешаем. Посерьёзнее.)

А теперь несколько несложных примеров для тренировки.

Найти неопределённые интегралы

а) методом подведения функции под знак дифференциала,

б) непосредственной заменой переменной,

в) сравнить результаты и проверить ответ дифференцированием.

Ответов здесь тоже не дам. Не вижу смысла. Примеры довольно простые, и материала сегодняшнего и прошлого уроков вполне достаточно для успешной расправы с ними.) Проверяйте окончательный ответ обратным дифференцированием, не ленитесь! 🙂 Выучите таблицу производных! Узнавайте в лицо производные популярных функций. Да-да! Обратное дифференцирование — самый надёжный помощник в интегрировании.

И тогда удача обязательно улыбнётся, поверьте! А у меня пока всё, продолжение следует!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *