Приведение к общему основанию

Содержание

Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач

Формула перехода к новому основанию

Теорема

Если , , – положительные числа, причем a и c отличны от 1, то имеет место равенство: – формула перехода к новому основанию

Доказательство

Преобразуем данное равенство, домножив левую и правую часть на знаменатель правой части:

Далее возведем в степень левой и правой части:

Преобразуем левую часть, применив свойство степеней:

Согласно основному логарифмическому тождеству:

Таким образом:

Согласно основному логарифмическому тождеству:

Следовательно:

Мы получили равенство, которое верно по основному логарифмическому тождеству. То есть:

Что и требовалось доказать.

Следствия из формулы перехода к новому основанию

1. Первое следствие мы вывели попутно, доказывая формулу перехода:

2. Подставим в предыдущую формулу :

Доказательство

Докажем третье следствие из формулы перехода к новому основанию

, при ;

Доказательство

Прологарифмируем данное равенство по основанию :

В правой и левой части вынесем степень за знак логарифма:

Так как , то:

Согласно второму следствию из формулы перехода к новому основанию , следовательно:

Домножим левую и правую часть на знаменатель правой части:

Равенство верное, следовательно:

Что и требовалось доказать.

Пример 1

Вычислите:

Решение

Разность логарифмов с одинаковым основанием – это логарифм частного, а сумма логарифмов с одинаковым основанием – логарифм произведения. А у нас в числителях и знаменателях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями.

Применяя эти свойства, получаем:

Согласно формуле перехода к новому основанию :

Следовательно:

Из основания логарифма показатель степени выносится за знак логарифма как , а из подлогарифмического выражения – как , то есть:

Следовательно:

Ответ: .

Пример 2

Вычислите:

Решение

Нам известно следствие из формулы перехода к новому основанию:

С помощью этой формулы преобразуем показатель степени в данном выражении:

Таким образом:

Ответ: .

Пример 3

Вычислите:

Решение

Преобразуем показатель степени, избавившись от минус первой степени:

Приведем всё к одному основанию (в данном случае к 5), воспользовавшись следствием из формулы перехода к новому основанию

Домножим числитель и знаменатель на :

Следовательно:

Применим основное логарифмическое тождество:

Ответ: 5.

Пример 4

Известно, что , ; . Вычислить:

Решение

Существует два способа решения этой задачи.

1. Перейдем в логарифмах (в выражении, которое нам необходимо вычислить) к одному основанию – . Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

а)

Так как:

– по условию, то:

б)

в) Таким образом:

2. Второе решение состоит в том, что если , то . Подставив это в наше выражение, мы получим выражение с одной переменной , вычислить его будет несложно, главное не запутаться в степенях.

Ответ: .

Пример 5

Дано: . Найти:

Решение

Заметим, что все числа в условии – это комбинации двоек и троек: ; ; ; . Перейдем в данных логарифмах к основанию 2 или 3. Например, к трем:

Таким образом:

Выразим из этого выражения :

Домножаем это выражение на 3:

Вычтем из левой и правой части выражения 1 и разделим эти части на 2:

3. Так как , то:

Домножим числитель и знаменатель на :

Ответ: .

Пример

Упростите выражение:

Решение

Согласно основному логарифмическому тождеству представим 2 в виде:

Тогда:

Следовательно:

В данном примере мы попутно доказали полезное свойство:

Ответ: 0.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. – М.: Мнемозина, 2001.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. – М.: Просвещение, 1990.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт youtube.com (Источник)

2. Интернет-сайт «Гипермаркет Знаний» (Источник)

3. Интернет-портал «ЯКласс» (Источник)

4. Интернет-сайт «Уроки математики» (Источник)

Логарифм. Свойства логарифмов

Логарифм. Свойства логарифмов

Рассмотрим равенство . Пусть нам известны значения и и мы хотим найти значение .

То есть мы ищем показатель степени, в которую нужно взвести чтобы получить .

Пусть переменная может принимать любое действительное значение, тогда на переменные и накладываются такие ограничения: , ,

Если нам известны значения и , и перед нами стоит задача найти неизвестное , то для этой цели вводится математическое действие, которое называется логарифмирование.

Чтобы найти значение , мы берем логарифм числа по основанию :

Итак,

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

То есть основное логарифмическое тождество:

, ,

является по сути математической записью определения логарифма.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Перечислим основные свойства логарифмов:

( , , , ,

Следующая группа свойств позволяет представить показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма, или стоящего в основании логарифма в виде коэффициента перед знаком логарифма:

Следующая группа формул позволяет перейти от логарифма с данным основанием к логарифму с произвольным основанием, и называется формулами перехода к новому основанию:

12. (следствие из свойства 11)

Следующие три свойства не очень известны, однако они часто используются при решении логарифмических уравнений, или при упрощении выражений, содержащих логарифмы:

Частные случаи:

— десятичный логарифм

— натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Пример 1.

Вычислить:

Упростим все показатели степеней: наша задача привести их к логарифмам, в основании которых стоит то же число, что и в основании степtни.

==(по свойству 7)=(по свойству 6) =

Подставим показатели, которые у нас получились в исходное выражение. Получим:

Ответ: 5,25

Основные свойства логарифмов

2 февраля 2017

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

  1. loga x + loga y = loga (x · y);
  2. loga x − loga y = loga (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

  1. loga xn = n · loga x;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм loga x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

  1. n = loga an

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

  1. loga a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
  2. loga 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2020)

Разбор решения 6 примеров

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно – разность квадратов! Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило .

Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Если домножить его на , ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.

Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно!

Нельзя заменить на , изменив только один неугодный нам минус!

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,…}

Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком » «) и число .

Если показателем степени является целое положительное число, а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного .

Любое число в нулевой степени равно единице:

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием . Возьмем, например , и домножим на :

Итак, мы умножили число на , и получили то же, что и было – . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на . Значит .

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом :

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть – это число (в качестве основания).

С одной стороны, в любой степени должен равняться – сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, , как и любое число в нулевой степени, должен равняться . Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

Отсюда уже несложно выразить искомое :

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).

Подведем итоги:

I. Выражение не определено в случае . Если , то .

II. Любое число в нулевой степени равно единице: .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .

Задачи для самостоятельного решения:

Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:

Разбор задач для самостоятельного решения:

Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!

Степень с рациональным показателем

Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.
Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?
Ответ: все, которые можно представить в виде дроби , где и – целые числа, причем .

Чтобы понять, что такое «дробная степень», рассмотрим дробь :

пусть .

Возведем обе части уравнения в степень :

Теперь вспомним правило про «степень в степени»:

Какое число надо возвести в степень , чтобы получить ?

Эта формулировка – определение корня -ой степени.

Напомню: корнем -ой степени числа ( ) называется число, которое при возведении в степень равно .

То есть, корень -ой степени – это операция, обратная возведению в степень: .

Получается, что . Очевидно, этот частный случай можно расширить: .

Теперь добавляем числитель: что такое ? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

или .

Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Например, можно ли посчитать число ? То есть, какое число нужно возвести в степень, чтобы получить ?

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень – число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.

А что насчет выражения ?

Его уже вроде бы можно посчитать: это .

Но тут возникает проблема.

Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или .

И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз , то можно записать . Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем.

Итак, если:

  • ;
  • — натуральное число;
  • — целое число;

Тогда:

Примеры:

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

5 примеров для тренировки

Разбор 5 примеров для тренировки

1. Не забываем об обычных свойствах степеней:

2. . Здесь вспоминаем, что забыли выучить таблицу степеней:

ведь – это или . Решение находится автоматически: .

Степень с иррациональным показателем

Ну а теперь – самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем.

Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением

Ведь по определению иррациональные числа – это числа, которые невозможно представить в виде дроби , где и – целые числа (то есть, иррациональные числа – это все действительные числа кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.
Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя;

…число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число ;

…степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число.
Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры :))

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например:

Или:

И еще:

Реши самостоятельно:

Разбор решений:

1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:

Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:

В данном случае,

Получается, что:

Ответ: .

2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:

Ответ: 16

3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Определение степени

Степенью называется выражение вида: , где:

  • —основание степени;
  • — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,…}

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:

Если показателем степени является целое положительное число:

Возведение в нулевую степень:

. – выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени – это , а с другой – любое число в -ой степени – это .

Если показателем степени является целое отрицательное число:

(т.к. на делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение не определено в случае . Если , то .

Примеры:

Если:

  • ;
  • — натуральное число;
  • — целое число;

Тогда:

Примеры:

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Посмотрим: что такое и ?

По определению:

Сколько здесь множителей всего? Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа с показателем , то есть:

, что и требовалось доказать.

Пример: Упростите выражение .

Решение: .

Пример: Упростите выражение .

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило – только для произведения степеней!

Ни в коем случае нелья написать, что .

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа :

, ч.т.д.

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать ? Но это неверно, ведь .

Степень с отрицательным основанием.

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом.

И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже . Давайте подумаем, какие знаки (» » или » «) будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число ? А ? ?

С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, , или . Но если мы умножим на ( ), получится – .

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

  1. Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное.
  2. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное.
  3. Положительное число в любой степени – число положительное.
  4. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

Справился? Вот ответы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание – степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно ? Очевидно нет, так как (потому что ).

Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или ? Если вспомнить, что , становится ясно, что , а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.

И снова используем определение степени:

Здесь, очевидно, можем сократить. Но с одной оговоркой: чтобы степень получилась натуральная, нам придется предположить, что (то есть, в числителе множителей должно быть больше, чем в знаменателе). Тогда множителей числителя сокращаются со всеми множителями знаменателя. Таким образом множители остаются только в числителе, причем в количестве штук:

, ч.т.д.

Все как обычно – записываем определение степеней и , делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:

, ч.т.д.

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

Вычисли значения выражений:

Решения:

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно – разность квадратов!

Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Если домножить его на , ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на , изменив только один неугодный нам минус!

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Итак, теперь последнее правило:

Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:

Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв ? раз по множителей – что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения: всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем :

, ч.т.д.

Пример:

В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением – ведь по определению иррациональные числа – это числа, которые невозможно представить в виде дроби , где и – целые числа (то есть, иррациональные числа – это все действительные числа, кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем – это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени – это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось – поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число ; степень с целым отрицательным показателем – это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель – это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например:

Или:

И еще: .

Реши самостоятельно:

1) 2) 3)

Ответы:

  1. Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ: .
  2. Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например: .
  3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Степенью называется выражение вида: , где:

Степень с целым показателем

степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

Степень с рациональным показателем

степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.

Степень с иррациональным показателем

степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.

Свойства степеней

Произведение степеней
Деление степеней
Возведение степени в степень
Дробная степень

Особенности степеней.

  • Отрицательное число, возведенное в четную степень, – число положительное.
  • Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, – число отрицательное.
  • Положительное число в любой степени – число положительное.
  • Ноль в любой степени равен .
  • Любое число в нулевой степени равно .

ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО…

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *