Последовательность натуральных чисел

Натуральные числа

С чего начинается изучение математики? Да, правильно, с изучения натуральных чисел и действий с ними. Натуральные числа (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

  1. натуральные числа — числа, возникающие при подсчете (нумерации) предметов (первый, второй, третий, четвёртый, пятый»…);
  2. натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные,…) числа к натуральным не относят.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n найдётся натуральное число, большее чем n.

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N0 или Z0.

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
  • умножение: множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень: ab, где a — основание степени, b — показатель степени. Если a и b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом)
  • деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p и остаток r от деления a на b определяются так: a=p*r+b, причём 0<=r<b. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на нуль, так как иначе a можно представить в виде a=0*r+a, то есть можно было бы считать частным любое число, а остатком a.

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

Коммутативность сложения.

Коммутативность умножения.

Ассоциативность сложения.

Ассоциативность умножения.

Дистрибутивность умножения относительно сложения. Дмитрий Айстраханов Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас! Запишитесь на бесплатное тестирование знаний! Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия
Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Последовательности натуральных чисел

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 59

Натуральное число является количественной характеристикой одного неизменного множества, однако, на практике количество предметов постоянно меняется, например, поголовье скота в некотором хозяйстве. Более того, простейшая, но и важнейшая последовательность сразу же возникает в процессе счёта – это последовательность натуральных чисел: 1, 2, 3, ….

Если изменение количества предметов в некоторой совокупности зафиксировано в виде некоторой последовательности натуральных чисел (членов последовательности), тут же естественным образом возникает ещё одна последовательность – последовательность номеров, например

Последовательность чисел
Номер числа в последовательности

В связи с этим возникает проблема обозначения членов последовательности. Обозначение каждого члена особой буквой крайне неудобно по следующим причинам. Во-первых, последовательность может содержать очень большое, или даже бесконечное число членов. Во-вторых, разные буквы скрывают тот факт, что члены последовательности относятся к одной совокупности, хотя и меняющей количество элементов. Наконец, в этом случае не будут отражены номера членов в последовательности.

Эти причины заставляют обозначать члены последовательности одной буквой и различать их по индексу. Например, последовательность, состоящую из десяти членов, можно обозначить буквой а: а1, а2, а3, …, а10. Тот факт, что последовательность является бесконечной, выражается многоточием, как бы неограниченно продлевающим эту последовательность: а1, а2, а3, … Иногда последовательность начинают нумеровать с нуля: : а0, а1, а2, а3, …

Некоторые последовательности могут восприниматься как случайные наборы чисел, поскольку не известен, или вообще отсутствует, закон формирования членов последовательности. Однако особое внимание привлекают последовательности, для которых такой закон известен.

Для указания закона формирования членов последовательности чаще всего используются два способа. Первый из них состоит в следующем. Задается первый член, а затем указывается способ, согласно которому с помощью последнего, уже известного члена получается следующий. Для записи закона используется член последовательности с неопределённым номером, например, аk и следующий за ним член аk+1, после чего записывается связывающая их формула.

Наиболее известными и важными примерами могут послужить арифметическая и геометрическая прогрессии. Арифметическая прогрессия определяется формулой аk+1 = аk + r (либо аk+1 = аk – r). Члены арифметической прогрессии либо равномерно растут (лесенкой), либо равномерно убывают (тоже лесенкой). Величина r называется разностью прогрессии, поскольку аk+1 – аk = r. Примерами арифметических прогрессий с натуральными членами являются

а) натуральные числа (а1 = 1;аk+1 = аk + 1);

б) бесконечная последовательность 1, 3, 5, 7, … (а1 = 1;аk+1 = аk + 2);

в) конечная последовательность 15, 12, 9, 6, 3 (а1 = 15;аk+1 = аk–3).

Геометрическая прогрессия определяется формулой bk+1 = bk∙q. Величина q называется знаменателем геометрической прогрессии, поскольку bk+1:bk = q. Геометрические прогрессии с натуральными членами и знаменателем, превосходящим единицу, растут и растут быстро, даже лавинообразно. Примерами геометрических прогрессий с натуральными членами являются

а) бесконечная последовательность 1, 2, 4, 8, … (b1 = 1;bk+1 = bk∙2);

б) бесконечная последовательность 3, 12, 48, 192, 768,… (b1 = 3;bk+1 = bk∙4).

Второй способ указания закона определения членов последовательности состоит в указании формулы, позволяющей вычислить член последовательности с неопределённым номером (общий член), например, аk, с помощью номера k.

Члены арифметической и геометрической прогрессий можно вычислять и этим способом. Поскольку арифметическая прогрессия определяется формулой аk+1 = аk + r, легко понять, как выражается член аk с помощью номера k:

а1 – определён произвольно;

а2 = а1 + r= а1 + 1∙r;

а3 = а2 + r = а1 + r + r = а1 + 2∙r;

а4 = а3 + r = а1 + 2∙r + r = а1 + 3∙r;

…………………………………

аk = а1 + (k–1)∙r – итоговая формула.

Для геометрической прогрессии аналогичным способом выводится формула общего члена: bk = b1 ∙ qk–1.

Кроме арифметической и геометрической прогрессий таким же способом можно определить другие последовательности, имеющие особый характер изменения. В качестве примера приведём последовательность квадратов натуральных чисел: sk = k2: 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25…

Существуют более сложные способы образования последовательностей, например, одна строится с помощью другой. Особое значение для арифметики имеет геометрическая прогрессия, определяемая параметрами b1 = 1, q = 10, то есть последовательность степеней десятки: 1 = 100, 10 = 101, 102, 103, …, 10k, … Она используется для представления натуральных чисел в позиционной системе счисления. При этом для каждого натурального числа n возникает последовательность, состоящая из цифр, с помощью которых записывается данное число: аn аn – 1 … а2 а1 а0. Цифра аk указывает сколько слагаемых типа 10k содержит число n.

Понятие последовательности подводит к важнейшим для математики понятиям величины и функции. Величина – это изменяющаяся числовая характеристика какого-то предмета или явления. Её изменение воспринимается как последовательность чисел. Существование зависимости между самими членами и их номерами, а также её выражение с помощью формул вплотную подводит к понятию функции.

Арифметика, натуральные числа.

10. Десятичная система счисления.

Важнейшим математическим открытием, которое используется практически каждым членом достаточно развитого общества, является позиционная система счисления. Она позволила решить основную проблему счёта, состоящую в умении называть все новые и новые числа, используя обозначения (цифры) только для нескольких первых чисел.

Позиционная система счисления традиционно связана с числом десять, но на тех же принципах можно построить и иные системы, например, двоичную. При построении десятичной позиционной системы счисления вводятся десять арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С их помощью может быть записано число, выражающее количество предметов любого конечного множества. Для этой цели используется специальный алгоритм, то есть чётко определённая последовательность элементарных действий.

Пересчитываемые предметы объединяются в группы по десять, что соответствует делению на десять с остатком. В результате образуются два множества – единиц и десятков. Десятки снова группируются по десять в сотни. Ясно, что число десятков (обозначим его через а1) обязательно меньше десяти, и, значит, а1 можно обозначить цифрой. Далее сотни группируются в тысячи, тысячи – в десятки тысяч и т. д. пока все предметы не будут сгруппированы. Построение числа завершается тем, что слева направо записываются полученные цифры от больших индексов к меньшим. Цифре аk соответствуют количество групп предметов по 10k. Итоговая запись числа состоит из конечной последовательности цифр аn аn – 1 … а2 а1 а0. Соответствующее число равно выражению

аn·10n + аn – 1·10n – 1 + … + а2·102 + а1·101 + а0·100.

Слово «позиционная» в названии системы счисления связано с тем, что цифра меняет свой смысл в зависимости от своей позиции в записи числа. Последняя цифра задаёт число единиц, предпоследняя – число десятков и т. д.

Отметим, что алгоритм для получения записи чисел в системе счисления с любым основанием N: состоит в последовательной группировке предметов по N штук. При записи числа необходимо использовать N цифр.

С помощью позиционной системы счисления можно записать любое число, но назвать его по правилам русского языка бывает затруднительно, поскольку нужны новые названия для степеней десятки. Для практических нужд используются миллионы (106), миллиарды (109), триллионы (1012). Для указания порядка очень больших чисел проще указывать максимальную степень десятки.

Date: 2015-05-04; view: 1200; Нарушение авторских прав

Понравилась страница? Лайкни для друзей:

Натуральные числа и их свойства

Натуральные числа и их свойства

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд, который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

  1. Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

  2. За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

  3. Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

  4. Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Свойство сложения натуральных чисел

  1. Переместительное свойство: $a+b=b+a$

    Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

  2. Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

    Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

  3. От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

  1. Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

    Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

  2. Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

    Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

  3. Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

  4. Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

  1. Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$

    Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

  2. Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

    Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

  3. При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$

  4. При умножении на нуль произведение равно нулю

  5. Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

  1. Распределительное свойство умножения относительно сложения

    $(a+b)\cdot c=ac+bc$

    Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

    Например, $5(x+y)=5x+5y$

  2. Распределительное свойство умножение относительно вычитания

    $(a-b)\cdot c=ac-bc$

    Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

    Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

  1. Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

  2. Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

  3. если $a

    Пример 1

    Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

    Решение: На основании указанного свойства ,т.к. по условию $a

  4. в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

    Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

  5. если $a

  6. Если $c

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна ,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

  1. Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

  2. Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число ,заменяют нулями

Арифметические прогрессии второго порядка

Введение: Прогрессия — последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

3, 5, 7, 9, 11…

Как вычислить сумму квадратов последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2)? Прибавлением каждого следующего числа к предыдущему? Да, можно и так, но для достаточного большого количества членов n, этот способ занял бы у нас кучу времени! Поэтому, мы будем выводить формулу для более простого способа нахождения суммы квадратов, последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2). Если задать тот же вопрос, но уже для арифметической прогрессии второго порядка (все члены являются натуральными числами),в которой первый член равен 2, и, такой, что каждый (k-1) член, меньше следующего k члена, на разность, между (k-1) и (k-2) членами, и прибавлением к этой разности +2. Пример этой прогрессии: 2, 6, 12, 20, 30, 42, … число 12 представимо как: 6+(6-2) + 2=12; или число 56= 42 + (42-30) +2, то для достаточно большого числа членов n, ответить быстро на поставленный вопрос мы не сможем, так как вычислять сумму прибавлением к k члену, каждого следующего (k+1) члена способ тоже не из быстрых. Поэтому для данной прогрессии, мы также выведем формулу, опираясь на ту формулу, которую мы сначала докажем, для суммы квадратов последовательных, натуральных n чисел (1, 4, 9, 16, 25, 36,…,n2), которая также упростит вычисления и сэкономит наше время, для ответа на заданный вопрос! В данной работе я приведу свой способ решения – некоторую так называемую мной “Пирамиду”, о которой я расскажу в основной части работы.

Литература:

Основная часть:

Рассмотрим арифметическую прогрессию второго порядка, такую, что каждый следующий член больше предыдущего на 1, и к тому же все эти члены возведены в квадрат (например: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…), и выведем формулу суммы первых n членов для данной прогрессии. Но, сначала, рассмотрим несколько прогрессий, у которых первый член – разный:

1,4,9,16,25,36,……. и 16,25, 36,49,64,81,……. ..

Пусть, к примеру, таких членов n=5, тогда их сумма (Sn):

Sn=55 и Sn=190

Формулу суммы (Sn) для данной прогрессии можно вывести, опираясь на то, что последовательность разностей двух рядом стоящих членов сама образует простую арифметическую прогрессию:

1+③=4; и 16+⑨=25;

4+⑤=9; 25+⑪=36;

9+⑦=16; 36+⑬=49;

16+⑨=25; 49+⑮=64;

. . . . . . . . . . . . . .

На основе этого свойства можно получить некоторую «Пирамиду». Рассмотрим прогрессию: 1,4,9,16,25,36, …. для n=5. Тогда:

n членов

①+ 4+ 9+ 16+ 25= 55 (Исходная сумма)

① +4 +9 +16

①+4+ 9

①+4

①+4

=3 2

Рассмотрим прогрессию: 16, 25, 36, 49, 64,… ( при n=5):

⑯+ 25+ 36+ 49+ 64=190 (Исходная сумма)

⑯+25+36+49

⑯+25 +36

⑯+25

Сумма колонок равна: Sn=48+33+20+9=110, которая отличается на 80 от исходной (=190). Sn=64+49+36+25+16=48+33+20+9+5*16

Итак, можно заметить, что сумма, полученная с помощью «Пирамиды» всегда отличается от исходной. Утверждение: Сумма, полученная с помощью «Пирамиды» всегда будет отличаться от исходной, на сумму произведения количества членов прогрессии на первый член прогрессии. (Приведённое мной утверждение, я докажу дальше). А пока будем считать, что данное утверждение верно при любом значении первого члена и любом значении n(кол-ва членов прогрессии).

Теперь рассмотрим данную прогрессию с первым членом = b1, причём таким, что є N. Пусть в прогрессии n членов. Примем разность между вторым и первым членом за d=b2- b1.

С учётом того, что b2=(+1)2 получим d=b2-b1=(+1)2-b1=2+1.

Для данной прогрессии также составим «Пирамиду»:

+ (+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+n-1)2

+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . . . . . +(+n-2)2

+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . +(+n-3)2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+(+1)2

Тогда, если считать, что утверждение верно, то данную сумму Sn=b1+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . .+(+n-1)2

можно представить как: Sn= b1*n+=

b1*n+(d*(n-1) + d*(n-2) + d*(n-3)+. . . . . .) + ((n-1)*(n-2) + (n-2)*(n-3) + (n-3)*(n-4) + . . .) =

= b1*n + (d*n + d*n + d*n +. . . — d — 2d — 3d — 4d — . . .) + ((n-1)*(n-2) + (n-2)*(n-3) + (n-3)*(n-4) +. . .)=

=b1*n+ d*n*(n-1)–d*(1+2+3+4+. . .)+((n2 – 3*n + 2)+(n2 – 5*n + 6)+(n2 – 7*n + 12) + (n2 – 9*n + 20 + . . .)

Сумму 1+2+3+4+ . . . выражаю как арифметическую прогрессию

Тогда Sn =b1*n + d*n*(n-1) – + ((n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . + (2+6+12+20+ . . . . ))=

= b1*n+ 0,5*d*n*(n-1) + ((n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . + (2+6+12+20+ . . . . ))

Так как (n2 – 3*n) + (n2 – 5*n) + (n2 – 7*n) + . . . = , то

Sn= b1*n+ 0,5*d*n*(n-1) – n*(n-1) + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .)= b1*n+ + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . .)

С учётом того, что d=2+1, получим, что Sn = b1*n+ + (2 +6 +12 +20 +. . .)

является верной.

Данную формулу можно доказать с помощью математической индукции.

Но, сначала, рассмотрим последовательность чисел: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, . . . . . . .

Итак, в этой последовательности каждый (k-1) член, меньше следующего k члена, на

Также можно заметить, что данную последовательность можно представить в виде: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, . . . . . . . = 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6, 6*7, 7*8, . . . . . . . . . , k*(k+1).

В самом деле, если в последовательности k членов, то последний член у этой прогрессии ak=k*(k+1).

  1. Проверим базу (для n=1): b1=b1 (База выполняется верно!)
  2. Шаг. Пусть для k членов данное тождество является верным, тогда:

b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 =

=b1*k+ + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)).

Проверим является ли наша формула верной для n=k+1: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 + (+k)2. Считая формулу –

b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 =

=b1*k+ + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)). – верной для k членов, выполним

Подстановку для n членов. Получим: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 + (+k)2 =

= b1*k+ + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) + (+k)2 = b1*k+

+ (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) + b1 + 2*k + k2 = b1*(k+1)+ * + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1))= b1*(k+1)+ *(2*k + k + 2 + 1) +

(2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) = b1*(k+1) + + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1))

= b1*(k+1) + + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) = b1*(k+1) +

+ + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1)) =

= b1*(k+1) + + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1))

Таким образом, для n=k+1 мы получили верное равенство: b1 + (+1)2 + (+2)2 + (+3)2 + (+4)2 + (+5)2 +. . . . . . . . .+ (+k-1)2 + (+k)2 = b1*(k+1) +

+ + (2 +6 +12 +20 +. . .+ k*(k-1) + k*(k+1)). А значит, данное тождество

верно при любых значениях n и b1. ч.т.д.

эту прогрессию более подробно.

  1. Если k- чётно, то: Sk=2*k2 + 2*(k-2)2 + 2*(k-4)2 + 2*(k-6)2 + 2*(k-8)2 + . . . . . . . . . =

=2*=

=2*=

Так как k2 + (k2 – 4*k) + (k2 – 8*k) + (k2 – 12*k) + . . . .==k2

(подсчитано, как сумма арифметической прогрессии).

Получим: Sk= 2k2 + 2(0 + 4 + 16 + 36 + 64 + 100 + . . .) = 2*k2 + 8*(0+1+4+9+16+25+. . .)

Сумму 0+1+4+9+16+25+. . . можно представить, благодаря уже доказанной формуле

Sn, с первым членом b1= 0 и количеством членов = . 0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + . . . . . =

0* + + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .) = — + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .)

Тогда Sk= 2*k2 + 8* = 2*k2 – k*(k-2) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .) =

== = k*(k+2) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . ). Данная формула справедлива лишь, если k – чётно!

  1. Если k-нечётно: 2 + 6 + 12 + . . . . . + (k-2)*(k-1) + (k-1)*k + k*(k+1) = k*(k+1) +

+2*(k-1)2 + 2*(k-1)2 + 2*(k-1)2 + 2*(k-1)2 + . . . . . . = k*(k+1) + 2*.

Так как (k2-2*k) + (k2-6*k) + (k2-10*k) + (k2-14*k) + . . . = = ,

то Sk= k*(k+1) + k*(k-1) + (1 + 9 + 25 + 49 + 81 + . . . . . .) = 2*k2 + 2* (1+9+25+49+81+. . . . .)

преобразования получим: 1 + 4 – 4 + 9 + 16 — 16 + 25 + 36 — 36 + 49

2*k2 + 2*(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + . . . . . . . .) – 2*(4 + 16 + 36 + 64 + 100 + . . . . . . . .)=

=2*k2 + 2*(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + . . . . . . . .) – 8*(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + . . . . . . . . .)

Применим, доказанную формулу (Sn) для обеих скобок: 1 + 4 +9 +16 + 25 + 36 + 49 + . . . =

= 1*(k-2) + + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .) = + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .)

1 + 4 +9 +16 + 25 + 36 + 49 + . . .=1* + + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .)=

= + (2 + 6 + 12 + 20 + . . .). Получим Sk= 2*k2 + 2* +(2+6+12+20+ . . .) –

Тогда Sk= 2*k2 + (k-2)*(k-1) – (k-1)*(k-3) + 2*(k-1)*(k-3) + 16*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . .) –

8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . .)= (4k2 – 7*k + 5) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . .).

Данная формула справедлива лишь при k- нечётном!

Таким образом, для достаточно больших значений n сумму квадратов последовательных чисел можно сосчитать намного проще, нежели их складывать.

Подсчитаем, к примеру, сумму квадратов первых, натуральных 50 чисел:

12+22+32+42+52+. . . . . . . . .+492+502=42925

Подсчитаем эту же сумму, используя полученные формулы:

12+22+32+42+52+. . . . . . . . .+492+502= 50*1 + + (2 + 6 + 12 + 20 + . . . . .)

Так как 49 –нечётно, то используем формулу (Sk) для нечётной суммы:

2+6+12+20+. . . . .=4*492 – 7*49 + 5 +8*(2+6+12+20+. . .) = 9266 + 8*(2+6+12+ 20 + . . . . .)

Так как 22- чётно, то 2+6+12+20+. . .= 22*24+8*(2+6+12+20+. . .) =528+8*(2+6+12+20+. . .)

Так как 10 –чётно, то 2+6+12+20+. . .=10*12+8*(2+6+12+20)=440

Имеем: 2+6+12+20+. . .= 528 + 8*440= 4048; 2+6+12+20+. . .=9266 + 8*4048=41650

В конечном итоге, получим: Sn= 50 + 25*49 +41650= 42925.

Для больших n пользоваться данными формулами гораздо удобнее. Причём, первый член прогрессии может быть любым!

Подсчитаем сумму квадратов 50-ти последовательных чисел, в которой первый член равен 51.

512+ 522+532+542+ . . . . . .+992+1002 = 512*50 + + (2+6+12+20+ . . . . . .)

Значение (2+6+12+20+ . . . . . .) = 41650 – подсчитано выше. Тогда 512+ 522+532+542+ . . . . .

+992+1002 =130050+123725+41650= 295425

Данные формулы можно использовать не только для нахождения сумм квадратов натуральных последовательных чисел, но и решать с помощью них различные задачи:

Задача 1. Какое количество натуральных членов (n) находится в прогрессии (1, 4, 9, 16, 25, . . . . n2) , если сумма этих n членов равна 338350?

b1=1, то перепишем в таком виде Sn= n + + (2 +6 +12 +20 +. . .+n*(n-1)) = 338350

тогда n + =2*(169175 – (1 +3 +6 +10 +. . .+)). Так как правая часть уравнения

Пусть n=4*f , тогда f*(4*f+1) = 169175 — *(1 +3 +6 +10 +. . .+). Так как (4f-1) –

нечётно, то 4*f2+f=169175 — * ⇔

36*f2 – 29*f= 169167 – 4*(2+6+12+20+ . . .) → 9*f2+(2+6+12+20+ . . .) =

36*f2–29*f=169167–4*(2+6+12+20+…)⇔36*(4q+1)2–29*(4q+1)=169167 – 4*(2+6+12+20+…)

Так как 8*q-1 нечётно, то 576q2+172q+7=169167 – 1024q2+480q – 64 – 32*(2+6+12 + 20 +…)

1600*q2 – 308*q=169096 – 32*(2+6+12 + 20 +. . .). Так как 4*q-3 нечётно, то получим:

1600*q2 – 308*q=169096 – 32* ⇔

3648*q2 –4276*q=167112 – 256*(2+6+12 + 20 +. . .). Так как 2*q-4 чётно, то:

3648*q2 –4276*q=167112 – 256*(2+6+12 + 20 +. . .) ⇔ 3648*q2 –4276*q=167112 – 256* ⇔

4672*q2 –7348*q=165064 – 2048*(2+6+12 + 20 +. . .). Далее, можно проверить, что уже для

q=10, левая часть уравнения больше правой (393720>-179000), а это значит, что q

Поэтому перебираем все возможные значения q:

  1. при q=9 имеем: (312300>-64312) — неверно.
  1. при q=8 имеем: (2400224>21704) — неверно.
  2. при q=7 имеем: (177492>83144) — неверно.
  3. при q=6 имеем: (124104=124104) — верно.

Значит, при q=6 наше уравнение является верным! Тогда f=4q+1=25; n=4f=4*25=100

Действительно, если проверить сумму 100 членов у этой прогрессии с помощью формул, то ответы совпадаются. Значит, n=100

Ответ: 100.

Задача 2. Найти 10 член прогрессии (b1, (+1)2, (+2)2, (+3)2, (+4)2, (+5)2, . . . , (+n-1)2, причём ∈ N), если число членов n = 50 , а их сумма (Sn) равна 295425?

Тогда Sn= 50*b1+25*49*(2 — 1) + 41650 = 295425 ⇔ 50*b1+2450* = 255000

b1+49* -5100 = 0

( -51)( +100) = 0 → b1=512

Выполним проверку: при b1=512 имеем: (295425=295425) – верно.

Проверкой убеждаемся, что b1=51. Тогда b10=(+9)2=602=3600

Ответ: 3600.

Формула

b1+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+(+5)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+n-1)2= b1*n+

+ (2 +6 +12 +20 +. . .) все же является частным случаем нахождения суммы,

квадратов последовательных членов, поскольку разность между и все же постоянна и равна 1. Теперь рассмотрим общий случай, когда разность между и

равна d, количество членов n, а первый член прогрессии равен . Но сначала, рассмотрим «Пирамиду» , на примерах нескольких чисел, при n =5, у данной прогрессии:

+ 42 + 72 + 102 + 132 =335 (Исходная сумма)

+ 42 + 72 + 102

+ 42 + 72

+ 42

+ 52 + 92 + 132 + 172 =565 (Исходная сумма)

+ 52 + 92 + 132

+ 52 + 92

+ 52

+ 62 + 112 + 162 + 212 =855 (Исходная сумма)

+ 62 + 112 + 162

+ 62 + 112

+ 62

+ 72 + 122 + 172 + 222 =855 (Исходная сумма)

+ 72 + 122 + 172

+ 72 + 122

+ 72

Итак, в данных примерах можно заметить, что шаг арифметической прогрессии равен 2*d2

Данное утверждение, я так же докажу позже, с помощью математической индукции, а пока будем считать, что данное утверждение верно!

Теперь рассмотрим «Пирамиду» для первого члена =b1, разности d= — и количеством членов n. Тогда в арифметической прогрессии первого порядка, первый член будет равен = b2 – b1 = (+d)2 – b1= 2*d* + d2. Получим «Пирамиду»:

+ (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+. . . . . . . . . . . . . .+(+(n-1)*d)2

+ (+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+. . . . . . . . . . . . . . . . . . .+(+(n-1)*d)2

+(+1)2+(+2)2+(+3)2+(+4)2+ . . . +(+n-3)2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+(+d)2

Можно представить как: Sn= b1*n + =

= b1*n+ — d*(2+d*n)* —

-d2*n* + d2*

Сумму 1+2+3+4+5+ . . . . . . .= подсчитываю, как

арифметическую прогрессию. Сумму 1+4+9+16+25+ . . . . . . . можно подсчитать,

благодаря уже доказанной формуле (Sn) для частного случая: 1+4+9+16+25+. . . =1*(n-1) + + (2 + 6 + 12 + 20+. . . . . .) =

= + (2 + 6 + 12 + 20+. . . . . .)

Тогда получим, что Sn=b1*n+ — ++d2*(2+6+12+ 20+. . .)

= b1*n+ — +d2*(2+6+12+ 20+. . .) = b1*n+ + d2*(2+6+12+ 20+. . .)

Таким образом, я получил формулу Sn= b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(n-1)*d)2 = b1*n+ + d2*(2+6+12+

20+. . . . . . . . .)

Данная формула, возможно является неверной для некоторого значения b1, n, или d, так как утверждение 2 ещё не доказано!

Доказать утверждение можно, если доказать что для любого n формула Sn является верной. Докажем справедливость данной формулы с помощью математической индукции.

Сделаем такое преобразование над формулой Sn:

b1*n+ + d2*(2+6+12+20+. . . . . . . . .)= b1*n+ + d2*(2+6+12+

20+. . . . . . . . .) – n*(n-1)

  1. Проверим базу (для n=1): b1=b1 (База выполняется верно!)
  2. Шаг. Пусть для k членов данное тождество является верным, тогда:

b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(k-1)*d)2 = b1*k+ + d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .)

Проверим, является ли наша формула верной для n=k+1: b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 + (+5*d)2 + . . . . . . . + (+(k-1)*d)2+ (+k*d)2 =

= b1*k+ + d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) + (+k*d)2= b1*(k+1) +

+ d*k*(2 + k*d) + d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = b1*(k+1) +

+ d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = b1*(k+1) + +

+ d2*k*(k-1) + d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = b1*(k+1) + + d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .)

Таким образом, для n=k+1 мы получили верное равенство: b1 + (+d)2 + (+2*d)2 + (+3*d)2 + (+4*d)2 +. . . . . + (+(k-1)*d)2+ (+k*d)2 = b1*(k+1) +

+ d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) . А значит, данное тождество верно при любых значениях n

и b1 ч.т.д.

Решение:

Sn =1960 + 780*d*(14+d) + d2*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = 570060

т.к. 38 число – чётное, то (2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = 38*40 + 8*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .)

т.к. 18 – чётно, то (2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = 18*20 + 8*(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .)

т.к. 8 – чётно, то (2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = 8*10 + 8*20 = 240

(2+6+12+ 20+. . . . . . . . .) = 360 + 1920 = 2280; (2+6+12+ 20+. . . . . . .)=1520+18240 = 19760

Тогда получим, что 20540d2+10920d – 568100= 0 ⇔ d = 5 или d= — (не подходит условию, что d>0)

Значит b10 – b9=(7+9*5)2 — (7+8*5)2 = 2704 – 2209 = 495

Ответ: 495.

Заключение: Итак, я доказал справедливость формул: b1+(+d)2+(+2*d)2+(+3*d)2+(+4*d)2+(+5*d)2+. . . . . . . . . . . . . . . +(+(n-1)*d)2=

b1*n+ + (2 +6 +12 +20 +. . .). А также, формулу для суммы другой

арифметической прогрессии второго порядка (2 +6 +12 +20 +. . .). При k- чётном, я

получил формулу суммы Sk= k*(k+2) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . . ), при k – нечётном,

другая формула суммы Sk=(4k2 – 7*k + 5) + 8*(2 + 6 + 12 + 20 + . . . . . .)

Благодаря этим формулам, я показал, как гораздо быстрее найти сумму квадратов последовательных, натуральных n членов; как быстро найти сумму другой арифметической прогрессии второго порядка (2 +6 +12 +20 +. . .). Привёл довольно интересные и занимательные задачи, связанные с этими прогрессиями.

Список литературы:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *