Направление кориолисова ускорения

Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3)

aa = ar + ae + aC Рис. 3

Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение ar направлено вдоль этой прямой и определяется выражением

Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением

ae = aeвр + aeцс

где aeвр= ε ⋅ OM — вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM;
aeцс= ω2⋅ OM — центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.

Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле

aC = 2 ωe × νr

где ωe — переносная угловая скорость,
νr — относительная скорость точки.

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

Величина ускорения Кориолиса определяется выражением

aC = 2 ωe νr sinα

где α – угол между векторами ωe и νr.

Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).

Рис. 4

Пусть в момент времени t1 точка M занимала положение M1 и имела относительную скорость νr1. За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M2, при этом направление скорости νr изменится вследствие вращения диска. Вектор νr получит приращение Δνr. Отношение Δνr/Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt. Предел отношения Δνr / Δt при Δt→ 0 есть производная dνr /dt, как производная от вектора постоянного по величине.

Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t1 и t2 переносная скорость определяется выражениями νe1= ω × OM1 и νe2= ω × OM2. Тогда приращение вектора νe за счет относительного движения будет равно

Δνe = ω × OM2 — ω × OM1 =
= ω ×(OM2 — OM1) = ω × νr⋅ Δt

Отношение Δνe/ Δt в пределе при Δt→ 0 дает производную dνe / dt = ω × νr.

Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.

Рис. 5

Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:

>> Сферическое движение и способы его задания

Вы здесь: Техническая механика > Теоретическая механика > Краткая теория по теоретической механике > Ускорение Кориолиса

Определение модуля и направления кориолисова ускорения

(24)

Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен

(25)

Если то

(26)

Для определения направления вектора кориолисоваускорения надоспроектировать вектор относительной скорости точки на плоскость,перпендикулярную вектору (оси переносного вращения), и полученную проекциюповернуть в сторону этого вращения на .Полученное таким образомнаправление совпадает с направлением вектора (рис. 2, 3 и 4).Если точка движется в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения (вектору , то и формула (26) становится такой

(27)

Рис. 3. К определению направления вектор кориолисоваускорения при движении точки в пространстве

Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:

1. — переносное движение поступательно или когда в данный момент

2. — относительная скорость в данный момент равна нулю.

3. Когда или , то есть когда вектор параллелен вектору .

А теперь рассмотрим фазы движения материальной точки вдоль горизонтально вращающегося стержня и покажем, что при совпадении вектров и кориолисово ускорение выполняет функции ускорения, а когда эти векторы противоположны, то оно выполняет функции замедления (рис. 4). Вариации возможных сочетаний направления вектров переносной и относительной скоростей материальной точки, движущейся вдоль вращающегося стержня, представлены на рис. 4.

Рис. 4. Примеры определения направления векторов и для точки

Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:

Ускорение кориолиса

Ускорение Кориолиса можно получить, спроецировав вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную вектору переносной угловой скорости , увеличив полученную проекцию в раз и повернув её на 90 градусов в направлении переносного вращения.

Способы вычисления ускорения Кориолиса:

1. По правилу векторного произведения (рис. 3)

Теорема_кориолиса

Пусть точка совершает сложное движение: движется относительно неинерциальной системы отсчёта со скоростью ; система при этом сама движется относительно инерциальной системы координат , причём линейная скорость движущегося вместе с ней полюса равна , а угловая скорость системы равна .

Тогда абсолютная скорость рассматриваемой точки (то есть её линейная скорость в инерциальной системе координат) будет такой:


, причём ,

где — радиус-вектор точки относительно полюса . Первые два слагаемых в правой части равенства представляют собойпереносную скорость точки, а последнее — её относительную скорость.

Продифференцируем это равенство по времени:

Найдём значение каждого слагаемого в инерциальной системе координат:

где — линейное ускорение точки относительно системы , — угловое ускорение системы .

Таким образом, имеем:

Полученное равенство служит математическим выражениемтеоремыКориолиса: Абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме её переносного ускорения (сумма первых трёх слагаемых в правой части),относительного ускорения (четвёртое слагаемое) и добавочного кориолисова ускорения (последнее слагаемое), равного .

Используя обозначения и , получим запись теоремы Кориолиса в более сжатом виде:

Причиной возникновения кориолисова ускорения является взаимное влияние друг на друга переносного и относительного движений.

Сам Кориолис выражал в 1835 г. свои результаты в иной форме, вводя в рассмотрение переносную и кориолисову силы инерции; общепринятая же ныне чисто кинематическая формулировка теоремы Кориолиса предложена в 1862 г. Анри ЭмеРезалем.

Заметим, что если система также является неинерциальной и движется относительно другой системы, а та другая относительно следующей и т. д., то величины , для системы в последнем уравнении следует считать полными — то есть как сумму собственных ускорений (скоростей) всех систем координат (каждой относительно предыдущей), начиная с первой подвижной системы, а — абсолютным ускорением поступательного движения относительно неподвижной инерциальной системы координат.

Заметим также, что в частности, чтобы точка относительно неинерциальной системы отсчёта двигалась прямолинейно по радиусу к оси вращения (см. рис.), необходимо приложить к ней силу, которая будет противодействующей суммы Кориолисовойсилы , переносной вращательной силы и переносной силы инерции поступательного движения системы отсчёта . Составляющая же ускорения не отклонит тело от этой прямой, так как являетсяосестремительным переносным ускорением и всегда направлена по этой прямой. Действительно, если рассматривать уравнение такого движения, то после компенсации в нём вышеупомянутых сил получится уравнение , которое если умножить векторно на , то с учетом получим относительно дифференциальное уравнение , имеющее при любых и общим решением , которое и является уравнением такой прямой — .


Ускорение Кориолиса

ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на линейную скорость относительного движения.

На основании определения векторного произведения из формулы можно получить модуль ускорения Кориолиса:

.

Для определения направления ускорения Кориолиса нужно мысленно перенести параллельно самому себе вектор в рассматриваемую точки и использовать правило векторного произведения:

· ,

· направлено в ту сторону, чтобы глядя с его конца, поворот от к был виден против хода часовой стрелки.

Можно искать ускорение Кориолиса и по правилу Жуковского:

Модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, необходимо вектор проекции относительной скорости повернуть на вокруг оси, параллельной оси переносного вращения в направлении этого вращения.

Найдем условия отсутствия ускорения Кориолиса ():

· – угловая переносная скорость равна нулю в данный момент времени или переносное движение поступательное;

· – относительная скорость равна нулю в данный момент времени (точки не перемещается относительно подвижной системы координат в данный момент времени – относительный покой);

· – относительное движение точки в данный момент времени происходит по направлению, параллельному оси вращения переносного движения.

Сложное движение тела (сложение движений твердого тела)

Определение: Движение тела, рассматриваемое одновременно относительно нескольких систем координат называется сложным движением.

Иначе говоря, сложным движением тела называется такое движение тела, которое может рассматриваться состоящим из нескольких движений.

При рассмотрении сложного движения тела, как и в случае сложного движения точки, оказывается удобным классифицировать движения тела на абсолютное, относительное и переносное, введя аналогичным способом неподвижную и подвижную системы координат.

Определение: Абсолютным движением тела называется движение тела относительно неподвижной системы координат.

Определение: Относительным движением тела называется движение тела относительно подвижной системы координат.

Определение: Переносным движением тела называется движение тела вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы координат.

В этом разделе рассматриваются способы нахождения для данного момента времени распределения скоростей точки, принадлежащих тела, соответствующие сложному движению тела при различных частных случаях относительного и переносного движений тела.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *