Метод эквивалентных преобразований

Сложные цепи. Метод эквивалентного преобразования схемы

Метод эквивалентного преобразования схемы используют при расчете простых электрических цепей. В отдельных случаях имеется возможность применить его и для расчета сложных электрических цепей.

Суть метода эквивалентного преобразования схемы заключается в упрощении схемы, когда два (или несколько) однотипных элемента электрической цепи замещаются одним эквивалентным элементом того же типа. Под термином «эквивалентный элемент» подразумевается такой элемент, замещение на который не меняет значений токов и напряжений в остальной части электрической цепи.

Схематичный пример использования метода эквивалентного преобразования схемы для расчета сложной электрической цепи изображен ниже:

Например, после замены источника тока источником напряжения (рис. 1.3) в обобщенной ветви последняя будет выглядеть так:

=
Рис.3.1 Рис.3.2

где . Обратите внимание, направление эквивалентного источника ЭДС совпадает с напряжением источника тока . Ниже будет показано, что данный участок цепи можно упростить, как показано на рис. (3.2), где .

3.2. Последовательное соединение резисторов при эквивалентной замене суммируется:

,

где – число последовательно соединенных резисторов. При данном соединении всегда больше большего из сопротивлений. В частном случае, если каждое из сопротивлений равно , то .

Пример. Определить эквивалентное сопротивление цепи на зажимах .

a)

=
Рис 3.4 Рис 3.5

б)

.
Рис 3.6

Здесь , т.к. разрыв цепи между точками и имеет бесконечно большое сопротивление.

3.3. При параллельном соединении резистора суммируется их проводимость , где — число параллельно соединенных резисторов, и . При параллельном соединении всегда меньше меньшего из сопротивлений. В частном случае, если каждое из сопротивлений равно , то . В случае двух параллельно соединенных сопротивлений и :

=
Рис 3.7 Рис 3.8
,
или .

Пример. Определить на зажимах .

а)

=
Рис 3.9 Рис 3.10

а)

б)

.
Рис 3.10

Здесь , т.к. сопротивление закоротки равно нулю.

РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Тип элемента Последовательное соединение m-элементов Параллельное соединение m-элементов
Резисторы
Конденсаторы
Катушки индуктивности

3.4. При смешанном соединении резисторов эквивалентное сопротивление цепи определяет последовательным упрощением схемы и «сворачиванием» ее к одному сопротивлению, равному . При расчете токов в отдельных ветвях ЭЦ «разворачивают» в обратной последовательности.

Пример. Определить относительно зажимов .

а)

= =
Рис 3.11 Рис 3.12 Рис 3.12

,

а)

б)

= =
Рис 3.13 Рис 3.14 Рис 3.15

б)

, .

=
Рис 3.16 Рис 3.17
=
Рис 3.18 Рис 3.19

в)

, где .

В последнем примере сопротивление закорочено, а сопротивления , , имеют только одну общую точку со схемой и поэтому они не учитываются. Сопротивления и включены последовательно и эквивалентное им сопротивление , а и включены параллельно, поэтому:

3.5. Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в эквивалентную трехлучевую звезду. Схемы будут эквивалентны, если сопротивления между узлами и , и , и в обеих схемах «звезды» и «треугольника» будут одинаковыми:

=
Рис. 3.20 Рис. 3.21

, , .

Решая совместно эти уравнения, получим:

, , ,

, , .

Обратное преобразование трехлучевой звезды в треугольник:

, , .

Пример. Определить эквивалентное сопротивление ЭЦ относительно зажимов .

=
Рис 3.22 Рис 3.23
=
Рис 3.24 Рис 3.25

Сначала преобразуем треугольник сопротивлений , , в эквивалентную трехлучевую звезду , , ; затем преобразуем последовательно соединенные резисторы , и , , эквивалентные сопротивления которых соединены между собой параллельно и могут быть заменены одним :

Резистор включен параллельно резисторам и , соединенным между собой последовательно. Поэтому эквивалентное сопротивление всей ЭЦ относительно зажимов :

3.6. Преобразование ветвей, содержащих последовательные и параллельные соединения источников ЭДС и тока.

а)

=
Рис 3.26 Рис 3.27

б)

=
Рис 3.28 Рис 3.29

в)

= или
Рис 3.30 Рис 3.31 Рис 3.32

а)

г)

Если . Два источника тока могут быть соединены последовательно, если они равны и одинаково направлены в противном случае не будет выполняться ЗТК в месте соединения двух источников.

д)

. Два источника ЭДС могут быть включены параллельно, если они равны и имеют одинаково включенную полярность. Если эти условия не выполняются, то ЗНК будет нарушен в контуре, содержащем эти источники.

д)

3.7. Часть схемы, состоящей из параллельных ветвей ЭДС и проводимостями , эквивалентно либо одной ветви с проводимостью и ЭДС :

, ,

либо двум параллельным ветвям с той же проводимостью и источником тока :

ПРАВИЛО ЗНАКОВ. Слагаемые , берутся с плюсом при совпадении направления ЭДС и , при несовпадении – с минусом.

Пример. Преобразовать схему с параллельными ветвями, содержащими источники ЭДС, в эквивалентную.

= =
Рис 3.33 Рис 3.34 Рис 3.35

, , .

Пример.В заданной ЭЦ (рис.2.1) найти токи, используя эквивалентные преобразования.

Для начала преобразуем источник тока в источник напряжения: .

Заменим сопротивления и на эквивалентные и , на .

Элементы , , соединены в трехлучевую звезду, которую можно преобразовать в треугольник с сопротивлениями: , , .

, , .

После преобразований схема приобретает вид:

Расчет электрических цепей методом эквивалентных преобразований

Преобразование называется эквивалентным, если напряжения и токи в остальной части схемы при этом не меняются.

1. Последовательное соединение – по второму закону Кирхгофа:

, , .

2. Параллельное соединение – по первому закону К.

, , .

3. Смешанное соединение

. Формула токового делителя: , .

4. Преобразование из «треугольника» в «звезду» и обратно.

соединение «звездой» соединение «треугольником»

Формулы преобразований могут быть получены, используя законы Ома и Кирхгоффа:

; ; . ; ; .

Метод наложения

Для любых линейных систем справедлив принцип наложения (или иначе принцип суперпозиции), в соответствии с которым реакция от воздействия нескольких сил равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.

Если рассмотреть принцип суперпозиции применительно к теории линейных электрических цепей, его можно перефразировать следующим образом:

Ток каждой ветви сложной цепи с несколькими источниками напряжения или тока равен алгебраической сумме токов этой ветви, протекающих под действием каждого источника в отдельности.

Если для узлов и контуров любой электрической цепи, содержащей источники напряжения с ЭДС написать уравнения по законам Кирхгофа, получается система линейных уравнений, вида

, ,

из которой ток каждой ветви определяется однозначно.

Если поочередно предположить, что в цепи существует только ЭДС а остальные равны нулю, затем – только ЭДС и т. д., можно для каждой ЭДС вычислить соответствующие ей токи ветвей, составив уравнения по законам Кирхгофа при тех же направлениях ЭДС и токов:

, ,

, ,

и т.д.

Сложение почленно этих уравнений

,

,

даст систему, которая также имеет единственное решение для всех неизвестных , и т. д. Из сравнения исходных и только что полученных уравнений, имеющих одинаковые коэффициенты и правые части, видно, что решения обеих систем должны совпадать, следовательно,

, ,

т. е. ток каждой ветви цепи равен алгебраической сумме токов этой ветви, протекающих под действием каждой э. д. с. в отдельности.


На принципе наложения основан метод наложения. Он состоит в определении и последующем суммировании токов ветвей от каждой ЭДС в отдельности. При этом остальные ЭДС приравниваются нулю, т. е. нужно мысленно их удалить и представить замкнутыми накоротко каждую пару тех точек цепи, между которыми действуют эти ЭДС. Тогда от этих источников в цепи остаются только их внутренние сопротивления.

Напряжение на каком-либо участке цепи с сопротивлением R:

,

т. е. напряжение на участке цепи ровно алгебраической сумме напря­жений для каждой составляющей тока. Следовательно, и при опре­делении напряжений может быть применен метод наложения.

Метод наложения целесообразно применять в том случае, если, приравнивая нулю все ЭДС, кроме одной, можно упро­стить цепь.

Например, для изображенной цепи при или получаются, соответственно, параллельно-последовательные цепи, легко рассчитываемые методом преобразования.

При этом действительное направление составляющих токов определяется направлением ЭДС и, выбирая произвольно направления резуль­тирующих токов, при наложении следует совпадающие с ними по знаку составляющие брать положительными, и наоборот. Так, для направлений токов, указанных на рисунке

, и

Принцип наложения основан на линейном характере уравнений по законам Ома и Кирхгофа при постоянстве коэффициентов уравнений, т. е. сопротивлений цепи.

Если метод наложения применять в случае, когда источниками энергии являются источники тока и считать несуществующим источник в какой-либо ветви, т. е. принимать его внутренний ток J = 0, следует представить себе цепь этого тока разомкнутой;тогда от источника тока в цепи остается только его внутренняя проводи­мость GB.

Необходимо отметить, что наложение неприменимо для мощностей, так как они являются квадратичными функциями токов и напряжений.

Принцип взаимности

Пусть в первую ветвь Т-образной схемы, состоящей из трех разных сопротивлений соединенных звездой,вклю­чена ЭДС Е, а выходные зажимы замкнуты. Направление токов всех ветвей определяется направлением ЭДС E.

Ток распределится между параллельно соединенными второй и третьей ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям. Тогда ток во второй ветви

Если поменять местами индексы 1 и 2,очевидно, получится значение тока в первой ветви при таком переносе ЭДС Е во вторую ветвь, чтобы ее направление совпало с направлением тока . Выражение симметрично относительно этих индексов, поэтому .

Установленный принцип взаимности для Т-образной схемы имеет самый общий характер и может быть сформулирован следующим образом:

если ЭДС Е, действуя в любой ветви сколь угодно сложной цепи, не содер­жащей других ЭДС, вызывает в другой ветви ток I , то перенесенная в нее та же ЭДС вызовет в первой ветви такой же ток I .

Принцип взаимности был установлен Кирхгофом.

На принципе взаимности основан метод взаимности. Этот метод удобно применять для расчета цепей с одной ЭДС, когда ее перенос упрощает цепь.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *