Потенциальная энергия точки

  • ПРЕДИСЛОВИЕ
  • МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
  • ВВЕДЕНИЕ
    ЧАСТЬ 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
  • § 1. Механическое движение
  • § 2. Некоторые сведения о векторах
  • § 3. Скорость
  • § 4. Ускорение
  • § 5. Кинематика вращательного движения
    ГЛАВА II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
  • § 6. Классическая механика. Границы ее применимости
  • § 7. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
  • § 8. Масса и импульс тела
  • § 9. Второй закон Ньютона
  • § 10. Единицы и размерности физических величин
  • § 11. Третий закон Ньютона
  • § 12. Принцип относительности Галилея
  • § 13. Силы
  • § 14. Упругие силы
  • § 15. Силы трения.
  • § 16, Сила тяжести и вес
  • § 17. Практическое применение законов Ньютона
    ГЛАВА III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
  • § 18. Сохраняющиеся величины
  • § 19. Кинетическая энергия
  • § 20. Работа
  • § 21. Консервативные силы
  • § 22. Потенциальная энергия во внешнем поле сил
  • § 23. Потенциальная энергия взаимодействия
  • § 24. Закон сохранения энергии
  • § 25. Энергия упругой деформации
  • § 26. Условия равновесия механической системы
  • § 27. Закон сохранения импульса
  • § 28. Соударение двух тел
  • § 29. Закон сохранения момента импульса
  • § 30. Движение в центральном поле сил
  • § 31. Задача двух тел
    ГЛАВА IV. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
  • § 32. Силы инерции
  • § 33. Центробежная сила инерции
  • § 34. Сила Кориолиса
  • § 35. Законы сохранения в неинерциальных системах отсчета
    ГЛАВА V. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЁЛА
  • § 36. Движение твердого тела
  • § 37. Движение центра масс твердого тела
  • § 38. Вращение тела вокруг неподвижной оси
  • § 39. Момент инерции
  • § 40. Понятие о тензоре инерции
  • § 41. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела
  • § 42. Кинетическая энергия тела при плоском движении
  • § 43. Применение закона динамики твердого тела
  • § 44. Гироскопы
    ГЛАВА VI. ВСЕМИРНОЕ ТЯГОТЕНИЕ
  • § 45. Закон всемирного тяготения
  • § 46. Гравитационное поле
  • § 47. Принцип эквивалентности
  • § 48. Космические скорости
    ГЛАВА VII. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
  • § 49. Общие сведения о колебаниях
  • § 50. Малые колебания
  • § 51. Комплексные числа
  • § 52. Линейные дифференциальные уравнения
  • § 53. Гармонические колебания
  • § 54. Маятник
  • § 55. Векторная диаграмма
  • § 56. Биения
  • § 57. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
  • § 58. Затухающие колебания
  • § 59. Автоколебания
  • § 60. Вынужденные колебания
  • § 61. Параметрический резонанс
    ГЛАВА VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
  • § 62. Специальная теория относительности
  • § 63. Преобразования Лоренца
  • § 64. Следствия из преобразований Лоренца
  • § 65. Интервал
  • § 66. Преобразование и сложение скоростей
  • § 67. Релятивистское выражение для импульса
  • § 68. Релятивистское выражение для энергии
  • § 69. Преобразования импульса и энергии
  • § 70. Взаимосвязь массы и энергии
  • § 71. Частицы с нулевой массой покоя
    ГЛАВА IX. ГИДРОДИНАМИКА
  • § 72. Линии и трубки тока. Неразрывность струи
  • § 73. Уравнение Бернулли
  • § 74. Истечение жидкости из отверстия
  • § 75. Силы внутреннего трения
  • § 76. Ламинарное и турбулентное течения
  • § 77. Течение жидкости в круглой трубе
  • § 78. Движение тел в жидкостях и газах
    ЧАСТЬ 2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
  • § 79. Статистическая физика и термодинамика
  • § 80. Масса и размеры молекул
  • § 81. Состояние системы. Процесс
  • § 82. Внутренняя энергия системы
  • § 83. Первое начало термодинамики
  • § 84. Работа, совершаемая телом при изменениях объема
  • § 85. Температура
  • § 86. Уравнение состояния идеального газа
  • § 87. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
  • § 88. Уравнение адиабаты идеального газа
  • § 89. Политропические процессы
  • § 90. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах
  • § 91. Ван-дер-ваальсовский газ
  • § 92. Барометрическая формула
    ГЛАВА XI. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
  • § 93. Некоторые сведения из теории вероятностей
  • § 94. Характер теплового движения молекул
  • § 95. Число ударов молекул о стенку
  • § 96. Давление газа на стенку
  • § 97. Средняя энергия молекул
  • § 98. Распределение Максвелла
  • § 99. Экспериментальная проверка закона распределения Максвелла
  • § 100. Распределение Больцмана
  • § 101. Определение Перреном числа Авогадро
  • § 102. Макро- и микросостояния. Статистический вес
  • § 103. Энтропия
    ГЛАВА XII. ТЕРМОДИНАМИКА
  • § 104. Основные законы термодинамики
  • § 105. Цикл Карно
  • § 106. Термодинамическая шкала температур
  • § 107. Примеры на вычисление энтропии
  • § 108. Некоторые применения энтропии
  • § 109. Термодинамические потенциалы
    ГЛАВА XIII. КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
  • § 110. Отличительные черты кристаллического состояния
  • § 111. Классификация кристаллов
  • § 112. Физические типы кристаллических решеток
  • § 113. Дефекты в кристаллах
  • § 114. Теплоемкость кристаллов
    ГЛАВА XIV. ЖИДКОЕ СОСТОЯНИЕ
  • § 115. Строение жидкостей
  • § 116. Поверхностное натяжение
  • § 117. Давление под изогнутой поверхностью жидкости
  • § 118. Явления на границе жидкости и твердого тела
  • § 119. Капиллярные явления
  • ГЛАВА XV. ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ
  • § 121. Испарение и конденсация
  • § 122. Равновесие жидкости и насыщенного пара
  • § 123. Критическое состояние
  • § 124. Пересыщенный пар и перегретая жидкость
  • § 125. Плавление и кристаллизация
  • § 126. Уравнение Клапейрона—Клаузиуса
  • § 127. Тройная точка. Диаграмма состояния
    ГЛАВА XVI. ФИЗИЧЕСКАЯ КИНЕТИКА
  • § 128. Явления переноса
  • § 129. Средняя длина свободного пробега
  • § 130. Диффузия в газах
  • § 131. Теплопроводность газов
  • § 132. Вязкость газов
  • § 133. Ультраразреженные газы
  • § 134. Эффузия
    ПРИЛОЖЕНИЯ
  • I. Вычисление некоторых интегралов
  • II. Формула Стирлинга
  • III. Симметричные тензоры второго ранга

Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле

Сопоставим каждой точке поля консервативных сил значение некоторой функции координат Ер(x,y,z), которую определим следующим образом. Произвольно выбранной точке О припишем значение функции Ер0, взятое также произвольно. Значение функции в любой другой точке В положим равным сумме Ер0 и работы АВ0, совершаемой силами поля при перемещении частицы из точки В в точку О:

ЕрВ=Ер0+АВ0 (5.6)

Поскольку работа АВ0 не зависит от пути, значения функции ЕР во всех точках поля определяются однозначно. Функция (5.6) имеет, как и кинетическая энергия Ек, размерность работы и называется потенциальной энергией частицы во внешнем силовом поле.

Образуем разность значений потенциальной энергии для точек 1 и 2 (рис.5.5). Согласно формуле (5.6)

Ер1-Ер2=(Ер0+А10)-(Ер0+А20)=А10-А20=А10+А02

(мы воспользовались тем, что А20=-А02). Правая часть полученного соотношения дает работу, совершаемую над частицей силами поля на пути из точки 1 в точку 2, проходящем через точку О. Вследствие независимости работы от формы пути такая же работа А12 совершается на любом другом пути. Следовательно, мы приходим к выводу, что работа консервативных сил равна разности значений функции Ер в начальной и конечной точках пути, т.е. убыли потенциальной энергии:

А12=Ер1-Ер2. (5.7)

Из (5.6) следует, что потенциальная энергия определяется с точностью до неизвестной аддитивной постоянной Ер0. Однако это не имеет никакого значения, так как во все физические соотношения входит либо разность значений потенциальной энергии в двух точках, либо производная функции Ер по координатам.

Ранее мы нашли, что работа силы тяжести равна

А12=mgh1-mgh2 (5.8)

Сопоставление формул (5.6) и (5.7) дает, что потенциальная энергия частицы массы m в поле сил тяжести определяется выражением

Ер=mgh, (5.9)

где h отсчитывается от произвольного уровня.

В отличие от кинетической энергии, которая всегда положительна, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Если, например, h отсчитывать от поверхности Земли, то потенциальная энергия частицы, лежащей на дне ямы глубины l, будет равна –mgl (подчеркнем, что l>0, ибо глубина, как и длина, не может быть отрицательной).

Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 над ней совершается работа (5.5). В соответствии с формулой (4. ) эта работа равна приращению кинетической энергии частицы. Приравняв оба выражения для работы, получим соотношение Ер1-Ер2=Ек2-Ек1, из которого следует, что

Ек1+Ер1=Ек2+Ер2. (5.10)

Величина Е, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, называется полной механической энергией частицы. Формула (5.10) означает, что Е1=Е2, т.е. что полная механическая энергия частицы, движущейся в поле консервативных сил, остается постоянной. Это утверждение выражает закон сохранения механической энергии для системы, состоящей из одной частицы.

В случае поля силы тяжести полная энергия определяется выражением

Е=(5.11)

Кинетическая и потенциальная энергии могут переходить друг в друга. Однако, если на частицу не действуют никакие силы, кроме обусловивших потенциальную энергию консервативных сил, полная энергия остается постоянной. Пусть частица свободно падает с высоты h. Первоначально ее кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна mgh. Формулы кинематики дают для скорости в конце падения значение v= Следовательно, в конце падения кинетическая энергия частицы равна

Ек=

Потенциальная же энергия в конце падения равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия превратилась в эквивалентное количество кинетической энергии.

Если известно выражение Ер(x,y,z) для потенциальной энергии, можно найти силу, действующую на частицу в каждой точке поля. Пусть частица переместилась параллельно оси х, вследствие чего координата х получила приращение dx. При этом силы поля совершают над частицей работу dA=Fds=Fxdsx; в данном случае dsy и dsz равны нулю. Проекция перемещения ds на ось х равна dx; поэтому dA=Fxdx. Вместе с тем согласно формуле (3.30) эта работа равна убыли потенциальной энергии: dA=-dEp. Приравняв оба выражения для работы, найдем, что Fxdx=-dEp, откуда

Fx=-.

Мы написали дЕр/дх вместо dEp/dx, чтобы отметить то обстоятельство, что производная по х вычисляется при условии, что координаты y и z остаются постоянными. Производная, вычисленная при этом условии, называется частной. Таким образом, компонента силы по оси х равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной х. Для компонент силы по осям y и z получаются аналогичные выражения. Следовательно. Мы приходим к соотношениям

Fx=- Fy=- Fz=- (5.12)

Учитывая, что сумма произведений компонент силы на соответствующие орты координатных осей дает вектор силы:

F=Fxex+Fyey+Fzez=- (5.13)

Вектор с компонентами где  — скалярная функция координат х, у, z, называется градиентом функции  и обозначается символом grad :

grad =ex+eyez. (5.14)

Направление вектора grad  совпадает с направлением оси l, вдоль которой функция  возрастает с наибольшей скоростью, а модуль равен d/dl, т.е. скорости возрастания функции  при перемещении вдоль оси l. В этом проще всего убедиться на примере функции, зависящей только от одной координаты, скажем х. Для такой функции

grad =ex

Выражение (3.37) можно рассматривать как результат действия на функцию  оператора

ехеуеz, (5.15)

который называется оператором Гамильтона или оператором набла. Поэтому градиент функции  можно представить в виде :

grad .

Из сравнения выражений (5.13) и (5.14) заключаеи, что

F=-grad Ep, или F=-Ep. (5.16)

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии частицы, взятому с обратным знаком.

Если система состоит из N не взимодействующих друг с другом частиц, находящихся в поле внешних консервативных сил, то потенциальная энергия этой системы равна сумме потенциальных энергий отдельных частиц:

Ер=(5.17)

Здесь Ерi – потенциальная энергия i – й частицы. Функция Ер зависит от координат всех N частиц. Сила Fi, действующая на i – ю частицу, равна -Ерi.

Потенциальная энергия — Чтобы увеличить расстояние тела от центра Земли (поднять тело), над ним следует совершить работу. Эта работа против силы тяжести запасается в виде потенциальной энергии тела.

Для того, чтоб понять что же такое потенциальная энергия тела найдем работу, совершаемую силой тяжести

при перемещении тела массой m вертикально вниз с высоты

над поверхностью Земли до высоты

Если разность

пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу тяготения

во время движения тела можно считать постоянной и равной mg.

Так как перемещение совпадает по направлению с вектором силы тяжести то получается, что

, работа силы тяжести равна

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины

. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина

представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают Wp. Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях

Значение потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, зависит от выбора нулевого уровня, то есть высоты, на которой потенциальная энергия принимается равной нулю. Обычно принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.

При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна произведению массы тела на Модуль ускорения свободного падения и расстояние его от поверхности Земли:

Из всего выше сказанного, можем сделать вывод: потенциальная энергия тела зависит всего от двух величин, а именно: от массы самого тела и высоты, на которую поднято это тело. Траектория движения тела никак не влияет на потенциальную энергию.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела. Физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.

Так же есть:

Кинетическая энергия

потенциальная энергия точки

Смотреть что такое «потенциальная энергия точки» в других словарях:

  • потенциальная энергия точки — Величина, равная работе, которую произведет сила, действующая на материальную точку, находящуюся в потенциальном силовом поле, при перемещении этой точки из данного положения в положение, для которого значение потенциальной энергии условно… … Справочник технического переводчика

  • Потенциальная энергия — У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал. Потенциальная энергия скалярная физическая величина, характеризующая способность некого тела (или материальной точки) совершать работу за счет своего нахождения в поле действия… … Википедия

  • ЭНЕРГИЯ — (1) универсальная (общая) количественная мера форм движения, состояния и взаимодействия всех видов (см.), связывающая воедино все явления природы, которые отражены в фундаментальном (см.). В соответствии с различными формами движения говорят о… … Большая политехническая энциклопедия

  • Энергия — У этого термина существуют и другие значения, см. Энергия (значения). Энергия , Размерность … Википедия

  • Энергия — есть способность данной системы тел, находящихся в данных условиях, совершить некоторое, вполне определенное количество работы. Э. системы может оцениваться по весьма различным признакам. Например, Э. парового котла зависит от количества пара,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • энергия свободная — ЭНЕРГИЯ СВЯЗАННАЯ Нем.: freie Energie gebundene Energie. Франц.: йnergie libre йnergie liйe. Англ.: free energy bound energy. Исп.: energia libre energia ligada. Итал.: :energia libйra energia legata. Португ.: energia uvre energia ligada. •… … Словарь по психоанализу

  • Потенциальная яма — участок от X1 до X2 Потенциальная яма – область пространства, где присутствует локальный минимум потенциальной энергии … Википедия

  • Потенциальная функция и потенциал — В статьях Гамильтоново начало (см.), Механика (см.) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скорости движения ее точек. Кинетическая энергия материальной точки измеряется половиной произведения массы m этой точки на квадрат ее скорость ν, тоесть Т = 1/2mν2. Кинетическая энергия … Энциклопедический словарь по металлургии

  • Кинетическая энергия — Кинетическая энергия энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной… … Википедия

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *