Теорема о существовании двойного интеграла

Сформулировать теорему существования двойного интеграла

Министерство образования Российской Федерации

«Институт «ИНФО»

Контрольная работа

Кратные интегралы

Вариант № 5

Дать определение двойного интеграла

Понятие определенного интеграла рассмотрим для функции двух переменных , заданной и непрерывной в замкнутой области S, ограниченной линией С. Разобьем область S на n частей произвольным образом, названия которых и их площади обозначим , следовательно . Возьмем точку с координатами .

Тогда . Возьмем произведение и составим сумму по всем малым площадкам .

Определение 1. Сумма называется n-ной интегральной суммой, для функции по области S.

Определение 2. Двойным интегралом от функции по области S называется предел, к которому стремится n-ная интегральная сумма при неограниченном увеличении числа малых площадок и при условии, что каждая из этих площадок стягивается в точку.

Этот предел обозначается . Следовательно . Здесь называется знаком двойного интеграла, S – областью интегрирования, — подынтегральной функцией, ds – элементом площади. Поскольку в силу условия разбиения , следовательно .

Теорема: Для всякой непрерывной в замкнутой области S функции двойной интеграл существует.

Поэтому считается, что функция непрерывна в области интегрирования S.

Сформулируйте свойства двойного интеграла

Поскольку понятие двойного интеграла, аналогично понятию определенного интеграла, двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный. Приведем эти свойства:

Свойства определенного интеграла:

  • Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла .

  • Двойной интеграл от суммы функций равен сумме двойных интегралов от этих функций .

  • Если в области интегрирования , то и .

  • Если в области интегрирования m и M являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции , то есть , то . Это свойство дает оценку двойного интеграла.

  • Если область интегрирования , то .

Сформулируйте теорему о среднем значении для двойного интеграла

  • Теорема о среднем: Если функция непрерывна в замкнутой области S, то в области S существует, по крайней мере, одна точка , в которой значение функции . Это значение называется средним интегральным значением функции в области S.

Как вычисляется двойной интеграл

  • в декартовых координатах: При вычислении двойного интеграла в декартовых координатах осуществляется переход от двойного интеграла к двукратному путем последовательного вычисления двух определенных интегралов, при этом:

1) если контур области S встречается со всякой пересекающей его вертикальной прямой не более чем в двух точках (К, Е на рис), то область S задается неравенствами . Здесь — крайние абсциссы области, — функции, выражающие ординаты нижней и верхней граничных линий .

В этой случае двойной интеграл вычисляется по формуле

2) если контур области S встречается не более чем в двух точках со всякой пересекающей его горизонтальной прямой не более чем в двух точках, имеем аналогично (см. рис):

3) если контур области не подходит ни под первый, ни под второй случай, то область S разбивают на несколько частей S1, S2, S3,… так чтобы в каждой области можно было применить одну из двух предыдущих формул.

  • при вычислении двойного интеграла в полярных координатах координатными линиями являются лучи и окружности . Учитывая, что при переходе от декартовых координат к полярным применяются формулы , получаем выражение для двойного интеграла: . Выражение называется элементом площади в полярных координатах.

Дайте определение тройного интеграла

Ответ:

Пусть функция задана в трехмерной области V, ограниченной замкнутой поверхностью . Проведем следующие действия:

  • разобьем область V на n ;

  • в каждом элементе выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке ;

  • составим произведение и образуем сумму этих произведений .

Определение 1. Сумма называется n-ной интегральной суммой, образованной для функции по области V.

Определение 2. тройным интегралом от функции по области V называется предел, к которому стремится n-ная интегральная сумма , при неограниченном увеличении числа элементов разбиения и условии стягивания каждого из этих элементов в точку. Этот предел обозначается и не зависит от способа разбиения области V на элементы и выбора точек . Таким образом .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *