Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 5

Пусть функция имеет производную в точке (конечную): .

Тогда для достаточно малых можно записать в виде суммы и некоторой функции, которую мы обозначим через , которая стремится к нулю вместе с : ,

и приращение в точке может быть записано в виде:

или (1) ,

ведь выражение понимается как функция от такая, что ее отношение к стремится к нулю вместе с . Пояснение:

Определение.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде: (2),

где А не зависит от , но вообще зависит от .

Теорема 1:

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.

Доказательство:

Достаточность условия доказана выше: из существования конечной производной следовала возможность представления в виде (1), где можно положить .

Необходимость условия. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда из (2), предполагая , получаем .

Предел правой части при существует и равен А: .

Это означает, что существует производная . Теорема доказана.

Билет 9

Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Теорема: (Формула Лейбница)

Пусть функции U и V n раз дифференцируемы, т.е. существуют и . Значит (U*V) – тоже n раз дифференцируема, при этом

Доказательство:

Метод математической индукции:

Пусть при n=m – верно, т.е.

(*)

Надо доказать, что

Доказательство:

Теорема доказана.

Билет 10

Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.

f(x) дифференцируема,

тогда . Далее, пусть f – n раз дифференцируема,

. Докажем, что

1) ,

2) Пусть при n = m

3)

Инвариантность/Неинвариантность.

1) y(x), x – независимая переменная, , пусть x = x(t)

2) y(x), x – независимая переменная, , ,

, здесь , .

Билет 11

Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.

Определение 1:. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

Определение 1’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

Определение 1’’. f(x) – возрастает (не убывает) в точке , если

Определение 2. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

Определение 2’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

Определение 2’’. f(x) – убывает (не возрастает) в точке , если

Теорема 1:(Необходимое условие возрастания (неубывания) функции в точке )

Если f возрастает (не убывает) в точке и дифференцируема в точке , то .

Доказательство:

Т.к. функция возрастает (не убывает), то, по определению 1’’ ,

, а значит и . Теорема доказана.

Теорема 1’(Необходимое условие убывания (невозрастания) функции в точке )

Если f убывает (не возрастает) в точке и дифференцируема в точке, то .

Доказательство:

Т.к. функция убывает (не возрастает), то, по определению 2’’ ,

, а значит и , теорема доказана.

Теорема 2: (Достаточное условие возрастания)

Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) возрастает в точке .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

, значит

f возрастает.

Теорема доказана.

Замечание: если , то про возрастание сказать ничего нельзя.

Теорема 2’: (Достаточное условие убывания)

Если f(x) дифференцируема в точке , причем , то f(x) убывает в точке .

Доказательство:

По теореме о сохранении знака:

, значит

f(x) убывает.

Теорема доказана.

Замечание: если , то про убывание сказать ничего нельзя.

Теорема Ферма:(Необходимое условие существования экстремума)

Если f(x) дифференцируема в точке и – точка локального экстремума, то .

Доказательство:

Пусть f(x) возрастает в точке , т.е.

, т.е. – не точка экстремума.

Аналогично невозможен случай , следовательно .

Теорема доказана.

Билет 12

Теорема Ролля.

Теорема:

Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .

Доказательство:

Так как функция f непрерывна на , то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:

  1. Обе точки x1 и x2 совпадают с a или b, тогда

И тогда производная

  1. Одна из точек не является концевой отрезка . Пусть — та из них, которая , тогда в точке достигается локальный экстремум, кроме того, , так как по условию существует . Поэтому по теореме Ферма , что и требовалось доказать.

Контрпример 1

Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.

Контрпример 2

Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции ! существует точка касательная в которой параллельна оси x.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

  1. Алгоритм линейной цифровой фильтрации. Условие физической реализуемости.
  2. Базисные условия поставки – Инкотермс-2000. Условия группы E, F, C, D. Условие FOB и условие CIF.
  3. Билет 1. Циклический алгоритм. Блок-схемы циклов с предусловием, с постусловием и цикла с параметром. Программирование циклического процесса
  4. Возрастание и убывание функций, необходимое и достаточное условие.
  5. Вопрос № 13. Окисление углерода в электропечи, механизм и условие удаления пузырька СО.
  6. Второе достаточное условие экстремума
  7. Выберите наиболее информативное и достаточное обследование для проведения
  8. Выпуклость и вогнутость. Определения. Необходимое и достаточные условия выпуклости и вогнутости функции
  9. Достаточное условие экстремума
  10. Закон скорости процесса, условие равновесия процесса.

Теорема . Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную.

Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

б) Прямые методы.

Достоинства – не требуют вычисления производных функции, функция не обязательно должна быть задана в аналитическом виде.

Представители: метод случайного поиска, метод случайных направлений, метод случайных направлений с возвратом при неудачном шаге.

Недостаток: плохая сходимость.

в) Методы, использующие производные функции.

Достоинтсва – высокая скорость сходимости по сравнению с прямыми методами.

Представитель: метод градиентного спуска. Градиент показывает направление скорейшего убывания функции.

Задача многомерной оптимизации при наличии ограничений

Постановка задачи

,

Задачи математического программирования

1) Задача линейного программирования (ЗЛП)

,

Ограничения(равенства и неравенства):

,

,

Методы решения

а) Графический метод.

Геометрический метод применяется, если задача линейного программирования содержит только две переменные. Рисуем область допустимых решений и график целевой функции. Сдвигаем график целевой функции параллельным переносом в направлении ее вектора нормали (для задач максимизации) или в противоположном направлении (для задач минимизации). Последняя общая точка сдвинутого графика целевой функции и области допустимых решений и есть решение задачи. Возможно, что график совпадает с одним из отрезков, ограничивающих допустимую область решений. В этом случае решений будет бесконечно много.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *